INVARIANT POLYNOMALS WITH THREE MATRIX ARGUMENTS, EXTENDING THE POLYNOMIALS WITH LOWER NUMBERS OF MATRIX ARGUMENTS-香川大学学術情報リポジトリ

−37−

INVARIANTPOIXNOMALSWITH

THREEMATRIXARGUMENTS，

EXTENDINGTHE POIXNOMIALS

WITIILOWER NUMBERS OF

MATRIXARGUMENTS

byYasukoCHIKUSE

KagawaUniversity，Takamatsu，Japan Abstr・aCt Wed9fineaclassofinvariantpolynomialsC芸・1ル（Ⅹ，Y，Z）withthree matrix arguments，thr・Oughthe theory of polynomialr・epreSentations of

GD（m，R）。These polynomials，eXtendingthe zonalpolynomials and the

invariantpolynomialswithtwomatrix ar・gumentSduetoA．W．Davis，ar’e

usefulinmultivariatedistributiontheory．Someproperties andrelations

satisfiedbythepolynomialsC；・”ar・eShown・Theinvestigationinthis

paper must be usefulfor・the further’gener’alization to the

polynomialsC言’X2’’埠withanynumberr’matr−ixargumentS，r24・

Key woYds and phYaSeS：Invariant polynomials with three matrix argu−

ments，grOup r・epr・eSentation theory，Laplace transforms，beta−typeinte− grals，incomplete gamma and beta functions，generalized LaguerT■e

polynomials，matricesofdifferentialoper’atOrS．

−こ好一 _{香川大学経済学部 研究年報 24} ノクβイ

1．Introduction

Theinvariant polynomialswith r mxm symmetric matr・ix ar・gu−

mentsXいi＝1，…，r’，r21，havingthepr’OpertyOfinvarianceunder the SimultaneoustransforImations Xi→H’ⅩiH，i＝1，…，r・，forH∈0（m）， （1い1） WhereO（m）isthegroupofmXm orthogonalmatrices，maybedefined thr’Oughthetheoryofgroupr・epreSentations，i息，thetheoryofpolynomial r・epr・eSentationsofGD（m，R），thegT・OupOfmxmrealnonsingularmatrices．．

TheinvarIiant polynomialwith one matr・ix argument，the zonal

polynomial，Cx（Ⅹ），indexedbytheorderedpartitionxofthenonnegative

integer・kintonotmorethanmparts，generateStheuniqueone−dimensional Subspace containedin Vx［Ⅹ］occurrIingin the decomposition Pk［Ⅹ］＝⑳xVx［Ⅹ］intoirr・educibleinvariantsubspacesofPk［Ⅹ］，theclass

Ofhomogeneous polynomials of degree kin the elements of X．These polynomials have been discussed and utilized in the derivation of power

Ser’ies expansions of multivar・iate distr・ibutionsinnormaltheor・yin an

extensiveliterature（seee．．gリConstantine［3］，Herz［8］，James［10］and manyothersintherIeCentliterature）巾 Davis［5］，［6］extendedthezonalpolynomialsanddefinedtheinvariant polynomialsC言・入（Ⅹ，Y）withtwomatriⅩar・gumentS．Thesesatisfythebasic r’elationship

j；（m，C＃（AH，ⅩH）Cl（BH，YH）d＝

＝∑如．AC芸，入（A，B）C；・1（Ⅹ，Y）／C≠（Ⅰ）， （1小2） Wherex，入and￠denoteorderedpartitionsofk，Randf＝k＋Drespectively intonot mor．ethanmparts，and￠e x・＾signifiesthattheirT・educible

uMBERS。FMATRIXARGUMENTS −39一 I theKronecker・pr・Oduct2x⑱2A．oftheirr・educiblereprIeSentationsindexedby 2xand2入u C；，入（Ⅹ，Y）generatestheone−dimensionalsubspacecontained inV芸：孟＝2￠［Ⅹ，Y］occurringinthedecompositionPk，B［Ⅹ，Y］＝Pk［Ⅹ］⑳ P。［Y］＝軌軌⑳。Ⅴ芸・A［Ⅹ，Y］intoirreduciblesubspacesofPk，b［Ⅹ，Y］，the classofhomogeneouspolynomialsofdegr・eeSkandDintheelementsofX andYrespectivelyn Somedifficultyindistributionalpr・Oblemswhichcould

not be solvedin terms of zonalpolynomials have been soIved by these

polynomialsC芸，1小ApplicationsofthepolynomiAIsinmultivariatedistr’ibu− tiontheorIyarefoundinDavis［5］，［6］andChikuse［2］… However，therearestillproblemsunsoIvedbytheC芸・入；theseare（i） thedoublynoncentr・alFdistributionswithunequalcovar・iancematrices，（ii） thedistributionsofSl＋S2andSl＋S2＋S3，WheretheSiareindependent− 1ydistr・ibutedasWm（ni，∑i，ni），i＝1，2，3，and weassumef）2＝n3＝O whenweconsiderSl＋S2＋S3，and（iii）thedistributionsoftherootsof W＝（Sl＋S2）−％so（Sl＋S2）．％，WheretheSiareindependentlydistributed aswm（ni，∑i，ni），i＝0，1，2，andweassumeni＝0，i＝1，2・Theproblems （ii）and（iii）ariseinthemultivariateBehrens−Fisherdiscriminantanalysis andthesedistrIibutionsundermorerestr・ictedassumptionswereder・ivedin termsoftheC芸・入inChikuse［2］リInSection2weshalldefineaclassof invar・iantpolynomialsC㍗（Ⅹ，Y，Z）withthreematrixarguments，eXtend− ingtheC；一入（Ⅹ，Y），andsomeelementarypropertiesandfundamentalr’ela− tionssatisfiedbytheC；・入ルarIeShowninSection3lSection4presents Laplacetransformsandbeta−typeintegrals，andexpansionsforincomplete gammaandbetafunctions．、Gener・alizedLaguerT’epOlynomialswiththree matrixargumentsar・eCOnStrIuCtedinSection5．Someexpansionsar’egiven alongthelinesofDavis［5］inSection6，andfinallySection7presentssome differentialidentitiessatisfiedbytheC；ヤ Thedefinitionandthemostofthepr・OpertiesandrelationsoftheC；，＾・y

香川大学経済学部 研究年報 24

ー40− ノ タβイ

restrictionsonspace，thedetailsontheconstr’uCtionandtheapplicationsin

themultivariatedistributionalproblemsalreadycitedoftheC芸・1・ywillbe presentedin a subsequent paper．We note that someinterestin the polynomialshasbeenshownbypeopleworkinginthefieldofeconometric

theory． Finally we notice that our’COnSider’ation of the invar’iant

polynomialswiththreeargumentmatr・icesm山Stbeusefulforthefurther gener・alizationtothoseC芸’均’ ’杓（Ⅹ1，Ⅹ2，…，Ⅹr）withanynumberr’

matrIixargumentsい

2．Invar・iantPolynomialsWithThreeMatriⅩAr’gumentS

The argumentinDavis［6，Section2］canbedirectly extended for

defining a polynomialIl芸・入ル（Ⅹ，Y，Z）whichisinvariant under the

simultaneoustransformations （2．1） Ⅹ→H′ⅩH，Y→H’YH，Z→H’ZH，H∈0（m）， whereX，Y，Zaremxmcomplexsymmetr・icmatricesandO（m）denotes thegr・OupOfmxmorthogonalmatr’ices… Wesummarizeour．argumentin thefollowing

Let Pk［Ⅹ］and Pk，e，n［Ⅹ，Y，Z］be the classes of homogeneous

polynomialsofdegreekintheelementsofXandofdegreesk，Dandnin

theelementsofX，YandZr・eSpeCtively。Inconnectionwiththetheoryof polynomialrIepreSentationsofGD（m，R），thegroupofmxmrealnonsin− gularmatrices（Boerner・［1，Chapter・5］andJames（unpublishedlecture notes）），We have the decompositionsintoirT・educible subspaces ofthese polynomialclasses，

Pk［Ⅹ］＝㊥xVx［Ⅹ］，PD［Y］＝◎入Ⅴ入［Y］，Pn［Z］＝⑳yVy［Z］，

POLYNOMIALS WITHLOWERNUMBERSOFMATRIXARGUMENTS −4l− Pk，B，n［Ⅹ，Y，Zコ＝Pk［Ⅹ］㊨pD［Y］⑳Pn［Z］ ＝◎〟◎1軌◎。Ⅴ芸ふy［Ⅹ，Y，Z］巾 （2．2） Here，X，入and yareorderedpartitionsofk，Dandnr・eSpeCtivelyintonot morethanmparts，and◎runsoverallorderedpartitionsof2f，f＝k＋D＋ n，indexingtheirTeduciblerepresentations ofGP（m，R）occurringinthe decomposition ofthe Kr・OneCker product2x㊨2入㊤27JOf theirreducible representationsindexedby2x，2入and2ulVx［Ⅹ］，forexample，andV詮≡紬 ［Ⅹ，Y，Z］containexactlyoneone−dimensionalsubspacesgeneratedbythe suitably normalized zonalpolynomialCx（Ⅹ）and r芸・入ル（Ⅹ，Y，Z）re−

spectively”ThedetailsontheconstructionoftheC㍗willbepr・eSentedin

asubsequentpaper．Asnotedsimilar・1yinDavis［6］，arepreSentation2≠

mayoccur・in（2．2）withmultiplicitygr・eater・thanonefor・agivenx，入，

y・Hence，theV；；・Vandthecorrespondingr芸人yar・enOtuniquelydefined

When2≠occur・SWith multiplicity gr−eater’than one for agiven x，入，7／．

Table l

Decompositions of Kronecker products of three irTeducible representa-

tions（Number・Sinparenthesesgivemultiplicitiesand＊indicatesinvar− iantrepresentations） 2f 2〟 2入 2ぴ ◎ 6 2 2 2 6＊（2）51 （3）42 411 33（2）321 2き＊ 8 431 422＊ 8 332 3311（2）3221 24＊

−42− _{香川大学経済学部 研究年報 24} ノクβ〃 TablelshowsthedecompositionsofKr・OneCkerproductsofsomeloworder・ X，入，y With multiplicitiesgivenin par・entheses，following theru1e for determiningtheKr・OneCker・pr・OductsgivenbyRobinson［13，Section3．3］． 上 Cx（AH′ⅩH）C入（BH′YH） Theevaluationofintegralsintheform （nl） Cリ（CH′ZH）dH，Whichalsoyieldsaresolutionofthenon−uniquenessprob−

1emmentionedabove，followsthedirectextensionofDavis［6，Section4］．

TheutilizationoftheargumentsofJames［9，Section4］andSaw［14］1eads totheinvariantpolynomialsC㍗（Ⅹ，Y，Z）”Thesepolynomialsarelinear・ COmbinationsofr；ヤfor￠′＝￠andarIe，△k，e，n−Orthogonal，，andaregenerat− edbythesetofalldistinctpr・Oductsoftr・aCeS （tr・ⅩalYblZClXdl…い）rl（tr・Ⅹa2Yb2ZC2Ⅹdz…）r2。． Oftotaldegr・eeSk，R，nintheelementsofX，Y，Zrespectively，andpr・OVide

Lm，Cx（AH′ⅩH）C入（BH′YH）Cy（CH′ZH）dH

＝∑￠∈x．A．vC㍗（A，B，C）C；，入ル（Ⅹ，Y，Z）／C￠（Ⅰ），（2・3） Wher・e￠∈x・入・Z／SignifiesthattheirT・educibler・epr・eSentationofGR（m， R）indexedby2￠occur・SinthedecompositionoftheKr・OneCkerproduct2x ㊧2Å．㊨2〝． 3・PropertiesoftheC㍗ Wegivethefollowingresults，theproofsofsomeofwhichar・eindicated inDavis［6，Section3］andomittedher・e．．Thr・Oughoutthispaper・，additional

Subscriptsindicating multiplicities，Whenever・r・equired，ar・e Omitted for

POLYNOMIALS WITHLOWERNUMBERSOFMATRIXARGUMENTS 一都− 3．1．Elementar・ C㍗（Ⅹ，Ⅹ，Ⅹ）＝β芸・1ルC￠（Ⅹ）， wheree；ふy＝C；，入ル（I，I，Ⅰ）／C4（Ⅰ）・ def C：，0，0（Ⅹ，Y，Z）＝Cx（Ⅹ）， andcorr・eSpOndingresultsforC‡1・OandC：・0・V f 芸・Y，Z）c；・入（Ⅹ，Y）， andcorT・eSpOndingr・eSultsfor・C；・0・VandC；1ル． C㍗（Ⅹ，I，Ⅰ）＝［C㍗（I，I，I）／Cx（Ⅰ）］Cx（Ⅹ）， andcorrIeSpOndingresultsforC芸・1ル（I，Ⅹ，Ⅰ）andC；・＾・y（Ⅰ，I，Ⅹ）け C；’1ル（Ⅹ，Y，Ⅰ）＝詭計・yチα；’1ル；4c；’入（Ⅹ，Y） （3．1） （3．．2） （3廿3） （3．．4） （3い5）

for a suitable choice oftheαWher・e of＊denotesthe partition o’ignoring multiplicity，andcorr・eSpOndingresultsforC㍗（Ⅹ，I，Z）andC㌣（Ⅰ，Y，Z）； inparticular’， C㍗（Ⅹ，Ⅹ・Ⅰ）＝誌計・ツナα；’…β㌍J（Ⅹ）， （3・・6） wheree；・入＝C；入（Ⅰ，Ⅰ）／Cq（Ⅰ）。 C㍗（Y，Y，Z）＝∑q・。x．1∑拘β；キ㌃≠c㌢（Y，Z）， （3・・7） forasuitablechoiceoftheβり C；・入（Ⅹ，Y）Cy（Z）＝∑拘・．v方；：：・y；4c芸んγ（Ⅹ，Y，Z）， （3小8） for・aSuitablechoice ofthe7T． C芸▼入ル（αⅩ，βY，γZ）＝αkβDγnC芸▼入ル（Ⅹ，Y，Z）・ （3．9）

香川大学経済学部 研究年報 24 ー44− ノクβイ Cx（Ⅹ）C入（Y）Cy（Z）＝∑￠∈x．＾．yげルC；・えル（Ⅹ，Y，Z）・ （3い10） Cx（Ⅹ）C入（Ⅹ）Cy（Ⅹ）＝∑≠・。x．いv∑￠≡￠・（e；ふy）2C￠・（Ⅹ）l（3”11） 3．2．IntegralsoverO（m）．

1（m，C；，入ル（AH，ⅩH，AH′YH，AH′ZH）dH

＝C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）C￠（A）／C￠（Ⅰ）小

Lm，C㍗（A′H′ⅩHA，B，C）dH

＝C㍗（A，A，B，C，）Cx（Ⅹ）／Cx（I）

上（m，C；んり（A′H′ⅩHA，A′H′YHA，C）dH

（3，．12） （3。．13） ＝誌針・リサ∑拘γ；’？；′；￠c㍗（A′A・C）C；’A（Ⅹ，Y），（31・14） for・Suitablydeflnedcoefficientsγ．，（3．．13）and（3．14）givetheothercorT・e− spondingresultsforC芸・＾”（A，B′H′YHB，C）andthelike 3．3 Tr・inomialEx anS10nS． C￠（Ⅹ＋Y＋Z）＝∑抽（拘．入．y） ∑￠・≡￠（f！／k！R！n！）げ・VC㍗（Ⅹ，Y，Z），（3l15） and，inparticular’ Cf（Ⅹ＋Y＋Z）＝∑k．。．n＝f（f！／k！R！n！）Cぎ・R・n（Ⅹ，Y，Z），（3．．16） andasimilarIrIeSultforCl，（Ⅹ＋Y＋Z）isder・ivedintermsofC壬：・1L，1n（Ⅹ，Y，Z）． C；・V（Ⅹ＋Y，Z）＝∑x，＾（q∈x．入） ∑拘（s！／k！P！）β；・；言；Q’c㌢（Ⅹ，Y，Z）， （3．17）

INVARIANTPOLYNOMIALSWITHTHREEMATRIXARGUMENTS，EXTENDINGTHE uMBERS。FMATRIXARGUMENTS −45− andacorr・eSpOndingresultfor・C；’1（Ⅹ，Y＋Z）isobtained，Wheretheβare givenin（3い7）． C㍗（Ⅰ＋A，B，C）／C≠（Ⅰ） ＝∑き＝。∑。（r∈。．入．v，b認㍍c；人り（A，B，C）／Cr（Ⅰ）”（3一18） C芸，入ル（Ⅰ＋A，Ⅰ＋B，C）／C＄（Ⅰ） ＝∑さ＝。∑…＝。∑。，q（｛∈。．d．v，b；：ま：：；；fcr・V（A，B，C）／Cr（Ⅰ）・ （3、．19） ThecorIreSpOndingr・eSultsforC芸・1ル（A，I＋B，C）andthelikefor（3・18）and （3−19）hold． C；・入ル（Ⅰ＋A，Ⅰ＋B，I＋C）／C￠（I）

＝∑き＝0∑…＝0∑F＝0＆3．；fTb；：；：：；fcr’r（A，B，C）／Cr（I）・（3・20）

Pr・00f。（3り17）ispr・OVedfromthatC；ル（Ⅹ＋Y，Z）isthecoefficient of C言，V（A，B）／s！n！C￠（Ⅰ）in j：（m，etr・［AH，（Ⅹ・Y）H＋BH′ZH］dH ＝∑：入ル；4C；人γ（Ⅹ，Y，Z）C；・1ル（A，A，B）／k！D！n！C。（Ⅰ）

＝∑：入ル；￠C㍗（Ⅹ，Y，Z）∑〆∈〟．入∑拘βニキ㌃￠

C㌢（A，B）／k！Q！n！C￠（Ⅰ）・（U／（317）） （3い18）−（3。20）arIeShownbyasimilarmethodtoDavis［5，Eq。（6・、6）］

香川大学経済学部 研究年報 24 Jクβイ −46−

4．Completeandincompletegammaandbeta−typeintegTals

Weshallshowsever・alLaplacetr・anSformsandbeta−typeintegr’als of theC；・””Incompletegammaandbetafunctionsarealsoestablished・ 1ace Transforms． 4．1．La

上，。etr（−WR）lRla￣pC；・入ル（AR，BR，CR）dR

＝rm（a，＄）EWl−aC芸・1ル（AW−1，BW−1，CW−1），（4…1） andinparticular EvC；・1ル （Ⅴ′AV，Ⅴ′BV，Ⅴ′CV）

＝2f（％n）￠C；・1ル（W，AW，W，BW，W，CW），

WhereVV′∼Wm（n，∑）andWW’＝∑，andp＝（m＋1）／2

1，。etr・（−WR）lRla−pC芸人y（ARA′，B，C）dR

＝rm（a，X）EWraC；・入ル（AW−1A′，B，C）

1，。etr（−WR）肝pC；，＾・P（AR−1，BR￣1，CR￣1）dR

＝Ilm（a，−i）lWF￣aC；ふy（AW，BW，CW）， where rm（a，−￠）＝（−1）f rm（a）／（−a＋p）￠

L，。

etr（−WR）lRla￣pC；・入ル（AR￣1A，，B，C）dR （4．2） （4“3） （4い4） （4．．5） ＝rm（a，−X）lWE．aC；▼1ル（AWA′，B，C）u （4”6） proof．．TheseLaplacetransformsareconsequencesof（2。3）… Useismade

INVARIANTPOLYNOMIALSWITHTHREEMATRIXARGUMENTS，EXTENDINGTHE

POLYNOMIALS

WITH LOWER NUMBERS OFMATRIX ARGUMENTS

ofConstantine［4，Eq．（10）］asforthepr・00fof（4．4）and（4．．6）” −47− 4．2．Beta−t LILIISla−P］Tlb．pEIpS−TEC￣pC㍗（S，T・I−S−T）dSdT O＜S＋T＜l ＝Ilm（a，X）Ilm（b，入）rm（c，y）［Ilm（a＋b＋c，4）］−1e；・入ルC≠（Ⅰ）・ （4．．7） LIlILIISla−pLT［b￣plUICII−S−TqUld−p O＜S＋T＋U＜I C㍗（S，T，U）dSdTdU＝Ilm（a，X）Ilm（b，入） rm（c，U）rm（d）e芸・1ルC￠（I）／rlm（a＋b＋c＋d，＄）

LIISla，plトSFb￣pC；・入ル（AS，BS，CS）dS

＝rm（a，￠）rm（b）［rm（a＋b，4）］．1c芸・入ル（A，B，C）

LrlSla￣plI−SEb￣pC芸，入′y（ASA′，B，C）dS

＝rm（a，X）Ilm（b）［rm（a十b，X）］￣1c芸・1ル（AA，，B，C）

LrJS［aLplI−Slb−pC芸・入・y（AS，1，BS￣1，CS￣1）dS

＝Ilm（a，一￠）rm（b）［rm（a＋b，−4）］，1c；ふy（A，B，C）・

LIJSEa￣plI−Slb，pC芸・入ル（AS￣1A′，B，C）dS

＝rlm（a，−X）rm（b）r。（a＋b，−X）］，1c芸・入ル（AA′，B，C） ProofToprIOVe（4．7）wefir・SteValuate

r＝L，。L，。L，。etr−（Ⅹ＋Y十Z）lXla−plY門ZIC￣p

C㍗（Ⅹ，Y，Z）dXdYdZ・ （4．8） （4．9） （4．10） （4…11） （4．．12） （4“13）

香川大学経済学部 研究年報 24

ー亜− Jクβ〃

Making the transformations R＝Ⅹ＋Y＋Z，S＝R−1／2ⅩR−1／2， T＝R￣1／2YR￣1／2 andusing（4い1）gives （4．．14） r＝rm（a＋b＋c，￠）A， whereAisthelefthandsideof（47）“Now，ingeneral，WeCanShowby using（2．．3）and（4．3）that

L，。L，。L，。etr−（AX＋BY・CZ）IXFa−plYlb−plzIC−p

C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）dXdYdZ＝rm（a，X）rm（b，入）rm（c，U） ［EAlalBlblCEC］−1c㍗（A，1，B￣1，C−1）， 1eadingto Il＝rm（a，X）rm（b，入）Ilm（c，y）e芸・”c￠（Ⅰ） （4．14）and（4ユ5）establishtherequir・edresult（4．7）。 （4．8）isshownbyevaluatingtheintegr・alfor・m （4‖15）

L，。L，。L，。L，。etr・−（Ⅹ＋Y・Z＋Ⅴ）JX門Ylb−plZrC−PlVld￣p

C；んy（Ⅹ，Y，Z）dXdYdZdV，

making the transformations R＝Ⅹ＋Y＋Z＋Ⅴ，S＝R−％ⅩR−％，

T＝R−％YR−％，U＝R−％zR−％ （4．9）and（4．10）areprovedusing（2．3）andConstantine［3，Eq。（22）］． （4巾11）and（4．12）areestablishedbyusing（23）andKhatri［11，Eq小（17）］い leteGamma Functions． 4．3．Incom 1Ⅹetr・（−CR）lRla−pCx（AR）C入（BR）dR ＝r。（p）lXla∑芸。∑y；拘．いyrm（a，￠）β；んy

INVARIANTPOLYNOMIALSWITHTHREEMATRrXARGUMENTS，EXTENDINGTHE POLYNOMIALS

−49−

WITH LOWERNUMBERSOFMATRIX ARGUMENTS

［n！Ilm（a＋p，4）］￣1c；，＾・V（AX，BX，PCX）” （4l16）

LXetr（−CR）lRLa￣pC；，入（AR，BR）dR

＝rm（p）lXla∑芸。∑y；拘・．リrm（a，￠）方言うル；げ

［n！Ilm（a＋p，i）］￣1c㍗（AX，BX，−CX）・ （4小17）

4．4．Incom 1ete Beta Functions．

LXJSJa−pJI−CSJb￣pCx（AS）CA（BS）dS ＝Ilm（p）lXLa∑芸。∑v；≠∈x．＾．リrm（a，￠）（p−b）ye；・入・y ［n！rm（a＋p，i）］￣1c芸・入ル（AX，BX，CX）u （41・18）

LXLSla￣pII−CSLb−pC；・入（AS，BS）dS

＝rm（洲Ⅹla∑芸。∑y；担・．リrm（a，￠）（p一札花；；：ル；￠ ［n！Ilm（a＋p，＄）］■1c芸，入ル（AX，BX，CX）・ （4”19）

LXISEa−pC芸・”（AS，BS，CS）dS

＝rm（p）Ilm（a，4）［rm（a＋p，i）］￣1IXla C芸・入ル（AX，BX，CX）1・ （4。．20）

LXISla￣pC㌣（ASA′，B，C）dS

＝rm（p）rm（a，X）［rlm（a＋p，X）］￣11ⅩLaC言・1ル（AXA′，B，C）u （4．21） Proof．（4。18）and（4い19）ar・eShownasextensionsofDavis［5，Eq．（3．3）］．（4． 20）and（4．21）ar・eprOVedbyapplyingConstantine［3，Eq“（22）］，withthe useof（3…12）and（2り3）r・eSpeCtively．

一甜− _{香川大学経済学部 研究年報 24 ノクgす} 5・Gener−alizedLaguer・repOlynomialswiththr・eematrixar・gumentS Wesha11showsomegeneralizationsofLaguerTIepOlynomials，having thr・eematrixarguments，alongthelinesofDavis［5］ 5．1．DefinitionI． Define

Lヒ㍊；。（Ⅹ，Y・Z）＝etr・（Ⅹ＋Y・Z）L，。L，。L，。etr・（−R−S−T）

rRltlSluETIWc芸ふγ（R，S，T）At（RX）A。（SY） Aw（TZ）dRdSdT， Wher・eA．istheBesselfunctionofHer・Z［8］ （5＝1） 1acetr・anSform．

L，。L，。L，。etr（pRX−SY−TZ）FRltISFuFTIW

L霊∴（R，S，T）dRdSdT＝Ilm（t＋p，X）rlm（u＋p，入） rm（w＋p，U）lxl十pJYl￣u−pJZl−W，p C芸・入ル（トⅩ￣1，トY￣1，トZ￣1） _{（5．．2）} Serial ex r■eSSlOn． L霊TL ；￠ （R，S，T）＝（t＋p）x（u＋p）1（w＋p），C4（Ⅰ）

∑さ＝。∑…＝。∑ご＝。∑仰；∈（−1）ー＋s＋tbニニ；ご≠ぎ

Cr’r（R，S，T）／（t＋p）。（u＋p）6（w＋p）−CE（Ⅰ），（5い3） Wher・ethebaregivenby（3L．20）．．

POLYNOMIALS WITHLOWERNUMBERSOFMATRIXARGUMENTS 一丘ヱー Generatin function．

j；（m，etr（−ⅩH′R（トR）￣1H

lI−Rl十plI−Sl，u￣plITTrW，p −YH′S（トS）￣1H−ZH′T（I−T）．1H〉dH ＝∑；入ル；￠L：TL；￠ （Ⅹ，Y，Z）C㍗（R，S，T） ／k！β！n！C≠（Ⅰ）ハ ArelationwithKhatri，spolynomial（SeeKhatri［12］）is （5．4）

Lm，L：（HAH，，Ⅹ）L；（HBH′，Y）L；（HCH，，Z）dH

＝∑￠∈x．入．v C㍗（Ⅹ，Y，Z）L：TL；4（A，B，C）／C￠（Ⅰ）・（5t・5） 5．2．DefinitionII． Define Ln，U；￠（Ⅹ，Y，Z）＝etr（Ⅹ＋Y）

上，。L，。etr・（−R−S）lRltlSluC芸んγ（R，S・Z）

At（RX）A。（SY）dRdSn lace tr・anSform． （5．、6）

上，。L，。etr（TRX−SY）lRltlSluL㌫再（R，S・Z）dRdS

＝rm（t＋p，X）rm（u＋p，入）LXl十pEYL−u，p C；・入ル（トⅩ￣1，トY￣1，Z）・ （5‖7） Serial ex reSSlOn． Ln，V；4（R，S，T）＝（t＋p）N（u＋p）入C4（Ⅰ）

ー52− _{香川大学経済学部 研究年報 24} ノクβイ

∑㌘＝。∑…＝。∑p，嗅∈p．…）（−1）汗s

b認㍍c言・q・V（R，S，T）／（t＋p）。（u＋p）qCE（I）， Wher・ethebaregivenby（3．ユ9）．， （5，．8） Generatin function． lI−Rrt−prトSI−u−pL（m） etr・（−ⅩH′R（I−R）￣1H−YH′S（I−R）￣1H）etr・（Z）dH ＝∑；入ル；￠Lnル；。 （Ⅹ，Y，Z）C；・入ル（R，S，Ⅰ）／k！D！n！C≠（I） 5．3．DefinitionIII． （5岬9） Define L：，…（Ⅹ，Y，Z）＝etr・（Ⅹ）上，。etr（−R）JRlt C芸・入ル（R，Y，Z）At（RX）dR lace tr・anSform． （510）

上，。etr（−RX）lRltL：…（R，Y，Z）dR

＝Ilm（t＋p，X）FXl−t￣pC；，＾・V（Ⅰ−Ⅹ￣1，Y，Z）一 （5．11） SerIialex r■eSSlOn． L：，Aル；4（R，S，T）＝（t＋p）xC￠（Ⅰ）∑さ＝。∑。（狗．入．p， （−1）rb；：ま：：‡fc；んy（R，S，T）／（t＋p）。CE（Ⅰ）， Wherethebaregivenby（3．18）巾 （5．12）

POLYNOMIALS WITH LOWERNUMBERSOFMATRIXARGUMENTS −ゑヲー Gener・atin function．

LI−Rl−t￣pj；（m，etr（−ⅩH′R（I−R）￣1H）etr（Y・Z）dH

＝∑：1ル；4L：，入ル；￠（Ⅹ，Y，Z）C芸，入ル（R，Ⅰ，Ⅰ）／k！D！n！C≠（Ⅰ）い （51・13） TheaboveLaguerr・epOlynomialshavetheorthogonalitypr’Operty小

6．Someotherexpansions

Thefollowingexpansions ar・eder・ived alongthelines ofDavis［5，

Section6］．，Multiplyingthebothsidesof etr（AH′ⅩH＋BH，YH＋CH′ZH）dH ＝∑：入ル；￠C；・1ル（A，B，C）C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／k！D！n！C￠（I）， byetr（−Ⅹ），etr（−Ⅹ−Y）andetr（−Ⅹ−Y−Z），WeObtain etr（−Ⅹ）∑：入ル；。C㍗（A，B，C）C；んy（Ⅹ，Y，Z）／k！P！n！C￠（Ⅰ） ＝∑：入ル；￠C；・1ル（A−Ⅰ，B，C）C㍗（Ⅹ，Y，Z） ／k！ゼ！n！C￠（Ⅰ）， etr（−Ⅹ−Y）∑：入ル；4C芸・入ル（A，B，C）C芸人y（Ⅹ，Y，Z） ／k！R！n！C￠（Ⅰ）＝∑；入ル；4C㍗（A−Ⅰ，B−Ⅰ，C） C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／k！R！n！C4（I）， （6小1小1） （6．1い2） etr・（一Ⅹ−Y−Z）∑；入ル；￠C芸・1ル（A，B，C）C；，入ル（Ⅹ，Y，Z）／ k！D！n！C4（I）＝∑：入ル；￠C；ふy（A−Ⅰ，B−Ⅰ，C−Ⅰ） C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／k！D！n！C≠（Ⅰ）Lr （6．1…3）

香川大学経済学部 研究年報 24 ノクβイ ー54一

These yield the following

II＋ⅩE−a∑：入ル；4（a）。C；・入ル （A，B，C）C㍗（Ⅹ（Ⅰ＋Ⅹ）￣1， Y（I＋Y）−1，Z（Ⅰ＋Z）￣1）／k！D！n！C￠（Ⅰ） ＝∑；ぇル；￠（a）￠C言・入・V（A−Ⅰ，B，C） C㍗（Ⅹ，Y，Z）／k！D！n！C4（Ⅰ）， lI＋Ⅹ＋Yra∑；入ル；≠（a）￠C；・入ル（A，B，C） （6小2、．1） C；・入ル（Ⅹ（Ⅰ＋Ⅹ＋Y）￣1，Y（Ⅰ＋Ⅹ＋Y）−1，Z（Ⅰ＋Ⅹ＋Y）−1） ／k！D！n！C￠（I）＝∑；1ル；4（a）≠C；・＾・V（A−I，B−Ⅰ，C） C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／k！D！n！C￠（Ⅰ）， EI＋Ⅹ＋Y＋ZE．a∑：1ル；￠（a）￠C；・入′y（A，B，C） C；一入，y（Ⅹ（Ⅰ＋Ⅹ＋Y＋Z），1，Y（I＋Ⅹ＋Y＋Z）．1， Z（Ⅰ＋Ⅹ＋Y＋Z）￣1）／k！D！n！C￠（I） ＝∑：入ル；￠（a）￠C芸・入ル（A−Ⅰ，B−Ⅰ，C−I） C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／k！R！n！C￠（Ⅰ）・ AIso，WeCanderive （6い2小2） （6小2．．3） 上 etr・（AH′ⅩH＋CH’ZH）oFl（u；BH′YH）dH etr・（−Ⅹ） （m） ＝∑：1ル；≠C；・1ル（A−Ⅰ，B，C）C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／ k！ゼ！n！（u）入C￠（Ⅰ）， （6ハ3、．1） etr（AH′ⅩH＋BH′YH）oFl（w；CH′ZH）dH etr・（−Ⅹ−Y）

INVARIANTPOLYNOMIALSWITHTHREEMATRIXARGUMENTS，EXTENDINGTHE POLYNOMIALS

WITH LOWER NUMBERS OF MATRIX ARGUMENTS

＝∑；入，V；￠C芸・入ル（A−Ⅰ，B−Ⅰ，C）C芸・入ル（Ⅹ，Y，Z）／ k！D！n！（w）リC≠（Ⅰ）， 一点ダー （6．3い2） 上 etr（AH，ⅩH＋BH′YH＋CH′ZH）dH etr（−Ⅹ−Y−Z） （nl） ＝∑；1ル；￠C；・入ル（A−Ⅰ，B−Ⅰ，C−Ⅰ）C㍗（Ⅹ，Y，Z）／ k！彪！n！C￠（Ⅰ）， （6∩3リ3）

etr（−Ⅹ，−Y−Z）j；（m，。Fl（t；AH′ⅩH）。Fl（u；BH，YH）

。Fl（w；CH′ZH）dH＝∑；ん〝；￠（−1）f L㌶：−p，W￣p （A，B，C） C；・1ル（Ⅹ，Y，Z）／k！R！n！（t）x（u）A（w）vC￠（Ⅰ） （6．3．4） Thefollowingidentitieshold： ∑：入，y；。（a）。e芸人yc；んy（Ⅹ，Y，Z）／k！R！n！ ＝lI＋Wl￣a∑：入ル；。（a）￠e芸・入ルC㍗（（Ⅹ＋W）（Ⅰ＋W）￣1， Y（I＋W）−1，Z（Ⅰ＋W）．1）／k！D！n！， （6い4“1） ∑：1ル；￠（a）￠e；んyc；・入ル（Ⅹ，Y，Z）／k！R！n！（u）＾（w）v ＝け＋叫￣a∑：入ル；￠（a）≠げル C㍗（（Ⅹ＋W）（Ⅰ＋W），1，Y（Ⅰ＋W）￣1， Z（I＋W）−1）／k！R！n！（u）＾（w）y （6l41・2） 7．Someusefuldifferentialidentities Wesha11derIivesomedifferentialidentitiessatisfiedbytheC；入・y；the

−5β− 香川大学経済学部 研究年報 24 ノク♂イ COrT’espondingresultsforthezonalpolynomialsar・eObtainedbyFujikoshi ［7］．Puttinga＝％n，A＝（2／n）I，B＝（2／n）Y，C＝（2／n）Z，W＝Ⅹ−1in（4‖1） yieldsthat

［rm（％n）Lxr％n］−1上，。etr・（−Ⅹ一1R）lRF％n−p（2／n）f

C芸，＾，V（R，YR，ZR）dR＝（2／n）f（n／2）。C㍗（Ⅹ，YX，ZX） ＝［1＋（1／n）al（≠）＋（1／6n2）（3aェ（￠）2−a2（4）＋f〉 ＋0（n￣3）］C芸・1ル（Ⅹ，YX，ZX） ＝［1＋（1／n）tr（Ⅹ∂）2＋（1／6n2）（3（tr（Ⅹ∂）2）2＋8tr・（Ⅹ∂）3） ＋0（n￣3）］C；・＾TV（∑，Y∑，Z∑）F∑＝Ⅹ _（7．1） Her’e，aユ（￠）＝∑ご＝1fq（fq−α）， a2（￠）＝∑ご＝1fα（成一6αfa＋3α2）for・thepartition￠＝（fl，f2，…，fm）， ∂＝（∂ij），With∂jj＝％（1＋6jj）∂／ao・jj and∑＝（opjj），is the matrix of

differentialoperatorIS，andthelastidentityin（7。1）is obtained fromthe Taylor series expansion method（e…gり Sugiura and Fujikoshi［15］）…

Comparingthecoefficientsofthetermsl／nandl／n2in（7一1）gives al（≠）C；・＾・y（Ⅹ，YX，ZX） ＝tr・（Ⅹ∂）2C芸・1ル（∑，Y∑，Z∑）l∑。X， 〈3al（￠）2−a2（￠）＋f）C；・1ル（Ⅹ，YX，ZX） （7、．2…1） ＝〈3（tr（Ⅹ∂）2）2＋8tr（Ⅹ∂）3）C；ふy（∑，Y∑，Z∑）【∑＝Ⅹ （7．2…2） Simi1arIlyfr・Om（43），WeObtain al（￠）C；・1ル（Ⅹ，Y，Z）＝tr（Ⅹ∂）2C；人y（∑，Y，Z）l∑＝Ⅹ，（7．3．．1） （3al（x）2∼a2（x）＋k〉C㍗（Ⅹ，Y，Z）

uMBERS。FMATRIXARGUMENTS −57T ＝〈3（trI（Ⅹ∂）2）2＋8tr・（Ⅹ∂）3）C芸・1ル（∑，Y，Z）E∑＝Ⅹ1・（7・3・2） ThecorT・eSpOndingr・eSultsfor・∑＝Yand∑＝Zfor（7．2）and（7…3）hold．

（7…3）1eads to the following simultaneous differ・entialidentities，

With∂。＝（∂D，ij）with∂R，i5＝％（1＋6i5）∂／∂qQ，ij，∑D＝（0’c，ij），D＝1，2，3： al（x）al（入）C芸，入ル（Ⅹ，Y，Z） ＝tr（Ⅹ∂l）2tr（Y∂岳）2C芸んり（∑1，∑2，Z）l∑1＝Ⅹ，∑2＝Y，， （7．4、1） al（x）〈3al（入）2−a2（入）＋D）C；・入ル（Ⅹ，Y，Z）＝tr（Ⅹ∂1）2 〈3（tr（Y∂2）2）2＋8tr（Ya2）3）C㍗（∑1，∑2，Z）l∑．＝X，∑2＝Y，（7・4…2） and al（x）al（入）al（u）CX・＾・V（Ⅹ，Y，Z） ＝tr（Ⅹ∂1）2trI（Y∂2）2tr（Z∂，）2 C；・入ル（∑1，∑2，∑さ）l∑．＝X，∑2＝，，∑3＝Z， al（x）al（入）〈3al（v）2Ta2（v）＋n）C芸・入ル（Ⅹ，Y，Z） ＝tr（Ⅹ∂1）2tr（Ya2）2（3（tr（Z∂3）2）2＋8tr（Z亀）3） C㍗（∑1，∑2，∑3）】∑．＝X，∑2＝，，∑き＝Z・ （7‖5い1） （7い5い2）

The other possible results corr・eSpOnding to（7．4）and（7い5）are readily

obtained．

Acknowledgment

Theauthorwouldliketoexpresshersincer・ethankstoDr。A．WnDavis

香川大学経済学部 研究年報 24 ーお− ノ夕β〃 Valuablediscussionsontheproblems． References ［1］BOERNER，H．（1963）．R砂YeSenhltions qf Gnt4）S巾 North−Holland， Amsterdam．

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