伝達行列法を用いた線状周期構造物の振動特性に関する研究 : 1次元連続体と集中質点で構成される周期構造の波動伝播特性に関する基礎的考察

【論　 文

1

UDC ；624

．

042

．

7 ：624

．

04 　 　

日本建築学会構 造 系 論 文 報 告 集 第421号

・

1991年 3 月

Journal　of 　Struct

．

　Constr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

421

，

　Mar

．

，

_1gg1

伝

達

_行

列

法

を

用

い

た

線 状

周

期構

造

物

の

振 動 特 性

に

_関

す

る

_{研 究}

一

₁

_次

元

連続

体

と

集 中質点

で

構 成

される

周 期構 造

の

波動

伝

播

特

性

に

関

する

基礎

的

考

察

一

　　

ASTUDY

　

ON

　

THE

　

DYNAMIC

　

CHARACTERISTICS

　

OF

　

THE

　

PERIODIC

　　　　　　　

STRUCTURE

　

USING

　

TRANSFER

　

MATRIX

　

METHOD

　　

−

Abasic

　study 　on　

the

　wave 　

propagation

　

in

　the　

periodic

　structure 　composed

　　　　　　　　

of　one

・

dimensional

　continuum 　

body

　and 　

lumped

　masses

一

　　　

福 和 伸 夫

＊ ，

勝 倉

　

裕

＊＊ ，

中

井

正 一

＊ ＊＊ ，

イ

グ

サ

タ

ケ

ル ＊ ＊ ＊ ＊

』

NobUo

　

FUKUIVA

，　

ffiroshi

　

KA

　

TUKURA

，

　

Shoich

　

NAKAI

　and 　

Takemt

　

IGUSA

　The

　wave 　propagatioll　in　the　periodic　structure 　

is

　studied 　using 　the　transfer　matrix 　method

．

　

The

la

【gespace 　structures　suph 　as　a　

NASA ’

s　space 　station 　are　made 　of　truss　structures 　which 　are　ones

of　the　_periodic　structures 　composed 　of 　_pipes　and 　

joints

．

　

Since

　the　spaGe 　station 　wi1 星

be

　used 　

for

theexperiment 　and　man ロ

facturing

　utilizing 　micro 　G　environment 　in　space

_，

　it　is　necessary 　_tQ　con

．

trohhe　vibration 　

belQw

μ

G

　under　several 　external 　

disturbances

　which 　

have

　a 　wide 　

band

　

frequency

range

．

Inorder　to　assure 　the　vibration 　contro1

，

　the　

basic

　study 　on 　the　wave 　_propagation　

in

　the

periodic　structure 　should 　

be

　carried　out

．

　

In

　this　paper

，

　a　simple 　modei 　of　Qne

・

dimensional

　con

−

tinuum body　attached 　

by

　

lumped

　masses 　with 　same 　spacing 　

is

　adopted

．

　

A

　study　on 　the　eigenva

−

lues

　of　the　transfer　m ヨtrix　enables 　us　to　understarid 　the　wave 　_{propagation　phenomena 　of　the}

periodic

　structure 　which 　

have

　pass

、

band　and _stop

band．



The

_{evaluation 　of 　the　phase　ve ［ocity}

_，

group　velocity 　and　 equivalent 　damping　 makes 　 us 　confirm 　the　dynamic　characteristics 　of 　the

periodic

　structures

．

　As　a　extreme 　case

，

　the　system 　composed 　o正

lumped

　mass 　and　static 　spring 　is studied 

in

order　to　_grasp　the　wave 　

propagation

　

in

　the　

discrete

　system

，

Keytoonls

：

Periodic

　structure

，

transfer　matrix 　method

_，

　 zuave 　

P

厂opagation

、

9ア_卿 掘 0 

，　

Phase

　uelO

．

　　　　　　

Ci

り’

，

　equiualent 　dumping

1．

はじめに

　

NASA

に ょ る スペ

ー

ス ス テ

ー

ショ ン建造 を 契 機 と し

て

，

数 百 m _{か ら数} km _{規 模}の 大 型 宇 宙構造物 （

LSS

　

一

＝

Large　

Space

　

Structure

）の開 発 計 画が進め ら れて いる。

LSS

は

，

図

一

1の よ うに地 上 構 造 物とは異 な る構造的 特 徴 を有して い る1〕

_。

現 在，

LSS

の構造 形 式の

1

つ と し て

，

トラ ス で構 成 された梁 状 構 造が想 定さ れて い る

。

こ の場 合

，

大 空 間 を 単 純な構 造 要 素の_集合体で構 成す るこ と が望 ましい の で， 同

一

_{の トラス構造 が} 連 続 して結 合さ れ ることになる

。

し たがっ て_， 同

一

の 構造要 素が周 期 的 に繰 り返す線 状 周 期 構 造 物の振 動特性を 把握す ること が 重 要 と なる

。

こういっ た， 大 型宇 宙構造物の構 造 的 特 徴 は， 地 上の 大 空間 トラ ス屋 根 構 造の特 徴と共通 す る 面 も ある

。

　

宇 宙構造物の利 用の ユつ と して_， 微小重 力 環 境を利 用 し た_実験

・

_{製 造 施 設}が想 定 されている

。

こ の_種の施設で は

_，

構 造物 内の 人間 活 動

・

機 械 振 動， シャ トル の ドッ キ ングなどの種々 の

_外

_乱に対して

，

稼 働 時の振 動 をマイク ロ

G

レベ ル に抑 制す る 必要が あ る。 通 常

，

外 乱に含 まれ る振 動 数が非 常に広 帯 域に な るの で

，

_高振 勤 数 域を含め 構 造 的特 徴 解 析 手 法で の留 意事項 　固定 点の欠如　 　　　　 　　　 剛体 運 動の存在

［

　低減衰　　　　　　制 振装置の付 加 　大 自由度効率の高い_{数 値 解析 手 法} 　軽量 かつ 柔軟　　　　　　　　　長 周 期

、

大 変 形 　多様な外力　　　　　　広 帯 域の振動 数 　モデュ

ー

ル化　 　 　　 　 　　 　構 造 物の周 期 性

、

共 通 性 　 　 　 図

一

1　LSS の_{構 造 的 特 徴} 　 ＊ 清 水 建 設 （株 ）大 崎研究室

・

工博 　艸 清 水 建設 （株 ）大崎研究室

・

工博

＊

“

_{清 水 建} 設 （株 ｝大 崎 研 究 室

・

工博 ＊t＊ ＊ ノ

ー

スウェ スタン大 学　助 教授

・

Ph

．

D

．

Ohsak丘Research　Insti加te

，

　Shimizu　Corporation

，

　Dr

．

　Eng

．

Ohsaki_{Research　Institute}

_，

_{Shimizu　Corpomtion}

_，

_Dr

_．

_Eng

_，

Ohsak孟Research　Institute

，

　Shimizu 　Corporation

，

　

Dr．

　Eng

．

Norヒhwestem　Univ

．

，

Asseciate　Pro正essor

_，

　Ph

．

D

．

た波動の伝播 性 状 を考 察 すること が 必 要 とな る

。一

方

，

宇宙構 造 物は

_，

打 上 げ 費 用 め 問題と微 小 外 力 等の環 境 条 件か ら，軽量

・

柔 軟なパイ プと ジョ イン トで構 成さ れる。 例えば

，NASA

の スペ

ー

ス ス テ

ー

シ ョ ン で は

，

パ _{イ プ} と ジョ

1

イ

シ

』

_トの重 量

_坤

は 1：（1

．

−

2） 程 度

，

パ _{イ プ}の長 さ （約

5

甲）と径の比は IOO程 度にな る と

鷽

定さ れて い る

。

この場 合に は

，

波 動の伝 播には ジョ イン ト部の 影 響 が 無 視で きないと考え ら れ

，

波 動は主 に パ イプの軸

擴

動 に よ リ ユ次 元 的に伝 播 する と考え ら れ る。 したがっ て，

、

「

最 も単純化した数学モデル _｝よ

1

次 元 連 続 体に ジョイン ト を模 擬し た集 中 質点 が等間 隔に分散する周期 構 造

_物

と な る。 　

一

方

，

超高層建 物の振 動 性 状 を考え る場 合にも

，

各 層 の耐 震 要 素を等 価せ ん断 梁 置 換し

tt

・

床 重 量を集 中 化す れ ば

，

同 様の数 学モ デルが得ら れ る

。

し たがっ て_， 1次 元 連続 体と集 中 質 点で構 成さ れ る 周期 構 造の波 動 伝 播 特 性 に関する基 礎 的 考 察はt 宇宙 構 造物の振 動 問 題だけ で な く建 築 構 造 物の振 動 問 題に も結び付け て考え ること がで きる と思わ れ る

。

　 　 　 　

．

」

’

1

』

本論で_！よ_・ ご

．

う而

_嬋

点

_畔

_つ

て

・

周購

造

物畩

・

動 特 性に関_す秀基 礎 的 検討を行う。 す な わ ち， 広 帯域の 振動 数 を対 象に

・

1次 元 連 続 体に_{集 中質}点が等聞 隔に分 布 する周期構造物を想 定し_， 波 動 伝 播 性 状の_考察 を 行 う

。

解 析には

，

、

1

次元連 続 体の波 動

解

と伝 達 行 列法を採用す る

。

　 　 　 　

．

．

　

周 期 構 造 物に関す る検 討は_， Bri

’

110ainZ｝

’

_{に よ る} 著書を 嚆 矢と して_{数 多}くの研究が行わ れて きて

_有

り

，

_導

_年

1

宇 宙 構 造 物 にお け る 周 期 構 造物の重 要 性が研 究を加 速さ せ て いる。 周 期 構 造 物は， 波 動 を透 過す る振 動 数と 遮 断 す る振 動 数を有 し

，

多種の 波 動 を伝 播 させ るwave 　guide として の働き を持つ

。，

こ の性 質は メ カニ _{カ ル フ ィ ル タ}と して考え るこ と がで き る。 周期構 造 物の主な解 析 手法に は

，

弾 性 波 動 論に基づ く方 法3）

・

4） と 伝 達 行 列 法EL6 ］が あ る

。

前者は波 数に関す る級 数 展 開を利用 して お り

，

無 限に続 く周 期構 造 物の 解 析に_適用

_グ

限られ る

。

後 者はFEM 等の離 散 化 解 析 手 法か ら伝 達行列を作 成しており

，

境 界 条件な ど を考 慮し た解 析に適 して い る が

，

振 勤 数 範 囲が 限 られ， かつ 伝 達 行 列 法特有の数 値 不 安 定 性の問 題を有 する

。

伝 達

_行

列 法は，

，

従来よ り

，

構 造 物の静 的 解 析 7_］

_，

振 動 解 析ti〕 ；地 盤の弾 性波 動 解 析9啄 どに用い ら れて き たが

，

特に

，

周期 構 造 物の振動解 析に有力 な 解析 法であ る

。

伝 達 行 列 法の欠 点

．

で_ある構 造物が多数 連結される場 合の数値 安

_定

性の低さ も

，

伝達行 列の固 有 値の特 性5吃 利用 する こ と に よ り解決で き るこ とが 指 摘さ れ て い る6 ）

。

そ こ で

，

本 論で は

，

新たに波 動 解 を伝 達 行 列 法に 適 用 し

，

さ らに

，

文 献 1で示さ れ た 数値不安 定 性回避の 手 法の基 本 的 考え方 を導入 する

。

これ により

，

多数 連結

　　　　　　　

F さ れ る 周 期構 造 物の解 析を

，

高 振動 数 域 まで含めて可 能 とする。ま た

，

波動 解と無 次 元 量 を用い て

，

波動の 透 過

・

遮 断 振 動 数

，

位相

・

群 速 度

，

減 衰定数を陽に示ずこ とに より

，

従 来ほと んど_検討が行わ れ て い な か っ た構造 物 内 を伝 播す る波 動の基 本 的 伝 播 性 状 を 統

一

的に明ら かに し

，

周期 構造物の 振 動 性 状の考 察 を行 う

．

。

な お

，

本 論で

．

得ら れ た解に_基づ き， 離 散モ デ ル に お け る波 動の伝 播 性

’

状にっ い ても若干の検 討 を加え る

。

「

2．

伝 達 行 列法に よ る定式 化　

’

　

図

一

z

に示 すよ う に，

，

n＋1個

Q

集 中

質

点が等 間 隔で

IFff

す る 1

_塗

元

_連

続 体 を 対 象と_する

，

図か ら分か る よ う に

，

こ の問 題の 基本構成要素は_， 両 端に m ／2の集 中 質 点 が 取り付い た長さ ♂の

1

次元 連続体であり， これ が 1 次 元 的に繰 返す周 期 構 造物と なっ てい る

。

こ こ で は

，

宇 宙構造 物 を想 定し て左 側 境 界 （質点 0｝に強 制 外 力が与 え られ た場 合と

，

地上構 造 物を想 定し て左 側 境 界に強 制 変 位が与え ら れ た場 合の 2つの 問題 を考え る

。

各 質 点の 質 量 をmi 質 点 間 隔を ‘_，

．

連続体の弾 性 定 数， 断 面 積，

「

質量密 度を

各

々

・

E 、

A

，

_ρ と する

。

こ の 時

，

基 本 構 造 要

，

累

i

ま両

_脚

F

_覃

量 m ／

2

の質 点が

_停

在

_実丙

長 さ

1

の 1次 元

．

連 続 体 （図72b ＞となり

，

、

．

動

的岡1」性行列 S は波 動 解 を 用い

・

て下 式で与え ら れ る。

　　　　　 と

＼

_撫

_「

嚇

_∴

_］

　

　

　

　

　

・

穿

［

．

_mOOm

］

…・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…………

_・

・

_（

₁₁

今

，

簡 単のた めに

，

1

以 下の諸量 を用い て （1）式 を 無 次 元化 表 示す る

。

　

　

　

・、

一

早

，

・

一

，

賀

、

，

・

一

_約

_{． v ・}

＝ 〜

P

， 　 　 　

・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

…

　〔2） 　m ／2　　　m 　　　　m1 　　 　　　　

．

　m m 

・

mn

6

掣

●

＝

　 　

＝

◎

筆

．

　 0　　　　　1　　　　　2　　　　　　　n

−

2　　　　 n

−

1　　　　n

・

ト

ー

→

．

．

．

．

＿＿．

，

＿．

＿．

．

．

．

．

←

＿

L

→

＿

」

＿

→ 　　  　 1次元連 続体

一

集 中 質点で構成 さ れ る 周 期 構 造物 　 　 　 m β 　 　 　 m ρ 　 　 　 E

，

P 　 　 　 冖 　 　 　 　i　　 　

』

i＋1 　　　 　　　 　　　 　 一 （b） 周 期構造物の基 本 構 造 要 素 　F ⇔ ●一 ：：：：：：：：_＃ ＝＝ ●

」」

_卜

一 司 目 一 （c）

』

解 析対象 図

一

2　 解 析 概 念 図

T

−

［

　 　 　

］

「

k

，

1

、1

．

（

．

，

1

・，、

9

_、、、

_B

_．，。s ，

）

’

1

、

．

、

．

LfBL

　sin　

fi

＋cosB

］

　 　 　

』

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

幽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） を 用い て以 下の よ う に 表 さ れ る

。

　

　

　

［

y

：

：

1

−

・

［

Vll

］

・

…・

…『

… 一 ・

……・

…

_… こ こ に

，

u

、

および

ft

は質 点

i

の変位およ び節点力を示 す。 伝 達 行 列の固 有 値 問 題

，

　 　 　］「φ

＝

Φノ1

・

・

・

…



9・

・

一・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt…

_（6_） を考え る と

，

固 有 値

A

と 固 有ベ _{ク トル φ は 以下の よう} に求め ら れ る。 す な わ ち

，、

　

　

　

A −

［

_ほ

］

・

・一 ・dii ・_・］ とす れ ば

，

　

　　

・・

十 票

… β… Sβ

）

こ こ に

，

h、は 1次 元 連 続 体の静 的剛性

，

α は集 中 質 点 と連 続 体との 質 量 比， βは無 次元振 動 数

，V

は実 体 波 速度を 意 味して い る

。

な お

，

内部 減衰は

，

弾 性 定

tw

　

E

に複素減 衰 を 導 入 す ることに よ り考 慮さ れる

。

〔2 ）式 を 用い ることに よ り 〔1）式は

，

鴫

・

「

弩 

∴

，

」

　 　 　 　

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

一…

　

7・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　（3） と表す こと が で き る

。

質 点位置

i

と

i

＋

1

の状 態ベ ク ト ル 問の関 係は

_，

（3）式の_{動 的 剛性 行列}か ら得ら れ る伝 達 行列

，

・

（

一

票

・

i

・_β… s_β

）

！

−

₁

唯

盆

、

（

一

₁

ザ

・蓋・_β… S_β

）

・

−

₁

］

・

…・

_（7） と求め ら れ る

。

伝達行 列の固有 値の有す る重 要な特 徴と し て

，

2つ の _固有値の_積が 1と な る固 有 値の対 が 存 在す る ということ が あ る5）

_。

本 問題の場 合に は

，

λ，λ，

＝

1に相 当し

_，

（7）式の _{固 有 値 対}の積を求め る ことにより_容易 に確認 す るこ と ができ る。 材 料 減 衰が ない場 合に は

，

固 有値の_{表 現}式 の第

2

項の平 方 根 内 部の 正負に応 じて

，

正 の場 合に は λ

，

λ2＝ 1を 満 足 す る 実 数に

，

_負の_{場 合}に は絶

．

対 値 1の 共 役 複素数と なる

。

そ こで

，

λ，お よ び φ1 を

1

λ置

1

≦1と なるように採 用す ることにす る

。

これ は

，

λ1 を 進行 波に

，

λ，を逆 行 波に対 応さ せ る こ と に相 当する

。

そこで

，

λ1

、

Φ1 と して

，

2 ノπ≦_βく〔2 ノ十1｝π で は （7） 式の ＋符 号を採 用し

，

’

（2j ＋1）π≦_β≦2σ＋1）rr で は （7） 式の

一

符 号 を採 用する

。

今

，

λ，

＝N

λ2

＝

l／Aと すれば

，

・

一

（

一

穿

… β… sβ

）

．

・

（

一

票

・・n_β… sβ

）

！

₋

1 　　 　　 　

f

。r2 _ノπ≦β〈（

2

ノ＋

1

）π

一

_（

一

_穿

_{… β… Sβ}

）

（

一

罕

… _β… S β

）

2

−

₁

　　　　　　　　

f

。r （2_ノ＋1）π≦_β＜Z（

j

＋1）π 　　 　　　 　　　 　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

8

） と なる。 （6）式か ら

，伝

達 行 列の羃乗は下 式で与え ら れ るQ 　　 　：「n

＝

¢ ∠

L

π φ

一

1

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

−t・

（

9

） し た がっ て

，

周 期 構 造 物 全 体の関 係 式は （5 ）式お よび （9）式を 用い る こ と によ り，

　

　

　

［

Un

］

一

・A…

−

i

［

 

_］

・

…一 ・

…・

・

一 …・

_・1・） と なる

。

こ こで注 意し な け れ ば な ら ない の は

，

λz

＝

1／λ ＞1の場 合

，

n が増大する と （10）式の_羃乗の _項が過 大 と な り， 数値不安定を起こすことである

。

これ を避 ける ために_，

一

般化状態 量 を導 入 する

。

す な わ ち

，

　

　

　

［

．

yi

］

一

・

［

1

］

・

・

………・

…tt・

_（ll ） を 用いる

。

この関 係を _（10 ）式に_代入する と_，

　

　

　

［

皇

_］

一

［

副 ［

1

］

一

［

謝

・

…

_（

₁₂

_・ が得ら れる

。

今， 臨 ηD］ t_・＝ ［ξη］tと す る と

，

（ll） 式と 両 端の境 界 条 件か ら

4

つ の 関係式が得ら れる

。

す な わ ち

，

質点0に_外力が作用 し

，

質点 n が自 由である場 合に は， 　 　 　φ11ξ十φ12η

；

Uo 　 　 　Φ． λ n ξ十 φ12λ

一

n η＝ Un 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　

・

………

（ユ

3

_） 　 　 　φ21ξ

一

トφ22η

＝F

　　 　φ，，λ n ξ＋Φ22λ

一

n η

＝0

と

，

質 点0に強 制 変 位が作用 し， 質 点 n が自 由で ある 場 合に は_， 　 　 　Φ11ξ＋ φ1tη

＝

〔1 　 　 　φ，，λ n ξ十 φ，2λ

一

π

η

＝

Un 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

マ

r・

・

7・

・

・

…

　（

14

） 　　 　φ21ξ＋ φ22η

＝

丿  　　 　φ2“ n ξ＋ φ  λ

一

n η

＝

＝

O とな る

。

こ こ に

，

F お よ び

U

は質 点0 に与 え ち れる外 力および強 制 変 位である。 〔13）式お よび （

14

）式か ら

一

_{般 化 状態 量 を介 して}

_，

_{質 点 0および質 点 n の状 態量} が得られ る

。

す な わ ち

，

（13） 式に対し て は

，

一

　

103

　

一

　

　

　

砺

一

f3

舮

（

塞

i

｝

一

潛

塞

ii

）

F

　

　

　

Un一

講

襾

（

φ11 Φ匸t φ2麕 Φ22

）

・ と

，

（ユ

4

）式に対し て は

，

　 　 　 φ21φ22（1

一

λ2n） 　 　 　

f

。

＝

　 　 　 　

u

　 　 　 　 　ΦllΦ22

−

di1：ψ2iλ 2n 　 　 　 Φllφ22

一

ΦL2φ21

　　　

u・

＝

φ11Φ，，

一

Φ12Φ，1λ ・・ λ 匹 σ

・

…



−t・

…



t−・

_（15）

…………一

_{（16 ）} と解が得ら れ る。 な お， （15）お よ び （16）式に は

，

λ

一

n の項は存在せず

，

n が増大し た と き の数 値不安制 性が回 避できて いること が分か る

。

3．

伝 達 行 列の固有値

，

位相

・

群速 度と等価減 衰 　 （10 ）式お よび （12 ）式か ら 明 ら か な よ うに

，

伝 達 行 列の固 有 値は

，

構 造 物内を伝 播す る波 動の_{増 幅 率}に対応 し

，

各 基 本 構 造 要 素 内での波 動の伝 播 性 状をつ か さ ど る_。 材 料 減 衰が存 在し な い場 合に は

，

（8） 式で与え ら れ る 固有 値は

，

平 方 根の内 部の符 号の正 負によっ て

，

実 固 有 値 あるい は複 素 固 有 値と な る。 複 素 固 有 値 を 有 する場 合 に ぽ

，

絶 対 値 1の共 役な複 素 数とな る の で

，

波 動がある 位 相 遅れ を もっ て

，

減 衰 する こ とな く質 点 iか ら

i

＋1 に伝 播 する ことを 意 味 する。

一

方

，

実 根 を有 する場 合に ば_， 固 有 値の値に応じ て減 衰し なが ら伝 播する ことを 意 味す る

。

そこで， 固有 値の複 素 根の存 在 条 件 を検 討す る

。

こ の場 合に は

，

（8）式の平 方 根の 内部の 符 号が負にな る こ と か ら

，

下 式で与え ら れ る

。

　

　

　

・

tS

）

−

1

一

望

… β… sβ

1

−

1＜・

・

一

（17）

g

（β）

＝

0を 満 足 す る 無 次 元 振 動 数βを

，

β、

，

βz とする と

，

これらは

，

　

　

　

・

i

・…

一

・

・ tanBe一

議

竺

、

・

……・

・

∵

−

！

・

8

・

、

と な る

。

（

18

＞式で与えられ る解は

，

動 的 剛 性 行 列

S

の 行列 式が ゼロとなる振 動 数 方程 式の解

，．

す な わ ち動的な 共 振 振 動 数に

一

致する

。

_β1

，

β，は無 限 個 存 在す

．

る が

，

　　　

β、＝

j

π≦β2＜（

j

＋1）π

　for

ノ＝ 0，1，2，

…・

…

（19 ） を満 足 する こと が確か め ら れ る

。

〔19）式の等 号は a

；

0 の 時の み成 立す る

。

結 果 と して

，

（17と式 を 満足 する複 素 固有 値の存在条 件は， βに対し て， 　 　　β、

；

ノπ〈βくβ，く（ノ＋1）π　

for

ノ

＝

0

，

1

，

2

，

…

　 　　　 　　　 　　　

………・

・

………・

…・

・

……・

…

（20 ） と与え られ る

。

他の領 域で は

，

実 固 有 値と な る。 　以 上の こと か ら

，

βの値に応じ て，

　 　　λ1

＝

θ

一

iPt

，

　λ2＝ etP 　 forノπ≦β≦β2＜（ノ十1）π

　　　

1

λ，

1

＝

1

λ

1

＜1

，

　　

1

λ21

＝

1／

1

λ

1

＞

1

　 　　　 　　　 　　　 　　

’

forノπ≦β，＜β＜＜

j

＋1）π 　 　 　

・

…・

………・

・

……・

〔21）

一

．

一

．

伍 000 λ

医

1

　 14 　 12 　 10 　 8 ヨ 654 　 2 　 0 　

−

2 30 図

一

3　伝 達 行 列の固有 値の絶 対 値

　

　

　

　

　

　

　

父

2

繍

丶

「

・

置 ガ

∴

 

　　　　 ハ

　　　　

’

、

ハ 　

’

、

’

、

l

　

l

！

，

鞭

・

　 」

’

1

_’ 　 　 　 ■ 遮 断 0　 　 　　 1　 　　 　2　　 　 　3　 　 　 　4　 　　 　5 　 　 　 βin 　 　図

一

4　透過振 動 数と遮 断 振 動 数の領 域 透過 と なる 固有 値 を 有する こ と が分か る

。

す な わ ち

，

λ，は 質 点 位置

i

か ら

i

＋1へ の

，

λ2 は質 点 位 置

i

＋1か ら

i

へ の波 動 伝 播の増 幅 率 を示し

，

λが複 素 数にな る と き（以 降， 透 過 振 動 数 域と よぶ ）に は無 減 衰 振 動を

，

λが実数 に な るとき （以 降， 遮 断振 動 数 域とよぶ ）には単 調 減 衰 を 表すこ とになる

。

図

一

3に

，

固 有 値 λ1 と λ，の絶 対 値 を α お よ びβ をパ ラ メ

ー

タ と し て示す

。

図か ら

，

固有 値は， α およびβの値に大き く依 存していること が分か る。 αβの増 大と ともに

，

絶 対 値が

1

と な る透過振 動 数 域が減 少し

，

また

，

λ，の絶対 値の極 大 値 が 増 加して い る

。

そこで

，

まず

，

透 過振動数 域の検 討 を行い， そ の後に， 波 動の_{伝播性 状}に重 要な役 割 を 果たす波 動の_{伝 播 速 度}と 減 衰の大き さ につ い て検討 す る

。

　今

，

燭

8

が 増 大 し た 時， す なわち集 中 質 点の質 量 比 も し く は振 動 数が増 大し たと きの _β2 は

，

（18） 式 第 2式か ら

，

　 　　 　　 　 　　 　 　

．

　

　　

無

舮 β・・

（

1

一

α_β

）

一 …・

・

……・

…・

…・

・

一

_｛・・） と な り， αβの増大と と もに， 複 素固有値の存在する透 過振 動 数 域が減少し， 最 終的に はβ

＝

ノπ 近傍の振 動 数 の み と な ること が分か る

。

（

17

）

』

式で与え た g 〔β）の値 を α＝ 0

，

1

，

2に対して求め た結_果を 図

一

4に示す

。

図中 ， 負の値 を 与え る βの領 域が透 過 振 動 数 域， 他の領 域が 遮 断 振 動 数 域で ある

。

図か ら明ら か な ように

，

集 中 質 点 が存 在 し な い α

＝

0 の _{場 合}に は_， 全振

・

動 数 領 域が g （β）≦

O

， す な わ ち透 過 振 動 数 域で あ るの に対し て， α

＝

1

_，

2の 場 合には

，

g （β）＜

0

とな る領 域が αも し く はβの 増 大と と もに_減少して いる。 す な わ ち

，

透 過振動 数 域が αβの増大と と も に減少す ることを示している。 　次に波 動の_伝播 速 度の検 討 を行う

。

まず

，

位相速 度は

，

固有 値の_{位相 角}か ら下式で与え られ る

。

　 　 　 ω

1

　 　 　 β 　 　 　

＝

y 　 　 　 VPhase

＝

　　 　　　 　 arg （A） 　　 　　　 　　 　　　 　　arg ω 　 　 　 　β 　 　 　

＝

v

　

　　

　

　　

　　

・・s

−

・

（

−

sp

… _β… S_β

）

　

　

　

　

　

　

一 _・

1

（。＋ ，）。、。β．。β。 。sβ 　 　　　 　　　 　　 　

for

ノπ≦_βくβ2＜（ノ＋1）π 　 　　　 　　

＝

O　　　　

for

ノπ≦_β，くβく（ノ＋1）π

・

…

（

24

） と な る。 （

23

｝および （24）式か ら， 波 動は透過 振動数 域のみで伝 播し

，

その位 相 速 度お よ び群 速 度は振動数お よ び質量 比に依 存し た分 散 性を示すことが分 か る

。

　次に

，

波 動の減 衰の大 きさを検 討す る

。

今考えて い る 基 本 構 造 要 素の 材 長は

1

であるの で

，

等 価 減 衰定 数を heとす ると

，

基 本構 造 要 素 内で の波動の減 衰率は

，

　　　

e

一

掣

一

・

−

h・β

……一 ・

・

……・

・

……・

・

…・

一

_（25_） で与え ら れ る。 これ は

，

固 有 値の絶 対 値に対 応する もの であ るの で

，

等 価 減 衰 定 数は

，

　　

　

h

・＝　

kl

・gl・

1

………・

・

一 ・

………・

t−

（・・） 　　　 　　　 　　 forノπ≦_βく_{β2 ＜〔}

j

＋1_）π

……・

（23｝ （23）式は進 行 波の位 相 速 度 を意 味し て お り

，

逆 行 波の 位 相 速 度は （23）式の負 符 号 を用い ればよい

。一

方

，

群 速 度は_，

　

　

　

恥 ’ 、。

拿

蹇

（、

rl

− V

∂。

噐

（、） 　　　 　　　 　　 　 4

−

（

一

α_βsin _β＋2COS _β）1 と な る。 （26） 式に （8＞式 を代入 し

，

双曲線関 数の性 質を利用す る ことに よ り

，

h

。

は

，

　 　　

he

＝ ＝O 　　　　　　　for ノπ≦_β≦_β2＜σ＋

1

＞π

　　

　

　

一

1

毒

_{・ ・}sh

−

1

（

一

α

itB

… _β… s _β

）

l

　　　　　　　for

ブπ≦β！くβく（ノ＋1）π 　 　 　 　

’

噛

’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（27） と求め る こと がで き る

。

（27 ）式か ら， 波 動の 減 衰は遮 25 20 15 　 0 ？

_・

ご

_“

_。

Ω く 5 00 O 4 　 　 3 　 　 2 　 　 1 　 　 01 　 　 2 　 　 3 　 　 4

一

　

　

　

　

　

■

　

　

　

　

　

冒

　

　

　

　

　

一

？ ご Φ

聾

ユ 1

．

21 1 2 βtπ 3 4 5 1　 　　 　 2　 　　 　3　　 　　4 　 　 　 　 　β1π （b）　固有 値の位 相 角 a

＝

O 5 π

一

π

ヒ

oβ

璧

゜

・

6 ＞ 0

．

40200 　 　

昌

」

　 、

ら

巳 』

巳

、 − 、 、 　 2

笑

、

詰

“

1

．

21 d　 　 　 　 2　 　 　 　 3　 　 　 　4 　 　 　 βノπ （c _）進行波の_{位 相}速度 5 ＞ O

・

8

、

9

。

・

6 ＞ e 　 O

．

4 a

＝

2 − 丶 ，

、

，

“ “ “

°

＝

　 8

・

置 m 「

・

一

y

目

“

饕

噛 2000 a

＝

e

，

卩

巳

「

」 隗 h ＾ 阯

盞

1 0

．

8 　 O

，

6 冨 ‘ 0

．

4 O

．

2 1　 　 　 　 2　 　 　 　3　 　 　 　4 　 　 　 βノπ （d） 進 行波 の群速 度 　 q

＝

2

（

／

1

＾

ll

π

a

＝

1 ’

丶

ぺ

_〃

_丶

_，

_二

：、 　 　 　

■

8　　　　　　　　8　

，

　　　　

弓

噛

哂 ’ 置

li

■

　 ロ ら 、  

黜

，

グ

5 　 　 　 0 　 　 　 0　 　 　 　 1　 　 　 　 2　 　 　 　 3　 　 　 　 4　 　 　 　 5 　 　 　 βiπ 　 　 　 （e _{） 等 価}減衰 図

一

5伝 達 行 列の 固有 値と位 相 速度

・

群 速 度

・

等価減衰定 数

一

₁₀₅

一

断 振 動 数 域でのみ存 在す ること， し た がっ て， 付加集中 質 点が ない場 合 （α

＝

0）に は等 価 減 衰 定 数はっ ね に 0 と な る こ と が分か る

。

ま た

，

等 価 減 衰 定 数は振 動 数に依 存し， 付 加 集 中 質 点の質 量 比 a が大きい ほ ど減 衰 定 数 が 大 き くなるとい う特 徴 が ある

。

以 上の ことか ら， 付 加 集 中 質 点の存 在は （27）式で示され る減 衰 効果 を産み出 すこと が 分 か る

。

　図

一5

に

，

α

＝0，1，

2の場 合の 固 有 値の絶対値

，

_{位 相} 角

，

位 相 速 度

，

群 速 度

，

等価減 衰 定数 を

一

覧して示す

．

集中質点の_{存 在}に よ り， 実固有値が存在す る遮 断 振 動 数 域が生じて い る

。

この振 動 数 域は

，

βの π 間 隔ご とに 現れ_， そ の領 域の広さ は _ψ の増 大と と もに広 がり

，

無 減 衰 振 動の透 過 振 動 数 域が減 少して い る。 透 過 振動数域 で は

，

集 中 質 点の存 在に より波 動の位 相 速度お よ び群速 度が分 散 性を示し_， 実 体 波速度より遅 い速 度で波 動 が 伝 播して い る

。

位 相 速 度は

，

ユつ めの透 過 振 動 数 域で は実 体 波 速 度の 1／

VFE

倍の 値か ら始まり

，

原点と（β

，

V

，h。s。）

一

（π

，

　

V

）を結ぶ 直線との交 点で終わ るの に対 し て

，2

つ め以降の透 過 振 動 数 域では実 体 波 速 度か ら始ま り

，

原 点 と （β

，V。

、、ase ）＝ （ノπ

，

　

V

）を結ぶ直 線と の交 点で 終わ る。 群速度は 1つ めの透 過 振 動 数 域で は実 体 波 速 度 の

1

／伍 倍の_値か ら始 まっ て 0で終 わ

C

）　t2 つ め 以 降の透 過 振 動 数 域では0か ら始 ま り極 大 値を示し た後に 0で終わ る。 こ れ らの速 度は， 質 量 比 a が大き い ほど 遅 く なっ てい る

。一

方

，

遮 断 振 動 数 域で は波 動 が 存 在せ ず

，

減 衰 効 果が現れ る

。

質量 比 α が大きい ほ ど減 衰 効 果は大き く

，

振 動 数の_増加と と もに減 少し て い る

。

こ の ように

，

伝 達 行 列の固有 値を吟 味す ることに よ り， 波 動 の伝 播 性

，

減 衰 性の_{考 察}が可能で あ る

。

　次に

，

極 端な例と して

，

_連続体の_質量密 度が 0の場 合 を考 気る

。

これ は

，

静 的 剛性と集 中質点で構 成さ れ る周 期 構 造に対 応し

，

連続 体に対 して離散モ_{デ ル を}考え るこ とにな る。 こ の 場 合

，

βは

0

に

，

a は無限大と な る の で， 新たに以 下の諸量 を導入 す る

。

・

÷

攣

，

a・・

＝

＝

・

〜

凛

，

v・

一

隠

…

・・

8

・ こ こ に

，

ω

況

は静 的 剛 性 と 集 中 質 点 より定 まる振 動 数

，

γは Wh に対す る振 動 数 比， 協 は離 散モ デル に おけ る 等 価速度に _対応 する

。

（28＞ 式の 諸量 を （7＞

，

（23）

，

（24）

，

（27） 式に代 入し

，

_β

→

0の 極 限 操 作を行 う と

，

こ の場 合の固 有 値

，

位 相 速 度

，

群 速 度お よ び等 価減衰定 数は_， 下 式で与えられ る

。

　　　

λt

＝

　

（1

−

2γ2）土2γ》「

厂

「

・

…

　9…

　9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（29）

　

　

　

VPh

・・e

−

Vm 。。

審

，

7

：

−

gr

・≦ _・〈 ・ 　 　 　

．

…一 ……・

………・

…………

（30）

　

　

　

隔

才

府

　　

｝

：

_將

凹

一

一

_一106一

1

．

2 　 　 　 8 　 　 　 6 　 　

　

4 　 　 　 0 　 　 　 0

｝

　 　 0 、

≧

（

_．

コ

， 。

≧

盞

〉

）

・

O

．

2 P

ツ

跏 iヒy 7π Oo Group　Vθlocity 1 0

．

8 　 O

．

69 ＝ 　 O

．

4 O

．

2

．

　 　 　 1　　 　 　 　2 　 　 　 T 〔U）　 位 相 速 度と群 速 度 3 　 　 　0 　 　 　 0　

，

　 　　 　 　 　 1　 　

，

　 　 　 　　 2　 　 　 　 　　 　

．

3 　 　 　 　T　 　 　 　

．

　 　

・

r

l

　 　 　 （b） 等 価 減 衰 図

一

6　離 散モデル の場 合の位 相 速 度

・

群 速 度

・

等価 減衰 定数 　 　 　

一 ………・

…t……・

…・

・

〔31） 　 　 　

h。

＝

0　 　

1

　 　 　 　 for　O_{≦ γ く}1

　　

　　

一

瑟 ’

7

・・sh

−

1 （1

−

・_7t）

．

　

f

・ ・ 1_{≦ ・} 　 　 　

・

一

・

一・

・

一・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（32） 上式か らも分か る よ うに_， 離 散モ デル におい ても波 動の 分 散 性が認め られ る

。

すなわち

，

静 的 剛性と集 中 質 点 よ り定ま る振 動 数 ωn （γ

＝

11 を境に し て波 動が伝 播し な く な り

，

単 調 減 衰とな る こと を示し て いる。 図

一

6に

，

離 散モデル の場 合の位 相 速 度

・

群 速 度と等 価 減 衰 定 数を 示す

。

図よ り

，

位相速度お よ び群速 度は静 的には等価 速 度 Vmで伝 播す る が

，

振 動 数の_増加 と と もに伝 播 速度 が 減 少し

，

振 動 数 ωn （γ

・

・

1）を超え る と

，

位相 速度

・

群 速 度 共に存 在せず

，

減 衰の みが 生 じ る。 し た がっ て

，

離 散モデル を 連続 体の離散 化モ デルと 考 え た 場 合t す な わ ち

，

静 的 剛 性が spring に集中質 点がmass と な る 通常の spring

−

mass モ デル を考え た 場合に は

，

（28）式で与え られ る振 勤 数 比 γ に応 じた波 動の 分散 性が 存 在す る こ とになる

。

〔30）

〜

（31） 式は； 〔28）式の等 価 速 度か ら得 ら れ る波 長 （ω／2π％ ｝に対して

，

質点間 隔

1

を

1

／π 以 下に しない と 波 動 が 伝 播 しない こ と を意 味して い る

。

通 常， spring

・

mass モ デルの解析に おい て は， 質 点間 隔 を 波 長の 1／5

〜

1／6以 下に分 割して いるの で

，

波 動は伝 播 す る が

，

波 動の伝 播速 度がゆ が め ら れてい る ことにな る

。

15 　 　 0 　 　 　 　 　 5 ¢ ご へ 『

_。

詈 Ω く 　0 　 0　 　 　 　1　 　 　 　2　 　 　 　3 　 　 　 Ptπ 〔a

−

1_{） 外 力作 用 時}の_{加 速 度 応 答 〔a}

＝

_ω 　 ア0 　 60 ¢ 50 さ4d ｝3。

萋

　 20 　 10 　 0 　 　 0

＿

　　u 　 　 th 15

（

」

0 　 　 　 　 5 副

冒

丶 o

。

巳 聲 く Oo 〔a

−

₂） 10864

｛

」 モ

（

_【

38 く 2 　 　 　 1　 　　　 　　 　 2　 　　　 　　 　3 　 　 　 Pノπ 外 力作 用 時の加 速 度 応答 〔α

＝

1〕

＿ 　

　

u 　 　 n 15 　

　

0 　 　 　 　 　

　

5 f 創

V

、

（

_‘

o

。

巳

_の

n て 0 　 01　 　　 　 　 　　2　 　　 　 　 　　3 　 　 　 βlrt （a

−

3｝ 外 力作 用 時の加 速度 応答 〔a

＝

・

Z_） le864 ¢

ヱ

）

丶 己 沼 く 2 〔b

−

P 40 ¢ 30

旻

，

コ

［

20 ♂ 沼 く ₁₀

　　　　

1 β，

．

2

　

3 °・

　

 

。 213 °・ 強 制 変 位 入 力時の_{変位応答 〔}α

＝

O） 〔b

−

21 強 制 変 位入力時の変位応 答 （a

・

：

・

O 　

_〈b

−

3_） 　　　　　　図

一

7　周 波数 応 答 関 数に与え る質量 比の _{影 響} 囗　　

＿

　oo 　 　 　　 　　 　 　n 　 0 　 0　　　　　　　　1　　　 　　　　　2　　　 　　　　　3 　 　 　 Slπ （a

−

1_{｝外 力作 用時}の_加速度応答

Cn＝

・

1_｝ 108 　 　 6 　 　 4 『 邑   『

_。

詈 ρ 《 2

＿

　　u

　　

n 　 0 　 0　　　　　　　 1　　　　　　　2 　　　　　　　3 　 　 　 βII （a

−

2〕 外 力 作 用 時の加 速 度 応 答 （n

＝

・

10） 108 ε

　

　 　 　 　

　

る ε

丶

、 『

_。

号 n 〈 2 5004

〔

」

0

　

　 　 03

　

　 　 2 並

3

亶 く 10 　 　 　 　 1　 　 　 2　 　 　 3 　 　 　 βi： 強 制 変位入力 時の変 位応答 〔α

＝

2｝ 1DOo

＿

　 　u

　　

n 8

（

」 54

エ

｝

｝

v切

ε 2

＿

　 　u 　 　 冂 　 e 　 o　　 　　 　　　 」 2　 　　　 　　 　3 　 　 　 P’

：

Ca−

3＞ 外力作用 時の加速度 応 答

Cn

　

・

100｝ 5432 ε ミ ヨ

_・

Ω く t （b

−

1） 　 　 　 e　 　 　 　o

　　　　

1 β’

・

2

　 　

3

　

°

　 　

1fii 兀 2

　 　

・



° 強制 変 位入力 時の変 位 応 答 （n

＝

1）（b

−

2） 強 制 変 位 入 力時の_{変位応答 〔n}

＝

10）（b

−

3｝ 　 　 　 　1　 　　　 　　 　 2　 　　　 　　 　3 　 　 　 βJπ 強 制 変 位 入 力時の変位 応 答 〔n

＝

・

100） 図

一

8 周 波数 応答関 数に与える基 本 要 素 数の影響 し たが っ て

，

離 散解 析を行う場 合に は_{， 解析 者}の_{意 図}に か か わ らず波の分散性に_伴う波 形の くずれ が内在してい ることにな る

。

ま た

，

離 散

_化

に伴 う数 値 減衰が （

32

） 式 に よっ て定 量 化され るこ と が 分か る

。

こ うい っ た現 象は

，

数 値 流体 問題に お い て差分解 析の_{数 値 分 散と し}て議論さ れ てい る が1° ）

_，

構 造 問 題に お いて も 同様の_{現 象}が認め ら れ たこ とにな る

。

し たがっ て

，

離 散化に おいて は

，

透 過 振 動 数と 遮 断 振 動 数に留 意 して

，

メ ッ シュ 分 割や解析振 動 数 範 囲 を設 定す る 必要が あ る。

4．一

端に外 力 もしくは強 制 変 位 が与え ら れ た時の周 波 　 数 応答

　

左 側 境界 （質 点0）に強制外力が与え ら れ た場 合と， 強 制 変 位が与え ら れ た場 合の 2つ の問 題の周 波数 応 答 関 数 を求める

。

これ らの 解は （15）式お よび （16） 式で与 えられて い る

。

周 期 構 造 物の基本 構 造 要 素の数と して

，

n＝ 1

，

10

，

100 _を

，

_{質 量 比と し て} α

；

0

，

1

，

2を採 用_{す る}

。

ま た， 材料の内 部 減 衰とし て 1％ を考 慮する。 図

一

7に n

＝

10

_，

α

畜

0

，

1

，

2の 周 波 数 応 答関数を

，

図

一

8_{に質 量}

一

₁₀₇

一

比 α

＝

・

1， n

＝

1， 10，100 の周波 数 応 答 関 数 を 示す

。

　

図か ら 分 かるよ うに

，

集 中質点を付加す ることに ょ り

，

周 波 数 応答関数の ピ

ー

ク位置が低 振 動 数 側に移 行 する と と も に

，

波 動が減 衰し て応答が 抑制され る振 動 数 領 域が 現れ る

。

この_波動 が 遮 断 され る振 動 数域は， 前 述の伝 達 行 列の固 有 値が実 固 有 値と な る振動数 範 囲に対 応し てお り

，

質量 比 α が大き い ほど その範 囲 が広く

，

かつ

，

波 動の遮 断効 果 も大きい。 こういっ た傾 向は， 構 造 要 素の 繰り 返 し数 n が増 大すると と もに顕 著 となる。 n の増 加に よ り構造体の全 長が増 大す るので

，

ピ

ー

ク の数 も増 加す る。 ち な み に

，

各 透 過 振 動 数 域の中に存在す る ピ

ー

ク の数は n に等 し く なる

。

また

，

_{遮 断振}動 数 域では ほ とん ど応 答値が 0と なる

。

ただ し_， 波動の透 過 振動 数と 遮 断 振 動 数の範囲 は n の値に か か わ らず変わ ら ない

。

こ の よ うに

，

集中 質点と 1次 元 連 続 体で構成さ れ る周 期 構 造 物は

，

通常の 1次 元 連 続 体の よ う な

一

…

様な波 動 伝 播 とは異な り

，

波動の透 過 と 遮 断が交 互に現れ る振 動 数 特 性を有す る

。

し た がっ て

，

高 振 動 数域まで含め た周 期 構 造の解 析には ジョ イン トな どの集 中 質 点の影響 を適切 に 考 慮す る 必要が あ る

。

　

な お

，

本論で対 象とし て いる振 動 数範囲 は

，

宇 宙 構 造 物 を対 象と した場合， 材 長 5m の ア ル ミとグラフ ァイ トエ _{ポ キ シ}の_{複 合}パ イ プ を 用い る場 合に はβ

＝LO

が 100Hz 程 度に

，

階 高

4m

の鉄 筋コ ン ク リ

ー

ト建築 物の せ ん断 振 動 を 対 象と し た場合に は_{， β}

一

1

．

0が約75Hz に対 応する

。

し た がっ て

，

本論で行っ て い る検 討は

，

通 常の_{建 築 振動}で取り扱っ て い る 振 動 数に比べ て非 常に高 い振 動 数であ り， 有 限 要 素 法な どの離 散 解 法で は解析が 困難な振 動 数 範 囲である

。

本論で想 定して いる問 題は

，

高 振 動 数域での

機

械 振 動や衝 撃力

，

あるい は音の波 動 伝 播 問題 に相当す る

。

本 論の結 果に よれ ば_， 集 中 質 点を連 続 体に分散して付 加 することに よ り

，

透 過 振 動 数 を 限 定 する こと が可 能と なる

。

し たがっ て

，

この特 性 を

，

高 振 動 数 域にお け る振動の抑 制に用いるこ とが で き る と考え ら れる。 51 まと め

　

周 期 構 造 物の振 動 特 性の基 礎 的 検 討を行うことを 目的 とし て

，

1次 元 連 続体と集 中 質点で構 成 され る周期 構 造 を対 象と して

，

波 動の_{伝 播}特性の検 討を行っ た

。

その結 果

，

以 下の結 論を得た

。

1） 波 動 解と伝達 行 列 法 を組み合わ せ ることによ り

，

尚 振 動 数までを対象と し た解 析を可能 と し た6

2

） 伝達行列の固 有 値 を吟 味す るこ と に よ り， 波 動を透 過 する振動 数と

，

波動 を 遮 断 する振 動 数が存 在す ること を示し

，

こ れ らの振 動 数範囲 を特 定し た

。

ま た

，

固 有 値 の絶 対 値お よ び位 相 角か ら

，

位相速 度， 群 速 度

，

等価 減 衰 定 数を陽な形で求め

，

付 加 質 点の存在に よ る

，

透 過 振 動 数 域にお け る波 動の分 散 性， 遮 断振 動 数 域に お け る減 衰 性の考察を行っ た

。

　　　　　　

i 3） 連続体の質 量 をo とすることに よ り

，

離散モ デル に おける

波

動の_{伝 播性状}の検 討を行い

，

離 散モ

_デ

ル内に内 在す る波 動の 分散 性と数 値 減 衰の存 在を示し

，

これ らの 定量的評価を示し た

。

4） 周 波 数 応 答 関数を 通し て_， 伝 達 行列の固 有 値 が 与え る性質の重要性を指 摘すると ともに

，

付 加質点が振 動 を 抑制す る効果のあること を 示 し

，

高 振 動 数域の制振へ の 適 用 可 能 性を示唆し た。 　今後は

，

よ り複雑な 周期 構 造 物の振 動 解 析 手 法の _{開 発} と振 動 性 状の把 握を行う と ともに

，

本 論で得ら れ た連続 体の波 動 伝 播 性 状を真値と し て各 種 離 散 化 動 的 解 析 手 法

　　　　　　

1 の波 動 伝 播特性の検 討を行う予 定である。 謝 　 辞 　本 論 をま とめるに _当た り， 大 崎 研 究 室の 海老原 学

，

新 美 勝 之 両 氏か ら貴 重な助 言 を受けまし た

。

記 して謝 意を 表しま す

．

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