〔Ⅲ〕
■解答□
(1) 3点A，B，Eは同一直線上にあるから，実数eを用いて−→AE = e−→ABと表せて， −→OE =−→OA + e−→AB = ( 1− 3 5e，0，1− 1 5e ) より−→OEのz成分は1−1 5eとなる．点Eはxy平面上にあるから 1−1 5e = 0 すなわち e = 5 となる．これより，−→OE = (−2，0，0) したがって，点Eの座標は(−2，0，0) ::::::::: (2) 3点E，P，Qは同一直線上にあるから，正の実数kを用いて−→EQ = k−→EPと表せる． 点Eのy座標は0であるから，点Qのy座標は点Pのy座標のk倍である． 2点M，NをM(−1，0，0)，N(1，0，0)と定めると，異なる4点P，Q，M，Nは円C上にあるか ら，方べきの定理より EP· EQ = EM · EN = 1 · 3 = 3 となる．これより， k· EP2= 3 点Pの座標は(p，√1− p2，0) (−1 < p < 1)であるから， EP2= (p + 2)2+ (√1− p2)2= 4p + 5 となり， k = 3 4p + 5 したがって，点Qのy座標は 3 √ 1− p2 4p + 5 :::::::: (3) 点Fの座標は(cos θ，sin θ，0) (0 < θ < π)と表せて，−→BG = t−→AFを満たす実数tが存在するとき， −−→OG =−→OB + t−→AF = ( 2 5，0， 4 5 ) + t(cos θ− 1，sin θ，− 1) = ( 2 5 + t(cos θ− 1)，t sin θ， 4 5 − t ) となり，点Gのz座標は0であるから，t = 4 5 が得られる．よって −−→OG = ( 4 5cos θ− 2 5， 4 5sin θ，0 ) が成り立つ．点Gが円C上にあるための条件は (4 5cos θ− 2 5 )2 + (4 5sin θ )2 = 1であり，これより点Fのx座標は， cos θ =−5 16 :::: (4) 点Rの座標を(XR，YR，0)とおく. 3点A，P，Uが同一直線上にあるとき，実数αを用いて， −→OU =−→OA + α−→AP = ( 1 + α(p− 1)，α√1− p2，1− α) と表せる．同じように考えると，実数βを用いて， −→OU =−→OB + β−→BR = ( 2 5 + β ( XR− 2 5 ) ，βYR， 4 5− 4 5β ) が得られる．ベクトルの各成分を比較すると 1 + α(p− 1) = 2 5 + β ( XR− 2 5 ) α√1− p2= βY R 1− α = 4 5 − 4 5β となり，この第3式よりα = 4β + 1 5 が得られる．これを第2式に代入すると， 4β + 1 5 √ 1− p2= βY R この等式はβ = 0で成立しないから，β̸= 0であり， YR= (4β + 1)√1− p2 5β 第1式についても同様に考えると XR= (4p− 2)β + p + 2 5β 点Rが円C上にある条件はXR2+ YR2= 1であるから { (4p− 2)β + p + 2 5β }2 + { (4β + 1)√1− p2 5β }2 = 1 が成り立ち， (16p + 5)β2− 12pβ − (4p + 5) = 0 4p(4β2− 3β − 1) + 5(β2− 1) = 0 4p(β− 1)(4β + 1) + 5(β + 1)(β − 1) = 0 (β− 1){(16p + 5)β + 4p + 5} = 0 点Pは(3)の点Fと異なるので，p̸= − 5 16 したがって，β = 1，−4p − 5 16p + 5 となるが，β = 1のときα = 1となり，3点U，P，Rが一致するこ とになり，不適．
よって，β = −4p − 5 16p + 5 となり，これより α =− 3 16p + 5 が得られる．以上よりRのy座標YRは YR= 3√1− p2 4p + 5 :::::::: であり，Uのy座標YUは YU=− 3√1− p2 16p + 5 :::::::::: 別解 5点A，B，P，R，Uは同一平面上にあり，(1)で考えた点Eは直線AB上にあるから，6点A，B， P，R，U，Eは同一平面上に存在することになる(この平面をπとする)． 平面πと円Cの共有点の個数は0または1または2であるが，平面π上の異なる2点P，Rはと もに円C上にあるから，平面πと円Cは異なる2点P，Rで交わる. 一方，(2)より，平面π上にある直線EPと円Cとの交点はPとQであるから， Q = R が成り立つので，Rのy座標は 3 √ 1− p2 4p + 5 :::::::: 以上より，6点A，B，P，R (= Q)，U，Eは同一平面上にあることがわかる． 求めるUのy座標をY，点A，B，Uからxy平面に下ろした垂線の足をそれぞれA′，B′，U′とす る． −1 < p < −1 2 のとき E P B′ U′ Q A′ (2)より，EQ : EP = k : 1 = 3 4p + 5 : 1であるから， EQ QP =− 3 2(2p + 1)
A U P Y √1− p2 0 y PU′ U′A′ = PU UA = √ 1− p2− Y Y また， AB : BE = A′B′: B′E = 1 : 4 であるから，メネラウスの定理より， PU′ U′A′ · A′B′ B′E · EQ QP = 1 PU UA· AB BE · EQ QP = 1 √ 1− p2− Y Y · 1 4 · { − 3 2(2p + 1) } = 1 Y =−3 √ 1− p2 16p + 5 −1 2 < p <− 5 16 のとき E B′ A′ Q P U′ と同様に考えて，メネラウスの定理より， PU′ U′A′ · A′B′ B′E · EQ QP = 1 PU UA· AB BE · EQ QP = 1
√ 1− p2− Y −Y · 1 4 · 3 2(2p + 1) = 1 Y =−3 √ 1− p2 16p + 5 −5 16 < p < 1のとき E B′ U′ A′ P Q と同様に考えて，メネラウスの定理より， PU′ U′A′ · A′B′ B′E · EQ QP = 1 PU UA· AB BE · EQ QP = 1 Y − √ 1− p2 Y · 1 4 · 3 2(2p + 1) = 1 Y =−3 √ 1− p2 16p + 5 ， ， より，Uのy座標は−3 √ 1− p2 16p + 5 ::::::::::
É d Ê
■ 解答 □
x (0) Ý an Ý (1) f0(x) + 0 ¡ f(x) % 極大 & x (0) Ý an Ý (1) f0(x) ¡ 0 + f(x) & 極小 % n は 9 以上の自然数 f(x) = 1 x(log x)n (0< x < 1) (1) 0< x < 1 のとき log x < 0 f0(x) = ¡ logx + n x2(logx)n+1 f0(x) = 0 とすると log x = ¡n Ú x = e¡n この x を an とするので an = e¡n f(an) =f(e¡n) = e¡n 1 (¡n)n =# ¡ e n ; n あ⃝
n が奇数のとき⃝
い n が偶数のとき f(an) はU n が奇数のとき 極大値 n が偶数のとき 極小値 (2) f00(x) = 2(logx) 2+ 3n(log x) + n(n + 1) x3(logx)n+2 f00(x) = 0 とすると 2(log x)2+ 3n(log x) + n(n + 1) = 0 t = log x ÝÝ1 とおくと 0 < x < 1 のとき t < 0 2t2+ 3nt + n(n + 1) = 0 ÝÝ2 判別式を D として D = 9n2 ¡ 8n(n + 1) = n(n ¡ 8) > 0 (Û n ¸ 9) 2 は異なる 2 つの実数解 ®，¯ をもつとできて，解と係数の関係から ® + ¯ = ¡ 3n2 < 0 ®¯ = n(n + 1) 2 > 0 これより ® < 0，¯ < 0 である． つまり，2 は異なる 2 つの負の実数解 t をもち，1 から 0 < x < 1 を満たす 2 つの実数 x が存在する． この x の前後で f00(x) の符号は変化する． よって，f(x) は 2 つの変曲点をもつ． 1，2 より log x = ¡3n § C n2 ¡ 8n 4 これを満たす x が bn，cn (bn < cn) であるから bn = e ¡3n¡pn2 ¡8n 4(3) loglogban n = 3n + C n2¡ 8n 4n n を 9 以上の自然数として #1 ¡ 1n ; ¡ loglogban n = n ¡ 1 n ¡ 3n +Cn2 ¡ 8n 4n = n ¡ 4 ¡ C n2¡ 8n 4n = 16 4n"n ¡ 4 + C n2 ¡ 8n : > 0 logbn logan ¡ #1 ¡ 1 n ¡ 5 n2 ; = 3n +Cn2 ¡ 8n 4n ¡ n2¡ n ¡ 5 n2 = n C n2¡ 8n ¡ (n2¡ 4n ¡ 20) 4n2 = 2n(3n ¡ 20) ¡ 100 n2QnCn2 ¡ 8n + (n2¡ 4n ¡ 20)i > 0 (Û n ¸ 9 より 2n(3n ¡ 20) ¸ 2 ¢ 9(3 ¢ 9 ¡ 20) = 126) よって 1 ¡ n ¡1 n52 · logbn logan · 1 ¡ 1 n ÝÝ3 は成り立つ． (4) Z f(x) dx = Z 1 x ¢(logx)¡ndx = (log x)1¡n 1 ¡ n + C (C は積分定数) (5) an · x · bn の区間で f(x) の符号は変化しないので Sn = Z bn an f(x) dx = (logx)1¡n 1 ¡ n „ bn an = (logbn)1¡n ¡ (log an)1¡n 1 ¡ n = (logan)1¡n 1 ¡ n T# logbn logan ; 1¡n ¡ 1l = (¡n)1¡n 1 ¡ n T# logbn logan ; 1¡n ¡ 1l (Û log an = ¡n) = n1¡n n ¡ 1 T# logbn logan ; 1¡n ¡ 1l これより nnS n = n n ¡ 1 T# logbn logan ; 1¡n ¡ 1l ÝÝ4 ここで lim n!1 n n ¡ 1 = limn!1 1 1 ¡ n1 = 1 3 の各辺を (1 ¡ n) (< 0) 乗して #1 ¡ 1n ;1¡n · # loglogban n ; 1¡n · #1 ¡ n ¡1 n52 ; 1¡n ÝÝ5 このとき lim n!1#1 ¡ 1 n ; 1¡n = lim n!1#1 ¡ 1 n ; ¡n ¢ #1 ¡ 1n ; =e lim n!1log#1 ¡ 1 n ¡ 5 n2 ; 1¡n = lim n!1(1 ¡ n) ¢ n + 5 n2 ¢ n2 n + 5 log#1 ¡ n + 5 n2 ; = lim n!1#1 ¡ 1 n ;#1 + 5 n ;log#1 ¡ n + 5 n2 ; ¡n+5n2 = loge このことから lim n!1#1 ¡ 1 n ¡ 5 n2 ; 1¡n =e
これらより 5 ではさみうちの原理を用いて lim n!1# logbn logan ; 1¡n =e よって，4 から lim n!1n nS n =e ¡ 1
