JAIST Repository: Ｇ．Ｖ．Ａにおける架空名義入札の効用

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Title

Ｇ．Ｖ．Ａにおける架空名義入札の効用

Author(s)

面, 和成; 東条, 敏; 宮地, 充子

Citation

Research report (School of Information Science,

Japan Advanced Institute of Science and

Technology), IS-RR-2001-020: 1-22

Issue Date

2001-08-20

Type

Technical Report

Text version

publisher

URL

http://hdl.handle.net/10119/8392

Rights

Description

リサーチレポート（北陸先端科学技術大学院大学情報

G.V.A.に

お け る 架 空 名 義 入 札 の 効 用

面 和 成 東 条 敏 宮 地 充 子 2001年8月20日 IS-RR-2001-020 北 陸 先 端 科 学 技 術 大 学 院 大 学 情 報 科 学 研 究 科 〒923-12石 川 県 能 美 郡 辰 口 町 旭 台1-1 0KazumasaOmote,2001

要 旨

オ ー ク シ ョ ン に は 様 々 な タ イ プ が 存 在 す る が,本 論 文 で は,Vickreyオ ー ク シ ョ ン を 一 般 化 し たG _{.V.A.(GeneralizedVickreyAuction)に タ ー ゲ ッ トを 絞 っ て 考 察 す る.} 前 半 で は,G.V.A.に 対 す る 架 空 名 義 入 札 の 有 効 性 に つ い て レ ビ ュ ー を 行 う[1,2]. 架 空 名 義 入 札 と は,各 入 札 者 が1度 しか 入 札 し な い オ ー ク シ ョ ン に 対 し て,入 札 者 が 架 空 名 義 を 使 っ て 複 数 入 札 を 行 う こ と で あ る.後 半 で は,次 の3点 に つ い て 考 察 を 行 う. ・ 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トのG.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で あ る こ と を 示 す.

・ 架空 名 義 入札 に よって落札 価 格 が どの ような条 件 で最 大 で ど こ まで 下 が る

のか?

・ 架 空 名 義 入 札 を最 初 か ら許 し た 場 合,G.V.A.は オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル と し て ど う な る の か?

1は

じ め に

オ ー ク シ ョ ン とい え ば,古 くは 美 術 品 や 骨 董 品 を 取 り引 きす る た め の 手 段 と い う イ メ0ジ を 持 っ て い る 人 が 多 か っ た が,最 近 で は イ ン タ ー ネ ッ トを 用 い て 行 わ れ て い る ヤ フ ー オ ー ク シ ョ ン を 思 い 浮 か べ る 人 が 多 い の で は な か ろ う か.し か し,実 は オ ー ク シ ョ ン と い う 取 引 形 態 は,経 済 活 動 の い た る と こ ろ で 見 か け ら れ る も の で あ る.中 古 ゲ0ム ソ フ トの 販 売 や 古 本 屋 も オ ー ク シ ョ ン の 一 種 と考 え ら れ る. 実 際,オ ー ク シ ョ ン の 種 類 に は ヤ フ ー オ ー ク シ ョ ン で 用 い ら れ て い る つ り上 げ 式 オ ー ク シ ョ ン(Englishオ ー ク シ ョ ン)が 代 表 的 で あ る.し か し,古 本 屋 の よ う に 売 れ な い 本 の 値 段 を 徐 々 に 下 げ て い くス タ イ ル は,ま さ に つ り下 げ 式 オ ー ク シ ョ ン (Dutchオ ー ク シ ヨ ン)と 捉 え る こ とが で き る.さ ら に,日 本 の 建 設 関 係 で 行 わ れ る 入 札 は,一 般 にFirst-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン と 呼 ば れ て い る.こ の 他 に も世 界 に は 様 々 な オ ー ク シ ョ ン ス タ イ ル が 存 在 す る が,よ く知 ら れ て い る 代 表 的 な オ ー ク シ ョ ン は 上 記 の3タ イ プ で あ ろ う. 一 方 ,オ ー ク シ ョ ン は 経 済 学 的 観 点 か ら も よ く研 究 も さ れ て い る.オ ー ク シ ョ ン は 競 売 と も言 わ れ,他 人 と争 う こ と に よ っ て 取 引 を行 う の で,ゲ ー ム 理 論 の 応 用 と して も研 究 が な さ れ て い る.オ ー ク シ ョ ン に 関 す る 研 究 と して 最 も注 目 に 値 す る も の は,1961年 のW.Vickreyに よ る も の で あ ろ う.彼 はFirst-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン の プ ロ ト コ ル を 改 良 し て,Second-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン(Vickrey オ ー ク シ ョ ン)を 発 明 し て ノ ー ベ ル 経 済 学 賞 を 獲 得 し た.こ の オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル の 優 れ た 点 は,入 札 者 に と っ て 最 適 戦 略 が 存 在 す る こ と で あ る.最 適 戦 略 が 存 在 す る と い う こ と は,各 入 札 者 が 自 分 の 希 望 価 格 を 下 げ て も 無 駄 で あ る こ と を 意 味 す る. そ の 後,さ ら に オ0ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル の 設 計 が 人 工 知 能 や 経 済 学 の 一 分 野 と し て 活 発 に 行 わ れ て き た.そ し て,1995年,H.Varianは 新 し い オ0ク シ ョ ン プ ロ トコ ル で あ るG.V.A.(GeneralizedVickreyAuction)プ ロ トコ ル を 発 明 し た[4]. Vickreyオ ー ク シ ョ ン が 単 一 財 に 対 し て し か 扱 え な い プ ロ ト コ ル で あ っ た の に 対 し, G.V.A.はVickreyオ ー ク シ ョ ン の 優 れ た 点 を そ の ま ま 引 き継 い で 複 数 財 も扱 え る よ う に な っ た プ ロ トコ ル と し て 注 目 を 浴 び た.つ ま り,G.V.A.も 入 札 者 の 最 適 戦 略 が 存 在 す る プ ロ トコ ル で あ る と 考 え ら れ て い た. し か し な が ら,1999年 に 桜 井 ら は,架 空 名 義 入 札 の 存 在 に よ っ てG.V.A.が 入 札 者 の 最 適 な 戦 略 を 持 た な い 場 合 が あ る こ と を 指 摘 し た[1,2].架 空 名 義 入 札 と は, 各 入 札 者 が1度 し か 入 札 しな い オ ー ク シ ョ ン に 対 し て,入 札 者 が 架 空 名 義 を 使 っ て 複 数 入 札 を 行 う こ と で あ る.つ ま り,最 適 戦 略 を 持 た な い と い う こ と は,落 札 者

が 架 空 名 義 入 札 に よ っ て 自 分 の 落 札 価 格 を 下 げ れ る 可 能 性 を 持 つ(こ れ は 架 空 名 義 入 札 に対 し て ロ バ ス トネ ス で な い こ と を 意 味 す る).も ち ろ ん,Vickreyオ ー ク シ ョ ン で は 架 空 名 義 入 札 の 存 在 が あ っ て も入 札 者 の 最 適 戦 略 を 失 わ な い.G.V.A.に は, 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.と 複 数 財G.V.A.の2種 類 が あ る.[1]で は,複 数 財 G.V.A.が ロ バ ス トネ ス で な い 反 例 を 挙 げ て い る.つ ま り,彼 ら は 複 数 財G.V.A.に 対 して 架 空 名 義 入 札 が 有 効 で あ る こ と を 示 し た.こ の こ と を 踏 ま え て,本 稿 の 後 半 に お い て 次 の3点 に つ い て 考 察 を 行 っ た. ・ 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で あ る こ と を 示 す.

・架 空 名 義入 札 に よって落札 価 格 が どの よ うな条件 で最 大 で ど こまで 下が る

のか?

・ 架 空 名 義 入 札 を 最 初 か ら許 し た 場 合,G.V.A.は オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル と し て ど う な る の か? 本 稿 の 構 成 は 以 下 の 通 りで あ る.ま ず2章 で は,準 備 と し て 用 語 と代 表 的 な オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル を 説 明 す る.次 に3章 で はVickreyオ ー ク シ ョ ン,4章 で は G.V.A.を そ れ ぞ れ プ ロ トコ ル を 説 明 す る.そ し て,5章 で は 架 空 名 義 入 札 に 対 す る ロ バ ス トネ ス に つ い て 議 論 す る.さ ら に6章 に お い て は 架 空 名 義 入 札 に 関 す る 新 た な 考 察 を 行 い,最 後 に7章 で ま と め た.

2準

備

2.1用 語 説 明 ・ 財:オ ー ク シ ョ ン に よ っ て 取 引 さ れ る 商 品 を 意 味 す る.本 稿 で は,単 一 財, 複 数 ユ ニ ッ トは 複 数 の 同 じ商 品 を 意 味 し,複 数 財 は 異 な る 複 数 の 商 品 を 意 味 す る. ・ 主 催 者:財 を 売 る 人 か ら依 頼 を 受 け て オ0ク シ ョ ン を 開 催 す る 機 関. ・ 入 札 者2(β の:財 の 買 い 手.エ ー ジ ェ ン ト と して も扱 わ れ る. ● 真 の 評 価 値:あ る 財gに 対 す る 真 の 評 価 値 と は,財9を 手 に 入 れ る の に 出 費 して も 良 い 最 大 額 の こ と で あ る. ● 財 に 対 す る 評 価 値(入 札 値)v2(9):入 札 者(β ∂ の 財gに 対 す る 評 価 値 をvz(9) と 表 記 す る.こ れ は,必 ず し も真 の 評 価 値 と 一 致 し な い.

● 効 用:落 札 者 筋 に と っ て の 効 用 はu2=(真 の 評 価 値)一(実 際 の 落 札 値)で あ る. 一 方_{,非 落 札 者 の 効 用 は 財 を得 る こ とが で き な い た め ゼ ロ とす る.あ る 入 札} 者 が 財91に 対 し て 真 の 評 価 値 が$20で あ る と し て,実 際$15で 買 え た とす る と そ の 効 用 は$20-$15=$5で あ る.ま た,効 用 の 増 加 分 を △u≠ 記 す.

・ 戦略:買 い手 の効 用 を最 大化 す る入 札値 の選択 手法.

・ 支配戦 略:他 の買 い手 の どの よ うな戦略 に関 して も最適 な反 応 とな る戦 略.

・ 架空 名義入 札:各 入札 者 が1度

しか入札 しない オー ク シ ョンに対 して,入 札

者が 架空名 義 を使 って複 数入札 を行 うこ と.

● 架 空 名 義 入 札 に 対 す る ロ バ ス トネ ス:あ る 入 札 者 が 架 空 名 義 入 札 を 行 っ た と し て も 自分 の 効 用 を 増 加 で き な い と き,ロ バ ス トネ ス が あ る と い う. 2.2代 表 的 な オ ー ク シ ョ ン プ ロ トコ ル Englishオ ー ク シ ョ ン:こ の タ イ プ は,最 も よ く知 ら れ た タ イ プ で,参 加 者 が 順 々 に 入 札 して 商 品 の 価 格 を つ り上 げ る こ と に よ っ て,商 品 の 最 終 的 な 価 格 が 決 定 さ れ る.し か し,(1)価 格 の 上 昇 の 動 きが 完 全 に オ ー プ ン で あ る こ と か ら 商 品 に 関 す る 市 場 の 情 報 が 筒 抜 け 状 態 と な る,(2)価 格 が 安 定 す る ま で オ ー ク シ ョ ン 期 間 を 設 け る た め 多 く の 時 間 を 要 す る 等 の 問 題 が あ る. Dutchオ ー ク シ ョ ン:こ の タ イ プ は,Englishαuc620η の 逆 で あ り,商 品 の 価 格 を つ り下 げ る こ と に よ っ て 商 品 の 最 終 的 な 価 格 を 決 定 す る.価 格 を 下 降 さ せ て い き,最 初 に 申 し 出 た 入 札 者 が 落 札 者 と な る た め,落 札 値 以 外 の 入 札 値 情 報 を 秘 匿 で き る.し か し,オ ー ク シ ョ ン が 終 了 す る ま で に 多 く の 時 間 を 要 す る と い うEnglishαuc伽 η と 同 様 の 欠 点 が あ る. First-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン:こ の タ イ プ は,日 本 の 建 設 関 係 で よ く用 い ら れ て い る 入 札 の こ と で あ る.参 加 者 は1回 だ け 自 分 の 評 価 値 を 秘 密 に し た ま ま セ ン タ に 提 出 す る.1回 だ け 入 札 値 を 提 出 す る の で,落 札 値 を 決 定 す る ま で 多 くの 時 間 を 要 す る こ と は な い が,決 定 さ れ た 価 格 が 市 場 価 格 に 反 す る 可 能 性 を 持 つ. Vickreyオ ー ク シ ョ ン(Second-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン):こ の タ イ プ は, 入 札 の 方 法 がFirst-pricesealed-bidauctionと 同 じ で あ る が,最 高 値 を 提 示 し た 者 が2番 目 に 大 き な 入 札 値 で 落 札 す る.こ の オ0ク シ ョ ン の 詳 細 説 明 は 次 章 で 行 う.

(M十1)-Stpriceオ ー ク シ ョ ン:こ の タ イ プ は,Vickreyオ ー ク シ ョ ン の 変 形 で あ る.主 催 者 が 同 じM個 の 財 を 各 入 札 者 に1個 ず つ 売 り た い と き こ の オ ー ク シ ョ ン を 用 い る.M人 の 落 札 者 に.M+1番 目 に 高 い 入 札 値 で 売 る オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル で あ る. 3Vickreyオ ー ク シ ョ ン G.V.A.(GeneralizedVickreyAuction)はVickreyオ ー ク シ ョ ン を発 展 させ た オ ー ク シ ョ ン プ ロ トコ ル で あ る の で,ま ずVickreyオ ー ク シ ョ ン に つ い て の 詳 しい 説 明 を 行 う.そ の 際,Vickreyオ ー ク シ ョ ン が 持 つ 経 済 学 的 意 味 も考 え る.Vickreyオ0 ク シ ョ ン は 単 一 財 を 対 象 と し た 第 二 価 格 秘 密 入 札(Second-pricesealed-bidauction) と も呼 ば れ,ノ ー ベ ル 経 済 学 賞 を 受 賞 し たW.Vickreyに よ っ て 提 案 さ れ た も の で あ る[3].各 入 札 者 は 他 者 の 入 札 値 を 知 ら さ れ ず に1回 だ け 入 札 を 行 い,最 も 高 い 入 札 値 を つ け た 入 札 者 が,二 番 目 に 高 い 入 札 値 で 落 札 す る. で は,な ぜVickreyオ ー ク シ ョン が ノ ー ベ ル 経 済 学 賞 を 取 る く ら い に 優 れ た オ ー ク シ ョン プ ロ ト コ ル で あ る の か を例 を用 い て 説 明 す る.こ こ に3人 の 入 札 者{Z31,β2,β3} が 自 動 車 の オ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て お り,自 動 車 会 社 が こ の3人 の 入 札 者 の う ち 最 も高 い 買 値 を 提 示 し た 入 札 者 にBMWを 売 ろ う と し て い る.各 入 札 者 の こ のBMW に 対 す る 真 の 評 価 値 は 以 下 の 通 り で あ る. ●Z31の 入 札 値:930万 円 ● β2の 入 札 値:880万 円 ● β3の 入 札 値840万 円 こ こ で 真 の 評 価 値 と は,損 も 得 も な い 最 高 額 の こ と で あ る.つ ま り,損 得 の 境 界 線 を 意 味 して い る.も し オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル と し てFirst-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン を 用 い た 場 合,各 入 札 者 は こ の 額 よ りい く ら か 減 ら し た 評 価 値 で 入 札 し て く る で あ ろ う.し か し,こ れ に は 若 干 の 問 題 が あ る.こ の 方 法 を 用 い た 場 合,入 札 者 に と っ て 入 札 値 を ど う 設 定 す る か が 難 し い 問 題 と な る.実 際,各 入 札 者 は 真 の 評 価 値 を そ の ま ま 入 札 値 に す る わ け に は い か な い.な ぜ な ら,こ の 選 択 は 最 も 悪 い 選 択 で あ り,BMWは も ら え る も の の 損 得 は ゼ ロ と な る か ら で あ る.各 入 札 者 は 少 し で も入 札 値 を 安 く し て 得 を し た い が,BMWを 買 え な け れ ば 意 味 が な い.こ の 場 合, 入 札 者 に と っ て 他 人 の 入 札 値 を な る べ く正 し く推 定 す る こ とが 非 常 に 重 要 な 課 題 と な り,い か に して 他 人 の 入 札 値 を 盗 む か に 力 が 注 が れ る で あ ろ う.も し偽 り の 情 報

1 に 踊 ら さ れ て β1が 安 く入 札 値 を 設 定 し た り す る と,代 わ り に β2が 落 札 す る か も し れ な い.も し そ う な れ ば,β1が 本 来 β2よ り も 高 い 額 で 落 札 で き た は ず な の に 落 札 に失 敗 す る こ と に な り,自 動 車 会 社 に と っ て も損 失 と な る.で は,実 際 こ の よ う な 事 態 を 防 ぐ こ と が で き る の で あ ろ う か? 実 は,用 い る オ ー ク シ ョ ン をFirst-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン か らVickreyオ ー ク シ ョ ン に 変 更 す る こ と に よ っ て,こ の 事 態 を 防 ぐ こ とが 可 能 で あ る.こ の プ ロ ト コ ル を 用 い る と,各 入 札 者 が 真 の 評 価 値 で 入 札 し た と し て も,β1が880万 円 で 落 札 す る こ と に な る(50万 円 の 得 を す る).こ の 方 法 を 取 っ た 場 合,他 者 の 入 札 値 を 察 知 す る こ と に 意 味 が な い こ と は 明 ら か で あ る.落 札 し た 場 合 の 自分 が 支 払 う 金 額 は 他 者 の 入 札 値 に よ っ て 決 定 さ れ る.そ し て,自 分 の 入 札 値 は 自 分 の 落 札 値 を 意 味 す る も の で は な く,自 分 が 落 札 者 に な れ る か な れ な い か の 判 断 基 準 で しか な い. こ の オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル の 優 れ た 点 は,各 入 札 者 が 真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ と が 最 適 な 戦 略 と な る こ とで あ る.つ ま り,First-pricesealed-bidオ0ク シ ョ ン で は,各 入 札 者 が 真 の 評 価 値 よ り も主 観 的 に 計 算 さ れ た 分 を 減 ら す こ と に な る が, Vickreyオ ー ク シ ョ ン で は,各 入 札 者 は 自分 の 真 の 評 価 値 で 入 札 す る.入 札 す る の に 最 適 戦 略 が あ る と い う こ と は,各 入 札 者 が 自 分 の 入 札 値 を 下 げ て も 無 駄 で あ る こ と を 意 味 す る.つ ま り,Vickreyオ ー ク シ ョ ン は 次 に 示 す 誘 因 両 立 性 を 満 た す. ・ 誘 因 両 立 性:誘 因 両 立 性 を 満 た す と は,真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ と が 支 配 戦 略 と な る こ と を 意 味 す る.前 例 のBMWの 例 を 用 い る と,3人 の 入 札 者 {β1,β2,β3}がFirst-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て お り,各 入 札 者 が 自 分 の 真 の 評 価 値 で β1:930万 円,β2:880万 円,β3:840万 円 と入 札 し た と す る.こ の 場 合,β1が930万 円 で 落 札 す る が,効 用 は ゼ ロ で あ る.し か し, も し β1が890万 円 で 入 札 し て も 同 様 に 落 札 さ れ,か つ,効 用 を40万 円 に 増 や せ る.こ れ は,真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ と が 支 配 戦 略 に な ら な い こ と を 意 味 す る.つ ま り,First-pricesealed-bidオ ー ク シ ョ ン の 場 合,自 分 の 真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ と が 支 配 戦 略 に な ら な い(誘 因 両 立 性 を 満 た さ な い).こ れ に 反 して,例 え ば3人 の 入 札 者{β1,β2,β3}がVickreyオ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て お り,各 入 札 者 が 同 様 に 自分 の 真 の 評 価 値 で β1:930万 円,β2:880万 円, β3:840万 円 と 入 札 し た と す る.こ の 場 合,β1が880万 円 で 落 札 す る.仮 に β1が 自分 の 評 価 値 を890万 円 ま で 下 げ た と し て も β1は 自 分 の 効 用 を 増 加 で き な い.つ ま り,Vickreyオ ー ク シ ョ ン に お い て,真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ と が 支 配 戦 略 に な る こ と を 意 味 す る(誘 因 両 立 性 を 満 た す). 他 方,も し オ ー ク シ ョ ン プ ロ ト コ ル と し てEnglishオ ー ク シ ョ ン を 用 い た 場 合 を

, 考 え よ う.こ の 場 合,、63が 最 初 に 脱 落 し,次 に β2が(880一 α1)万 円 で 脱 落 す る で あ ろ う(α1蟹0).そ し て,結 果 的 に β1が(880一 α1+α2)賀880万 円 で 落 札 す る こ と に な る(一 α1+α2賀0).つ ま り,Vickreyオ ー ク シ ョ ン の 落 札 値 とEnglishオ ー ク シ ョ ン 落 札 値 が ほ ぼ 同 等 に な る こ と が 理 解 で き る.

4G.V.A.

G.V.A.は,1995年 にH.Varianに よ っ て 考 案 さ れ た プ ロ ト コ ル で あ る.こ れ は, Vickreyオ ー ク シ ョ ン を 発 展 さ せ て お り,価 値 に 依 存 関 係 を 持 つ 複 数 の 財 を 扱 え る [4].Vickreyオ ー ク シ ョ ン に は 入 札 者 の 最 適 戦 略 が 存 在 す る の で,G.V.A.に も 同 様 に 最 適 戦 略 が 存 在 す る と考 え ら れ て い た.G.V.A.は 大 き く分 け て2種 類 あ り,単 一 財 ,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.と 複 数 財G.V.A.が あ る.以 下 に プ ロ ト コ ル の 手 順 を 示 す.た だ し,こ こ に 載 せ て あ る プ ロ トコ ル の 詳 細 は[1,2,4]で 紹 介 さ れ て い る も の と 若 干 異 な っ て い る が,内 容 は 全 く 同 じで あ る. [G.V.A.プ ロ トコ ル] 1.各 入 札 者 は 主 催 者 に 財 の 評 価 値 を 申 告 す る.

2.主 催者 は各入札 者が 申告 した評価 値 の総和 を最大化 す る ように各財 を入札 者

に割 り当 てる.財 を1つ で も割 り当て られた入札 者 は落札者 とな る.こ の と

きの評価 値 の総和 をVと

す る.

3.主 催 者 は 落 札 者 βゴに 以 下 に よ っ て 計 算 さ れ る 支 払 額p3を 伝 え る

p2=巧

一(βゴ

の効 用)

;巧

一(V一

り

巧:落 札 で きた財 に対 す る β3の真 の評価 値 の総和

巧:落 札 者 βフを除 く全 財 に対 す る評価値 の総和 を最大 化す る

評価 値 の総和

上 記 のG.V.A.プ ロ ト コ ル は,Vickreyオ ー ク シ ョ ン に 適 用 で き て い る こ と を 以 下 で 確 か め る.前 例 のBMWの 例 を 用 い て,3人 の 入 札 者 の 真 の 評 価 値 を そ れ ぞ れ β1:930万 円,β2:880万 円,β3:840万 円 と す る と,V=930,Vl=930,Vl=880と な る ・ そ の 結 果,β1の 支 払 額 はpi=930-(930-880)=880と な る.こ れ は,G.V.A. がVickreyオ ー ク シ ョ ン に 適 用 で き る こ と を 示 し て い る ・

また,支 払 額計算 の直 観的意味 を探 る.上 式 の通 り支払 額 は,自 分 が落札 した財

に対 す る評価値 か ら自分 の効 用分 を差 し引 い て求 め られる.こ の とき,こ の効用 は

その入札者 の参加 に よって生 じる経 済学 的 な貢献度 を表 してい る.つ ま り,支 払額

は 自分 の評価 値 か ら自分 の貢献度 を差 し引 くこ とによって求 め らるので,自 分 の落

札 値が他 人 の評 価値 のみ に よって決 め られ るプロ トコルで あ る と意 味付 けで きる.

4.1単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A. 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.は,各 入 札 者 に 同 じ財 を 複 数 個 売 る プ ロ トコ ル で あ る.各 入 札 者 に そ れ ら の 財 を1個 ず つ 売 る の で あ れ ば,(M十1)-stpriceオ ー ク シ ョ ン を 用 い れ ば よ い.単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トの 財 の 性 質 と し て 次 の2種 類 が 考 え ら れ る. ・ 代 替 的(substitutional):複 数 ユ ニ ッ トの 財 が 増 え る に 従 っ て,そ の 価 値 が 同 等 も し く は 減 少 し て い く財 で あ る.例 え ば,本 やCDな ど ほ と ん ど の 財 が こ れ に 相 当 す る.同 じ物 を2つ 以 上 持 っ て い て も意 味 が 無 い よ う な 財 で は, 2つ 目 の 財 の 価 値 が か な り減 少 す る. ・ 補 完 的(complementary):あ る 個 数 ま で ほ と ん ど価 値 が な く,あ る 個 数 に な っ て 初 め て 価 値 を 生 む も の.例 え ば,靴 や 箸 が そ う で あ り,2つ そ ろ っ て 初 め て 価 値 を 生 む. [1]で は 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.に 関 し て,代 替 的 な 財 の み を扱 っ て い る の で 本 稿 も こ れ に 従 う.単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.に お け る 補 完 的 な 財 は,次 章 の 複 数 財G.V.A.に お け る 補 完 的 な 財 と 同 様 の 議 論 が で き る と述 べ ら れ て い る の で, こ こ で は 省 略 す る. 次 に,[4]で 紹 介 さ れ て い る代 替 的 な 財 の み を扱 う単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A. の 簡 単 な 例 を示 す.2人 の 入 札 者{β1,β2}が3つ の 同 じ財9の オ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て い る と す る.3つ の 同 じ財 を 区 別 す る た め に そ れ ぞ れ を{units,unite,uη 碗} と す る.各 入 札 者 は 最 大3つ ま で 財 を 得 る こ と が で き る よ う に,β 、の 入 札 値 を (vi(units),vi(unite),u乞@η 碗))と し,3つ 目 の 財 ま で の 評 価 を 行 う こ と が で き る ・ そ して,以 下 の よ う な 入 札 結 果 を 考 え る. ・ β1の 入 札 値:($10,$8,$5) ・ β2の 入 札 値:($9,$7,$6)

ま ず,主 催 者 は3つ の 単 一一財 に 対 す る 評 価 値 の 和 を 最 大 化 す る 最 適 な 割 り 当 て を 行 う,す な わ ち,2つ の 財 を β1に 割 り 当 て,1つ の 財 を β2に 割 り当 て れ ば 評 価 値 の 和 が 最 大 化 さ れ,そ の と き の 評 価 値 の 和 は$10+$8+$9=$27と な る.こ の と き,β1 の 支 払 額 は 以 下 の 通 り で あ る. V=X27, Vl=$10・+一$8=$18, Vl=$9+$7+$6=$22, pi=「 レr1-(V國 一 「レ1)=$18-($27-$22)=$13. 同 様 に β2の 支 払 額 はP2=$9-($27-$23)=$5と な る. 4.2複 数 財G.V.A. 複 数 財 のG.V.A.は 異 な る 何 種 類 か の 財 を 同 時 に オ ー ク シ ョ ン す る 場 合 に 適 用 さ れ る.こ の と き,複 数 財 を 同 時 に 得 る 場 合 の 評 価 値 も加 味 さ れ て い る.例 え ば,2 つ の 財91,92が あ る と き,そ れ ぞ れ に 対 す る 昼 の 評 価 値 をv2(91),vZ(92)と 表 記 し, 財91,92を 同 時 に 得 る と き の 評 価 値 を 娠91,92)と 表 記 す る.こ れ は,次 に 述 べ る 財 の 種 類 に 関 係 す る. 4.2.1複 数 財 の 種 類

複 数財 には2種 類 の性 質が あ る.

・ 代 替 的(substitutional):2つ の 財 が 価 値 と し て 互 い に 独 立 し て い る と き そ の 関 係 を 代 替 的 と 呼 ぶ.例 え ば,紅 茶 と コ ー ヒ ー の 関 係 や 米 と パ ン の 関 係 の よ う に,ど ち ら か 片 方 は 必 要 だ が,必 ず し も 両 方 は 同 時 に 必 要 と し な い と い う財 の 関 係 を い う.代 替 的 で あ る 異 な る2つ の 財9!,92が あ る と き, v2(91)+v2(g2)≧v2(91,Q2)の 関 係 を もつ. ・ 補 完 的(complementary):2つ の 財 が 価 値 と して 互 い に 従 属 し て い る と き そ の 関 係 を 補 完 的 と呼 ぶ.例 え ば,紅 茶 と 砂 糖 の 関 係 や パ ン と ジ ャ ム の 関 係 の よ う に,両 方 同 時 に 保 有 す る こ と で 単 独 で 保 有 した 場 合 よ り も価 値 が 増 加 す る よ う な 財 の 関 係 を い う.補 完 的 で あ る 異 な る2つ の 財g1,92が あ る と き, v2(g1)+vi(g2)<娠g1,g2)の 関 係 を もつ.

4.2.2代 替 的 な 複 数 財 で 落 札 す るG.V.A.の 具 体 例 3人 の 入 札 者{β1,β2,β3}が2種 類 の 財91,g2の オ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て い る と す る.L72の 入 札 値 を(v2(g1),v2(92),娠g1,92))と 記 述 す る. ・ β1の 入 札 値:($25,$20,$44) ・ β2の 入 札 値:($8,$9,$16) ● β3の 入 札 値:($18,$24,$38) こ の 場 合,落 札 者 、61に と っ て 財91,92は 代 替 的 で あ る.財g1が β1に,財92が β3に そ れ ぞ れ 割 り 当 て ら れ,2つ の 財 の 評 価 値 の 和 は$25+$24=$49で 最 大 と な る. こ の と き,β1と β3の 支 払 額 は そ れ ぞ れ 以 下 の 通 り で あ る. V=X49, Vl=X25,Vl=X18+X24=X42, p1=Vl-(「`r-Vl)=$25-($49-$42)=$18. V3=X24,V3=X25+X20=X45, ps=Vl-(「U-「 レr1)=$24-($49-$45)=$20. 4.2.3補 完 的 な 複 数 財 で 落 札 す るG.V.A.の 具 体 例 3人 の 入 札 者{β 、,β2,β3}が2種 類 の 財91,92の オ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て い る と す る.筋 の 入 札 値 を((91),(92),v2(91,92))と 記 述 す る. ●Z31の 入 札 値:($25,$20,$44) ・ β2の 入 札 値:($8,$9,$52) ・ β3の 入 札 値:($18,$24,$38) こ の 場 合,落 札 者 β2に と っ て 財91,92は 補 完 的 で あ る.簡 単 の た め,β1と β3の 入 札 値 は 代 替 的 な 複 数 財 を 扱 うG.V.A.の 例 と 同 じ に し て あ る.財91,92と も β2に 割 り 当 て ら れ,2つ の 財 の 評 価 値 の 和 は$52で 最 大 と な る.こ の と き,β2の 支 払 額 は 以 下 の 通 り で あ る.

V=X52,

r V2=X52, V2=X25+X24=X49, p2=『 レる 一Cレr-「 レT2)=$52-($52-$49)=$49.

5架

空 名義 入札 に対 す る ロバ ス トネ ス

本 章 で は,櫻 井 ら に よ っ て 提 案 さ れ た 文 献[1,2]で 述 べ ら れ て い る よ う に,G.V.A. に 対 す る 架 空 名 義 入 札 の 有 効 性 に つ い て ま と め る. 5.1Vickreyオ ー ク シ ョ ン 前 述 の よ う にVickreyオ ー ク シ ョ ン は 自 分 の 真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ と が 支 配 戦 略 と な る(誘 因 両 立 性 を 満 た す).も し架 空 名 義 入 札 を す る こ と な し に オ ー ク シ ョ ン に 勝 つ こ と が で き る な ら,架 空 名 義 入 札 は 支 払 い を 増 額 さ せ る こ と に し か な ら な い.逆 に,架 空 名 義 入 札 を す る こ と な し に オ ー ク シ ョ ン に 勝 て な い な ら,架 空 名 義 入 札 し て 勝 つ こ とが で き る か も し れ な い が,自 分 の 真 の 評 価 値 よ り も 高 く支 払 わ な け れ ば な ら な い.こ れ は,Vickreyオ ー ク シ ョ ン に お い て 架 空 名 義 入 札 す る こ と が 自 分 の 効 用 を 増 加 で き な い こ と を 意 味 して い る.落 札 値 は 自 分 以 外 の 入 札 値 に よ っ て 決 定 さ れ る こ と か ら,自 分 の 入 札 値 に よ っ て 自分 の 効 用 を 増 加 で き な い の は 直 観 的 に 理 解 で き る.し た が っ て,Vickreyオ ー ク シ ョ ン は 架 空 名 義 入 札 に対 し て ロ バ ス トネ ス で あ る. 5.2単 一 財,複 数 ユ ニ ッ ト を 扱 う オ ー ク シ ョ ン 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トを 扱 う オ ー ク シ ョ ン は 複 数 の 同 じ財 を 同 時 に オ ー ク シ ョ ン す る 場 合 に 適 用 さ れ る.こ こ で,入 札 者 側 が 複 数 個 欲 しい 財 で あ る の か1つ 得 れ ば 十 分 な 財 な の か に よ っ て,用 い る オ ー ク シ ョ ン プ ロ トコ ル が 異 な る.各 入 札 者 に 財 を1個 ず つ 売 る オ ー ク シ ョ ン を行 い た い の な ら(M+1)-stpriceオ ー ク シ ョ ン を 用 い る べ き で あ り,各 入 札 者 に 財 を 複 数 個 売 る オ ー ク シ ョ ン で あ る な ら単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.を 用 い る べ き で あ る.以 下,そ れ ぞ れ の オ ー ク シ ョ ン に 対 す る ロ バ ス トネ ス に つ い て 述 べ る. 5.2.1(M十1)-stpriceオ ー ク シ ョ ン こ の プ ロ ト コ ル は,Vickreyオ ー ク シ ョ ン の 変 形 で あ る こ と か ら,Vickreyオ ー ク シ ョ ン と 同 様 の 議 論 が で き る.よ っ て,(M+1)-stpriceオ ー ク シ ョ ン は 架 空 名

義 入 札 に 対 して ロ バ ス ト ネ ス で あ る. 52.2単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A. [1]で は,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で あ る こ と が 証 明 さ れ て い る.し か し,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.の 手 法 が 間 違 っ て 定 義 さ れ て い る た め,ロ バ ス ト ネ ス で あ る こ と が 言 え て い な い.そ こ で,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ ト G.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で あ る こ と を 次 章 の 考 察 で 示 す. 5.3複 数 財G.V.A. 複 数 財G.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で な い 例 と し て,〔1]で 引 用 さ れ て い る 例 の 仮 定 が 間 違 っ て い る.以 下 で は そ の 例 に 多 少 の 訂 正 を 加 え て ロ バ ス ト ネ ス で な い 反 例 を 示 す.2人 の 入 札 者{β1,β2}が 異 な る2種 類 の 財g1,92の オ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て い る と す る.L.72の 入 札 値 を(v2(91),vi(92),"乞(91,92))と 記 述 す る. ・ β1の 入 札 値:($25,$30,$55) ・ β2の 入 札 値:($0,$0,$40) こ の 場 合,β1が 財91,92と も 落 札 す る.こ の と き,β1の 支 払 額 は 以 下 の 通 り で あ る. V=X55,Vl=X55,Vl=X40, pl・=Vl-(『U-「 レi)=$55-($55-$40)=$40. こ こ で,仮 に β1が 架 空 名 義 β3を 用 い て 以 下 の よ う に 架 空 名 義 入 札 を 行 っ た と す る. ● β1の 入 札 値:($25,$0,$25) ・ β2の 入 札 値:($0,$0,$40) ● β3の 入 札 値:($0,$30,$30) こ の 場 合,β1と β3が 財91,g2を そ れ ぞ れ 落 札 す る.こ の と き,β1(β3)の 支 払 額 は 以 下 の 通 り で あ る. V=X25+X30=X55, Vl=X25,Vl=X40, pi=「 匹 一(V-Vl)=$25-($55-$40)=$10.

V3=X30,V3=X40, ps=「 覧 一(V-ti3)=$30-($55-$40)==$15. P1+ps=$25. 以 上 よ り,β1は 架 空 名 義 を 用 い な い 場 合 に 財g1,92を$40で 落 札 し て い た の に 対 し,架 空 名 義 を 用 い る こ と に よ っ て,財g1,92を$25で 落 札 で き る こ と が 分 か る. こ れ は,架 空 名 義 入 札 に よ っ て β1の 効 用 を 増 加 で き る こ と を 意 味 し て お り,こ の 例 で 示 さ れ て い る よ う に 複 数 財G.V.A.が 架 空 名 義 入 札 に 対 して ロ バ ス トネ ス で な い(誘 因 両 立 性 を 満 た さ な い).

6考

察

本 章 で は,主 に 次 の3点 に つ い て 考 察 を 行 う. ・ 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で あ る こ と を 示 す(6.1) ● 架 空 名 義 入 札 に よ る 限 界 効 用(6.2) ● 架 空 名 義 入 札 を 最 初 か ら 許 すG.V.A.(6.3) 6.1単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.の ロ バ ス トネ ス こ こ で は,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が ロ バ ス トネ ス で あ る こ と を 示 す.簡 単 の た め,n人 の 入 札 者 β寿=1,…,n)が 同 じm個 の 財{units,…,uη 髭m}に 対 し て 入 札 す る こ と を 考 え る.こ こ で は 同 点 は 考 え な い.落 札 者 の 架 空 名 義 入 札 が 有 効 と な る の は,落 札 者 が 少 な く と も2つ 以 上 の 財 を 落 札 で き る 場 合 に 限 ら れ る の で,架 空 名 義 入 札 を 行 う β1がml(2≦ml≦m)個 の 単 一 財 を 落 札 す る よ う に 設 定 し た.β1が 架 空 名 義 入 札 を 行 わ な い 入 札 結 果 を 表1に 示 し,β1が 架 空 名 義 入 札 を 行 っ た 場 合 を 表2に 示 した.た だ し,Xκ は β1の 評 価 値 の 中 で κ番 目 に 高 い 値 を 表 し,耳 は,t32(i=2,…,n)が 落 札 で き た 評 価 値 の 中 で κ番 目 に 高 い 値 を 表 し,肌 はUZ(2=2,…,n)が 落 札 で き な か っ た 評 価 値 の 中 で ん番 目 に 高 い 値 を 表 す.表 で は,落 札 で き た 評 価 値 を 太 字 に し た. 架 空 名 義 入 札 を 行 わ な い 場 合,β1がml個 の 財 を 落 札 で き る と仮 定 す る.こ の と き,β 、(2=2,…,n)は(m-ml)個 の 財 を 落 札 す る.β1の 支 払 額 は 以 下 の 通 り で あ る. mlm-ml v=Σxκ+Σ}渥, k=1k=1

表1:単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.(架 空 名 義 入 札 無)

入札者

β1 Z32∼ βη

m個

の単 一財 に対 す る評価値

{X1,…,Xm1,Xm1+1,…,Xm} {Y1,…,Ym_m1},{Wl1,…,Wm1} mlm-ml  ユ Vl一 Σxκ,Vl一 Σy為+Σwん, k=1k=1k=1 pi=Vl-(V-Vl) -mlXk k=1-(  Σxκ+Σyんユm-mユm-mlmユ 一 Σyん 一 Σwたk=1k=1k=1k=1)一嵩 肱 次 に,仮 に 入 札 者 β1が 表2の よ う に 入 札 者 βη+1に な りす ま し て 架 空 名 義 入 札 を 行 う と す る.た だ し,Z32は 架 空 名 義 入 札 を 行 わ な い の で β2の 効 用 に は 変 化 が な い の で,こ こ で は 取 り上 げ な い.β1は 落 札 で き る 評 価 値 で 架 空 名 義 入 札 を し な い な ら,架 空 名 義 入 札 を 行 わ な い の と 同 じ結 果 に な る.よ っ て,β1は 落 札 で き るml個 の 財 の う ちm2個 の 評 価 値 を 架 空 名 義 入 札 す る とす る.落 札 で き る 全 て の 評 価 値 を 架 空 名 義 入 札 す る の は 意 味 が な い の でml>m2と す る.こ の と き,β1(β η+1)の 支 払 額 は 以 下 の 通 り に な る. mlm-ml

V一

Σxκ+ΣY,

k=1k=1 ml-m2m-mlmlml-m2 Vl一 Σxκ,Vl'一 Σ 琉+Σxκ+Σwん, たニ1kニ1kニml-m2+1kニ1 pi=Vl-(V-Vl')

-ml-m2Xk-mlXk+致

一致

一

￡

臨 一mか)

κ 2 x

団

Σ

属

m =

(

(ml-m2ml-m2Σx鳶一 Σ 肱k=1k=1)-m罫 塩 ・ 表2:単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.(架 空 名 義 入 札 有)

入札者

β1 β2∼ β η 13η+1

m個

の単 一財 に対 す る評価 値

{X1,…,Xm1_m2,Xm1+1,…,Xm_rn2,0,…,0} {Y1,…,Ym_ml},{tivl,…,Wml} {xm1-m2+1,…,Xm1,0,…,0}

mlml-m2m-mlm2

Vn+1一

Σxん,ア

石 一

Σxκ+Σyた+Σwた,

k=m-mz+1k=1k=1k=1 pn+1=Vn+1-(y一 瑞+1) 一 識 評 一(mlm-mlml-m2m-mlm2Σxた+Σyん一 ΣxrΣ}灸 一 Σ 肱 k=1k=1k=1k=1k=1) 一 熱 一(mlm2Σxκ 一 Σ 肱 k=1k=1)一 か ml-m2m2 pl+pn+、=Σ 肱+Σ 肱 ・ k=1k=1 よ っ て,架 空 名 義 入 札 に よ る β1の 落 札 値 の 増 加 △plは 以 下 の よ う に 求 め ら れ る. △pi=(pl+pn+1)-pi ml-m2m2mi

一

Σ

肱+Σ

礁 一Σ 肱

k=1k=1k=1 m2ml

一 Σwた 一

Σ

肱

k=1k=m1-m2十1 m2m2 ニ Σwた 一 Σwた'+(m、-m,) k=1た'=1 m2 一 Σ(肌 一 肌+(m、 _{-m2))>0(m・>m・)} k=1 した が っ て,架 空 名 義 入 札 に よ っ て β1の 落 札 値 が 増 加 す る.こ れ は,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が 架 空 名 義 入 札 に 対 し て ロ バ ス トネ ス で あ る(誘 因 両 立 性 を 満 た さ な い)こ と を 意 味 す る. で は,な ぜ β1の 落 札 値 が 増 加 す る か を 考 え て み よ う.β1はml個 の 単 一 財 の 落 札 者 で あ る.つ ま り,β1のml個 の 評 価 値 は 非 落 札 者 の 評 価 値 よ り も高 い こ と を 意 味 して い る.G.V.A.プ ロ トコ ル は 他 人 の 評 価 値 に よ っ て 自分 の 落 札 値 が 決 定 さ れ る こ と か ら,な る べ く他 人 の 評 価 値 が 低 い ほ う が 自分 の 落 札 値 を 低 くで き る.し か し,架 空 名 義 入 札 を行 う こ と は,直 観 的 に い う と 自 分 の 高 い 評 価 値 を 他 人 の 評 価 値 に す る こ と を 意 味 す る の で,そ の 結 果 自 分 の 落 札 値 が 高 く な る 可 能 性 が 生 じ る.

6.2架

空 名義 入札 による限界 効用

架空名義 入札 による限界効 用 とは,架 空名義 入札 を行 うこ とに よって生 じる効用

の増加 の最大 値 で あ る.[1]で

は,複 数 財G.V.A.に

対 して架 空名 義 入札 が有効 で

あ るこ とは反例 を用 い て示 されて い るが,ど

こ まで有効 で あ るか は述べ られて い

ない.そ こで,本 節 で は複 数財G.V.A.に

対 して架空名 義入札 が最大 で どこまで有

効 であ るか を議論す る.た だ し,架 空名 義入札 が有効 であ る入札者 はあ くまで も落

札 者 で あ り,敗 者 が 架 空 名 義 入 札 を 行 っ て も敗 者 で あ る こ と に 変 わ りな い.な ぜ な ら,全 入 札 者 は 真 の 評 価 値 で 入 札 す る こ とが 前 提 で あ り,真 の 評 価 値 を 提 出 し た に もか か わ ら ず 負 け た 入 札 者 は,真 の 評 価 値 以 下 で 架 空 名 義 入 札 を 行 っ て も 落 札 者 に は な れ な い か ら で あ る.こ う い う意 味 か ら も[1]の 複 数 財G.V.A.で 載 せ て あ る 例 は い さ さ か お か しい 点 が あ る.し た が っ て,落 札 者 が 架 空 名 義 入 札 を行 っ て 効 用 を 増 加 で き る か ど う か に 焦 点 を 絞 っ て 議 論 を 進 め る. ま ず,複 数 財G.V.A.で 扱 う 財 が ど の 入 札 者 に と っ て も代 替 的 な 財 で あ る と評 価 さ れ た 場 合,架 空 名 義 入 札 に 対 し て ロ バ ス トネ ス で あ る こ と は 直 観 的 に 理 解 で き る.な ぜ な ら,代 替 的 な 財 の み で あ っ た 場 合,各 財 を 個 々 にVickreyオ ー ク シ ョ ン を 行 っ た 場 合 と全 く 同 じ に な る か ら で あ る.ゆ え に,Vickreyオ ー ク シ ョ ン が ロ バ ス トネ ス で あ る の と 同 様 に,代 替 的 な 財 の み で あ る 複 数 財G.V.A.は ロ バ ス トネ ス で あ る. 簡 単 の た め,n人 の 入 札 者 β夢=1,…,n)が2つ の 財g1,g2に 対 し て 入 札 す る こ と を 考 え る.財g1,g2,(91,92)に 対 す る 最 高 額 を σ(g1),σ(92),σ(g1,g2),二 番 目 に 高 い 額 をV(91),V(92),V(91,92)と し,同 点 を 考 え な い も の と す る ・ 入 札 者 β1の 落 札 の 仕 方 と し て,次 の2つ の ケ ー ス を 表 に 表 す.た だ し,表 で は 落 札 さ れ た 入 札 値 を 太 字 に した. (a)β1が2つ の 財g1,g2(補 完 的 な 複 数 財)を 落 札 す る 場 合 (b)β1が2つ の 財91,g2(代 替 的 な 複 数 財)を 落 札 す る 場 合 6.2.1架 空 名 義 入 札 に よ る 効 用(ケ ー ス(a)) ま ず,架 空 名 義 入 札 を し な い 場 合 を 考 え る(表3).こ の と き,落 札 者 β1の 支 払 額 は 以 下 の 通 りで あ る. V=σ(9、,92), Vl=σ(9、,92),Vl, P1-Vl-(V-Vl)一 σ(9・,92)一(σ(9・,92)Vl)-V1・ 次 に,入 札 者 β1が 架 空 名 義 βπ+1を 用 い て 架 空 名 義 入 札 を 行 う とす る(表4).し か し,β π+1は 落 札 者 に は な れ ず,結 局 落 札 者 β1の 支 払 額 は 以 下 の 通 り と な る.

可

, =

π

司

繊

繊

@

軌

軌

一

σ

σ

防

= = =

V

琉

嬬

表3:架 空 名 義 入 札 な し(a) 入 札 者 β、 β1 Z32∼ βπ "乞(9、)v2(92)vi(9、,92) vl(91)U(92)U(91,92) σ(9、)V(92)V(9、,92) 表4:架 空 名 義 入 札 あ り(a)

入札者 賜

Z31 β2∼ β π βπ+1 i(9、)vz(92)vi(9、,92)

vl(91)O

U(91)V(92)

OU(g2)

U(91,92) V(9、,92) 0 -/ よ っ て,架 空 名 義 に よ る β1の 効 用 の 増 加 は,△ul=pl一 踊=Vi-Vlと な る.    

この場 合,架 空名 義 に よる入札 値 σ(g2)がVlに

影響 を与 えな ければ,Vl=Vlよ

  -/  りVl-Vl=0で あ る.ま た,架 空 名 義 に よ る 入 札 値 σ(g2)がV1に 影 響 を 与 え れ       -/  ば,Vl-Vl<0で あ る.し た が っ て,Vl-Vi≦0が 常 に 成 り立 つ の で,架 空 名 義 入 札 を す る こ と に よ っ て 効 用 は 変 わ ら な い か 減 少 す る.ゆ え に,ケ ー ス(a)の 場 合,架 空 名 義 入 札 に 対 す る ロ バ ス トネ ス が 成 り立 つ. 6.22ケ ー ス(b)の 効 用 ま ず,架 空 名 義 入 札 を し な い 場 合 を 考 え る(表5).こ の と き,落 札 者 β1の 支 払 額 は 以 下 の 通 りで あ る. V=σ(91)+σ(92), Vl=σ(9、)+σ(92),V1, P・=Vi-(V-Vl) 一 σ(9・)+σ(9・)一(σ(9・)+σ(9・)V1)-Vl =MAX(V(9、)+V(92),σ(9、,92)). も しpi=V(g1)+V(92)な ら,娠g1,92)が 支 払 額p1の 計 算 過 程 に 全 く使 わ れ な い の で,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.と 同 様 の 議 論 が で き る.す な わ ち,単 一 財, 複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が ロ バ ス ト ネ ス で あ る の で,pl=V(g1)+V(92)で あ る 場 合

表5:架 空 名 義 入 札 な し(b) 入 札 者 筋(91)娠g2)v2(91,92) β1 β2∼Z3η U(91)U(92)-V(9、)V(92)σ(9、,92) 表6:架 空 名 義 入 札 あ り(b) 入 札 者Z3盛 娠g1)v2(92)U￠(91,92) β1 Z32∼ βη β π+1 U(91)0-V(9、)V(92)σ(9、,92) OU(g2)0 ケ ー ス(b)も ロ バ ス トネ ス と な る.よ っ て,支 払 額 をpi=V(g1)+V(g2)よ り下 げ る こ と が で き な い.逆 に,pi=σ(g1,g2)の と き に 架 空 名 義 入 札 が 有 効 で あ る 可 能 性 を持 つ. 次 に,入 札 者Z31が 架 空 名 義 βπ+1を 用 い て 架 空 名 義 入 札 を 行 う とす る(表6).こ の 場 合,落 札 者131(Z3π+1)の 支 払 額 は 以 下 の 通 りで あ る. V=σ(9、)+σ(92),

  

yi=σ(91),▽i, pl-Vl-(V-Vl')一 σ(9・)一(σ(9・)+σ(9・)V1')Vi'一 σ(9・)・ r n-}-1=σ(92),Vn+、, pn+1=瑞+一(V‐Vn+・) 一 σ(92)一(σ(91)+σ(92)一 瑞+・)嶺+一 σ(9・)・ i pl+pn+1=Vl+Vn+一 σ(9、)一 σ(9、). -i こ の と き,Vl,Vn+1が そ れ ぞ れ 以 下 の 値 を 持 つ. Vl一 膿 )σ(92),Tnfl-{1:919i∼92)v(92)(1) で は,pi=σ(91,92)の と き に 架 空 名 義 入 札 が 有 効 で あ る と 考 え ら れ る が,落 札 値pl+pn+1を ど こ ま で 低 くで き る の で あ ろ う か?式(1)よ り,pl+pn+1の 値 は4

表7:G.V.A.に 対 す る 架 空 名 義 入 札 の 有 効 性

落札者

の財

代替的

補完的

全入札者の財

全 て の財 が代 替的

X X

補完的な財 を含む

O

X 通 りの 組 合 せ が 考 え ら れ る.そ の 中 でvz(91,92)が 計 算 過 程 に 現 れ な い よ う に す る た め に は, Vl'-V(91)+σ(9、),Vn+1一 σ(9、)+V(9,) と 選 択 す れ ば よ い.こ の 結 果,β1の 支 払 額 は 以 下 の よ う に な る. pl+pn+1=Vl'+Vn+一 σ(91)一 σ(92) _(V(91)+U(92))+(U(91)+V(92))-U(91)-U(92) =V(9、)+V(92).

(2)

し た が っ て,入 札 者 β1が 式(2)と な る よ う に 架 空 名 義 入 札 を 行 え ば,落 札 値 を T.T(91)+V(92)ま _{で 下 げ る こ と が 可 能 で あ る .こ れ は も う これ 以 上 下 が らな い 値 で} あ る.つ ま り,pi=σ(91,92)の と き最 大 で 落 札 値 をV(91)+V(92)ま で 下 げ る こ と が 可 能 で あ る.た だ し,架 空 名 義 入 札 に よ る 入 札 値 が そ の 入 札 者 の 真 の 評 価 値 を 超 え る 場 合 や 低 くな る 場 合 も含 ん で い る.こ の と きの 限 界 効 用 は 以 下 の よ う に 定 め ら れ る. M.4X(△ul)=M・4X(pi-(pl+pn+1)) =Vl-(V(9、)+V(92)). 6.1節 と6.2節 の 結 果 よ り,G.V.A.に 対 す る 架 空 名 義 入 札 の 有 効 性 に つ い て 表7 に ま と め た.架 空 名 義 入 札 が 有 効 で あ る 場 合 を ○,そ う で な い 場 合 を × と記 し た. こ の 表 は,単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.と 複 数 財G.V.A.の 両 方 と も を 含 ん で い る.よ っ て,自 分 に と っ て 財 が 代 替 的 で あ り,か つ,財 を補 完 的 で あ る と み な す 他 の 入 札 者 が 少 な く と も1人 以 上 存 在 す る と き,G.V.A.に 対 す る 架 空 名 義 入 札 が 有 効 と な る と い う結 果 が 得 ら れ た.

6.3架 空 名 義 入 札 を許 すG.V.A.の 考 察 前 節 の 結 果 よ り最 初 か ら架 空 名 義 入 札 を 許 し た 場 合,自 分 の 財 に 対 す る 評 価 が 補 完 的 で あ る な ら架 空 名 義 入 札 を行 わ な い で あ ろ う し,代 替 的 な ら架 空 名 義 入 札 を 用 い て 個 々 に 入 札 す る で あ ろ う.本 節 で は,架 空 名 義 入 札 を プ ロ トコ ル と し て 許 し た 場 合,架 空 名 義 入 札 を 行 う 入 札 者 に 最 適 戦 略 が あ る か ど う か に つ い て 考 察 を 行 う. 表8は,3人 の 入 札 者{β1,β2,β3}が2種 類 の 財g1,92の オ ー ク シ ョ ン に 参 加 し て い る 例 を示 し て い る.前 節 の 結 果 よ り,補 完 的 な 財 で あ る と 評 価 して い る 入 札 者 {β1,β2}は 財g1,92に 対 し て 架 空 名 義 入 札 を 用 い な い で 入 札 を 行 う.し か し,代 替 的 な 財 で あ る と評 価 し て い る 入 札 者 β3は 財91,g2に 対 して 架 空 名 義 β4を 用 い て 架 空 名 義 入 札 を 行 っ て い る.た だ し,落 札 者 の 架 空 名 義 入 札 が 有 効 に な る の は,落 札 者 で あ る β3が 少 な く と も2つ 以 上 の 財 を 落 札 で き る 場 合 に 限 る の で,今 回 β3が 2つ の 財91,g2を 落 札 す る と す る.表8よ り,財g1が β3に 財92が β4に 割 り当 て ら れ,2つ の 財 の 評 価 値 の 和 は$50+$22ニ$72で 最 大 と な る.こ の と き,β3(β4)の 支 払 額 は 以 下 の 通 り で あ る. V=X72, V3=X50,V3=X64, p3=「 レ誓 一(『U-「 レr/3')=$50-($72-$64)=$42. V4=X22,U4=X66, p4=『V'4-(V_V4,)=$22-($72-$66)=$16. P3→-p4=$58. 6.2節 の 議 論 よ り,架 空 名 義 入 札 に よ っ て 最 大 で 落 札 値 を い く ら ま で 下 げ る こ と が で き る か が 明 ら か に な っ た.こ の 例 の 場 合,β3の 落 札 値 は$35ま で 下 げ る こ と 可 能 で あ る($8だ け 下 げ る こ と が 可 能).こ れ に 対 し て,β4の 落 札 値 は$16で あ る の で,こ れ 以 上 下 げ る こ と が で き な い. こ こ で,表9の よ う に β4の 評 価 値 を$22か ら$22+dと す る こ と を 考 え る.こ の と き β4の 支 払 額p4は 以 下 の よ う に 計 算 さ れ,一 定 と な る こ と が 分 か る. p4=$22+di-($72+(オ ー$66)=$16. し か し な が ら,こ の β4の 評 価 値 操 作 に よ っ て β3の 支 払 額 は 以 下 の よ う に 影 響 を 受 け る. V3==$640r(57+d)よ り,

表8:架 空 名 義 入 札 を 許 すG.V.A.の 例

入札者 筋

ユ   ヨ   β β β β v2(9、)vi(92)v2(9、,92) X35×16×64 $8$8$45 $50$0$38 $0$22$0

p3-($50

50×50=:1;:+d+d二

欝 灘

≧綿;;;

つ ま り,β4が 自 分 の 評 価 値 を 増 や し た 分 だ け,β3の 支 払 額 が 減 り,逆 に β4が 自 分 の 評 価 値 を 減 ら し た 分 だ け,β3の 支 払 額 が 増 え る の で あ る.し か し,ど こ ま で も減 っ た り増 え た りす る わ け で は な く,dに 範 囲 が 存 在 す る.ま ず,β4が 落 札 者 で あ る た め に,p4=22+d>16,す な わ ち,d>-6が 成 り立 つ 必 要 が あ る.ま た, dを7よ り大 き く と っ て も,β3の 支 払 額 は$35よ り も減 ら な い.例 え ば,d=10 と す れ ばps=$35と な り,、83の 支 払 額 が 最 小 値 と な る.逆 に,d=-5と す れ ば p3=($42+$5)==$47と な り,β3の 支 払 額 が$5増 え る. 以 上 よ り,最 初 か ら 架 空 名 義 入 札 を 許 すG.V.A.に お い て 架 空 名 義 入 札 を行 う 際, 次 の2点 が 分 か っ た.

・ 真 の評価値 以上 で入札 す る と効用 が増加 す る可能性 を持 つが,真 の評価 値以

上 で財 を得 る危 険性 もあ る.

● 真 の評価値 以 下で入札 す る と効 用が 減少す る危 険性 だ けが生 じ,何 らメ リ ッ

トが ない.

表9:架

空 名義 入札 値 の操作

入 札 者Z3乞 ユ   ヨ   β β β β v2(9、)v2(92)vi(9、,92) X35×16×64 $8$8$45 $50$0$38 $0$22十d$0

以上 に よ り,架 空名義 入札 を許すG.V.A.を

仮定 した場合,架

空名義 入札 を行 う入

札者 に最適 戦略 が存在す るか どうか は不確 か な ものの,各 入札者 は自分 の真 の評価

値 で入札 す るのが 最 もよい戦 略 の よ うに思 える.

7ま

とめ

G.V.A.プ ロ トコ ル の 詳 細 を 説 明 し,G.V.A.に 対 す る 架 空 名 義 入 札 の 有 効 性 に つ い て レ ビ ュ ー を 行 っ た[1,2).さ ら に,考 察 と し て 以 下 の3点 を 議 論 し た. ・ 単 一 財,複 数 ユ ニ ッ トG.V.A.が 架 空 名 義 入 札 に 対 し て ロ バ ス トネ ス で あ る こ と を 示 し た. ● 複 数 財G.V.A.に 関 し て,架 空 名 義 入 札 に よ る 限 界 効 用 を 示 した. ・ 複 数 財G.V.A.に 関 し て,最 初 か ら 架 空 名 義 入 札 を 許 すG.V.A.を 想 定 し,架 空 名 義 入 札 の 戦 略 に つ い て 議 論 し た. 今 後 の 課 題 と し て は,架 空 名 義 入 札 を 許 すG.V.A.に お い て3種 類 以 上 の 補 完 的 な 複 数 財 を 扱 う 複 数 財G.V.A.に 対 し て,本 稿 と 同 等 の 議 論 が で き る か ど う か の 検 討 が 必 要 と 考 え ら れ る.

[1] Y. Sakurai, M. Yokoo and S. Matsubara: A Limitation of the Generalized

Vickrey Auction in Electronic Commerce: Robustness against False-name

s, in Proceedings of the Sixteenth Notional Conference on Artificial Intelligence

(AAAI-99), pp. 86-92 (1999)

[2] *

A: ,i ^ $

Y 1- t -- ,

a ^ o)p a L J:E;ffl,

AIWV

t 15 6 3

, pp. 404-411 (2000)

[3] W. Vickrey: Counter Speculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders,

Jornal of Finance, Vol. 16, pp. 8-37 (1961)

[4] H. Varian: Economic Mechanism Design for Computerized Agents, in

ceedings of the First Usenix Workshop on Electronic Commerce, (1995)

[5] S. Rosenschein and G. Zlotkin: Rules of Encounter, in MIT Press, (1994)