区分線形近似による非線形回路綱の時間解析の 1 方法

　 MEMOm80F 　S▲G▲MI

INSTITVTE 　OF 　Tー むHNO 』OGY 　 　Vol

．

24

，

　No

．

1_，1990

区 分

線

形

近

似

に

よ

る

_非

_線

_{形 回路}

_網

の

_{時 間 解 析}

の

1

_方

法

水 　

谷

光

AMethod

　of　

Timing

　

Analysis

　

for

　

Piecewise

−

Linear

　

Circuit

Hikaru

　

M

_正zuTANI

　 　

This

　paper　

discribes

　an　algorithm 　of　timing　analysis 　

for

　nonlinear 　networks 　represented 　

by

　piecewise

・

linear　

function．

　

By

　using 　the　

proposed

　algorithm ，　

it

　

is

　not 　necessary 　to　

define

　time　step　size

．

　 Non

・

1inear　 networks 　represented 　 by　p童ecewise

−

linear　can　

be

　analyzed 　

by

　linear

−

analysis 　method 　as　linear networks ，　

if

　region 　of　any 　nonlinear 　element 　

is

　not 　changed

．

　 If　it　

is

　changed 　at　tb

，

　we 　can　not 　analyze the　nonlinear 　circuit 　after 　tb　by　linear

−

analysis 　method

．

　

In

　this　case

，　we 　get　

V

（tb）which 　

is

　the　node

voltage 　at　tb

．

And 　we 　can 　analyze 　the　circuit 　after 　tb　using 　the　new 　

lincar

　equation 　and 　the　initiaI

value 　

V

（tb）

．

1．

_ま え が き 　従来

，

区 分線形近似 法は

，

あらゆる非線形特性を近 似 できる方 法 と して ， その解 析 法 や 応用 が研 究 さ れ て き た _％こ の 区 分 線 形 近 似 法は

，

非 線 形 素子の 特 性を表 現 す る た めに応 用さ れ， 区 分 線 形 近 似 法で表 現さ れ た回 路 網の 解 析 法2

−

6） や

，

非 線 形素 于の モ デ リング法η_{が 研 究 さ} れてい る。 これ らの 研 究で は， 非線形 抵 抗 と電 源で構成 される 回路 網か ら作 成された非線形回路方程 式を

，

直 流 解析 するこ と が 主 な 目的と さ れ てい る。 　

一

般に

，

回 路 網 を 過 渡 解 析 する ため に は

．

回路 網か ら 作 成された

，

微分 方 程 式を解 析する 必要 が ある。 微分 方 程 式 を 数 値 的に解 析 する方 法 とし て

，

時 間 を 離 散 化し， オイ ラ

ー

法 等の積分 公式に従っ て解を得る方法が 知られ て い る。 こ の 方 法に従え ば

，

過 渡 解 析は

，

各 時間 刻み に 於て直 流解 析に帰着し

，

直 流解 析法を使 っ て 回路網の過 渡 解 析を実行 できる。 　 し か し， オ イラ

ー

法は

，

時 間 を 離 散 化させ る た めの時 間 刻 み幅

dt

を使 用 者が与えな け れ ば ならない とい う問 題 点 が ある。 与えら れた 回路 網に急 激 な 電 圧 変 化がある 場 合 な どは

，

こ の 決 定が難 しい。

dt

を 大 ぎ くする とt 回路の状 態が激し く変 化す る瞬間

，

多量の誤 差 が発 生 し て_{解 析}が不 安 定 と なっ て しま う。 後 退オ イ ラ

ー

法におい ＊ 電 気工学科 　講 師 平 成 元 年

10

月

12

日受 付 て は

，

計 算 が 陽 関 数で は あ ら わ せず

，

反復法などを使っ て 陰関数を解 くが

，

こ の反復法が収束し に く くな るこ と も ある。

一

方

，rit

を あま り小さくする と

，

解析に必 要 な計 算 量が増え

，

多 量の解 析 時 間が 必要 と なる とい う欠 点がある。 しか も

，

こ の

dt

を 回路 方程式か ら決定 する のは難 しく

，

経 験 もしくは

，

実 験に頼るほ か ない。 　 本 論 文で は

，

区 分線 形 近 似に よる非 線 形回路 網に対し て

，

状態遷 移行列を使っ た過 渡 解析ア ル ゴ リズ ム を提 案 する

。

本ア ル ゴ リ ズ ムは

，

時間 刻み を使用者が与え る 必 要が ない とい う特 徴を持つ_{。 区 分 線 形 近 似}に よ る非 線 形 回 路 網は

，

各 線 形 領 域に於て

，

線 形 解 析に よる解 析が可 能 で あ る

。

線 形回 路 網の過渡 解 析は 周知の よ うに

，

状態 遷移 行列 を使っ て解を与えることができ9）

，

状 態遷移 行 列の計 算が可 能で あれば

，

線 形回路 網の過 渡 解は得ら れ るs ま た

，

時 刻 tbに お い て 方 程 式が切 り替わ る場 合

，

tb以 後の過 渡 解析は

，

　v（tb）を初 期 値 として tb以 後に お い て構 成 さ れ る線形 回 路網に線形解 析法 を適用 す る こ と に よっ て なさ れ る_。 こ の方法 を 繰 り返すこ とに よっ て必 要な時 間

T

まで の過 渡 解 析を実 行 する。 　従 来

，

状 態 遷 移 行 列 を使っ た解 析法と し て_， 波形緩和 法を応用 し た方 法 が発表されて い るB） 。　しか し

，

この 方 法は

，

各 線 形 領 域に於て

、

注 目する節 点 以 外の電 圧が変 化 し ない とい う仮 定の も とに解 析され　 各節 点の_{電 圧 が} 同時に変 化 する回路 網の解 析は 　 多 量の 誤差を含 むこ と に な る。 本 論文で は， こ の ような 仮 定 な しに

，

状態方 程

式 を 利 用 して 回 路 網 を 解 析 する。 こ こで

，

状態遷移 行列 は無 限 項の和で表 現 され るが

，

実 際の計 算 実 行 時に は

，

途 中の項ま での_計算で _打ち切られる ため

，

解は計 算 誤 差 とい うを 含んで しま う問題がある。 本論文で は

，

こ の問 題に対し， toの決定 方 法を非 線形素子の特性 が

1

つ の 区 間か ら出て

，

他の 区 間に は い るとい う条 件 以 外に 2つ の条 件を定 義し

，

誤 差を少な くする方 法を適 用 する。

　

この 2 つ の条件は

，

あ る節 点 q の節点 電 圧 Vg が定 常 解と等しく なる時 間を ら とする方 法 と

，

ある節 点 q の 節 点 電圧 Vg _{が 極 値}と な る時 間を tbとする方 法であ る。 こ こで

，一

度に解 析 さ れる線 形 回 路 網の時 間の 長さ が長い ほ ど誤 差が多 く なる が9）

_，

本方法はこ の長 さを適 当に _区切るこ とに よ り

，

誤差 を少な くして い る。

　

本論文の方 法 を

，

い くつか の例題に適 用 した ところ， 行列の 状態遷移 行 列を 2次の項ま での 計 算で打ち切っ て も後 退オ イラ

ー

法 と か な り近い 解 が 得 られる とい う良 好 な結 果を得た。

2

．

区 分 線 形近似 　区 分線形 近 似は非 線 形 素 于の 特 性をい くつ か の 区 間に 分 け

，

各々の 区 間 を 線 形関 数で表現 す る方法 で あ る。 例 え ば， 図1の ように

，

ダ イ オ

ー

ドの特性 を 区分線形近似 に よっ て定 義 するこ と がで きる。 この特 性は

，

素子 の両 端に か か る電圧が O

．

5 ボル ト以 下の とぎは

，

1k オ

ー

ム の_抵抗，

0．

5

ボル ト以上の是は

10

オ

ー

ム の抵 抗と

一

49

．

5

m ア ン ペ ア の電 流 源の 並 列 接 続に_{置 き}換 え る

。

こ の 区 1 18001V

−0矗

00495 v 図 1　区 分線形 近似に よ る， 非 線 形 特 性の例 分線形 近 似の 各線形 区 間の _接続 点を プ レ

ー

クポ イン ト （BP） と呼ぶ_。 区分線形近似は

，

非線形素子 の特 性を分 割す る BP と， 各 区 間の線形特性 で定 義さ れ る。 　こ こ で

，

非線形 素 子の特 性は， 素 子に与 える枝 電 圧の 条件に よっ て

一

意 的に決定さ れるとする。 も し

，

与 え る 条 件 を連続 的に_変化 する と， 素子に与える条件が

BP

と 等しくな り， さ らに BP を越えて と な り合う区間の条件 と なる。 本 論 文で は こ の よ うに

，

素 子に与え ら れ る条 件 が

BP

を越 えて

，

と な り合 う区 間の特 性と な る ことを

，

条 件が BP と交差 する と呼ぶ。

3。 過

渡 解

析

ア ルゴ リズム 　3

．

1 _{練 形 方 程 式の解 析によ る 節 点 電 圧}の算 出 　本 論 文で提案する

，

非線形

CR

回 路 網の過 渡 解 析アル ゴ _リズ ム を述べ _る。 こ こ で非線形

CR

回路 網 とは， 非 線 形 コ ン デン サ

，

非 線 形 抵 抗

，

従 属 電 流 源

，

独立電流源を 含む 回路である。 また

，

各 非線形 素子は

，

区 分 線形近 似 でその_{特 性}が表されてい る。 　本 論 文で は

，

節 点 方 程 式を扱 うが

，

修正節 点 方程式

，

タ ブロ

ー

方 程 式 な どの混 合 解析も

．

同 様に扱 うこ とが で きる。 　各 非線形 素 子の特 性がその枝 電 圧で

一

意に決 まる とす れば

，

非線形

CR

回路の 節 点回路 方 程 式は次 式で示 され るD

　　　　　　　　

c

_（v_）

窪

＋

G

（v_＞v−

i

　 　

（・）

C

（V）は節 点キャ パ シ タ ン ス _{行 列}

，

a

_（V）は節 点ア ドミ_ッ タ ン ス行列

，

V は_節点電圧ベ ク トル

，

　 i は節 点 電 流 源 電 流ベ ク トル である。 本 手法では

，

時間

0

における節 点 電 圧 v（0） が既知と し

，

（1）式を解いて _時間

0

か ら

T

に おけ る節 点 電圧の過渡解 析を行 うことを 目的とする。 　こ こ で

，

次の仮 定

1

を定 義 する。 仮 定 1 　 　 　 　

c

（v（t））＝

c

（v（to）_｝

，

　 　 　 　 0（v（t_））

；

G（v（to_））

，

　　　for　　to＜t＜コr1 こ こで 　 　 　 σ（v（to））＝

0

　　　　　　　　　（

2

） 　 　 　

G

（v（to））

≡

G　 　 　 （3） と定 義 する。

e −

1 が存 在すると仮 定 す れぽ， 仮 定

1

が成 り立つ _{場 合}

，

_（1）式の解は次 式で与えられる9）。 　 　 　 　v（t_）＝ ・e

−

Ht（v（to）

− a −

1i）十

G −

ti 　 　 　

for

　　’o く ’＜τ（

4

）

一 12 一

区分 線 形 近 似に よる非 線 形回路 網の時間解析の方 法 （水 谷　光 ） た だ し 　 　 　

H ＝C −

1θ で あ り

，E

を m 次の_{単 位}行 初

，

　

A

を m 次の正 方 行 列 と す れぽ

，

状態遷移行列 は

，

次 式で与え られる。 〆 一

蕩

劣

一 E _＋A _＋

封

_＋

封

_＋

表

浄 ＋

…

　 　 　 （5） もし

，

ぴ L が存在しない場 合で も

，

V に 変 換 を 施 して， 独立 な従 属 変 数を得る こ と に よっ て

，

ほ ぼ 同じ解とな る。 （5）式に示 された状 態 遷 移 行 列の計 算 方 法は次 章で 議論される が

，

本 章で は

，

こ の状態遷 移 行 列の解が与え られるとして議 論を進め る。 　い ま， to

＝O

で仮 定 1が 満た さ珍た場 合

，

時 間 0か ら T の 間の節点 電 圧 ｛v（t）［

O

≦t≦

T

｝は （4）式で_与え られ るが

，

仮 定 1が 満たされ ない場合を次に 示す。

　

まず 簡単の ため に

，

時 間

0

か ら T の 間 tb で

， 1

度 だ け ある

1

つ の非 線 形 素 子の _条件が

BP

と交 差 し， 非 線 形 素子の_特性 が変 化する場 合を示 す。 こ の場 合， 時 間0 で仮 定 1 が満た され ず

，

（4）式か ら節点電 圧 ｛v（t）［

O

≦ t≦

T

｝ を 求め るこ と はで き ない。　しか し

，

時間 t を ｛tlO≦t≦tb｝に 限れば

，

仮 定

1

が満た さ れ

，

（

4

） 式か ら ｛v（t）

10

≦t≦te｝は得られ る。 時 間 tb以後の節 点 電圧は

，

時 間 ｛t［t，≦t≦T ｝の非線形 素子の状 態か ら得 られ た線形 回路 方 程 式 を 用い て

，

V（tb）を初 期 値と して得 るこ と が できる。

　

複 数の非線形 素子 が複数の BP と交 差 する場 合は

，

こ の方法 を繰り返すこ と に よっ て解 を 得 られ る。 時 間 0 と 時 間 T の間で

，

ど れか の非線形 素 子の条 件が

BP

と交 わ る時 間 t、

，

t2

，…

，ら

一

、 をとするc た だ し 　　 　 　　 　 0＝ to＜tl〈

…

　＜tn

＿

₁〈tn

＝T

　　　　（

6

） 時間 t を tm くt＜tm＋ 、に限れば

，

（1）式の非 線 形 方 程 式 は 線 形 方 程 式

fm

と な る。 この と ぎの，　

C

（V）及び

G

（V） を

Cm ，

　Gm と表現 すると

，

／m は次式の よ うに表 さ れ る。

　

　　　

嬬

・ ・

。

・一 ・ … tm〈 ’・t

・

・1 （・） ま た

，

の 式の 解は次式となる。

　　　

v_（t_）＝ e

−

Hm 〔t

−

em ）（v（tm）

− GmHii

＞＋

Gm −

1i 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

for

　　tm く ’＜tm＋1　　（

8

） た だ し

，

　 　　 　 　　 　 　 　

Hm ＝＝

Cm ”

’

IG

肌

　　　　　　　　（9） であ り， σガ 1 _が 存在 すると した。 こ の た め

，

n 個の時 間 区 間 ｛tm〈t＜ tm＋，

lm

＝

＝

O，… ，

n

−

1｝に おい て

，

（8）式 を順 次 計 算するこ とに よっ て

，

必要 な 全て の時間に おけ る節点 電 圧 ｛v（t）

io

≦t≦tb｝ を 得 ることが でき る。 　

3。

2

  ＋1 の決 定 　本アル ゴ _リズ ムは

，

各 時 間に於て成 り立つ _{線 形 回 路 網} を 解 析 する が

，

こ の とぎ

，

非 線 形 素 于の条 件が， 次に

BP

と交 差 する時 間 tm

．

、 を求め る必 要がある。 本 章で は

，

この tm．1 の_{計 算 方法}を述べ _る。 　い ま

，

回 路 中に k 個の非 線 形 素 子が存 在 する と す る。 こ の う ち 」番目の非線形素子 ey の 規 約 接 続ベ ク トル _を

bj

とす る と， ノ 番 目の非線形 素子 の の両端の電圧 Ve」 は 次 式で表 され る。

　　　

Vb 」

＝b

」

’

。

−

ll（t

−

tm）_（v（tm）

− G

。、

一

’

i

）＋

b

」Gm

−

ii _（10） ま た

，

ef の BP の セ _ッ トを

Sf＝

｛”_ル ひ_ゴ2

，’

”

tVyp

，・

一

一

｝ とする。 各非線形 素 子の特 性 がその非 線形 素 子の端 子 間 電 圧に よっ て定 義される た め ，

Ss

の要 素は枝電圧であ る。 こ の 傷 の 各 要 素 vゴp を （10）式の Vb」に代入 し， 時 間 t に 関する陰関 数を解 け ば e_」 の両端の 電圧が

BP

と な る時 間の セ ッ ト

　Ta ＝

i｛’α1

，

轆 ，

…

t　tαア

，…

｝が求 ま る。 こ こで

，

（10） 式の 陰 関 数を解 く ため に は状 態 遷 移 行 列の 逆 行 列 を 計 算し な けれ ば な ら ないが

，

こ の計 算方 法は

4

章で述べ _られる

。

_{計 算 さ}れ たセ ヅ ト

T

。 の要 素の うち， 正で

一

番 小さい 要 素が

，

ed の条 件 が PB と交 差 す る実 際の 時 間 t〔m ＋Dゴで ある。同様1＝　

k

個の非 線 形 素 子の 両端の 電圧が

BP

と交わ る時間のセ ッ トを

　Tc

＝

｛t（MT ユ）

…

_t（ m ．1）k｝と す る と

，Tc

の 中で

一

番 小さ な要素が tm

．

1 と なる。 　3

．

3 ア ル ゴ リ ズム

　

次に本 論文で示 し た区分線形 近 似に よ る非 線 形 回路網 の過 渡 解 析アル ゴ リ ズ ムを図

2

に示 し， そ の説 明を行 う。

L 　

回 路の初期節 点 電 圧 v。

＝

ひ（0）， お よ び

Cv

（0）

，

　

G

（v）

，

　　i

を与 える。 v（

0

）

，

　

i

は直 接 与 え

，

　

C

（v）

，

　

G

（v）は

，

　　

各素子の 特 性

，

素 子の接 続か ら得る。 t。　・

O，

　m

＝0

　 　とする。 2

．

3

．

4

．

5

．

6．

　　 　 　　 　 　 　

C

．

；C

〈v．）　 　　 　 　 　　 （11） 　　 　 　　 　 　 　

Gm

＝

G

（Vm _）　 　　 　 　 　　 （

12

｝ とする。 （

8

）式を使っ て 線 形 回 路 方 程式を解 き

，

v（の を得る。 〔10）式 を 使っ て tm＋1 を求め る。 ス テ ッ プ4 で計算され た tm＋r が T よ り大 き け れ ぽ

，

tm＋ エ を T と す る

。

tm_{＋ 、}をス テ ッ プ

3

で計 算さ れ た方程式に代入 して

，

一 13 一

7．

1．Set 　

” o＝_「口 （₉） ，

　

c

（” ），

G

（v ），

i

　and 　

T．

　 m＝

O

．

　

te

＝

O ．

2。

C

驫嵩

C

（” m

）

． 　

G

購＝

G

（u 爾）

．

3，Solve

　

Linear

　 equation 　

forv

（

t

）

．

5

．

t

陏→1＝閾

in

（

t

旧 ◆1，

T

）

．

6

．

” 昂詈” （

t

繭 ＋ 1） 図

2

アル ゴ _リズ ム Vm

＝

v（tm＋ 、） を 計 算 す る。 もし tm＋1 が よ り小 さ け れば

，

ル

ー

プの カ ウンタ

ー

m にを加 え， ス テ ッ プ 2 へ もどる。 そ うでな け れ ば

，

計 算 終 了。

4

．

状 態 遷 移 行 列 　4

．

1 状態遷移行列 　本アル ゴ リズム で は

，

ス テ ッ プ 4 とス テ ッ プ6 に おい て

，

状 態遷移 行列を含む方程式を計算し な け ればな ら な い 。 特に ス テ ッ プ

4

で は

，

状 態 遷 移 行 列の陰関数を計 算 する必要がある。 　状態遷 移行 列は

，

（5）式で与え られて い るが

，

無限回 反 復 す るこ とに よ り解 が 得ら れ る方 程式である た め， 現 実に は計 算できない。 本 論 文で は

，

状 態 遷 移 行 列を計 算 す る た めに

，

ある決め た次 数 Sで _計算を打ち切 る方 法を 提案する。 状 態遷移 行 列を計 算で きる よ う に有限 項で打 ち切 り

，

近 似し た方程式を e_。（

・

_）と表 現 す れば

，

　 　 　 eAn 　 　 　

A2

　 　 　 　

As

　

eA÷ 乳  ＝

濯

語

＝

E

＋

A

＋ 酉＋

’

”

＋ 豆 （13） と近似さ れ る。 最良の S の決 定 方 法は， 本 論 文では

，

明 らか に さ れ ない が

，

s が 4 を 越 え な け れぽ

，

（13）式の 逆関数は陽的に与 え られ， tm＋ 、は直 接 法で得 られる。 こ のた め， ア ル ゴ リ ズム上か らは

，

s が 4を越えない こ と が望ま しい _Q 　 4

．

2　状 態 遷 移 行列の近 似 誤 差 　 本ア ル ゴ リ ズ ム で は

，

行 列の指 数の計 算を （13）式で

V

　 　 　 　

r

｝

一

鹽

，

．

．

t亀 腰 †1

Time

　 　 　

Lineap

　

Approx

｛mete 　SoLUtton

　 　 　 Real　 Solution

−

一

_一So1Ution

_自t　Stg 亘dy　

State

　 図

3

　

1

次近似 曲線， 真の 解， 定 常 解 V 　　 ＝ 胃 77

胃

一一

一

P■

，

．

7，

鹽

「

．

「

t亀 t馳 国 †1

Time

　 　 　 Ou巳

dratio

　

Approxi

囗 盈to 　

SolUtlon

　 　 　 Reel 　

So

］ut ：on

−

_{一一SolUtion}

Et_Steady

State

　 図 4 　

2

次近似曲 線， 真の 解， 定常 解

区 分 線 形 近 似に よる非 線 形 回 路 網の時 間 解 析の方法 （水谷　 光 ） 行うた め

，

誤差 が発生 する。 この誤差を軽減する た め

，

アル ゴ リ ズム の ス テッ プ 4 におい て

，

どの非 線 形 素 子の 特性も

BP

に交差 し てい な くても

，

適当 な時間を

，

　 tm ＋1 と し て し ま う とい う方 法を提案す る

。

こ こ で

，一

_度に解 析さ れ る線 形区 間の時間の長さ（tm＋ 、

−

tm）が 長い ほ ど誤 差が_多くなる が9）

_，

_{こ の} 方法は

一

度に解 析 される線 形 区 間の長 さ を適当に 区切るこ と に な り

，

誤 差 を少な くす るo 　 本 方 法は

，

アル ゴ リズムの ステ ッ プ

4

に お い て

，

次の

2

つ の条 件 を満たす 時 間 ta〔m ＋ 、〉を 計 算し

，

　 t。（m ＋ 、）が

，

tm＋1 よ り小さ けれぽ

，

　tm＋1 を ta（mt 、） に変 更 するこ と に よっ て実 現される。 条 件 1

　

ある節 点 q の 節点電圧 Va が 定常 解と等しくな 図 5TTL イ ンバ

ー

_{タ 回路} 1

1■1．6

了

V−B

AB DlODEfr 呱 σ toB0

．

59日

1．

0

DIODEfro

皿

EtoB0

．

了

1B1 ．2

nor ロ恩1DIODE 0

．

了1B1

．

2

図 6 ダイ オ

ー

ドの近似特 性

V

　 　 　 　る時間 　図3を例に とっ て 説 明 する_。 図 3は

，

節点

q

の電圧 Va の解曲線とt＝

O

_{に お}け_る

1

次 近 似 曲 線 を_しめす。 こ の v4 の t＝ ・

O

_に おける 1次近似 曲線は

，

状 態_遷移 行列 を s

＝

1 と し て計 算し た結 果であるa こ の場 合

，

時 間が 大 きくな るに つれ て計 算 結 果と解曲線は離れ誤 差が多 く な っ て し ま う

。

こ こで

，

_殉 が定 常 解と等 し く な る時間 を 10 7

．

25 4

．

5 1

．

75 　 0

−

₁ 10 7

．

25 4

．

5 175 　 0

−

1 10 7

．

25 4

_．

₅ 1

．

75 　 0

−

₁ （上） （中 ） （下 ） o O

．

5 1 1

，

5　 　 　 　 2 　 　 ×10

醫

7 0 O

_．

_{5 1 1}

_．

₅　 　 　 　 2 　 　 ×10

−

7 OO

．

5　 　 　 　 1　 　 　 　 1

．

5　 　 　 　

2

　 　 　 ×10

−

7 図

7TTL

イ ン バ

ー

タ 回 路 の入 出 力特性 　 本アル ゴ リ ズム _{（行 列}の_{指 数 関 数}を1次の _項 　まで 計算） 　本ア ル ゴ リズム （行 列の 指 数関数 を

2

次の 項 　まで 計 算 ） 　オ イ ラ

ー

法

5V

図

8MOS

インバ

ー

_{タ直 列回路}

b

図

9FET

の近 似 特 性

2

（V61e

躅

_O

_。

　oelVs 1くV6≦21 ●＝O

．

0005V● V● ta_（m ＋1）と し

，

その時間 に於て各 節点 電 圧を計 算し

，

その 後の 計算はその _時間 を初期 値とし て得る。 回路 網の各 節 点電 圧の_{定 常 解} V（。。_）は

，

_{回路網から}コ ン デン サ を取 り 去 っ た回路 網の直 流 解 析を実 行す れ ば得られ

，

　 　 　 　v（QQ_）t

＝

Gm

−

Li_（14_） である。 こ の た め

，

taCm＋1）は

，

　 　v_（t）

−

v（Oo _｝＝ ee（

− Hm

（t

−

tm）

X

り（tm）

− G

．

−

ii ）　　（15） の各要素が

0

に な る 時 間であ る。 条件

2　

ある節 点 q の節 点 電 圧 Vq が 極値と なる_{時 間} 　図

4

を例に取っ て説 明 する。 図 4は

，

節 点 q の 電 圧 Ve の 解 曲線と t＝

0

_に おける

2

次近 似曲線をし めす_。 こ の Vq の t

＝0

に おける

2

次 近 似曲線は

，

状 態 遷 移 行列 を s＝

2

_として_{計 算}した 計 算 結 果であ る。 t

＝

taで

2

つ の 曲 線が交 差 し た後

，

時間 が 大 き く な る につ れ て計 算結 果 と解曲線は離れて し まう。 また

，

計算結 果 と 定 常 解は交 差 しない ため

，

条 件

1

は満 た さ ない。 その ため

，

Va が 極 値 と等 し くな る時 間 を t。（m ＋D とし， その後の過渡解 析は

，

t。（m ＋ 、） を初 期 値 として行 う。 　 こ の 場 合

禦

L

ゴ （ee（

一

即

一

’

螺

ω （t・）

”G

・

“

’

i

_）） （・

6

_） 10 7

．

25

4．

5 1

．

75 　 0

−

₁ 10 7

．

25 4

．

5 民 》

01

7 　

一

1 10 7

．

25 4

，

5 1

，

7501 　

一

■

　

■

　

■

　

噛

　

噛

　

■

　

■

o 25

50

75　 　　 　

100

　 　 　×IO

−

o

．

　

．

，

．

．

’

　

_鹽

_甲

，

’

鹽

，

．

・

，

，

鹽

．

_．

_’

，

．

． ．

9

■

，

，

●

， ■

．

．

匸

8

， ．

， 曾

0 25 50 75　　 　　 100 　 　 　×10

−

9 　 　 0　　　　　　　25　　　　　　50　　　　　　75　　　　　　て00 　 　 　 ×10

’

9 図

10MOS

イ ンtl・

一

_{タ直 列回路の入出 力 特 性} （上 ）　 本アル ゴ リズ ム _（行 列の 指 数 関数を 1次 の項 　 　 　ま で計 算 ） （中｝　 本ア ル tf リズム （行 列の指 数 関 数を2次の項 　 　 　まで 計 算 ） （下）　 オイラ

ー

法

区 分線形 近似に よ る非 線 形 回 路 網の 時 間 解 析 の方 法 （水 谷　光） 図

11MOS

イ ンバ

ー

タル

ー

プ 回 路 を計 算 し

，

各 要 素が 0に なる時 間を得る。 微 分さ れ る関 数は時間 tの多項式で ある から

，

その微 分は得 られ る。

5

．

例 題 例 題

1

　本 論文の方 法 で図 5に 示 す 回路網の過 渡 解 析をお こな っ た。 図

5

の回 路は

，

TTL のイ ンバ

ー

タの 出 力に

，

コ ン デ ン サ の負 荷が か か っ てい る回路である。 こ の回路に ス テ _ッ プ_状の入 力 を入力し た ときの過渡解 析 を行っ た_。 各 トラ ンジ ス タは

，

エ パ

ー

ス モ ル モ _デル ｝こ _{よ り電 流 源と} ダ イオ

ー

ドにおきか え

，

ダ イ オ

ー

ドは

，

図 6の よ う な 区 分 線形近似に よっ て特性を定義し た。 エ バ

ー

ス モ ル モ デ ル _中の ベ

ー

ス

・

エ ミッ タ間に入っ て い る ダ イオ

ー

ドの 特 性と

，

ベ

ー

ス

・

コ レ ク タ_間に 入っ て い る ダ イオ

ー

ドの特 性

，

及び他の ダ イオ

ー

ドの 特 性は そ れ ぞれ図 中に示 され たパ _ラ メ

ー

タを 使 用 してい るD 　 本ア ル ゴ リ ズム _{に よ る解 析 結 果 を 図}

7

に示 す。 状 態 遷 移 行 列 を s＝ 1 で_{近 似} し た 場 合と s＝ 2 で近 似 し た場 合

，

及び後 退オ イラ

ー

法の解 析 結 果 も同時に示 す。 本ア ル ゴ リ ズ ムに よ る計 算では

，

状態遷 移 行 列を 5＝

1

で近 似 し た場 合

18

回 の反 復 計 算

，

s

＝

2 で近 似 し た場 合， 16 回 の反復計 算であっ た。 例題

2

　 本 論 文の方 法で図 8に示 す FET 回 路 網の過 渡 解 析 を お こ なっ た。 FET の特 性は

，

ゲ

ー

_{ト入 力 電 圧に よ} っ て 変 化し

，

図

9

の ように定 義 し た。 こ の 特 性は

，

ゲ

ー

_ト電 圧が

0

ボル ト か ら1 ボル ト の とき， ソ

ー

ス ・ ドレイ ン間 は オ

ー

プ ン

，

ゲ

ー

ト電 圧が

1

ボル トか ら

2

ボル トの と き

，

ソ

ー

ス

・

ドレイン_間は 2K オ

ー

ムの抵抗

，

オ

ー

プ ン

，

ゲ

ー

ト電 圧 が2 ボル tt以 上の と き

，

ソ

ー

ス ドレイ ン 間は オ

ー

ム の抵 抗と近 似し てい る。 こ の回路に ス テ ッ プ 状の 入力を 入 力 し た と きの 過 渡 解 析を本アル ゴ _{リ ズ ム で} 行っ た。 状態遷移 行 列を ∫＝ 1で近 似 し た場 合 とs＝

2

で 近 似し場 合の 各 節 点の解 析 結 果 を 図 10 に示 す。 ま た， 後退オ イ ラ

ー

法た で行っ た解析結 果 も同 時に示 す。 本ア 10 7

．

25 4

．

5 1

．

ア5 　 0

−

₁ 10 7

．

25 4

．

5 1

．

75 　 0

−

₁ 10 7

．

25 4

．

5 175 　 0

−

₁ 0 25 50 75　 　 　 　100 　 　 　 ×10

−

“ O 25 50 75　 　 　 　100 　 　 　×10

−

9 　 　 0　　　　　　25 　　　　　

50

　　　　　75　　　　　100 　 　 　 ×10

−

9 図 12 　MOS イ ンバ

ー

タ ル

ー

プ 回 路 の出 入力特 性 （上）　 本ア ル ゴ リズム _{（行 列}の _{指 数関 数 を}1_次の項 　 　 　ま で計 算 ） （中 ）　アル ゴ リズ ム _（行列の _{指 数}関数を

2

次の項衷 　 　 　で計 算） （下〉　オイ ラ

ー

法

ル ゴ リ ズム に よ る計 算で は

，

状 態遷移 行 列を s＝

1

で近 似し た場 合，

29

回の 反復計 算

，

s＝ 2 で近 似 し た場合， 131 回の反復 計 算であっ た。 例 題 3 　 本論文の _{方 法}で_図 11 に _{示 す} FET _{回 路 網}の過 渡 解 析 をおこなっ た。

FET

の特 性は

，

前 例 と同 じ と し た。 状 態 遷 移 行列 を s＝ 1 と して計 算 し た 場 合 と s＝ 2 と し_て 計算した場 合の解 析 結 果 を 図

12

に示 す。 また

，

後 退オ イ ラ

ー

法で行 っ た解 析 結果 も 同時に示 す_。 本ア ル ゴ リ ズ ム に よる計 算では

，

_{状 態 遷}移 行列を s＝

1

_{と し て}近 似_し た場 合 157 回の反復 計算

，

s

＝

2 と して近 似 した場 合

，

183 回の反復計 算であう た。

6

．

む　 す 　 び 　 本 論 文では ， 区 分 線 形 近 似に よ る非 線 形回路 網の過 渡 解 析を行 うア ル ゴ リ ズ ムを提案し た。 　従 来の_{過 渡解析}法 は

，

時 間 を 離 散 化させ る た め に

，

時 間 刻み を与え る 必要があ り

，

ま たその値に よ っ ては解 析 が うま くで ぎない とい う欠 点があっ た。 本ア ル ゴ リ ズム は

，

_{従 来}の_{過渡 解析法}と違い

，

_使用者が_{時 間 刻}み幅を与 え る 必要がない とい う特徴を持つ 。 し か し

，

本アル ゴ リ ズ ムは

，

_{状 態 遷 移行 列}の計 算がア ル ゴ リ ズ 厶中に_あり， その 計算を 途中で打ち切る た め誤 差 を含ん で し まう。 本 論文で は

，

_線形 方 程 式の有 効 な 時間を

，

非線形 素 子の_特 性 が

BP

と交わ る 以外の条 件で打ち切るこ と に よ り

，

誤 差に減 らす工 夫がさ れてい る。 こ の 方 法に よ り

，

例 題で は

，

状 態 遷 移 行 列の 計 算を

，

2 次の項 迄の 計 算で打ち切 っ て も後退オ イラ

ー

法 とか な り近い解が得られ ることを 示 した。 　 また

，

本 アル ゴ _リズ ム では

，

各 非 線形素 子の BP の数 が多く なると tm＋、 を捜すア ル ゴ リズムが遅くな り

，

ア ル ゴ _リズ ム の反 復回 数 が 多 く な る こと が 予想さ れ る

。

こ

．

のため

，

本アル ゴ _リズ ム は， 非 線 形素子の 特性の BP の 数が少 ない回 路 網の解 析 が 向い てい る と思わ れ る。 ） 1 ）

2

）

3

） 4 ）

5

） 6 ） 7 ） 8 ） 9 文 献

Jacob

　

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