ノード機能喪失対策費用投入ゲームとネットワーク形成ゲームに関する一考察

全文

(1)熊本学園大学機関リポジトリ. ノード機能喪失対策費用投入ゲームとネットワーク形成ゲームに関する一考察著者雑誌名号ページ発行年 URL. 宇野木広樹産業経営研究 35 1-21 2016-03-31 http://id.nii.ac.jp/1113/00000758/.

(2)

(3) .

(4)

(5) .

(6) . . .

(7) .

(8) .

(9) . .

(10) . .

(11) .

(12) .

(13) .

(14)

(15) . .

(16) .

(17) .

(18)

(19) . .

(20)

(21) .

(22) .

(23) .

(24) .

(25) .

(26) .

(27) .

(28) .

(29) .

(30) . .

(31) .

(32) .

(33) .

(34) .

(35) .

(36) .

(37) .

(38) . . .

(39). .

(40) .

(41) .

(42) .

(43) .

(44) .

(45) .

(46) . . . .

(47). .

(48)

(49) .

(50) . .

(51). .

(52) .

(53) .

(54)

(55)

(56) . .

(57) .

(58) .

(59) .

(60) .

(61) . . . .

(62) . .

(63) .

(64) .

(65) .

(66) .

(67) .

(68) .

(69) .

(70) .

(71) .

(72) .

(73) .

(74) .

(75) . . .

(76) .

(77) .

(78)

(79) .

(80)

(81) .

(82) .

(83) .

(84) .

(85) .

(86) . .

(87) . . .

(88) .

(89) . .

(90). . . .

(91) . . . .

(92) .

(93) . .

(94) .

(95) .

(96) .

(97) . .

(98). . . . .

(99). .

(100) . . . .

(101). .

(102) .

(103) .

(104) .

(105) .

(106) .

(107) . .

(108) . . .

(109) .

(110) .

(111) .

(112) .

(113) .

(114)

(115) .

(116) .

(117) .

(118) . .

(119) .

(120) .

(121) .

(122) .

(123) .

(124)

(125) .

(126) .

(127) .

(128) .

(129) .

(130) . . .

(131) .

(132) .

(133) .

(134)

(135) .

(136) .

(137) .

(138)

(139) .

(140) . .

(141)

(142) .

(143) .

(144) .

(145) .

(146) .

(147)

(148) . .

(149) . .

(150) . .

(151) .

(152) .

(153) .

(154) .

(155)

(156) . .

(157) . .

(158) .

(159) . .

(160) .

(161) .

(162) . . .

(163) .

(164) .

(165)

(166) . .

(167) .

(168)

(169) .

(170) .

(171) . .

(172) .

(173) .

(174) .

(175) .

(176) . . .

(177)

(178)

(179) .

(180) .

(181) . . . .

(182) . . .

(183) . .

(184) .

(185)

(186) .

(187)

(188) .

(189) . .

(190) .

(191)

(192) .

(193) .

(194) .

(195) .

(196)

(197) .

(198) g za .

(199) . gz a g z a.

(200)

(201)

(202) .

(203)

(204) .

(205) . . .

(206) .

(207) .

(208) .

(209) g za

(210) . .

(211) g z = g 1z , g z2 ,K, g zn C z g za .

(212)

(213) .

(214)

(215) . {. . }. . .

(216) . . .

(217)

(218)

(219) .

(220) . g za

(221) g za

(222) a gz .

(223)

(224) . . α ′ = −∞ lim α ′ = 0 dsi < 0 α i′′= d 2α i dsi2 > 0lim i i s →s. . α i′ = dα i d α i (s ) = α ≥ 0 α i ∈ [0,1] α i (0 ) = α ≤ 1 si → 0. a. i. gz .

(225) . a gz .

(226) .

(227)

(228) g za .

(229) g za

(230) . g za . gz .

(231) . P ga,s = z. . a.

(232) . (. ) ∏ α ∏ (1 − α ). ( ). x∈Z g za. x. ( ). y. y∈I g za. a. . gz

(233) .

(234) !"

(235) !"#$%

(236) &

(237) ! " #$%

(238)

(239)

(240)

(241) n−2. [. ]. n − z −1 lim ∑ − α i′α z (1 − α ) wii > 1

(242) si → 0. . z =0.

(243)

(244) . (. ). Bi g za g . (.

(245)

(246) . ). Bi g za g = wii + ∑ wij j∈N (i ; g za ) = wii + Vi g za g .. ∑ cij

(247) j∈N d (i ; g ).

(248) .

(249) .

(250) .

(251) .

(252) .

(253) . (. ).

(254) .

(255) . . .

(256) . Vi g za g a gz

(257) .

(258) .

(259) g za

(260) .

(261)

(262) .

(263) .

(264) . . g za . W (g, s ) = ∑U i ( g , s ). . (. ). . n. i =1.

(265)

(266) . .

(267) .

(268)

(269) .

(270) .

(271) .

(272) .

(273) . .

(274) .

(275) .

(276) . .

(277)

(278) . . .

(279) .

(280) g za .

(281)

(282) a g z ,{i1 ,L,ik }, −{ j1 ,L, je} . . g za . . .

(283) .

(284) .

(285) . n −1. U i (g , s ) = ∑ . n −1 C z. ∑ [P(g. z = 0 a =1. a z ,{i }. ) (. )]. Z (g za,{i , j } ) ∪ {} i I ( g za,{i , j }) \ {} i a gˆ z +1,{ j }, −{i} g za,{i , j }

(286) . , s Bi g za g − si − ∑ cij . j∈N. d. (i ; g ). a g z ,{i}

(287) .

(288)

(289)

(290)

(291) . !"

(292) #$%&'.

(293) . gˆ z +1,{ j }, −{i}

(294) .

(295) .

(296) .

(297) . a. (. ). P g za,{i , j } , s = (1 − α i ) P gˆ za+1,{ j }, −{i} , s = α i. (. ). ∏α (. x. ). (. . ∏ (1 − α ), y. ). x∈Z g za,{i , j } y∈I g za,{i , j } \{i }. ∏α (. x. ). (.

(298) . ∏ (1 − α ). ).

(299) . y. x∈Z g za,{i , j } y∈I g za,{i , j } \{i }.

(300) . .

(301) . . .

(302) .

(303) . . . ∂ 2U i ( g , s ) ∂ 2U i (g , s ) < 0 > 0 2 ∂s i ∂s j ∂s j. . ∂ 2U i ( g , s ) ∂s i ∂s j > 0 .

(304) . .

(305) .

(306) . (. ) (. a ∂U i ( g,(si , s −i )) n −1 n −1 C z ⎡ ∂P g z ,{i} , (si , s −i ) =∑ ∑ ⎢ Bi g za,{i} g ∂si ∂si z = 0 a =1 ⎣ ⎢.

(307) . . n −1. =∑.

(308) . n −1 C z. ∑. z = 0 a =1.

(309)

(310)

(311) . ⎤. )⎥ − 1. ⎦⎥ ⎡⎛ ⎞ ⎢⎜ − α i′ ∏ α x ∏ (1 − α y )⎟ Bi g za,{i} g ⎟ ⎢⎣⎜⎝ x∈Z (g za,{i }) y∈I (g za,{i }) \{i } ⎠. (. ⎤. )⎥ − 1. ⎥⎦.

(312) n −1. n −1 C z. ⎡. ⎤. ∑ ∑ ⎢− α i′ ∏ α x ∏ (1 − α y )Bi (g z ,{i} g )⎥ = 1. z = 0 a =1.

(313) . ⎣⎢. . a. (. ). x∈Z g za,{i }. (. ⎦⎥. ). y∈I g za,{i } \{i }. (. ). s ∗ = s1∗ ,K , s n∗

(314) .

(315)

(316) . (. ).

(317) . s ∗ = s1∗ ,K , s n∗

(318)

(319) .

(320) . . . . (. ). (. ). ∂U g, s ∗ ∂U j g, s ∗ i ∗ = = 0. ∂si ∂s ∗j.

(321) . .

(322) .

(323) .

(324) . . . s E = s1E ,K , s nE . (.

(325)

(326) . ).

(327)

(328) . (. ). (. ∂U j (g, s ) ∂si > 0 . ). ∂W g, s E ∂W g, s E = 0. = E ∂s Ej ∂si. . (. j∈N \{i }. (. ∂U i g, s E. )+. (. ⎛ ∂U ε g, s E ∂s iE ⎝. ∑{ } ⎜⎜ ε. ) ⎞⎟ = ∂U (g, s ) + E. (. ⎛ ∂U τ g, s E ∂s Ej ⎝. ∑{ } ⎜⎜ τ. ). ). (. ). ∂U i g, s E ∂siE < 0 .

(329) ∂siE. (. E E ∑ ∂U j g, s ∂s i > 0 .

(330) . ) ⎞⎟.. ⎟ ⎠.

(331) .

(332) .

(333) . s E = s1E ,K , s nE

(334) .

(335)

(336) .

(337) .

(338) . ∈N \ i. (. ⎟ ⎠. j. ∂s Ej. ∈N \ j.

(339) . ).

(340) . .

(341) .

(342) .

(343) .

(344) .

(345) .

(346) .

(347) .

(348) . s = s ,K , s .

(349) . (. E. E 1. E n. ).

(350)

(351)

(352) .

(353) .

(354) .

(355) .

(356) .

(357) . . . .

(358) .

(359) . . I ( g za,{i}) \ {} i = I ( g za,{ j }) \ { j} .

(360) . g z ,{i} Z ( g za,{i}) \ {} i = Z ( g za,{ j }) \ { j} a.

(361)

(362) . g za,{ j } Bi (g za,{i} g ) ≥ B j (g za,{ j } g ) .

(363) . N (i; g ) ⊇ N ( j; g ) .

(364) .

(365) .

(366) .

(367) . .

(368) . (. ). (. ⎛ ∂U ε g, s E ∂U g, s E + ∑ ⎜⎜ i E ∂s i ∂s iE ε ∈N \{i } ⎝.

(369) . ) ⎞⎟ = 0.

(370) . ⎟ ⎠.

(371) .

(372) . .

(373)

(374)

(375) .

(376) a I ( g z ,{i}) \ {} i = I ( g za,{ j }) \ { j} .

(377) . Z ( g za,{i}) \ {} i = Z ( g za,{ j }) \ { j} .

(378) . g za,{i} g za,{ j } . . . Bi (g za,{i} g ) ≥ B j (g za,{ j } g ) . . s i∗ ≥ s ∗j

(379) . . . ′ U i (gi ⊕ g −i , s ) ≥ U i (gi ⊕ g −i , s ) .

(380) . .

(381) . .

(382)

(383) .

(384) .

(385)

(386) .

(387) . . . .

(388) . I( g za,{i}) \ {} i = I ( g za,{ j }) \ { j}.

(389) . Z ( g za,{i}) \ {} i = Z ( g za,{ j }) \ { j} .

(390) . g za,{i} g za,{ j } .

(391) . Bi (g za,{i} g ) ≥ B j (g za,{ j } g ) . .

(392) E E s i ≥ s j . .

(393) .

(394) . .

(395) .

(396) .

(397) .

(398) .

(399) . .

(400) . .

(401) . .

(402) . .

(403)

(404) . .

(405) . . . .

(406)

(407) . . .

(408) .

(409) . .

(410) .

(411)

(412) .

(413)

(414) .

(415) .

(416)

(417) . .

(418) . .

(419)

(420) . .

(421) . ⎧⎪ n − 2 n − 2 C z ⎡ ⎤⎫ (1 − α y )wij ⎥ ⎪⎬ < c max ⎨∑ ∑ ⎢(1 − α i )(1 − α j ) ∏ α x ∏ i , j∈N ⎪⎩ z =0 a =1 ⎣⎢ x∈Z ( g za,{i , j } ) y∈I ( g za,{i , j } ) \{i , j } ⎦⎥ ⎪⎭. . .

(422) . .

(423) . ⎧ n − 2 n − 2C z. max ⎨∑ ∑ [P (g {} ⎩ j , k ∈N \ i. z =1. a z ,{ j , k }, − {i }. [(. ) (. . )]. ⎫ ⎧n−2 n−2 C z ⎫ , s wkj ⎬ < c < min ⎨∑ ∑ P g za,{i , j } , s Bi g za,{i , j } g s ⎬ j , k∈N \{i } a =1 ⎭ ⎩ z =0 a =1 ⎭. ) ]. ⎧ n−2 n−2 C z ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ∏ α x ∏ (1 − α y ) ⎜ w ji + wij + ∑ wkj ⎟⎥ ⎬ < c ⎜ ⎟⎥ ⎪⎩ ⎪⎭ k∈I (g za,{i , j } ) ⎠ ⎦ ⎝ ⎣⎢ x∈Z (g za,{i , j } ) y∈I (g za,{i , j } ). max ⎨∑ ∑ j , k∈N \{i } z = 0 a =1. . . . . n−2. n−2 Cz. c < min ∑ ∑ i , j∈N z = n −3 a =1. . ⎤ ⎡ ⎢ ∏ α x ∏ (1 − α y )wji ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ x∈Z (g za,{i , j } ) y∈I (g za,{i , j } ). ⎡. ⎤. c < min ⎢ ∏ α x ∏ (1 − α y )(wij + w ji )⎥ i , j∈N. . ⎣ x∈N \{i , j }. . y∈{i , j }. ⎦.

(424) .

(425) .

(426) .

(427) . .

(428) .

(429) . . .

(430) .

(431) . .

(432) .

(433) .

(434) .

(435) .

(436) .

(437) .

(438) .

(439) .

(440) .

(441) .

(442)

(443) .

(444) .

(445) .

(446) .

(447) .

(448) .

(449) .

(450) .

(451) .

(452) .

(453) .

(454) .

(455) . .

(456)

(457) . . .

(458). .

(459). . .

(460).

(461) . . . . . . .

(462). .

(463) . . . . . .

(464). . .

(465) .

(466) . .

(467) . .

(468) . . .

(469) .

(470). . . . . . . .

(471) . .

(472) . . . . . . .

(473).

(474) .

(475) .

(476) . . . . . . . . .

(477) . . . .

(478). .

(479) . .

(480) . .

(481) . .

(482). . .

(483). . . .

(484) . .

(485) . . .

(486) . .

(487) . . . .

(488)

(489) .

(490) . .

(491). . .

(492).

(493) .

(494) . . .

(495)

(496)

(497)

(498)

(499)

(500) . .

(501).

(502) . .

(503). . . .

(504) . . .

(505) . . . . . .

(506) . . .

(507).

(508). .

(509). . . .

(510)

(511). . . . . . .

(512)

(513) . .

(514) . . .

(515). . . .

(516) . . .

(517) . .

(518) .

(519)

(520) .

(521). . . .

(522). . .

(523) . . . .

(524). . . .

(525).

(526). . .

(527) . . .

(528) . . . . . . . . . .

(529) . . .

(530) . .

(531) . . . . . .

(532)

(533)

(534) .

(535)

(536) .

(537) . .

(538) .

(539) . .

(540)

(541) . . ⎞⎛ ⎞⎤ ∂ 2U i ( g , s ) n − 2 n − 2 C z ⎡⎛⎜ ( 1 − α y )⎟⎜ wii + ∑ wik ⎟⎥ = ∑ ∑ ⎢ (− α i′ )(− α ′j ) ∏ α x ∏ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂s i ∂s j z = 0 a =1 ⎢ k∈N (i ; g za,{i , j } ) ⎠ ⎥ x∈Z ( g za,{i , j } ) y∈I ( g za,{i , j } ) \{i , j } ⎠⎝ ⎣⎝ ⎦ n −1 n − 2 C z −1 ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ ( + ∑ ∑ ⎢⎜ − α i′α ′j 1 − α y )⎟⎜ wii + wik ⎟⎥ αx ∑ ∏ ∏ ⎟ ⎜ ⎟⎜ z =1 a =1 ⎢ k∈N (i ; g za,{i }, − { j } ) ⎠ ⎥ x∈Z (g za,{i }, − { j } ) \{ j } y∈I (g za,{i }, − { j } ) \{i } ⎠⎝ ⎣⎝ ⎦ n−2. n−2. ⎡⎛. Cz. ∑ ⎢⎢⎜⎜α ′α ′ ∏α. =∑. ⎣⎝. z = 0 a =1. n − 2 n−2 C z. −∑ n −3. n−2 Cz. ∑. z = 0 a =1. j. (. ⎞⎛. x. ). ∏ (1 − α )⎟⎟⎜⎜ w. (. y. ). x∈Z g za,{i , j } y∈I g za,{i , j } \ {i , j }. ⎡⎛. ∑ ⎢⎢⎜⎜α ′α ′ ⎣⎝. z = 0 a =1. =∑. i. i. j. (. ⎠⎝. ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ a k ∈ N (i ; g z ,{i , j }) ⎠ ⎦. ∑w. ik. ⎞⎛. ∏α ( s ) ). +. ii. x. (. ∏ (1 − α )⎟⎟⎜⎜ w y. ). x∈Z gˆ za+1,{i }, − { j } \ { j } y∈I gˆ za+1,{i }, − { j } \ {i }. ⎠⎝. ii. +. ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ a k ∈ N (i ; gˆ z +1,{i }, − { j }) ⎠ ⎦. ∑w. ik. ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ ⎢⎜ α i′α ′j ( 1 − α y )⎟⎜ ∑ wik − wik ⎟⎥ α(sx ) ∑ ∏ ∏ ⎟ ⎟⎜ ⎢⎣⎜⎝ x∈Z (gˆ za+1,{i }, − { j }) \{ j } y∈I (gˆ za+1,{i }, − { j }) \{i } ⎠⎝ k∈N (i ; g za,{i , j }) k∈N (i ; gˆ za+1,{i }, − { j }) ⎠⎥⎦ ⎞ ⎛ ⎜w + wik ⎟ > 0 ∑ ii ⎟ ⎜ k∈N (i ; g 1n − 2 ,{i , j }) ⎠ x∈Z (g 1n − 2 ,{i , j }) ⎝. ∏α. + α i′α ′j. x. ⎞⎛ ⎞⎤ ∂ 2U i ( g , s ) n − 2 n−2 C z ⎡⎛⎜ ( 1 − α y )⎟ ⎜ wii + wik ⎟⎥ = ∑ ∑ ⎢ (− α ′j′ ) ∏ α x ∑ ∏ 2 ⎟⎥ ⎜ ⎟⎜ ∂s j z = 0 a =1 ⎢ k ∈ N (i ; g za,{i , j }) ⎠ ⎦ x∈Z (g za,{i , j }) y∈I (g za,{i , j }) \ { j } ⎠⎝ ⎣⎝ n −1. +∑. n−2. z =1. n−2. =∑. C z −1. ∑ a =1. ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ ⎢⎜ α ′j′ ( 1 − α y )⎟ ⎜ wii + wik ⎟⎥ αx ∑ ∏ ∏ ⎟⎥ ⎟⎜ ⎢⎣⎜⎝ x∈Z (g za,{i }, − { j }) \ { j }y∈I (g za,{i }, − { j }) k ∈ N (i ; g za,{i }, − { j }) ⎠ ⎦ ⎠⎝. ⎡⎛. Cz. ∑ ⎢⎢⎜⎜ (− α ′′) ∏α. n−2. j. ⎞⎛. x. ∏ (1 − α )⎟⎟ ⎜⎜ w y. ii. +. ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ a k ∈ N (i ; g z ,{i , j }) ⎠ ⎦. ∑w. ik. x∈Z (g za,{i , j }) y∈I (g za,{i , j }) \ { j } ⎠⎝ ⎣⎝ n − 2 n − 2 C z ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ + ∑ ∑ ⎢⎜ α ′j′ wik ⎟⎥ α (s x ) ∏ (1 − α y )⎟ ⎜ wii + ∑ ∏ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎜ z = 0 a =1 ⎢ k ∈ N (i ; gˆ za+1,{i }, − { j }) ⎠ ⎦ ⎠⎝ ⎣⎝ x∈Z (gˆ za+1,{i }, − { j }) \ { j } y∈I (gˆ za+1,{i }, − { j }) z = 0 a =1. n −3. =∑. n−2 C z. ⎡⎛. ∑ ⎢⎢⎜⎜α ′′. z =0 a =1. ⎣⎝. j. (. ∏ α (s ) ). x. ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ a a ⎠ ⎝ k∈N (i ;gˆ z +1,{i }, − { j }) k∈N (i ;g z ,{i , j }) ⎠⎥⎦ ⎞ ⎛ − α ′j′ ∏ α x ⎜ wii + wik ⎟ < 0 ∑ ⎟ ⎜ k∈N (i ; g 1n − 2 ,{i , j }) ⎠ x∈Z (g 1n − 2 ,{i , j }) ⎝ ⎞⎛. (. ∏ (1 − α )⎟⎟ ⎜⎜ ). y. x∈Z gˆ za+1,{i }, − { j } \{ j } y∈I gˆ za+1,{i }, − { j } \{i }. ∑w. ik. . −. ∑w. ik. . ∂U i ( g, s ) ∂si

(542) .

(543)

(544) .

(545) . ⎛ ∂U i (g , s ) ⎞ ⎟⎟ = d ⎜⎜ ⎝ ∂s i ⎠. ∂ 2U i (g , s ) ds j ∂s j ∂si j =1: j ≠ i n. ∑. =. ∂ 2U i (g , s ) ∂ 2U i (g , s ) ∂ 2U i (g , s ) ∂ 2U i (g , s ) ds1 + L + dsi −1 + dsi +1 + L + ds n > 0. ∂s1∂si ∂si −1∂si ∂si +1∂si ∂s n ∂si. .

(546) .

(547) .

(548) .

(549) . .

(550). . ∂U i (g, s ) ∂si > 0

(551) .

(552)

(553) . . . . . . . .

(554) .

(555) . .

(556) ∂ 2U i ( g , s ) ∂si ∂s j > 0 . U i (g,(λx + (1 - λ ) y , s -i )) > λU i (g,( x, s -i )) + (1 − λ )Ui (g,( y, s -i )) . .

(557). . U i ( g,(λx + (1 - λ ) y , s- i )) − λU i (g,( x, s- i )) − (1 − λ )Ui ( g,( y, s- i )) n −1. =∑. n −1 C z. ∑ {B (g { } h)[P(g { },(λx + (1 - λ )y ,s )) −λP(g { }, (x, s )) − (1 − λ) P (g { }, ( y, s ))]}.. z = 0 a =1. i. a z, i. (. a z, i. a z, i. -i. a z, i. −i. −i. ). P gza,{i}, (si , s− i ) . (. ). (. ). (. ). P gza,{i} , (λ x + (1 - λ ) y , s -i ) − λP gza,{i} , ( x, s −i ) − (1 −λ ) P gza,{i} , ( y, s −i ) > 0. . . .

(558) .

(559) xi = xi1 , K , xiki

(560)

(561)

(562)

(563)

(564) S i = y , y i i

(565) 2 ∂ f i ∂xis ∂xit ≥ 0 ∂ 2 f i ∂xis ∂x tj ≥ 0 . (. [. . ]. ).

(566)

(567) . (. (. ). . s = s ,K , s E. E 1. E n. . . (. ). ). (. ) ⎞⎟ =. ⎛ ∂U ε g, s E ∗ ∂siE ∗ ⎝. ∑{ }⎜⎜ ε.

(568) . ). (. (. ). ∂U i g, s E ∗ ∂U j g, s E ∗ = = 0, ∂siE ∗ ∂s Ej ∗. . (. ). s E ∗ = s1E ∗ ,K , s nE ∗ . . ∈N \ i. ⎟ ⎠. ∈N \ j. (. ⎛ ∂Uτ g, s E ∗ ∂s Ej ∗ ⎝. ∑{ }⎜⎜ τ. ) ⎞⎟ = 0 ⎟ ⎠. s E ∗ = s1E ∗ ,K , s nE ∗

(569)

(570) . . s E ∗ = s1E ∗ ,K , s nE ∗

(571)

(572) . ( ) ∂ U g, s ∂ s j i . . . ∂U j ( g, s ) ∂si. n−2. =∑. n−2 Cz. z = 0 a =1. n−2. n−2 Cz. n − 2 C z −1. z =1. a =1. i. ⎣⎢. n−2. n−2 Cz. x. ). ⎡. ∑ ⎢α ′ ⎢⎣. i. (. y. ). (. ∏α. ⎡ ⎣⎢. ∏ (1 − α )B (g j. i. (. x. j. ). (. x. ). (. ∏ (1 − α )[B (gˆ y. ). a z ,{i , j }. a z ,{i , j }. ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). j. x∈Z g za,{i , j } y∈I gza,{i , j } \{i }. ). . ). ⎤ g⎥ ⎦⎥. ). ∏ (1 − α )B (gˆ. x∈Z gˆ za+1,{ j }, − {i } \{i } y∈I gˆ za+1,{ j }, − {i }. ∑ ⎢α ′ ∏ α. z = 0 a =1. ). x∈Z g za,{i , j } y∈I gza,{i , j } \{i }. z = 0 a =1. n−2 Cz. (. y. (. ∑. (. ). ∏ (1 − α )B (g. ⎤ ⎡ a (1 − α y)Bj g z ,{ j},−{i} g ⎥. αx ⎢α i′ ∏ ∏ ⎥⎦ ⎣⎢ x∈Z (g za,{ j }, − {i }) \{i} y∈I (g za,{ j }, − {i } ). ⎡. +∑ n−2. (. x. x∈Z g za,{i , j } y∈I g za,{i , j } \{i }. ∑ ⎢− α ′ ∏ α. z = 0 a =1. =∑. i. ⎢⎣. n −1. +∑. =∑. ⎡. ∑ ⎢− α ′ ∏ α. y. j. a z +1,{ j }, −{i }. a z +1,{ j }, −{i }. ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). ⎤ g − B j g za,{i , j } g ⎥ ≥ 0. ⎦⎥. ). (. )].

(573) .

(574) .

(575) . . .

(576) ∉ .

(577) . (. ∂U i g, s. (. (. ). E∗. ) ∂s. E∗ i. = 0 . ). E∗ ∂siE ∗ = 0 ∑ ∂U j g, s j∈ N \ {i }. .

(578)

(579) . ∂U j (g, s ) ∂si > 0 ∑ (∂U j ( g, s ) ∂si ) > 0 .

(580) a Bi (g n − 2,{i ,k } g ) = wii B j (g na− 2,{ j ,k } g ) = wjj + wkj .

(581) . Bi (g na− 2,{i ,k } g ) < Bi (g na− 2,{i ,k } g ) .

(582) . .

(583) . . j∈N \{i }. . .

(584) a a i = I ( g z ,{ j }) \ { j} I ( g z ,{i}) \ {} . Bi (g za,{i} g ) ≥ B j (g za,{ j } g ) . Z ( g za,{i}) \ {} i = Z ( g za,{ j }) \ { j} .

(585)

(586) .

(587) . g za,{i} g za,{ j } . ⎡. n −1 C z. n −1. ∑ ∑ ⎢− α ′ ∏ α ⎣⎢. z = 0 a =1. (. ). ∏ (1 − α )B (g. x. (. ∑ ∑ ⎢− α ′ ∏ α j. ⎢⎣. z = 0 a =1. (. ). y. ). i. y∈I g za,{i } \{i }. x∈Z g za,{i }. ⎡. n −1 C z. n −1. i. x. (. ∏ (1 − α )B (g y. ). j. y∈I g za,{ j } \{ j }. x∈Z g za,{ j }. a z ,{i }. ⎤ g ⎥ = −1. ⎦⎥. ). ⎤ g ⎥ = −1. ⎥⎦. ). a z ,{ j }. Bi (g za,{i} g ) > B j (g za,{ j } g )

(588) n−2. n−2 Cz. ⎡. ∑ ∑ ⎢− α ′(1 − α ) ∏ α ⎢⎣. z = 0 a =1. n−2. j. (. x. ). n − 2 C z −1. z =1. a =1. ∑. y. ). i. j. ⎢⎣. i. (. x. ). (. ∏ (1 − α ) B (g ). y. j. x∈Z g za,{i , j } y∈I g za,{i , j } \{i , j }. n −1. n − 2 C z −1. z =1. a =1. ∑. ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). (. ∑ ⎢− α ′ (1 − α ) ∏ α. z = 0 a =1. a z ,{i , j }. ⎤ ⎡ (1 − α y)Bi g za,{i},−{ j} g ⎥ αx ⎢− α i′α j ∏ ∏ ⎥⎦ x∈Z (g za,{i }, − { j }) \{ j } y∈I (g za,{i }, − { j }) \{i } ⎣⎢. ⎡. n−2 Cz. +∑. (. ∏ (1 − α )B (g. x∈Z g za,{i , j } y∈I hza,{i , j } \{i , j }. n −1. +∑ =∑. i. a z ,{i , j }. ). ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). ⎡ ⎢− α ′j α i ∏α x ∏ (1 − α y) Bj g za,{ j},−{i} g ⎢⎣ x∈Z (g za,{ j }, − {i }) \{i } y∈I (g za,{ j }, − {i }) \{ j }. (. ⎤. )⎥. ⎥⎦.

(589) n−2. n−2 Cz. ⎪⎧. ∏ (1 − α y ) x ⎩ x∈Z (g za,{i , j } ) y∈I (g za,{i , j }) \{i , j } − α i′ (1 − α j )Bi g za,{i , j } g + α ′j (1 − α i) B j g za,{i , j } g. ∑ ∑ ⎨⎪ ∏ α z = 0 a =1. [. n −1. n − 2 C z −1. z =1. a =1. +∑. ∑. (. ). (. ⎧⎪ ⎨ ∏α x ∏ (1 − α y ) ⎪⎩ x∈Z (g za,{i }, − { j }) \{ j } y∈I (g za,{i }, − { j }) \{i} − α i′α j Bi g za,{i}, −{ j } g + α ′j α i B j g za,{ j }, −{i} g. [. (. ). (.

(590) . . )]}. )]} = 0.. . . . .

(591)

(592) . n−2. n−2 Cz. ⎪⎧. ∏ (1 − α y ) x ⎩ x∈Z (g za,{i , j }) y∈I (g za,{i , j }) \{i , j } − α i′ (1 − α j )Bi g za,{i , j } g + α ′j (1 − α i) B j g za,{i , j } g. ∑ ∑ ⎨⎪ ∏ α z = 0 a =1. n−2. +∑. [. n−2 Cz. (. (. )]}. ⎧⎪. ∏α x ∏ (1 − α y ) ⎩ x∈Z (gˆ za+1,{i }, − { j }) \{ j }y∈I (gˆ za+1,{i }, − { j }) \{i} − α i′α j Bi gˆ za+1,{i}, −{ j } g + α ′j α i B j gˆ za+1,{ j }, −{i} g. ∑ ⎨⎪. z = 0 a =1. ). [. (. ). (. )]} = 0..

(593) n−2. n−2 Cz. ⎧⎪. ∑ ∑ ⎨⎪ ∏ α z = 0 a =1. x. ⎩ x∈Z (g za,{i , j }). (. ∏ (1 − α )[− α ′B (g y. ). i. i. y∈I g za,{i , j } \{i , j }. a z ,{i , j }. ⎫⎪ g + α ′j B j g za,{i , j } g ⎬ = 0. ⎪⎭. ). )]. (. . Bi (g za,{i} g ) > B j (g za,{ j } g ) si∗ ≥ s ∗j . . .

(594) . .

(595) .

(596) . . (. (. ). ). (. ⎡ ∂U i g, s E ∂U j g, s E ⎤ ⎡ ⎛ ∂U ε g, s E ⎜⎜ + − ⎢ ⎥ ⎢ ∑ E ∂siE ∂s Ej ⎦⎥ ⎢⎣ε ∈N \{i} ⎝ ⎣⎢ ∂si. ) ⎞⎟ − ⎟ ⎠. (. ⎛ ∂U τ g, s E ∂s Ej ⎝. ∑{ } ⎜⎜ τ ∈N \ j. ) ⎞⎟⎤⎥ = 0. ⎟⎥ ⎠⎦. . siE = s Ej

(597) siE = s Ej

(598) .

(599) .

(600) . ∂Uε g, s E ∂siE − ∂Uε g, s E ∂s Ej . . (. ). (. ∂U ε (g, s ) ∂U ε (g, s ) − ∂siE ∂s Ej n −1. = (− α i′ + α ′j )∑. n −1 C z. ⎡. ∑ ⎢ ∏α. x. ∏ (1 − α )Bε (g y. a z ,{ε ,i , j }. ⎤ g⎥ ⎦⎥. ). a a ⎣⎢ x∈Z (g z ,{ε ,i , j } ) y∈I (g z ,{ε ,i , j } )\{i , j } n −1 n −1 C z ⎡ + (− α i′ − α ′j )∑ ∑ ⎢ ∏α x ∏ (1 − α y )Bε g za,{ε ,i},−{ j} g z =1 a =1 ⎢ x∈Z (g za,{ε , i }, − { j } )\{ j } y∈I (g za,{ε , i }, − { j } )\{i } ⎣ n −1 n −1 C z ⎡ ⎤ ( + (α i′ + α ′j )∑ ∑ ⎢ 1 − α y )Bε g za,{ε , j }, −{i} g ⎥ αx ∏ ∏ z =1 a =1 ⎢ x∈Z (g za,{ε , j }, − {i } )\{i } y∈I (g za,{ε , j }, − {i } )\{ j } ⎣ ⎦⎥. z = 0 a =1. (. (. n −1. + (α i′ − α ′j )∑. n −1 C z. ⎡. ∑⎢. z = 2 a =1. ⎢⎣. ∏α. ∏ (1 − α )Bε (g. x x∈Z g za,{ε }, − {i , j } \{i , j } y∈I g za,{ε }, − {i , j }. (. ). (. ). y. . ). a z ,{ε }, −{i , j }. ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). ⎤. )⎥ ⎥⎦. ).

(601) . . ∂Uε (g, s ) ∂Uε (g, s ) − ∂siE ∂s Ej n −1. = (− α i′ + α ′j )∑. n −1 C z. ⎡. ∑ ⎢ ∏α. ∏ (1 − α ) Bε (g. x. y. a z ,{ε ,i , j }. ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). ⎢⎣ x∈Z (g za,{ε ,i , j }) y∈I (g za,{ε ,i , j }) \{i , j } n −1 n −1 C z ⎡ + (− α i′ − α ′j )∑ ∑ ⎢ ∏α x ∏ (1 − α y) Bε g za,{ε ,i},−{ j} g a z =1 a =1 ⎢ x∈Z (g a ) ( ⎣ z , {ε , i }, − { j } \ { j } y∈I g z , {ε , i }, − { j }) \{i } n −1 n −1 C z ⎡ ⎤ (1 − α y) Bε g za,{ε , j},−{i} g ⎥ + (α i′ + α ′j )∑ ∑ ⎢ αx ∏ ∏ a z =1 a =1 ⎢ x∈Z (g a ⎣ ⎦⎥ z , {ε , j }, − {i }) \ {i } y∈I (g z , {ε , j }, − {i }) \ { j } z = 0 a =1. ⎤. (. (. n −1. + (α i′ − α ′j )∑. ⎡. n −1 C z. ∑⎢. ∏α. ⎢⎣ x∈Z (g za,{ε }, − {i , j }) \{i , j }y∈I (g za,{ε }, − {i , j }). z = 2 a =1. y. I (g za,{ε ,i}, −{ j } ) \ {} i = I (g za,{ε , j }, −{i} ) \ { j} pˆ g za . ( ) Z (g { . a z , ε ,i }, −{ j }. ) \ { j} = Z (g. . (. ∏α. x. a z ,{ε , j }, −{i }. ). (. ⎥⎦. ). ∏ (1 − α ) Bε (g. x. )⎥. a z ,{ε }, −{i , j }. ⎤ g⎥ ⎥⎦. ). siE = s Ej . . ) \ {}i . ∏ (1 − α ) . x∈Z g za,{ε ,i }, − { j } y∈I g za,{ε ,i }, − {i }. ). y. ∂Uε (g, s ) ∂Uε (g, s ) n −1 n −1 C z − = ∑ ∑ pˆ g za α i′Bε g za,{ε , j }, −{i} g − α ′j Bε g za,{ε ,i}, −{ j } g ∂s iE ∂s Ej z =1 a =1. ( )[. (. ). (. )]. Bε (g za,{ε , j }, −{i} g ) Bε (g za,{ε ,i}, −{ j } g ) . g za,{ε ,i}, −{ j } lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) . lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) . g z ,{ε , j }, −{i} lεj (g za,{ε , j }, −{i}) . g za,{ε ,i}, −{ j } . ( l (g . (. ). a. ). (. ). Vε g za,{ε ,i}, −{ j } g ≥ Vε g za,{ε , j }, −{i} g . (. ) i = I (g { } ) \ { j} I (g { } ) \ {} Z (g { } ) \ {} i = Z (g { } ) \ { j} .

(602) . g za,{i} g za,{ j } . Vε g za,{ε , j }, −{i} g = Vk g za,{ε , j }, −{i} g . Bi (g za,{i} g ) ≥ B j (g za,{ j } g ) . g { } { } ) I (g { } { } ) \ { j} Z (g { } { } ) \ {} i g { } {} l (g { } { } ) V (g { } { } g ) ≥ V (g { } { } g ) . Vε g za,{ε ,i}, −{ j } g = Vi g za,{ε ,i}, −{ j } g a z, i. a z, i. ( l (g { V (g { . εj. (. ( l (g εj. ). Vi g za,{ε ,i}, −{ j } g ≥ V j g za,{ε , j }, −{i} g a z , ε , j }, − {i }. ε. a z , ε , j }, − i. a z, ε , j ,− i. j. ). (. . εj. a z, ε , j ,− i. a z, ε , j ,− i. a z, ε , j ,− i. a z , ε ,i , − j. a z , ε ,i , − j. ε. . ). a z ,{ε , j }, − {i }. a z, ε , j ,− i. g { } { } ) { } g ) = V (g { } { } g ) . εj. a z , ε , j }, −{i }. . a z, j. a z, j. ). g { ) . a z ,{ε , j }, − {i }. a z , ε ,i , − j. k. a z, ε , j ,− i.

(603)

(604) . g z ,{ε ,i}, −{ j } lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) a.

(605)

(606) . I (g za,{ε ,i}, −{ j } ) \ {} i Z (g za,{ε ,i}, −{ j } ) \ { j} .

(607) g za,{ε , j }, −{i} lεj (g za,{ε , j }, −{i}) . g za,{ε , j }, −{i} lεj (g za,{ε , j }, −{i})

(608) . g za,{ε ,i}, −{ j } lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) g za,{ε ,i}, −{ j }

(609) .

(610) lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) . . lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } )

(611) . .

(612) .

(613) .

(614) . . (. ). (. ). (. ). (. ). Vε g za,{ε ,i}, −{ j } g ≥ Vk g za,{ε , j }, −{i} g . Vε g za,{ε , j }, −{i} g = Vk g za,{ε , j }, −{i} g . lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) . Vε g za,{ε ,i}, −{ j } g = Vε g za,{ε , j }, −{i} g . a z ,{ε , i }, − { j }. g . (. lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) . g za,{ε ,i}, −{ j } .

(615) Vε g za,{ε ,i}, −{ j } g = Vk g za,{ε ,i}, −{ j } g . ). (. (. ). Z (g za,{ε ,i}, −{ j } ) \ {} i = Z (g za,{ε , j }, −{i} ) \ { j} .

(616) . (. ). I (g za,{ε ,i}, −{ j } ) \ {} i = I (g za,{ε , j }, −{i} ) \ { j} . ).

(617)

(618) lεj (g za,{ε ,i}, −{ j } ) . g za,{ε ,i}, −{ j } g za,{ε , j }, −{i} Bε (g za,{ε ,i}, −{ j } g ) ≥ Bε (g za,{ε , j }, −{i} g ) . . ∂Uε (g, s ) ∂Uε (g, s ) n −1 n −1 C z − = ∑ ∑ pˆ g za α i′Bε g za,{ε , j }, −{i} g − α ′j Bε g za,{ε ,i}, −{ j } g ≥ 0. ∂siE ∂s Ej z =1 a =1. ( )[. (. ). 2 2 ∂ U i ( g , s ) ∂s j < 0 E ∂U ε ( g, s ) ∂si . )]. (.