な が れ13(1994)84-98.
〔竜 門 賞 受 賞 記 念 解 説 〕
軸方 向流 を伴 う渦糸 の3次 元運動
*名 古屋大学 ・工学部 福 本 康 秀
Three-Dimensional Distortions of a Vortex Filament with Axial Velocity
Yasuhide FUKUMOTO
Department of Applied Physics, Faculty of Engineering, Nagoya University, (Received 31 January, 1994; in revised form 25 February, 1994)
(KEY WORDS): Vortex filament, Axial flow, Moore-Saffman equation, Soliton, Helical vortex
1. 動 機
細 長 い紐 状 の 領 域 に渦 度 が集 中 して い る もの を 渦 糸 とい う.渦 糸 の3次 元 運 動 を 厳 密 に記 述 す る こ とは 困難 で,何 らか の近 似 が 避 け られ な い.そ の中 で,可 能 な 限 り単 純 化 を追 求 した もの が局 所 誘 導 近 似(localized induction approximation) で あ る.こ の分 野 に お け る 日本 人 研 究 者 の寄 与 は 大 き い. 流 体 は非 圧 縮 性 で あ り,粘 性 も無 視 で き る と仮 定 す る.こ の と き,渦 度 場 ω(x)に よ っ て流 体 中 の一 点xに 誘 導 さ れ る 流 速vはBiot-Savartの 法 則 に よ って 与 え られ る.渦 核 の 半 径 が 渦 糸 の 曲 率 半 径 に比 べ て 十 分 小 さ い と き に は,線 積 分 (1) で 置 き換 え て よ い.こ こで,Γ は循 環,X'は 渦 糸 の 中 心 を な ぞ る曲 線 上 の位 置 を表 す.(1)を 渦 糸 の 直 上Xで 評 価 す る と対 数 発 散 を 生 ず る の で, 渦 核 の 半 径aに 相 当 す る部 分 か ら の寄 与 を抜 く. さ らに,局 所 的 な 誘 導 が卓 越 す る と考 え て,(1) の積 分 領 域 を,Xを 中心 とす る長 さ2Lの 曲 線 上 の 部 分 だ け に 限 る.こ れ が渦 糸 の 速 度 に等 しい と お く と(Helmholtzの 渦 定 理),局 所 誘 導 方 程 式 を 得 る:1-4) (2) こ こ で,X=X(S,t)は 渦 糸 上 の 点 を 長 さsと 時 間 `の 関 数 と し て 表 現 した も の で,κ は 曲 率,bは 陪 法 線 ベ ク トル で あ る.根 拠 は な い が,簡 単 の た あ In(L/α)を 定 数 と み な して 時 間 変 数 に 吸 収 す る と,(2)は (3) と書 け る.下 付 添 字 は微 分 を表 す. 橋 本5)は,渦 糸 曲 線 の 曲 率 κ と振 率 τを組 み 合 わ せ た あ る複 素 変 数 を導 入 す れ ば,(3)が 非 線 形 Schrodinger方 程 式 に 帰 着 す る こ と を 見 抜 い た: (4) (5) よ く知 ら れ て い る よ う に,(5)は 完 全 積 分 可 能 な 方 程 式,す な わ ち ソ リ ト ン方 程 式 で あ る か ら,ソ リ ト ン解 を もつ.橋 本 は(5)の1ソ リ ト ン解 か ら,Serret-Frenet方 程 式 を 経 由 して 対 応 す る 渦 糸 曲 線 を あ らわ に 構 成 し た.橋 本 ソ リ ト ン と 呼 ば れ る も の で あ る.そ の エ レ ガ ン ト さ ゆ え に,こ の * 〒464 -01名 古 屋 市 千 種 区不 老 町
結 果 は ソ リ トン研 究 者 の 注 目 を 引 く と こ ろ と な り,'70年 代 の 後 半 か ら少 しず つ 拡 張 さ れ て い た6).論 文 が 出 版 さ れ て か ら10年 近 く経 過 した 頃,フ ラ ン ス の グ ル ノ ー ブ ル で,Hopfingerた ち7)が回 転 タ ン ク内 の 乱 流 の 実 験 を行 い,そ の 中 に形 成 さ れ る渦 糸 の 上 に 孤 立 した キ ン ク波 が 立 ち,そ の パ ター ンが 橋 本 が 計 算 した曲 線 形 と見 事 に一 致 す る こ とを示 した.こ れ に よ って,橋 本 ソ リ ト ンが 自然 界 の渦 で お こ る普 遍 的 な モ ー ドで あ る と認 識 され るに 至 り,一 躍 脚 光 を浴 び る よ うに な った.筆 者 が,橋 本 先生 の もとで 流 体 力 学 の勉 強 を始 め た の はち ょ う どそ の 頃 で あ る. と こ ろが そ の後 しば ら く して,局 所 誘 導 近 似 が 「実 験 と合 わ な い」 と い う報 告 が 出 て く る よ うに な った8,9).具 体 例 を挙 げ る と9),(2)よ り らせ ん 状 の 波(波 数k)に 対 して 次 の よ うな分 散 関 係 が 得 られ る: (6) 従 っ て,波 の 伝 播 の 群 速 度Cgと 位 相 速 度cpの 比 は2に な る.橋 本 ソ リ ト ン に 関 し て も 同 様 に Cg/Ci〓2で あ る こ と が わ か る.実 験 し て み る と, cg/ciが2よ りか な り小 さ く で る.Maxworthyた ち9)やLeibovichた ち10,11)が 主 張 す る こ と は, (2) で 軽 々 し くln(L/a)=const.な ど と お い て は い け な い と い う こ と で あ る. 橋 本 ソ リ ト ン,も っ と 一 般 に 局 所 誘 導 近 似 は, 元 来,渦 糸 運 動 の 定 性 的 理 解 を 目 指 す も の で あ る か ら,上 記 の 主 張 は 筋 違 い の 言 い が か り と取 れ な い こ と も な い が,実 験 ・理 論 両 面 で の 解 析 が 確 か な もの で あ っ た の で,無 視 し て し ま う わ け に は い か な か っ た.文 献(9)を 読 む と,分 散 関 係 に つ い て,Moore&Saffman12)の 結 果 が 決 定 的 な 形 で 使 わ れ て い る.そ こ で,共 同 研 究 者 の 宮 嵜 武 さ ん と 一 緒 に こ の 論 文 を 輪 講 し よ う と い う こ と に な っ た. 論 文 の 主 題 は,渦 核 内 に 軸 方 向 流(ジ ェ ッ ト) を 伴 う渦 糸 の 誘 導 速 度 の 決 定 で あ る.集 中 渦 の 形 成 機 構1を 考 え る と,渦 糸 が 一 般 に 核 内 に 多 少 の ジ ェ ッ トを 含 ん で い る こ と は想 像 に 難 く な い .竜 巻 き や,風 呂 の 浴 槽 の 排 水 口 の 上 に 形 成 さ れ る 渦,飛 行 機 の 翼 端 か ら放 出 さ れ る後 ひ き 渦 な ど が 代 表 的 な もので あ ろ う. 丹 念 に方 程 式 を一 っ一 っ導 出 しなが ら読 み進 め た.渦 管 の 有 限 部 分 に着 目 して,そ の境 界(側 壁 +上 下 の"ふ た"の 部 分)に 作 用 す る力 を す べ て 積 分 して,そ れ らが つ りあ う よ うな ス ピー ドで 渦 管 の 中 心 線 が 動 く とい うの が 核 心 と な るア イ デ ア で あ る.雰 囲 気 をっ か む た め に,「渦 輪 が形 を変 え な い た め に は,一 定 速 度 で 陪 法 線b方 向 に並 進 運 動 しな けれ ば な らな い こ と」 を 説 明 して み よ う. 仮 に,流 体 中 で渦 輪 が静 止 して い る とす る.リ ン グの 周 りを 流 体 は循 環 運 動 して い る.同 じ流 体 が リ ングの 間 をす り抜 け る と き と リ ング の外 を 回 っ て い る と き と を比 べ る と,リ ング の外 で は ゆ った り と広 が って回 れ るの に対 し,リ ン グの 間 を す り 抜 け る と き に は狭 い と こ ろを 通 らな け れ ば な ら な い.従 って,リ ン グの 内 側 の流 速 は外 側 に比 べ て 速 い.Bernouilleの 定 理 に よ れ ば,リ ン グの 内 側 の 圧 力 が外 側 に比 べ て 低 くな る の で,放 って お く と,リ ン グは 内側 に 向 か っ てつ ぶ れ て し ま う.渦 輪 が リ ン グの面 に垂 直 な方 向 に運 動 す る と,そ の 向 き に よ って は,リ ングの 外 向 きの揚 力 を か せ ぐ こ とが で きて(Magnus力),ち ょ う ど適 当 な速 度 の と こ ろ で 内 向 きの 力 を 打 ち 消 す こ とが で き る.正 確 さ を欠 い て い るか も知 れ な い が,以 上 が そ の さ わ りで あ る.Moore & Saffmanは こ の手 の 議 論 を,渦 核 内部 の 自 由度 も含 め て,精 密 に し か も徹 底 的 に や って しま うの で あ る. それ ま で わ れ わ れ は力 のつ りあ い で渦 の 運 動 を 決 あ る と い う思 考 法 に慣 れ て い な か った の で,最 初 は戸 惑 い を覚 え,間 違 いが あ るの で は と疑 い な が ら読 ん で い た.そ の うち慣 れ て く る と,ど うや ら正 しそ うだ とい うふ うに考 え が変 わ って い っ た が,最 後 ま で そ の 導 出 法 は し っ く り こな か っ た. 渦 糸 の誘 導 速 度 の 表 式(後 出,式(18))も,複 雑 で 捉 え ど こ ろの な い格 好 に見 え た. そ れ で も何 とか 自分 達 な りに理 解 して み たか っ た の で,局 所 誘 導 近 似 の 精 神 に 沿 っ てMoore-Saffman方 程 式 を単 純 化 して み た.す る と,(3) を 自然 に拡 張 した形 の次 式 が得 られ る:13) (7a)
86 軸 方向流を伴 う渦糸 の3次 元運動 (7b) こ こ で,v(0)=v(0)(r),w(0)=ω(0)(r)は,各 々,渦 核 内 の 回 転 流,軸 方 向 流 の 速 度 分 布 で あ る.ｗ は 軸 方 向 流 が な け れ ば 消 え て し ま う.さ ら に ｗ を 定 数 と み な し て,橋 本 の 変 換(4)を 適 用 す る と, (7)は, (8) に 帰 着 さ れ る.こ れ は 非 線 形Schrodinger方 程 式 と 変 形KdV方 程 式 が つ さ っ た も の で,や は り ソ リ ト ン方 程 式 で あ る こ と が 広 田 に よ っ て す で に 証 明 さ れ て い た14).実 際,(7a)のNみ ソ リ ト ン解 を 求 め る こ と が で き る13,15,16).2ソ リ ト ン の 衝 突 の 一 例 を 図1に 示 す. こ れ が 本 研 究 の 出 発 点 で あ る.こ の 発 見 に 伴 う 驚 き と 喜 び は,そ れ 以 前 に 経 験 し た こ と の な い 大 き な も の で あ っ た が,引 っ か か る も の も 大 い に あ っ た.Moore-Saffmanの 方 程 式 が 本 物 で あ る か ど う か 確 信 が も て な か っ た の で あ る.も し,そ れ が 特 別 な モ デ ル で あ っ た り,本 質 的 な 項 が 脱 落 し て い た と し た ら,わ れ わ れ の 発 見 も意 味 の な い も の に な っ て し ま う.そ こ で,Moore-Saffman 方 程 式 が 普 遍 的 で あ る こ と を 確 か あ る べ く,自 分 達 の 納 得 で き る や り方 で そ れ を 導 こ う と い う こ と に な った. 初 め は,Biot-Savartの 積 分(1)を い じ く り回 して い た.軸 方 向流 は渦 輪 の 集 ま りに よ って 置 き 換 え る こ とが で き るの で,そ れ に よ る(局 所)誘 導 の評 価 も試 み た.そ の 結 果 を 講 演 した り論 文 に 書 い た り した が,実 は これ は誤 りで,今 で もにが にが し く思 って い る.Newton-Ivoryの 定 理17)に よ れ ば,ジ ェ ッ ト(軸 方 向 流)は 外 部 に流 れ を 誘 起 しな い こ とが,一 般 的 に証 明 で き る."理 想 的 な"コ イ ル に電 流 を流 して も,磁 場 は コ イル の 内 部 に閉 じ込 め られ て しま って 外 部 に は漏 れ て こな い,と い う こ と と同等 で あ る.し ば ら く試 行 錯 誤 を 繰 り返 した末 到 達 した結 論 は,表 面 を 撫 で て い るだ けで は何 も出 て こな くて,も っ と内 部 を 深 く え ぐ らな い とだ め だ とい う こ とで あ る. 以 下,§2でMoore-Saffman方 程 式 の 導 出 の 概 略 を記 す.軸 方 向流 効 果 の 本 質 は振 率 を も った 渦 糸 に現 れ る.§3で は らせ ん 渦 糸 の 線 形 安 定 性 の 計 算 を行 う.局 所 誘 導 近 似 を 用 いた と き と用 い な い と き の結 果 を比 較 す る こ とに よ って,近 似 の 限 界 を示 す.新 しい知 見 と して,軸 方 向流 が存 在 す る こ と に よ って,右 巻 き と左 巻 きの らせ ん渦 の 長 波 長 安 定 性 に違 い が 生 ず る こ と が 明 らか に な る.こ こ に紹 介 す る の は宮 嵜 との共 同研 究 の結 果 で あ り,詳 細 につ い て は文 献(13)を 参 照 され た い. 2. 渦 糸 の 自 己誘 導 速 度 流 れ の 中 を 運 動 す る物 体 に働 く力 に 関 して は, Navier-Stokes方 程 式(あ るい はEuler方 程 式) 図12 個 の ソ リ ト ンの正 面 衝 突(透 視 図).時 間 は下 か ら上 に 向 か って経 過 す る.
を しか るべ き境 界 条 件 の もと で解 い て,そ れ か ら 応 力 を求 めて 物 体 表 面 上 で積 分 す れ ば一 応 答 は出 せ る.し か し,こ の手 続 き だ け は わ か った気 が し な い の で,根 本 に立 ち帰 って,流 れ が物 体 を 通 過 す る こ とに伴 う運 動 量 の流 出 ・流 入 の 差 引 を 勘 定 して運 動 量 欠 損 を求 め,物 体 に単 位 時 間 当 り流 れ 込 む運 動 量 と して力 を捉 え れ ば,そ の 正 体 が 明 確 に な る と い う教 訓 に しば しば 出 会 う.ま さ に, Moore & Saffmanの 方 法 は,運 動 量 保 存 則 が積 分形 の ま ま忠 実 に満 足 され る よ う に渦 糸 の速 度 を 決 め るや り方 で あ る.か え って これ が わ か りに く い と感 じ られ た の は,ジ ェ ッ トを もつ 渦 糸 の 場 合,渦 核 内部 に も運 動 量 の 流 れ が あ る こ と に起 因 す るの だ ろ う.わ れ わ れ は運 動 量 保 存 則 の微 分 形 で あ るEuler方 程 式 を 出発 点 と して,渦 糸 の速 度 の表 式 を 導 出 す る こ とを 目標 に した. 渦 曲 線 の 曲 率 半 径 と 同 程 度 の ス ケ ー ル をRと お く.渦 核 半 径aとRの 比 を ε とす る: (9) ε《1と 仮 定 して,微 小 パ ラ メ ー タ ε に つ い て 系 統 的 に 摂 動 展 開 を 行 い た い が,す ん な り と は い か な い.渦 糸 は,遠 く離 れ た 所 か ら な が あ る と 太 さ の な い 曲 線 に 見 え る.渦 核 の 太 さ と 同 程 度 の ス ケ ー ル で な が め る と,渦 糸 近 傍 で は 太 い 柱 の よ う で あ っ て,当 然 解 の 振 舞 い は 異 な る.こ の よ う な 状 況 に 最 も適 し た 解 法 は,特 異 摂 動 法 の 一 種 で あ る 接 続 漸 近 展 開 法(method of matched
asympto-tic expansions)で あ る.領 域 を,渦 核 近 傍[r∼ O(a)]か ら な る 内 部 領 域 と,曲 率 半 径 程 度 の ス ケ ー ル[r∼O(R)]で 特 徴 づ け られ る 外 部 領 域 の 2つ に 分 け る.こ こ で,rは 渦 糸 中 心 か ら の 距 離 を 表 す.そ れ ぞ れ の 領 域 でEuler方 程 式 を 別 々 に 解 い て,外 部 領 域 と 内 部 領 域 の 流 速 が,重 な り合 う 領 域(共 通 領 域)で っ な が る よ う に 渦 糸 の 並 進 速 度 を 決 定 す る の が そ の や り方 で あ る. こ の 方 法 に よ る 誘 導 速 度 の 導 出 は,Widnallた ち8)とCallegari &Ting 19)に よ っ て す で に 実 行 さ れ て い た.彼 らが 得 た 表 式 で 有 効 な の はO(ε) ま で で あ る.し か る にMoore&Saffmanの 表 式 を よ く調 べ て み る と,o(ε2)ま で 含 め て あ る こ と が わ か る.前 者 の 摂 動 展 開 を 新 た に0(ε2)ま で 実 行 し な け れ ば な ら な い.Callegari & Tingに よ る
定 式 化 が よ く整 備 さ れ て い た の で,そ れ を も と に o(ε2)ま で の 拡 張 を 行 っ た.概 略 を 以 下 に 記 す. 渦 度 の 軸 方 向 成 分 の 重 心 をXと お く。 流 体 中 の 任 意 の 点xに 対 して,そ れ に 最 も近 い 渦 重 心 上 の 点X(s,t)を 対 応 さ せ る.こ の こ と は,点xが 渦 核 か ら そ れ ほ ど 離 れ て い な け れ ば 可 能 で あ る. そ の 点X(s,t)を 中 心 と す る 円 筒 座 標(r,θ,s)を 指 定 す る.渦 重 心 曲 線 の 接 ベ ク トルt=∂X/∂S 方 向 をSで パ ラ メ ー タ 化 し,法 線 ベ ク トルnと 陪 法 線 ベ ク トル δ に よ っ て 張 ら れ る 面 を(r;θ)座 標 で パ ラ メ ー タ 化 す る.外 部 領 域 で の 速 度 場 は Biot-Savart積 分(1)に よ っ て 与 え ら れ る.こ の 積 分 を,a〓r〓Rで 評 価 す る と, (10) と な る.こ こ で,er,eθ は,そ れ ぞ れ,r方 向,θ 方 向 の 単 位 ベ ク トル,Qは 局 所 誘 導 で は取 り 込 ま れ な か っ た 残 り の 部 分 か ら の 寄 与,す な わ ち,非 局 所 誘 導 の 効 果 を 表 す.角 度 変 数 ψ は θ と,ψ 二 θ+θ0(s,t),∂ θ0/∂s=-τ,と い う 関 係 に あ る.円 筒 座 標 系(r,θ,s)を 直 交 座 標 系 に す る た め の 工 夫 で あ る.局 所 誘 導 近 似 に お い て は,(10) で 非 局 所 誘 導Qを 捨 て,さ ら に(10)が 渦 核 の 境 界 面 ま で 成 り立 っ と し て,無 造 作 にr=aと 置 い て,そ の 第2項 が 渦 の 自 走 速 度 に 等 し い と し て し ま う.(10)を 渦 核 の 境 界 面 ま で 外 挿 す る の は 行 き 過 ぎ で,渦 核 近 傍 でEuler方 程 式 を き ち ん と解 い て,得 られ た 速 度 場 が 渦 核 か ら遠 く離 れ た 所 で, 外 部 解(10)と う ま く つ な が る よ う に す る の が 自 然 で あ ろ う. 内 部 解 を 求 め る と き に は 渦 重 心Xと 共 に 動 く 座 標 系 に 乗 る.Moore & Saffmanの 表 式 と の 整 合 性 を 図 る た め に,曲 線 の パ ラ メ ー タ をsか ら, 次 の 条 件 を 満 た す ξに 変 更 す る: (11) た だ し,X=∂X/∂t(ξt).相 対 速 度 をv=(u,v, w)と す る と,静 止 系 に お け る 流 速Vは (12)
88 軸 方向流を伴 う渦糸 の3次 元運 動 と書 け る.右 辺 の 第1項 に εが か か っ て い る の は,局 所 誘 導 近 似 が お そ い 時 間 ス ケ ー ル の 運 動 ("slowwaves")を 扱 っ て い る こ とに対 応 させ て あ る. 線 形 の範 囲 内 で言 う と,わ れ わ れ が扱 って い る の は,渦 核 断 面 の変 形 で は な くて,渦 重 心 の変 位, す な わ ち屈 曲 モ ー ドで あ る.内 外 が ポ テ ンシ ャ ル 流 で あ れ ば,(渦)管 の境 界 を指 定 す れ ば 速 度 場 は 一 意 的 に決 って しま うが,渦 度 を もつ場 合 に は, 内 部 の渦 度 分 布 の 偏 り具 合 い の 自由度 が 無 限 に あ る ので,屈 曲 モ ー ドだ け で も(可 算)無 限 に あ る. そ の第1モ ー ドが"お そ い波"で あ る.目 下 こ の 節 で 導 出 して い るの は,お そ い波 の大 振 幅 の 運 動 方 程 式 で あ る.つ い で に 言 う な ら ば,Kaden-Widnallの 不 安 定20-22)として 知 られ て い る渦 輪 の 短 波(長)不 安 定 は,高 次 モ ー ドに対 す る不 安 定 性 の こ とで あ り,"速 い波(fast waves)"と 呼 ば れ る.実 験 で観 察 され る の は,屈 曲 の 第2モ ー ド (右巻 き と左 巻 き で2つ あ る)が,渦 輪 が つ くり 出 す 局 所 的 な ひ ず み 流 を 介 して共 鳴不 安 定 を 起 こ し て 成 長 した もの で あ る. 動 く座 標 系 で のEuler方 程 式 を 書 き下 した 後 に19),以 下 の形 の展 開形 を 代 入 す る: (13a) (13b) (13c) (13d) (13e) 渦重心X上 で の境界条件 は (14) で あ る.主 要 項 は 回 転 流v(0)(r,t)と 軸 方 向 流 ω(0) (r,t)と か ら な る.こ れ ら は 軸 対 称 で,さ ら に 遠 方 (内 部 領 域 内)で の 振 舞 い を 次 式 で 規 定 す る: (15) 時 間 に依 存 す るの は,渦 線 の一 様 な伸 び縮 み を許 す に とを意 味 す る. 後 は,O(ε)及 びO(ε2)で 逐 次 方 程 式 を 解 い て, 外 部 解(10)に 接 続 す る よ う にXを 決 定 す れ ば よ い.唐 突 で は あ る が,O(ε2)の 方 程 式 を 書 き 下 し て お く: (16a) (16b) こ こで,下 付 添 え字 はそ れ に よ る偏 微 分 を表 す. nd8)はW(1)中 の 軸 対 称 成 分,σ は局 所 的 な渦 糸 の 伸 び率 で, (17) に よ って与 え られ る.(16)の 左 辺 第3項 は,動 く 座 標 系 に乗 った こ と に よ るみ か け の力 と運 動 量 の 軸 方 向成 分 の渦 管 に沿 う移 流 か ら くる.因 子2が 現 れ るの はそ の た め で あ る.第4項,第5項 は, 各 々,運 動 量 の 軸 に垂 直 な成 分,軸 方 向成 分 の渦 管 に沿 う移 流 に 由 来 す る.強 調 した い こ とは,こ
れ ら各 項 が,Moore & Saffmanが"Reynolds応 力"と して 注意 深 く取 り入 れ た効 果 に ぴ った り対 応 す る とい う こ とで あ る. 最 終 的 に得 られ た 渦 糸 の速 度 は次 の と お りで あ る: (18) こ こ で,wo(1)は 渦 糸 の 全 長(長 さL)の 伸 び(縮 み)に 関 係 して い て, (19)
で 与 え られ る.Q￨￨は(11)に あ る 通 り で,上 付 き バ ー は 断 面 平 均 で あ る: (20) 渦糸 の長 さの 時 間 変 化 は (21) で支 配 され,従 って,渦 核 半 径 の主 要 項(一 様 な 部分)は (22) を満 たす よ うに 変 化 す る。 回 転 流,軸 方 向流 の主 要 項 の時 間 発 展 は,循 環 の 不 変 性 か ら次 式 の よ う に な る: (23a) (23b) こ こ で,α=r[L(t)/L(0)]1/2と お い た. 後 半 の 議 論((19)一(23))は(18)を 閉 じ さ せ る た め の も の で あ り,と っ て つ け た よ う な 感 は あ る が,Moore & Saffmanと 一 致 す る よ う に した. こ う し て,Moore-Saffman方 程 式 を 再 導 出 す る こ と に 成 功 した.(18)で 非 局 所 誘 導Qを 捨 て 去 り,さ ら にL/a及 び 渦 核 内 の 速 度 分 布 に 依 存 す る パ ラ メ ー タ を 定 数 と お くの が,局 所 誘 導 近 似 で, 実 際(7)が 出 て く る.こ の 近 似 で は 渦 糸 の 伸 び は 効 か な い.さ て,異 な る ス タ イ ル で 導 出 し た わ け だ が,渦 糸 運 動 が 巧 み に 仕 組 ま れ て い る な と い う の が 印 象 で あ る.(18)の 各 項 の も っ 内 容 も身 近 に 感 じ ら れ る よ う に な る.し か し,何 よ り も よ く わ か っ た こ と は,MooreとSaffmanが 本 当 に 偉 い と い う こ と で あ る. わ れ わ れ の 立 場 で は,非 局 所 誘 導Qの 評 緬 は Biot-Savart積 分 を 数 値 的 に 行 え ば よ い と す る. 軸 方 向 流 が な い 場 合 で あ る が,Klein & Majda23) は,橋 本 の ス キ ー ム(4),(5)と 合 体 さ せ て,Qを 扱 い 易 い 形 に 表 現 す る こ と に 成 功 し た.渦 線 の 伸 び も 自然 に 取 り込 ま れ て い る.軸 方 向 流 が あ る 場 合 に は,彼 ら の 方 法 は う ま く適 合 し な い よ う で あ り,今 後 の 開 発 が 待 た れ る.そ の 他 残 さ れ た 課 題 は た く さ ん あ る が,思 い 付 く も の を2つ 挙 げ て お こ う.(13)を 見 れ ば わ か る よ う に,速 度 分 布 と圧 力 分 布 の 主 要 項 は 軸 に 沿 っ て 一 様 で あ る と し た. しか し,現 実 の 流 れ で は 軸 方 向 の 圧 力 勾 配 が 渦 の バ ー ス ト(vortex breakdown)な どの 複 雑 な現 象 を 生 み 出 す こ とが 多 く,大 変 重 要 な役 割 を 果 た す.狭 く解 釈 す る と,に にで は,お そ い 波(屈 曲 波)と 速 い波(軸 対 称 モ ー ドな ど)の 結 合 が 問 題 に な る.圧 力 勾 配 や 渦 核 半 径 の非 一 様 性 を 取 り入 れ た研 究 もい くつ か 出始 め て は い る が24,25),現 状 で は そ の 本 質 が 十 分 明 らか に さ れ た と は 言 え な い.も う一 っ や るべ き課 題 は,渦 核 断 面 が 楕 円 形 (あ る い は も っ と一 般 の 形)の と き の誘 導 速 度 の 導 出 で あ る.や は り,(13)を 見 れ ば わ か る よ う に,渦 核 断 面 は最 低 次 で 円 で あ る と仮 定 した.複 数 の 渦 糸 が 強 く相 互 作 用 す る場 合 や,1本 の 渦 糸 で も(長 さ方 向 の パ ラ メ ー タ で は)隔 た った 点 同 士 が 接 近 して く る場 合 に は,相 手 が作 り出 す 強 い ひ ず み 流 の た め に 断面 は大 き く変 形 して 円 で はな くな る.渦 糸 法 は と きに 大 変 効 力 を発 揮 す る数 値 計 算 ス キ ー ム で あ るが26),現 実 の激 しい 流 れ を シ ミュ レー トす るに耐 え る モ デ ル を構 築 す るに は, こ の課 題 を克 服 す る必 要 が あ る と考 え て い る. 最 後 に,§1で 述 べ た 屈 曲 波 の分 散 関係 に つ い て コ メ ン トして お きた い.波 の振 幅 が小 さ くて 直 線 渦 か らのず れ が小 さ い と き は,非 局 所 誘 導Qの 積 分 を 厳 密 に計 算 で き る.基 本 流 がBurgersの 渦 の 場 合 を考 え る: (24a) (24b) こ こ で,Wm,a1,a2は 定 数 で あ る.適 切 に 定 義 さ れ た 渦 核 の 境 界 が 摂 動 を 受 け て, (25) と な っ た と し よ う.た だ し,m=±1で,D<<a, ￨k￨a<<1と 仮 定 す る.(18)を 導 い た の と 同 様 の 手 続 き を 繰 り 返 す と,次 の よ う な 分 散 関 係 を 得 る:
90 軸方 向流を伴 う渦糸 の3次 元運動 (26) こ こ で,γ はEuler定 数 で あ る.Leibovichた ち11)はHoward-Guputa方 程 式 を 数 値 的 に 解 い て全 波 長 領 域 に わ た る線 形 分 散 関 係 を得 て,同 時 に,長 波 長 にお け る漸 近 展 開 に よ って(26)の 初 項 を導 い た が,わ れ わ れ は後 者 を 次 の オ ー ダ ー ま で 拡 張 した こ と に な る.(26)に 特 徴 的 なの は,In ￨k￨を 含 む こ とで あ る.外 部 が ポ テ ンシ ャル 流 で あ る と きに,誘 導 速 度 へ の渦 の全 長 か らの寄 与 を 積 分 して初 め て 現 れ る項 で あ って,局 所 誘 導 近 似 で は 出 て に な い.Maxworthyた ち9)が測 定 で 得 た パ ラ メ ー タ値 を代 入 して,ω や 位 相 速 度Ci,群 速 度cgを 計 算 して み る と,振 幅 の 小 さ な 波 に 関 して は,(26)で も近 似 と して は十 分 で あ る こ とが わ か る. 3.ら せ ん渦 の 安 定 性 空 間座 標 を 反 転 す る と(x→-x),速 度 ベ ク ト ル は符 号 を 変 え るが,渦 度 ベ ク トル は符 号 を変 え な い.従 って,渦 核 の もつ渦 度 と軸 方 向 流 との 関 係 が変 わ る.一 般 に曲 線 に お い て は,空 間 座 標 の 反 転 に対 し,曲 率Kは 符 号 を変 え な い(つ ね にK 〓0)が,振 率 τは符 号 を変 え る.し て み れ ば,軸 方 向 流 効 果 の本 質 は振 率 を も った渦 糸 に 現 れ る こ とが 期 待 で き る.振 率 の あ る 曲線 で最 も単 純 な形 は常 らせ ん で あ る.ら せ ん 渦 の線 形 安 定 性 を 解 析 す る こ と に した. まず は局 所 誘 導 近 似 の も とで 計 算 す る.(4)を (7a)に 代 入す る と次 式 を 得 る: (27a) (27b) 軸 方 向 流 が な い と き(w;0)は,Da Riosの 方 程 式1'27)に 帰 着 す る.こ こ で 考 え る の は,定 曲 率 κ0, 定 擬 率 τ0を も っ ら せ ん で,(27)の 定 常 解 に な っ て い る.そ れ に 微 小 撹 乱 を 加 え た 表 式 κ=K0+A cos(ks-ωt),τ=τ0+Bsin(ks-ωt)を(27) に代 入 して,さ らに線 形 化 す る と,次 の よ う な分 散 関 係 を得 る: (28) w=0の と きはBetchov 27)の結 果 を再 現 す る.軸 方 向 流 が な い と きに は,ら せ ん 渦 は2π/KOよ り 長 い 波 長 の 撹 乱 に対 して不 安 定 で あ る.軸 方 向流 に よ る補 正 は次 の よ うに現 れ る.wτo>0ま た は Wτ0〓-3/2の と き,不 安 定 モ ー ドの増 幅 率 が 大 き くな る.一 方,-2/3<wτ0<0の と き に は,増 幅 率 は小 さ くな る.著 しい こ と に,τc;-1/(3 W)で あ る らせ ん渦 はあ らゆ る波 長 の微 小 撹 乱 に 対 して 中立 安 定 に な る. 慣 例 に従 って,τ>0を 右 巻 き,τ<0を 左 巻 き と しよ う.W>0の と きは渦 度 ベ ク トル の 向 き と ジ ェ ッ トの速 度 ベ ク トル の 向 きが 同 じな の で,ヘ リシ テ ィ密 度 が正 で あ る.要 す るに,ヘ リシテ ィ 密 度 が 正 の と き,右 巻 き らせ ん 渦 は不 安 定 に な り,左 巻 き の渦 は安 定 化 さ れ る傾 向 が あ る.中 立 安 定 に な って しま う左 巻 き らせ ん渦 も存 在 す る. ヘ リシ テ ィ密 度 が 負 の と きは,右 と左 を入 れ換 え れ ば 結 論 は同 じで あ る.し か し,こ こで は局 所 的 な効 果 しか 取 り入 れ て い な い の で,こ の結 論 が 本 当 か ど うか 疑 わ しい.特 に,中 立 安 定 な らせ ん 渦 が存 在 し得 るか ど うか に興 味 が 湧 いて くる.次 の ス テ ップ は,渦 糸 の 全 長 にわ た る非 局 所 誘 導 の効 果 を調 べ る に とで あ る. そ の前 に,ら せ ん渦 の不 安 定 の メ カ ニ ズ ム にっ いて 考 察 して み よ う.こ の不安定 は,Crowの 不 安 定28)と呼 ば れ る渦 糸 の長 波(長)不 安 定 に分 類 され る.Crowの 不 安 定 は2つ の相 反 す る要 因 の 競 合 の 結 果 と して 起 こ る.ら せ ん渦 は,ら せ ん の 軸 の 回 り に回 転 しなが らそ の軸 方 向 に並 進 運 動 す るの み な らず,そ れ 自身 の上 の各 点 の近 傍 に ひ ず み流 を誘 導 す る.こ の ひず み は撹 乱 を成 長 さ せ る 働 きを す る。一 方,撹 乱 は新 た に 曲 率 を もっ の で, 局 所 的 に ぐ る ぐ る回 ろ う とす る.同 一 平 面 内 で sin型 に変 形 した 直 線 渦 糸 の運 動 を 思 い浮 か べ れ ば よ い.も との 軸 の 回 り に剛 体 回 転 す る.こ れ は 地 球 流 体 力 学 で登 場 す る慣 性 波 と同 じで あ る.局 所 的 な回 転 運 動 は,撹 乱 を ひず み 流 に よ る変 形 か
ら逃 れ させ る働 き を す る.ひ ず み が 強 くな って 回 転 して も逃 げ き れ な い と きに,攪 乱 は成 長 す る. 式 で表 現 す る と 明 瞭 に な る21).ら せ ん 渦 糸 上 の1 点 に着 目 し,そ の点 を通 りnとbで 張 られ る断 面 を考 え る.そ の断 面 内 にxy-座 標 を 導 入 す る。原 点 は攪 乱 を受 け て い な い らせ ん上 の 位 置 で あ る. 局 所 的 な ひ ず み流 の流 速 を(ey,ex)で 表 そ う.e は ひ ず み の強 さ を表 す定 数 で あ る.断 面 内 にお け る攪 乱 の運 動 方 程 式 は,撹 乱 が 角速 度 ωで 回 転 す る とす る と, (29a) (29b) で 与 え ら れ る.容 易 に わ か る よ う に,e2>ω2の と き不 安 定 に な っ て,攪 乱 は 原 点 か ら遠 ざ か る 一 方 で あ る(図2参 照). 渦 糸 の 全 長 か らの 誘 導 速 度 を 正 し く取 り入 れ る 方 法 と し て,切 断 積 分 法(cut-off method)が あ る12,18,26,28).Biot-Savart積 分 を 実 行 し て,渦 糸 上 の あ る 点 に お け る 誘 導 速 度 を 勘 定 す る 際,そ の 点 も 含 め て 積 分 す る と 発 散 して し ま う.そ こ で,そ の 点 の 近 傍 の 積 分 を 抜 き 取 っ て 省 き(cut-off), そ の代 わ り,正 しい誘 導 速 度 を 回 復 す る よ うに適 切 に局 所 的 な寄 与 を補 って や る と い うの が そ の処 方 箋 で あ る.Crow 28)は 反 平 行 渦 対 の安 定 性 の 問 題 に この 方 法 を適 用 して,上 述 の長 波 不 安 定 を 見 つ けた. Widnall 29)は らせ ん渦 の線 形 安 定 性 問 題 に この 方 法 を適 用 して,非 局 所 誘 導 の 効 果 を 調 べ た. Widnallは3種 類 の不 安 定 モ ー ドを 見 い だ した. 波 長 の短 い順 に短 波 不 安 定,相 互 誘 導 不 安 定,長 波 不 安 定 と分 類 で き る.長 波 不 安 定 はBetchov が 局 所 誘 導 近 似 の も とで 導 い た不 安 定 モ ー ドに対 応 す る.切 断 積 分 法 は波 長 の短 い波 を取 り扱 う に は不 適 切 な の で,前2者 につ い て は考 え な い こ と にす る.Widnallは 軸 方 向 流 の存 在 も取 り入 れ て は い る が,そ れ は曲 率 効 果 の1次 に と ど ま って い る.1次 に お い て は,"消 防 ホ ー ス効 果"と で も呼 ぶ べ き で あ ろ うか,軸 方 向 流(ジ ェ ッ ト)は 渦 糸 を"し ゃん と させ て"安 定 化 す る働 きを す る.そ の働 き は,ら せ ん の 右 巻 き と左 巻 き で 差 異 は な い.右 巻 き と左 巻 きで 安 定 性 に違 い を 生 む に は, 曲率 の2次 の効 果 が 必 要 で あ る.以 下 で は,Wid-nallの ア プ ロ ー チ を2次 ま で 拡 張 した 結 果 に つ い て述 べ る。 半 径Rの 円 筒 に 規 則 正 し く巻 き つ い て い る ら せ ん を 考 え る.静 止 系 に 固 定 し た デ カ ル ト座 標 系 (x,y,z)を と る.z軸 は 円 筒 の 軸 と一 致 さ せ る.こ の 座 標 系 に お い て,ら せ ん 渦 はz軸 の 回 り を あ る 角 速 度 Ω で 回 転 し な が ら,z軸 方 向 に 速 度VAで 形 を 変 え る こ と な く進 む 、 円 筒 面 上 でz軸 に 垂 直 な 円 と ら せ ん の 接 ベ ク トル と の な す 角 β(ピ ッ チ 角)が,tanβ=(RK)-1と な る よ う な パ ラ メ ー タ Kを 導 入 す る.こ の と き,ら せ ん の 表 現X0=(X0, Y0,Z0)は 次 式 の よ う に な る: (30) こ こ で,σ0=1/(1十K2R2)1/2,K'=Kσ20=K/(1 +K2R2)と お い た.ら せ ん の ピ ッ チ は2π/Kで あ る.(30)の 法 線n0と 陪 法 線b0の 両 方 向 に 攪 乱 を 与 え る.攪 乱 を 受 け た 渦 糸 の 形Xは (31) とな る.ξ は長 さ方 向 のパ ラメ ー タ,ξ は攪 乱 の 振 幅 で あ っ て別 物 で あ る.z軸 回 りに角 速 度 Ω で 回 図2 渦 糸 の長 波 不 安 定 の メカ ニ ズ ム.渦 糸 の 断 面 を 含 む 平 面 が 描 か れ て い る.原 点 は 攪 乱 を 受 け て い な い渦 糸 の位 置 で,太 い黒 丸 が 攪 乱 を 受 け た と きの 渦 糸 の 位 置 を 表 す.
92 軸方向流 を伴 う渦糸 の3次 元運動 転 し,同 時 にz方 向 に 速 度VAで 並 進 す る 座 標 系 か ら見 た 渦 糸 の 相 対 速 度Xrelは,(30),(31)よ り (32) と な る.左 辺 のX,Ω,VAを 正 し く計 算 して,さ ら に ξ,ρ ∝eatと お い て,(32)の 両 辺 を 固 有 値 問 題 に 持 ち 込 め ば よ い. Xは 渦 糸 の 全 体 か ら の 誘 導 速 度 を 表 す.Moo-re-Saffman方 程 式(18)-(23)を な が め る と,X が 次 の よ う な カ ッ トオ ッ フ 積 分 で 表 現 で き る こ と が わ か る: (33) 第1項X(0)(ξ,t)は 曲 率 の1次 ま で有 効 な 誘 導 速 度 (34a) で,∫[l c]が カ ッ ト オ フ 積 分 で あ る: (34b) 積 分 は長 さ の パ ラ メ ー タSで 表 示 して あ る こ と に 注 意 す る必 要 が あ る.ま た (34c) (34d) で あ る.(33),(34)の 中 の,a,v(0),w(0),ω0(1)を 決 あ る た め に は,渦 糸 の 長 さl(t)(単 位 ピ ッ チ 当 り)の 時 間 変 化 を 知 る 必 要 が あ る.こ れ は(21) で 規 定 さ れ る が,攪 乱 が 微 小 で そ の 振 幅 に つ い て 1次 ま で し か 考 え な い と き は,渦 糸 の 長 さ は 変 化 し な い こ と が わ か る.そ れ に 応 じ て,(22)と(23) よ り,v(0),w(0),aは 時 間 に 依 存 し な い と し て よ い.ま た,(19)よ り,ω0(1)はQ‖=t・X(0)か ら求 め れ ば よ い.後 は,(31)を(34a)に 代 入 し て, 微 小 振 幅 ξ,ρ に つ い てTaylor展 開 を 行 っ て そ の 1次 で 打 ち 切 り,得 ら れ た 積 分 を 数 値 的 に 実 行 す れ ば よ い.積 分 に は 高 速 フ ー リエ 変 換 の サ ブ ル ー チ ン を 利 用 し た(NUMPAC).(33)の 中 のXξ(0)の 積 分 が う る さ い の で,慎 重 に 行 う必 要 が あ る. Widnallの 結 果 と の 比 較 を 行 う た め に,基 本 流 と して,ト ッ プ ハ ッ ト型 の ジ ェ ッ トを 核 内 に も っ Rankine渦 を 採 用 す る,そ の 速 度 分 布 は (35) で 与 え ら れ る.(31)を 見 れ ば わ か る よ う に,わ れ わ れ はeat+ikξ 型 の 微 小 攪 乱 を 考 え て い る.ら せ ん が 巻 き つ い て い る 円 筒 の 半 径R,及 び 特 徴 的 な 速 度 Γ/(4πR)を 使 っ て 増 幅 率aを 無 次 元 化 し よ う: (36) α に は次 の よ うな対 称 性 が あ る こ とが わ か る: (37) た だ し, (38) で あ る.ま た,(32)よ り固 有 値 鳶 は2つ(a1,a2) 得 ら れ る が,Rea2=-Rea1で あ る こ と が 確 か あ ら れ る.(28)と 同 じ状 況 で あ る.よ っ て 以 下 で は,k〓0及 びK>0の 場 合 に つ い て の み 計 算 結 果 を 示 す.後 者 の 条 件(K>0)は,ら せ ん が 右 巻 き で あ る こ と,あ る い は 振 率(K')が 正 で あ る こ と を 意 味 す る. ピ ッ チ 角tanβ=1の 場 合 に っ い て 計 算 を 行 い 結 果 を 図3に 示 した.横 軸 は 無 次 元 波 数k/K'で, 縦 軸 は 増 幅 率a(実 部 の み)で あ る.図3(a,b) は,細 い 渦 糸(a/R=0.1)に つ い て,(a)がW/V 〓0の 場 合,(b)がW/V〓0の 場 合 の 計 算 結 果 を 示 して あ る:図3(c,d)は 太 い 渦 糸 に つ い て の 結 果 で あ る((c)W/V〓0,(d)W/V〓0).破 線 は 軸 方 向 流 が な い と き(W/V〓0)の 結 果 で, Widnall 29)が 計 算 し た 値 と一 致 す る. 無 次 元 波 数k/K'は ら せ ん の1周 期 当 り の(攪 乱 の)波 の 数 に 相 当 す る.図 の 左 側(k/K'<1)に
(a) (b) (c) (d) 立 っ モ ー ドが 長 波(長)不 安 定 モ ー ドで あ る.図 3(a)よ り わ か る こ と は,W/Vが0か ら減 っ て い く に つ れ て,長 波 モ ー ドの 増 幅 率 が 単 調 に 減 少 し て い き,W/V=-1よ り 少 し小 さ く な っ た と こ ろ で,長 波 モ ー ドは 消 え て し ま う.W/V=-1.2と -1 .5の ピー ク よ り読 み 取 れ る こ と は,さ ら に W/Vが 小 さ く な る と,短 波(長)不 安 定 モ ー ド (k/K'>1)が よ り 小 さ な 波 数 で 出 現 す る.そ し て,W/Vが 小 さ く な る に つ れ て,増 幅 率 を 小 さ く し な が ら長 波 長 領 域(k/K'<1)に 侵 入 す る と い う こ と で あ る.W/V>0の と き は(図3(b)), 逆 に,W/Vが 小 さ い う ち は,W/Vと 共 に 増 幅 率 は増 え て い く.W/Vが あ る値 に達 す る と,W/V を 増 や す に つ れ て,増 幅 率 は減 少 に転 じ,や が て 長 波 モ ー ドは消 失 して しま う.初 あ て 長 波 モ ー ド が 消 失 す る と き のW/Vの 絶 対 値￨W/V￨は, W/V<0の と き の方 がW/V>0の と き よ り も小 さ い.図3(c,d)と 図3(a,b)を 比 較 して わ か る こと は,渦 が太 くな る と,長 波 モ ー ドの 増 幅 が 抑 え られ,長 波 モ ー ドを打 ち消 して し ま うの に必 要 な軸 方 向 流 の 大 き さ￨W/V￨も わ ず か で す む. 図3(b)と 図3(d)を 比 べ る と,小 さなW/V(> 0)の と きの 右 巻 き らせ ん の軸 方 向流 に よ る不 安 定 化 の度 合 は,す な わ ち,破 線 か らの ず れ 具 合 い 図3 らせ ん 渦 上 の 微 小 攪 乱 の 無 次 元 増 幅 率.横 軸 は 無 次 元 波 数k/K'で,ら せ ん1周 期 当 り の 波 の 数 に 相 当 す る.ら せ ん の ピ ッ チ 角 はtanβ=1と し た.グ ラ フ 上 の 数 値 は 軸 方 向 流 速 と 回 転 流 速 の 比W/Vで,破 線 はW/V=0の と き の 結 果 で あ る:(a)a/R=0.1,W/V〓0,(b)a/R =0 .1,W/V〓0,(c)a/R=0.33,W/V〓0,(b)a/R=0.33,W/V〓0.
94 軸方 向流を伴 う渦糸 の3次 元運動 は,渦 核 が太 い方 が 顕 著 で あ る こ とが わ か る. 先 に注 意 した よ う に,切 断 積 分 近 似 は短 波 不 安 定 を記 述 す るの に適 さ な い の で,論 じな い こ と に す る.(37)を 考 慮 す る と,図3か ら以 下 の事 柄 が 読 み取 れ る.ヘ リシテ ィ密 度 が 正(W/V>0)の と き,W/Vが そ れ ほ ど大 き くな い うち は,右 巻 きの らせ ん 渦 は軸 方 向流 に よ って 不 安 定 化 さ れ る が,左 巻 き は安 定 化 さ れ る.W/Vが 大 き くな る と,W/Vの あ る範 囲 で 長 波 不 安 定 モ ー ドは死 ん で しま う.消 失 は,左 巻 きの 方 が 右 巻 きよ り よ り 小 さ なW/Vで 起 こ る.ヘ リシ テ ィ密 度 が負(W/ V<0)の と き は,右 巻 き と左 巻 きを 置 き換 え るだ けで よ い. 局 所 誘 導 近 似 で も類 似 の結 果 が得 られ た[(28) 参 照].W/V>0の と き,軸 方 向 流 の働 きが,左 巻 き を安 定 化,右 巻 き を不 安 定 化 す る こ と は同 じで あ る.し か し,〓 率 τ0を与 え た と き,局 所 誘 導 近 似 で は,特 定 の軸 方 向流 の 値(W=-1/3τ0)を もつ らせ ん 渦 だ けが 安 定 に な るが,非 局 所 誘 導 も 取 り込 む切 断 積 分 近 似 で は,W/Vの 有 限 の 範 囲 で らせ ん 渦 は安 定 に な る.さ らに,後 者 の近 似 で は,振 率 が あ る値 よ り も大 き くな る と,軸 方 向 流 を大 き く して も安 定 に な る こ と は な い.こ れ は大 きな違 い で あ る.ら せ ん の ピ ッチ が短 くな って ら せ ん の 隣 合 う周 期 の渦 糸 同士 が接 近 し,そ の非 局 所 誘 導 に よ る不 安 定 化 作 用 が軸 方 向流 に よ る安 定 化 作 用 に卓 越 す る た め で あ る.も う一 つ著 し く異 な る点 は,局 所 誘 導 近 似 で は,W/V>0の と き右 巻 き らせ ん渦 は決 して安 定 に な る こ と はな い が, 切 断 積 分 近 似 で は安 定 に な る こ とが あ る とい う こ とで あ る.(34c,d)よ りわ か る よ うに,切 断積 分 近 似 に お い て は 曲 率 効 果 の1次 で 切 断 パ ラ メ ー タ lcに 渦 核 内 の速 度 分 布 が 忠 実 に 反 映 さ れ て い る が,局 所 誘 導 近 似 で は渦 の 内 部 構 造 は一 切 考 慮 さ れ て お らず,単 に定 数 と お いて あ る だ けで あ る. この こ とが 上 記 の 相 違 を もた ら して お り,や は り 局 所 誘 導 近 似 の 限 界 を 与 えて い る.要 す るに,安 定 化 の 要 因 は2つ あ る.曲 率 効 果 の一 次 に お い て は,軸 方 向 流 は左 右 両 方 の らせ ん渦 を消 防 ホ ー ス 効 果 に よ って 安 定 化 す る.さ らに二 次 に お い て, 左 右 の う ち片 方 を選 択 的 に安 定 化 す る. す べ て の長 波 不 安 定 モ ー ド(￨k/K'￨<1)が 消 失 す るRK-W/V平 面 内 に お け る パ ラ メ ー タ領 域 を図4に 描 く.図4(a)が 渦 核 が 細 い場 合(a/R (a) (b) 図4 らせ ん 渦 の 安 定 ・不 安 定 領 域 ・パ ラ メ ー タ が2本 の 弧 で は さ まれ た三 日月 形 の領 域 に あ る と き,長 波 不 安 定 モ ー ドが 消 失 す る:(a)a/R=0.1,(b)a/R=0.3.
福本康秀 =0 .1),図4(b)が 太 い場 合(a/R=0.3)で あ る. 2つ の 弧 で 囲 ま れ た三 日月 型 の領 域 が 安 定 領 域 で あ る.RKが 大 き くな って らせ ん の巻 き方 が密 に な る と安 定 領域 が な くな るの は,上 述 の通 りで あ る.図4(a)よ り読 み 取 れ る こ と は,安 定 領 域 は W/V<0,W/V>0の 両 側 に あ る.W/V<0の 側 の安 定 領 域 の 方 が,よ りW/V=0の 軸 に接 近 し て い る し,領 域 も広 い.ま た,図4(b)よ り,太 っ た渦 で は,W/V<0の 側 に2つ の安 定 領 域 が存 在 す る こ とが 見 て 取 れ る.図4(a)と(b)を 見 比 べ れ ばわ か る よ うに,太 った渦 の方 が や せ た渦 よ り 小 さ な￨W/V￨で 安 定 に な る し,W/V,RKの 領 域 が 広 い. 軸 方 向 流 が右 巻 き と左 巻 きの らせ ん渦 の 長 波 安 定 性 に違 い を もた らす こ とや,さ らに は,そ の強 さ次 第 で は,長 波 不 安 定 モ ー ドを 消 し去 る働 き も あ る こ とを指 摘 した した の は,お そ ら くこの 研 究 が初 め て で あ ろ う.局 所 誘 導 近 似 よ り も信 頼 で き る切 断 積 分 近 似 の も とで得 た 結 論 で は あ るが,そ れ で も,後 者 は 曲率 効 果 に つ いて の2次 まで で 打 ち切 った 漸 近 展 開 に過 ぎな い. す べ て の 波 長(曲 率),す べ て の 軸 方 向流 速 度 に つ い て 有 効 な公 式 と して知 られ て い る もの の一 つ に,ト ッ プ ハ ッ ト型 の ジ ェ ッ トを 核 内 に も つ Rankine渦 の線 形 分 散 関係 が あ る12,30).(25)の 形 の 無 限 小 攪 乱 を仮 定 して 分 散 関 係 を導 出 す るの だ が,基 本 流 は らせ ん渦 で は な くて直 線 渦 で あ る こ と に注 意 す る必 要 が あ る.(25)の 形 の屈 曲波 に 限 って も無 限 個 の モ ー ドが あ るが,そ の第1モ ー ドを 図5に 示 す.グ ラ フの 上 に書 い て あ る数 値 は W/Vの 値 で あ る.少 し無 理 が あ るが,微 小 攪 乱 を受 け た 直線 渦 を,攪 乱 の な い らせ ん渦 と見 立 て る の で あ る.す る と,縦 軸 の ωa/Vは 攪 乱 の 回 転 角 速 度 に相 当 す るが,こ れ が誘 導 速 度,さ らに は 渦 糸 上 の各 点 の 近 傍 に誘 起 す るひ ず み 流 の 強 さ を 表 す の で はな いか と推 察 で き る.実 際 前 述 の ら せ ん渦 の安 定 性 の 結 果 と よ く符 合 す る.Crowの 不 安 定 の メ カ ニ ズ ム の説 明 で述 べ た よ う に,局 所 的 な ひ ず み 流 が 強 くな る と長 波 長 攪 乱 は増 幅 す る.W/V=0.2の と き,W/V=0の と き(破 線) よ り も,ω はka>0で は大 き くな るが,ka<0で は小 さ くな る.こ れ は,右 巻 き らせ ん 渦 が よ り不 安 定 に な り,左 巻 き が よ り安 定 に な る こ と と一 致 す る.W/Vが あ る程 度 大 き くな る と,ka<0, ka >0共 に ωa/VがW/V=0の と き よ り小 さ くな る。著 しい こ と は,W/V=1.5の あ た りで,kaの 小 さい(長 波 長)領 域 全 体 に わ た って,ωa/Vが きわ め て 小 さ くな る点 で あ る.こ れ が,長 波 不 安 定 が 打 ち 消 さ れ る こ と に対 応 す る もの と 思 わ れ る.こ れ よ り想 像 で き る こ とは,(密 に巻 い て い な い)ら せ ん 渦 で は軸 方 向 流 を 強 く して い く と,ら せ ん 渦 が そ れ 自身 に誘 導 す る局 所 的 な ひ ず み が 弱 め られ,あ る値 に達 す る と,攪 乱 が成 長 で きな く な る ので あ ろ う.た だ し,図5に 基 づ く議 論 は攪 乱 の 波 数 と曲率 とを混 同 して 行 って い るの で,正 確 な もの で は な い. 図5の 左 下 を 見 る と,W/V=1.5と2.0の と き,分 散 関係 を 与 え る曲 線 が途 切 れ て い る こ とが わ か る.こ の 理 由 は ωが 虚 数 に な って しま う た め で,そ こ よ り￨ka￨の 大 きな 領 域 で は,直 線 渦 が 微 小 屈 曲攪 乱 に対 して線 形 不 安 定 に な る.こ れ は 本 研 究 で は対 象 と しな か った短 波 不 安 定 に属 す る 図5 ト ップ ハ ッ ト型 ジ ェ ッ トを 含 むRankine渦 に お け る 第1屈 曲 モ ー ドの 分 散 関 係 のW/V に 対 す る依 存 性.グ ラ フ の 上 に書 か れ た 数 値 がW/Vの 値 で あ る.破 線 はW/V=0の 場 合 の結 果 で あ る.
96 軸方向流 を伴 う渦糸 の3次 元運動 もの で,ジ ェ ッ トを強 くす る と生 じや す くな る こ とか ら,Kelvin-Helmholtz不 安 定 に類 似 の メ カ ニ ズ ムで起 こ る もの と考 え られ る.(35)の トップ ハ ッ ト型 の ジ ェ ッ トを もっ渦 の み な らず,(24)の ガ ウ ス型 の 核 を もつ 渦 で も起 こ る31).図5で は ka<0の 側 で 不 安 定 が起 こ って い る.こ れ を解 釈 す れ ば,ヘ リ シテ ィ密 度 が 正 の と き,左 巻 きの微 小 攪 乱 に対 して,直 線 渦 は不 安 定 に な る とい う こ とで あ る.長 波 長 攪 乱 に対 して は,左 巻 きの らせ ん 渦 は よ り安 定 で あ った.議 論 の対 象 の レベ ル が 異 な って い て正 確 な対 応 関 係 は な い が,左 と右 の 関 係 が 短 波 と長 波 で 逆 転 して い る よ うに思 え る. 従 来,実 験 で らせ ん型 の 不 安 定 が見 つ か る と,短 波 不 安 定 の理 論 に よ る説 明 が試 み られ て き た32). 長 波 と短 波 で は メ カ ニ ズ ム が異 な って お り,も っ と注 意 深 い洞 察 が 必 要 で あ る.特 に,わ れ わ れ が 見 出 した らせ ん渦 の 長 波 安 定 ・不 安 定 の 結 果 が 適 用 で き る よ うな 実 験 が 行 わ れ る こ とを 期 待 して い る. で は,長 波 安 定 性 に お い て,ヘ リシ テ ィ密 度 が 正 の と き,な ぜ 左 巻 き らせ ん渦 が 右 巻 き に比 べ て 安 定 に な るの で あ ろ うか.実 は,筆 者 は こ の問 に 対 す る 答 を ま だ 見 つ け て は い な い.広 田 方 程 式 (8)で 象 徴 さ れ る よ う に,「軸 方 向 流 が 分 散 を変 え る か ら」 と言 っ た と ころ で,理 解 した こ と に は な らな い で あ ろ う.左 右 の非 対 称 の 機 構 を,簡 単 な 描 象 で も って,解 き 明 か す こ と は興 味 深 い課 題 で あ る.ま た,ジ ェ ッ トが あ る程 度 強 くな る と,場 合 に よ って は,ら せ ん渦 が 安 定 に な る こ とを強 調 した が,わ れ わ れ は安 定 な らせ ん 渦 が 存 在 す る こ とを証 明 した わ け で は な い.本 節 で は,長 波 長 攪 乱 が成 長 で き な くな る こ とを 示 した だ け で あ る. 短 波 不 安 定 に よ って らせ ん 渦 が 崩 壊 す る可 能 性 は 除 外 で き な い.線 形 安 定 性 の 枠 内 で の結 論 で あ る か ら,有 限 振 幅 の変 形 に伴 う渦 線 の伸 長 が本 質 的 に 異 な る時 間 発 展 を もた らす 可 能 性 も否 定 で きな い.そ の他 い くつ か の 仮 定 を 設 け た上 で の話 で あ る.し か しそ れ で も,軸 方 向 流 が,ら せ ん 渦 の 安 定 特 性 に上 述 の よ うな 左 右 非 対 称 を もた らす こ と は正 しい もの と確 信 して い る. 4. お わ りに 以 上 が 宮 嵜 と の共 同 研 究 の紹 介 で あ る.個 人 的 な 事 情 に も触 れ た の で,気 恥 ず か しい思 い も して い るが,本 文 は研 究 が進 め られ た順 序 に従 って記 述 して あ る. §1で は,軸 方 向流 を もつ渦 糸 の3次 元運 動 と い う テ ー マ に 出会 った経 緯 と,そ れ を 橋 本 の研 究 と組 み 合 わせ れ ば広 田方 程 式 が導 か れ る こ とを記 した.§2で は,Moore-Saffman方 程 式 をEuler 方 程 式 か ら摂 動 展 開 で系 統 的 に導 く方 法 を 概 説 し た.渦 糸 の誘 導 速 度 が特 異 摂 動 法 で 導 か れ るの を 示 す と同 時 に,そ こで 用 い られ て い る近 似 や 仮 定 を 明確 に して お い た.「 わ れ わ れ が 扱 った の は手 をつ け やす い簡 単 な所 だ けで,本 当 に重 要 で 難 し い 問題 に つ い て は解 析 の メ スが 入 って い な い.」 とい う印 象 を もた れ た読 者 も多 い か と思 う.§3 で は,Moore-Saffman方 程 式 に基 づ い て,ら せ ん渦 の線 形 安 定 性 の 解 析 を行 っ た.局 所 誘 導 近 似 に よ る結 果 と比 較 す る こ と に よ っ て,非 局 所 誘 導 や渦 核 の 内 部 構 造 を取 り入 れ る こ と の必 要 性 が論 じ られ た.軸 方 向 流 が 右 巻 き と左 巻 きの らせ ん渦 の長 波 安 定 性 に違 い を もた らす こ とを指 摘 した の は 本 研 究 が 初 め て で あ ろ う.こ れ を,世 の 中 に ニ ュ ー ト リノ は左 巻 き だ け,反 ニ ュー ト リノは右 巻 きだ け しか 存 在 しな い とい う事 実 と対 比 す る と 面 白 い. 他 に も渦 糸 に関 す る重 要 な研 究 で紹 介 す べ き も の は た く さ ん あ るが,話 の 筋 を単 純 に す る た あ に,思 い切 って 割 愛 した. 謝 辞 私 は大 学 院 で橋 本 英 典 先 生 の御 指 導 を 仰 ぐよ う にな って 以 来,先 生 の優 れ た業 績 の1つ で あ る橋 本 ソ リ トンに憧 れ を抱 きな が ら,そ の 周 辺 を さ ま よ って い ま した.そ うい う中 で,本 テ ー マ に巡 り 会 い,さ さ や か で は あ りま す が 貢 献 す る こ とが で き ま した、 この た び,竜 門 賞 と い う私 に と って こ の上 な く名 誉 あ る賞 を 頂 け る こ と に な り,大 変 喜 ん で お りま す.こ れ も ひ とえ に橋 本 先 生 の おか げ で あ り,心 よ り感 謝 申 し上 げ る次 第 で す.大 学 院 時 代 に は神 部 勉 先 生 に も御 指 導 頂 き ま した.桑 原 真 二 先 生 は 竜 門 賞 の 推 薦 状 を 書 い て 下 さ い ま し た.宮 嵜 武 博 士 に は 日頃 の セ ミナ ー を通 じて有 益
な御 議 論 を頂 い て ま す.ま た,学 会 等 の 場 で,諸 先生 方 に温 か い励 ま しの言 葉 や有 益 な 御 助 言 を 頂 いた こ と もよ き思 い 出 とな って い ます .こ こに, 改 め て感 謝 の意 を表 しま す.
引 用 文 献
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