求まるので，未測定点の予測ができること．また(M3)現象が比較的単純であれば，現象を支配 する原理の式が分かることである． Fig.1 には五つの測定データがプロットさ れており，これらは 1 次の関係，𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 のように見える．最小 2 乗法を使うと，式の パラメータ A と B が求められる．オレンジ 色の線は最小 2 乗法で求めた実験式である． データとよく一致していることが分かる． 次に Fig.2 には五つの測定データがプロッ トされており，これらは指数の関係， 𝑦 = 𝐴𝑒𝐵𝑥 のように見える．最小 2 乗法を使 うと，式のパラメータ A と B が求められる． オレンジ色の線がその実験式である．これ もデータとよく一致していることが分かる． n 個のデータの組，（xi, yi）（ただし i = 1, 2, 3, ..., n）から近似式のパラメータを最小 2 乗法で求められる．式の型はデータの分布 の状況によって選択する必要がある．本資 料では線形型，指数型および多項式型につ いて扱う． 2 線形型： y＝Ax＋B 型 n 個のデータの組，（xi, yi）（ただし i = 1, 2, 3, ..., n）からパラメータ A と B を求める．まず式の定義を行う． 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵 この式の右辺を左辺へ移行すると， 𝑦 − (𝐴𝑥 + 𝐵) = 0 この式は数学的に正しい． 次にこの式にデータを代入した式について考えてみる．A と B を求めるためには少なくとも 2 回分のデータが必要となる．つまり i = 1, 2 の時のデータ（x1, x2）, （y1, y2）があれば，連立さ せて A と B が求まる．
0
0.0005
0.001
0.0015
0
1
2
3
4
5
Ix(A) V x( V ) Fig. 1 Vx vs. Ix.1
2
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
V(V) If(A) Fig.2 If vs. V.{𝑦1− (𝐴𝑥1+ 𝐵) = 0 𝑦2− (𝐴𝑥2+ 𝐵) = 0 → A, B 次にその A，B と i = 3 のデータ，（x3, y3）で式を表すと，ほとんどの場合で次式のようになる． 𝑦3− (𝐴𝑥3+ 𝐵) ≠ 0 右辺が 0 でないことに注意．これは y iと x iのデータには測定誤差が含まれることによる．上の 式で 0 にならない分を残差 Siとして定義する． 𝑆𝑖≡ 𝑦𝑖− (𝐴𝑥𝑖+ 𝐵) = 𝑦𝑖− 𝑓(𝑥𝑖) ≠ 0 Siの 2 乗和 S は， 𝑆 = ∑[𝑦𝑖− 𝑓(𝑥𝑖)]2= 𝑛 𝑖=1 ∑[𝑦𝑖− 𝐴𝑥𝑖− 𝐵]2 𝑛 𝑖=1 Σ は全てのデータを対象とする意味である．上の式は A と B についての 2 次式であり，それらの次数 は最高で 2 である．A と B を変化させたとき，S が極小，つまり誤差が最小となるためには次式を満足す ればよい． ∂𝑆 ∂𝐴= 0, ∂𝑆 ∂𝐵= 0 これらを計算すると，次が得られる． { 𝐴 ∑ 𝑥𝑖+ 𝑛𝐵 = ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝐴 ∑ 𝑥𝑖2+ 𝐵 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 または [ ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ] [𝐴 𝐵] = [ ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ] 上の式は正規方程式（normal equation）と呼ばれる．上を連立させて A と B を求めると， 𝐴 = 𝑆1− 𝑥̅ 𝑦̅ 𝑆2− (𝑥̅)2 , 𝐵 =𝑦̅ 𝑆2− 𝑥̅𝑆1 𝑆2− (𝑥̅)2 ただし， 𝑆1= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖， 𝑆2= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 2， 𝑥̅ =1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ， 𝑛 𝑖=1 𝑦̅ =1 𝑛∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 である．このようにして，xi と yiのデータからパラメータ A と B が求められる．
例 1：半導体試料に電流 Ixを流したとき，端子間の電圧 Vxを測定した（Table 1）．データをグ ラフにプロットしたとき，プロット点間を通るような 1 次式，𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵を最小 2 乗法で 求めよ． Table 1. Ix (mA) 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 Vx (v) 1.4174 2.1204 2.8042 3.5164 4.2159 xi = Ii， yi = Vi とすると， 𝑆1= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖= 1 5(0.5 × 1.4174 + 0.75 × 2.1204 + 1.0 × 2.8042 + 1.25 × 3.5164 + 1.5 × 4.2159) = 3.165 𝑆2= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 = 1.125， 𝑥̅ =1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1.000， 𝑦̅ =1 𝑛∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 = 2.815 A = 𝑆1− 𝑥̅ 𝑦̅ 𝑆2− (𝑥̅)2 = 2.797, B =𝑦̅ 𝑆2− 𝑥̅𝑆1 𝑆2− (𝑥̅)2 = 0.01766 測定した IX の単位は mA であるので，2.797 を 1000 倍して A とする．式は y＝2797x＋0.01766 である．式を Fig. 1 に，またこのプログラムを次に示す．
/* Least Mean Square */ /* type: f(x)=Ax+B */ #include<stdio.h> #include<math.h> #define NUMBER_OF_DATA 5 int main() { struct element { float x; float y; } data[(int)NUMBER_OF_DATA] = { {0.50e-3, 1.4174}, {0.75e-3, 2.1204}, {1.00e-3, 2.8042}, {1.25e-3, 3.5164}, {1.50e-3, 4.2159}, }; int i, n;
float sum1, sum2, mx, my, x[(int)NUMBER_OF_DATA], y[(int)NUMBER_OF_DATA], a, b; char d;
n = (int)NUMBER_OF_DATA; sum1 = sum2 = mx = my = 0; for(i=0; i<n; i++) {
sum1 += data[i].x * data[i].y; sum2 += data[i].x * data[i].x; mx += data[i].x;
my += data[i].y; } sum1 /= n; sum2 /= n; mx /= n; my /= n;
a= (sum1 - mx * my) / (sum2 - mx * mx); b= (my * sum2 - mx * sum1) / (sum2 - mx * mx); printf("y=%fx+%f¥n", a, b); d=getchar(); } 実行結果 問題 1（5 点） Table Q1 のデータによる式，𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵を最小 2 乗法で求めよ．またエクセルで散布図のグラ フを作成せよ．グラフには Table Q1 のデータのプロット点と求めた式による直線を合わせて表 示すること（例 Fig. 1）．直線は
X
i ＝ 0, 0.1, …, 10 のときのY
iを求めた式で計算し，それらの
関係を小さな点で散布図として表現すればよい． Table Q1. Xi 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 Yi 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 3 指数型： y ＝ A e B x型 n 個のデータの組，（xi, yi）（ただし i = 1, 2, 3, ..., n）からパラメータ A と B を求める．まず 式の定義を行う． 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≡ 𝐴𝑒𝐵𝑥 この式の自然対数をとると， 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝐴 + 𝐵𝑥 （e を底とした時は ln，10 を底とした時は log とする）上の式を F(x) = ln f (x), C = ln A で置き かえると， 𝐹(𝑥) = 𝐶 + 𝐵𝑥 これは 1 次関数式であるので，前述の y＝Ax＋B 型と同様に扱える． 残差 Siは次のとおり．𝑆𝑖≡ 𝑦𝑖− 𝑓(𝑥𝑖) ≠ 0 Siの 2 乗和 S は， 𝑆 = ∑[𝑙𝑛 𝑦𝑖− (𝐶 + 𝐵𝑥𝑖)]2 𝑛 𝑖=1 上の式は B と C についての 2 次式であり，それらの次数は最高で 2 である．B と C を変化させた とき，S が極小，つまり誤差が最小になるためには次式を満足すればよい． ∂𝑆 ∂𝐵= 0, ∂𝑆 ∂𝐶= 0 これを計算すると，正規方程式は次のようになる． [𝑛 𝑥̅𝑖 𝑥̅𝑖 𝑥̅̅̅] [𝑖2 𝐶 𝐵] = [ 𝑙𝑛 𝑦 ̅̅̅̅̅ 𝑥 𝑙𝑛 𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅] 次に上を連立させて，B と C を求めると， 𝐵 =𝑆1− 𝑥̅ 𝑙𝑛 𝑦̅̅̅̅̅ 𝑆2− (𝑥̅)2 , 𝐶 =𝑙𝑛 𝑦̅ 𝑆2− 𝑥̅𝑆1 𝑆2− (𝑥̅)2 である．ただし， 𝑆1= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑙𝑛 𝑦𝑖， 𝑆2= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 ， 𝑥̅ =1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ， 𝑙𝑛 𝑦̅̅̅̅̅ =1 𝑛∑ 𝑙𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ， 𝐴 = 𝑒𝐶 である．このようにして，xi と yiのデータからパラメータ A と B が求められる． 例 2： Ge ダイオードの特性，電圧 V に対する順方向電流 Ifを測定した（Table 2）．データを グラフにプロットしたとき，プロット点間を通るような指数関数の式，𝑦 = 𝐴𝑒𝐵𝑥を最小 2 乗法で求めよ． Table 2. V (V) 0.280 1.000 1.500 2.000 2.200 If (A) 0.001 0.004 0.012 0.033 0.050 xi = Vi , yi = If とすると， 𝑆1= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑙𝑛 𝑦𝑖 =1 5(0.28 × 𝑙𝑛(0.001) + 1.00 × 𝑙𝑛(0.004) + 1.50 × 𝑙𝑛(0.012) + 2.00 × 𝑙𝑛(0.033) + 2.20 × 𝑙𝑛(0.050)) = −5.501 𝑆2= 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 = 2.434， 𝑥̅ =1 𝑛∑ xi 𝑛 𝑖=1 = 1.396， 𝑙𝑛 𝑦̅̅̅̅̅ =1 𝑛∑ 𝑙𝑛 𝑦𝑖= −4.652 𝑛 𝑖=1 とすると，
𝐵 =𝑆1− 𝑥̅ 𝑙𝑛 𝑦̅̅̅̅̅ 𝑆2− (𝑥̅)2 = 2.049， 𝐶 =𝑙𝑛 𝑦̅ 𝑆2− 𝑥̅𝑆1 𝑆2− (𝑥̅)2 = −7.512， 𝐴 = 𝑒𝐶 = 5.466 × 10−4 従って式は y＝5.47×10 -4 e 2.05 xである．式を Fig. 2 に，またこのプログラムを次に示す．
/* Least Mean Square */
/* type: f(x)=Aexp(Bx) */
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define NUMBER_OF_DATA 5
int main()
{
struct element {
float x;
float y;
} data[(int)NUMBER_OF_DATA] = {
{0.28, 0.001},
{1.0, 0.004},
{1.5, 0.012},
{2.0, 0.033},
{2.2, 0.050}
};
int i, n;
float sum1, sum2, mx, my, a, b;
char d;
n = (int)NUMBER_OF_DATA;
sum1 = sum2 = mx = my = 0;
for(i=0; i<n; i++) {
data[i].y = log(data[i].y);
sum1 += data[i].x * data[i].y;
sum2 += data[i].x * data[i].x;
mx += data[i].x;
my += data[i].y;
}
sum1 /= n;
sum2 /= n;
mx /= n;
my /= n;
a= (sum2 * my - sum1 * mx) / (sum2 - mx * mx);
a = exp(a);
b= (sum1 - my * mx) / (sum2 - mx * mx);
printf("y=Aexp(Bx)\n");
printf("A=%e, B=%e\n",a, b);
d=getchar();
}
実行結果問題 2（5 点） Table Q2 のデータによる式，𝑦 = 𝐴𝑒𝐵𝑥を最小 2 乗法で求めよ．またエクセルで散布図のグラフ を作成せよ．グラフには Table Q2 のデータのプロット点と求めた式による曲線を合わせて表示 すること（例 Fig. 2）．曲線は
