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繰り返し変動荷重を受ける構造物の弾塑性解析

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(1)

【論  刻 UDC :624

042 :624

042

7 二620

1 日本 建築 学会 構造 系論 文 報 告 集 第 364 号

昭和 Sl 年 6 月

変 動 荷 重 を

造 物

弾 塑性

注1) 正 会 員 正 会 員

* *  1

緒   言  積 載 荷 重や熱 応 力の変 動が大きい場合

建 築 構 造 物の

弾 性 限 界

降 伏 する ことが あ

こ の よ う な例は

工場建屋の ク レ

ン走 行ばりや 温度 変化の激 し い外 気に接 す る 屋 上ス ラブ

外 壁 等に み られ る ことが報 告さ れて いる。この ような繰り返し変 動 応 力の も とでは

構 造 物は

応 力の変 動 域が 小 さい場 合に は

数 回の繰り 返 し の後

Shakedownt

「2 ) し

以 後 まっ た く弾 性 的な挙動 を示すが

変 動 域が あ る 限界を超え る と

応力の繰り返 しと と もに変 形が発 散してい く漸増塑性 崩壊

構造要素 の

部に正負 逆の降 伏が繰 り 返 し おこ る 交 番 塑性崩壊

ある い は最 も不 利な応 力の組み合わ せに よ る即 時 塑 性 崩 壊4)

Ni3} よ り

崩 壊に至る

こ の 限界値が

Shakedown

荷 重と呼ば れ

そ の値を求め る ことは

塑 性 解 析に おけ る主 要な課 題の

つ で ある2 )

5 )。  さて

繰 り返 し変 動 荷 重と11乎ば れ る時 間と ともに任 意 に動 す る荷重の で の構造物

ある い は構 造 要 素の

Shakedown

重 を数 値 解 析 的にめ る手 法と して

現 在, 以下に示す 2つ の方 法が試み ら れ てい る

 一

,Melan,

 

Sy

血onds61

 

Koiter7

8)

等に よっ て展 開さ れ た Shakedown に関する上下界定理をも ちいて 線 形あ るいは非 線 形 計 画 法により

問 題 を処 理し よ う と い う もの であ る

こ の手 法は

Leckie と

Penny9

よっ て最 初に も ちい ら れた もの であり1η

最 近で は

よ り複 雑な構 造 物へ の適 用 を 計か る ため, 線 形 あるい は非 線 形 計 画 法と有 限 要 素 法 を組み合わせ た手 法が開 発され てい る10)

12 )

 他の

つ は

逐 次 計 算 法3) と 呼ば れ るもので あ り, 荷 重が比 例 的に増 加する場 合にもちい られ る通 常の弾 塑 性 解 析 手 法 と 同 様

増 分 法に より その 時 刻歴 応答を 追 跡し よ う とい う もの であ る

この方法 は

従 来 荷 重 履歴 が既 知の場 合の み適 用可能で あっ た が

最 近

載 荷 履歴 に関 する有用な提 案が KOnig 等によ りな され ている1z 〕

1q )

注1) 本報告の

部は

参 考 文 献1)に発 表している

注 2) 変 形 硬 化

あ るいは非 塑 性 化5)と も呼 ばれ る

注 3> 静 的 塑 性 崩 壊5〕と も 呼ば れ るD * 広 島 大 学  助 教 授

工博

広 島 大 学   教 授

工 博

  〔昭 和60年9月24日原 稿 受 理 日 )  とこ ろ で

こ れ ら2つ の方 法は 実用上, ともに か な り重 大な問 題 点 をか か え て い る

 す な わ ち

前 者は

その適 用 範 囲が基 本 的には完 全 弾 塑性 材に限ら れ

また

変 形に関する情 報が十 分 得ら れ ないとい う欠点を もっ て いる。 ひずみ硬 化が繰り返し変 動荷重を受け る構 造 物の挙 動に対 し て か な り大き な影 響 を あ た え るこ とは

すで に い くつ か の解 析 的

実 験 的研 究か ら 明 らか で あ り (例 え ば

15)

16))

また 変 形 に関す る情 報が十分得ら れ ないの は

実 用上 は なはだ問 題であるといわざるを得ない。 これら の欠点を 克 服しよ う と する試み も

部 見 ら れ る が17L]S〕実 用 性 , 汎 用 性か らみ て, 十 分であ る と はい い難い。

 

後 者C: trial and  error の手法であり

こ の方 法

に ょ り正確な

Shakedown

荷 重を得る こ

とは非 常に困 難 で あ る

ま た, 通 常の弾 塑 性 解 析の数 倍から数 十 倍の繰 り返 し計 算 を必 要と し

複 雑な構造物に適用し よ うと す ると

そ の計 算 時間は莫 大な もの と な る。  本 報 告で は こ う し た従来の

Shakedown

解 析 手に お け る欠 点を克 服し

繰り返 し変 動 荷 重を受け る構造物 の弾 塑性解析を

組 織 的

的に

ま た

実用的に行 いる手法の提 案を行 う。  本 報 告で提案す る手法 は

増 分 法に基づ く通 常の弾 塑 性 解 析 手 法 (例えば

亅9 )

20 )を繰り返し変 動 荷 重を 受ける場 合に拡 張,

般化し た もの で あ る。 し たがっ て

完 全弾塑性 材, ひずみ硬 化材を問わず統

的な取り扱か いが可 能で あ り

ま た

変形に関する情 報 も十 分 得る こ と がで き る。 さ らに

現 在

数 値 解 析 上 最 も有 効な離 散 化 手 法であ

と 思 わ れ る有 限 要 素 法の使 用に より

トラ ス構 造, 骨組 構 造

板 殻構造

あ るい は

2次 元 問 題

3次元 問題を問わず, 容易に解 析 可 能で あ る。  

2.

解 析 原 理   本 研 究では

外 荷 重と して

次 式で与え られ る1組の 固 定 荷 重 と

N

組の り返し変 動 荷 重を考え る

    

1P

t

1

lpt

!}

1

+Σ

IPCv

, (

t

1

.       γ

1      

 

         N       

 

      =

ガ! ,

IP

叫+ Σ

P

窄卩 ω

IP

ω

1

…・

《1)       γ

1 こ こ に

33

(2)

   舮叫

}P‘

llr :単 位 荷 重ベ ク トル   

p

”!1

ρ駅孟);荷 重パ ラ メ

      付 :既 知量, t:時 間 で あ り

上 添字 (

f

(v)は

それぞ れ固 定およ び繰 り返 し変 動 荷 重に関 す る もの の意であ る。 固 定 荷 重パ ラ メ

万∫〕 は 既 知 と し, 繰 り返 し変 動 荷 重パ ラメ

p宰〕 (

t

)は関 数

R

で定 義さ れ る次 式の領 域 内 を任 意に変 動す る ものと す る

   

R

(ρ宰1ω}≦ρ零

……・

……・

………・

……・

(2 ) こ こ に

繰 り返 し変動 荷 重パ ラメ

の 変動 領 域の大き さ を示すパ ラメ

で あ り

ま た

7 は

=1

に お け る関 数

R

の大さを示す定 数で あ る

。Fig.

1

に は

(2)式の代 表 的 例 を示してい る。

1) 式外 荷 重す る任 意 点変 位

お よ 応 力の応 答は

3個の成 分の和と して

次 式の よ うに表 さ れ る。     Ui(t)= utr)十 uie} (t)十 utn(t)

 (

3.

 a     aメ(t)= σ

V

?十σ留(t)十σ曽(t>

 

ttt

 

t−ttt

t・

t

(3

b

) こ こに    班1

σ

V

?:固定 荷 重に対す る応 答変位お よび 応 力   u曽鷺)

σ獸の:繰り返 し変動荷重に対す る弾性 応 答             変位お よ び応 力   utn(t)

σ

1

マω :残留変 位お よび応 力 であ り

繰り返し変動 荷重にす る弾 性 応 答変位お よ び 応力の動 領 域は, p *

=1

場合のそ れ を      {≧監且n≦ap(t)≦ a騒

 (4

 a)     

9

(∂留(t))≦ c

 

一・

 

一・

 

 

 (4

b

) とする と

2

)式よ り

次式の ように表さ れ る(Fig

2

参   ⊂o v 〕  望 P 脅 P

P

o

P

〔 1} 〔

v

)  〔v , P 2P

P1

P

P

P

Fig

1 Domain50f  repeated  variab 正e load parameters pcと)

Fig

2  Domain of stresses in elastic responses  to repeated

     variable  

loads

34

照 )

    

P

1 温m ≦ 眦『} (t)≦P*

臨x

 

tt・

 (5

a)

   

9 (∂}

fi

(t))≦P*

c

 

 

(5

 

b

こ こに

pl

1にお け る値の意であ る

 さ て

わ れわれは

p* を0か ら単調に増 加さ せ ていっ た時の p* と Ut, au の関係を求め ること を考え る

その際, 繰 り返し変 動 荷 重パ ラメ

各 段 階 の の値に対して

(2)式で与え ら れ る 領 域内を 任 意に変 動す る も の と す る。 す る と

3.

a

 

b

)式は

そ れ ぞ れ次 式の よ うに表せ る

    Ui(P零 ); 班】+π}〔が)+財劉げ )

…・

…・

(6

 a)     σw(Pつ

σ[

L

’+σ駄Pつ+σ譽(が)

………

6,

b

) こ こ に π『1ゆり , σ獸p * )は

p

価 関 数で はなく, (5

a

,b

)式と同様な

次 式で与え ら れ る領 域を もつ

     ρホ

aLeA

」.≦uLeb(P * }≦ ρホ

鴇益x

一・

 

77・

  (7

 a     9(σ留(P串)〉≦P*c

 (7

b

)  とこ ろで

(6

a

,b

)式に おいて

  u〔 ∫】

σ

V7

が に 無関係な 固定荷重にする応答で あ り, ま た, 趾蝦pつ, σ獸p*)は, がの増 加に伴っ て, (

7,

a

 

b

)式で与え ら れ る その領 域が単に膨 張す るの みで あ る

し た がっ て

(6

aお よび 6

b

を求め るに は

 p* 駕『1(が )

σ

1

ワ(p’)の関係を求め れば十 分 であ るこ と が わ か る

ま た

この ut「1p* )

σ

1

ワ(ρ’)の値は

賜籔pり

σ獸p*)の よ うに あ る領 域をもつ の では な く

単 調に増 加す るガ の各 値に対し て,

義 的に決 定さ れ る

本報告で提案す る手 法は

p uLn (ρつ

σ

X

(pつの関 係 を

通 常の比 例 載 荷の場 合の弾 塑 性解析と 同 様に

増 分 法 に基づ い て step  

by

 step に求め よ う と い う もの で あ る

の 増 分 Ap ホ に対 する uln(p’ )

σ‘

i

(p“)の増 分 量は

ρ 値 を

p* + △が まで上 げ

次に再び pl に降ろ し た時の 差 と して求め る

p* のを再び +Ap ’ 上 げ る 場 合の応 答は純 弾 性であ り

μ癶pつ

σ累pつの 値に変 化 は ない

し たがっ て

こ の差 が

p* の増 分に対す る 駕

P

p

σ曽(が )の増 分量 と な る。  次 節 以 降の

2

節で は

u籔ρつ

σ蟹ρつ 等に関 する増 分 型 基 礎 式

お よび有 限 要 素 解 析の基 礎と な る い くつ か の変 分 原 理につ い て

その増 分 型 汎 関 数の誘 導 を行う

 

3.

残 留ひずみ

残 留 応 力 関 係  本節で は

増分 型の残 留ひずみ

残 留 応 力 関 係の誘 導 を 行 う

。3.

1節 が完 全 弾塑 性 材, ま た

3

2節 がひずみ 硬 化 材につ の もの である

 3

1  完 全 弾 塑 性 材  まず

(6

b

) 式お よび (7

b

)式で与え ら れ る応 力 領 域の中で

1つ の応 力 状 態の み が降 伏 曲 面 上にある場 合 を考え る (

Fig.3

(a)参 降 伏 条 件 を     

f

(σ、f)

σ

9

定)

…・

…・

………一・

(8 ) と し

降 伏 曲 面上の応 力 状 態につ い て の 値 を

添 字

1

、 で表す。

(3)

9i

1

 

 

 

 猷

Fig

3(a Increment Qf  residua 】stresses for the idea且 elasto

        plastic materiaI  前 述 の よ うに

残 留 応 力 増分は p が +△が ま で

上 げ

その 後 再p 降ろ し た時の差と し て 算 定する

し た がっ て

が を が +Aρ* まで

ヒげた時 の降 伏 曲 面 上の応力の増 分 は

(6

b)式 よ り     △σ昴

ムσ

1

ワ+ △σ

131

Ap

’)

1

       

∠」σ〜ワ十△P*

Le

1

…一鹽

…・

 (9) と表せ る

こ こ に

前 述の よ うに

1に お ける σ獸pつの値で あ り ま た

,A

増 分の意であ る。 a、

11

は降 伏 曲 面 上にある か ら

そ の増分 △σ副、は次 式 で与え ら れ る塑 性 条 件を 満 足 し な け れ ば な ら ない。

  

 

L

△ 

ll

……一 ・

………・

……一 一

《1・) こ こ に

添 字

i,

j

k,1

につ い て も同 様 〉につ い て は総 和 規 約を もち い てい る

 

残 留ひずみ増 分は

残 留 応 力 増分に対 応す る弾 性 成

分 と

降 伏 曲面上の応 力状 態に おい て生じ る塑 性 成 分の和 と して与 え ら れ

塑性 成 分につ い て塑 性 流れ則 を も ちい る と

次式の よ うに表さ れる。

 

  

・・

1

・駄… 盟・ ・

11

…一 ・

ll こ こ に

  

[  [elC   “配t]= [

D

翫 ]

  P 跳、:弾 性 材 料 定 数マ トリッ ク ス

  

λ:スカ ラ

ー,

ε曽:

留ひずみ  (11)式を 逆変換す ると

 

 

 

峅 臨

A

1

1

t

・ ?…

f

,  

1

 

……・

《12)

 

9

)式

10

)式お よ び (12)式よ り

λ

1

、は次 式の よ うに表さ れる。 こ こ に λ』−

Q

L

D

△・盟+△が

Qt

a

∂鴇レ

II

…・

        ∂σ‘丿 1

tt・

………・

13

 

  

Qr

Q

圃1

f

 

1

1

、              

 

tt・

 《

14.

a

 

b

で あり       λ

11

〈0

 

tt・

 

9・

 15時 除 荷と な る。  (ユ3)式を (12)式に代 入

整 理すると ・・胃

・詈… 晦

1

Q

 

  

△・留

△…

1

 

  

Q

a

1

とな る。

 

  

・翫 一

.  

1)

tP

?,,

∠」ε瞿

∠lp *

Rw

 (16 ) こ こ に ,

Q

L

D

 17

a

  

 

・广 畭

Q

1

att

1

, (

17・

 (14

a

 

b

) 式

16

) 式お よ び (ユ7

a

 b) 式

1つ の応 力 状 態のみ が降伏 曲面 上にあ る場 合の残 留ひずみ増 分

残 留 応 力 増分関 係

で あり

,D

黥‘は

通 常の弾 塑 性 解 析の場合の それ と まっ たく同じ形と な る。

 

次に 応 力領 域

2

の応 力状 態が降 伏 曲 面

上にある場 合 を考え る (

Fig.

3 (

b

)参照)

 p* 〆 + Aρ’まで上げ た時の降 伏曲

上の 応 力増 分

および その塑 性 条件は,

1

つ の応 力状態の み が降 伏 曲 面上に あ る場 合と同 様

そ れぞれ次式で 与 えら れ る

    Aσ ijIa

△σ貿十Ap 喰

Le

1

α  (a =

1,

2.…

 

M

             

 

7・

 

一・

(18 )

  

 

L

1

・− 1

一,

M

…一

9 こ こに

,M

降 伏曲面 上 の 応 力状態の数で あ る

Fig

3(b) Increment of  residual  stresses  foT the ideal elasto

        plastic materia1

(4)

お添字α (後 出の βつ い て も同 様 )につ い ては

総 和 規 約を も ちいてい ない

 一

方, 残 留ひずみ増 分は

その塑性成 分 が 降 伏曲面 上 の各 応 力 状 態におい て生 じ る塑 性ひずみ の和であ ること を考 慮すると

次 式の よ う に表さ れ る

・・[

i

紬 沼・

1

20

)式よ り

L

……・

・・

  

 

・・‘

i

− DISi

,,…

ia

.                

…一 …………・

……・

…・

21

)  さ て

(21 )式 を (18)式に代 入し

さ らに

(19)式 で与え ら れ る

M

個の塑 性 条 件 をも ちい る と

λ

1

。 は

次 式の よ うに求 まる。

  

 

1

。一

Q

諾 」

・洗 … 沼・ ・〆

・:s

  

   

8

1

δ ・− 1

2,’

一・M

(・2) こ こ に

  

Q

:・}

Q

・fi]

 

Q

・fi

1

      ’

                

tt’

”一’

”tt’

”『

 (

23.

a

 

b

) で あり

1つ の応 力 状 態のみ が降 伏 曲 面上にあ る場合と 同 様          λ

1

α<

0 ・

 

tt…

 

t・

tt・

t・

 24 の時, 対 応す る応 力 状 態は除荷 とな る。  (22)式を (21)式に代入

整理す ると こ こ に ・・

1

L

・畆

   

1

   

意名銑

1

Q

1

   

・猛

1

畍 ・・

1

s−

〔・・) ・

1

Q

   

D

一 ・

…・

…・

一 ………

(26

a)

R

蝋 禽煮

1

Q

1

  

調

……・

……・

…………・

……・

(…

b

 (23

a

 b) 式

25 )式 お よ び (26

a 

b

式が 2っ 以 上の応 力 状 態が降伏 曲 面 上にあ る場 合の残 留ひずみ増 分

残 留 応 力 増 分 関 係であり

先に導びいた1つ の応 力 状 態の み が 降伏 曲 面上に ある場 合の それ は

M = 1の 場 合に相 当する こと は

容 易にわ か る。  な お

M

0

すな わ ち

すべ ての応 力状態 が降伏曲 面 内にある場 合に は

36

    D鴇1陀‘

=D

留斥1

 

Rt

O

 

t…

 

tS・

 (

27.

a

 

b

) とな る。  3

2 ひずみ 硬 化 材  次に

ひずみ硬 化材につ い て考え る

ひずみ硬 化 則に は

,Hill

, 

Hodge

等に より確 立さ れた等 方 硬 化 則と

Prager2i

に よ り提 案さ れ

ZiegLer2M

に よ り修 正 れ た移 動 硬 化 則 と が あるが

こ こ では

移 動 硬 化 財を考 え る

 完 全 弾 塑 性 材の場 合と同様に

まず

応 力 領域の で 1っ の応 力 状 態の みが降 伏 曲 面上に ある場 合を考え る (

Fig.

4(a)参 照 )。  移動硬 化 則にう材の 降 伏 条 件は

次 式の よ うに表さ れ る。     

f

(σ、厂 σ粉

σ孟 (

定 )

…・

…・

…・

…………

(28) こ こ に

磁 は

降 伏 関 数 中 央 点の応 力の値で あ り

そ の増 分は

Zieglerの修正則に従う と     ∠Lσ嵩

μ

11

(σiJIi

σ

E

 (29 ) こ こに

μ :ス カ ラ

で与 え られ る

 さて,

Prager,

 

Ziegler

に従い, ひずみ硬化による応 力の上昇 は塑 性ひずみ増 分と同じ方 向に生 じ るとす る と

28

)式お よ び 塑性 流れ則よ り

ρ*+

4

が に お ける 塑 性 条件と して

の 2式を得る

 

 

 

11

1

A

r

……一 ・

…・

……

(・・)

 

 

 

1

1

fi

λレ

1

……

31

こ こ に

H :ひずみ硬 化 係 数  

が をρ*+

Ap

串 まで上げ た 時の 降伏 曲 面 上の 応 力増分, お よび残 留ひずみ増 分は, 完 全 弾 塑 性 材の場 合と同様

(9)式お よ び (11)式で与えら れ る。 した がっ て

(9)式

(ll)式

お よ び (29>式

(3ユ)式が

こ こでの基 礎 式と なる。 eL

・1・    

P

    / ・

・/

繍 轡

鱗 〃

      メ     P

← 叩

\         \

     丿    

σ

正j     / ノ

7

・ 詮

1

器:乱

t 昏

_ .

一一.

ノ Y1

1d

rfa

2 b

fo

τ

e  incro

 n匸

        し

Fig

4a Increment o‘residual  stresses  for the ki皿ematic         strain

hardening ma しeria且

(5)

 さて

λ

11

お よ び残 留ひずみ増 分

残 留 応 力 増 分 関 係 は

完 全 弾塑性 材の場 合と同 様に

(9)式

(11}式お よ び 〔31)式 を も ちい れ ば求め ら れ る が 完 全 弾 塑 性 材 の場 合との相 異

(31)式の塑 性 条 件に ひずみ硬 化の 項が 入っ て いることのみで あ る

し た がっ て その λ

1

お よ び 残 留ひずみ増 分マ残 留 応 力 増分 関係は (13 )式 (14

a

 

b

) 式

16} 式お よ び (17

a

 

b

) 式 与え られ る 完全 弾塑性 材につ い て のそ れの うち

(14

b

)式で与え ら れていた

Q

,,を

次 式の よ うに変 更する の み で よ い

   

QII

一 万

£

1

3

11

〃踟

1

     

………一 ・

……・

(32)

 

降 伏 関 数 中央 点の応 力の 増分は

(9 )式 (29 ) 式お よ び (30 >式よ り求め られ る。 (

9

)式および (29) 式 を (30)式の塑 性 条件に代入 す る と

μ

11

次式の よ うに表さ れる

こ こ に ・

r

一 ・

A

σ

EV

十 △ρ掌

tg

11

 

 (33) 匸

   

Sii−

8tt

 

1

  ]

aw L

r

・)        

”tt’

t’

tt”

t’

t”tt’

”・

 (34

a

 b  (

33

)式を (

29

)式に代入 す る と

降 伏 関 数 中 央 点の 応 力の増分は

   

・・頴

1

・・/

t・

A

・…

1

t1

,)

…jl1

・壽)        

 

一・

 

(35) とな る

 次に

応力 領 域の中で 2つ 以 上の 応力 状 態が降 伏 曲 面 上にある場 合につ い て も

完全弾塑性 材の場 合と同 様

1つの応 力 状 態のみ が降 伏 曲 面 上に ある場 合の そ れを若 干 拡 張 する ことに より

残 留ひずみ増 分

残 留 応 力 増 分 関 係 を 求 めることがで きる (

Fig.

4(

b

)参 照 )。   p* をp* +Ap *まで上げた時の降 伏 曲 面 上の 応 力の Fig

4b ↑尹L1

n【

lncrement  of   residual   st[csses  fo[ the kinematic

strain

hardening material

増 分

お よ び残 留ひずみ増 分は

完 全 弾 塑 性 材の場合と 同様

(18)式

お よ び (20> 式で与え ら れ る

ま た

降 伏 関 数 中 央 点の応 力の増分,お よび

2

つの塑 性 条 件は, そ れ ぞ れ次 式の よ うに な る

   

Aatv= Σ μ

1

α

( 1 σi」

1a

σあ)

…・

……・

…・

…・

36

)       a

   島」

A

・・」

1

− A

IJ

)一 ・ (・= ・1

・・ )      

 

tt・

 

r・

 

r・

r・

(37)

   説

π

λト・

調

・             (α

=1

2,…

 

M

 

99・

 (38)  λ

1

お よ び残 留ひずみ増分

残 留 応 力 増分 関係は

(18) 式

(20) 式お よ び (38>式をもちい ると 1つ の 応 力 状 態の み が降 伏 曲 面 上に ある場 合と同 じ ように

(23

b

>式で与 えら れ て い た

Qafi

   

Q

・β

1

1

aa

・+

1

   

  

1

…・

…・

…・

…・

…・

…・

…・

…・

9 こ こ に δan :クロネッカ

のデル タ と変 更する の み で

他は

完 全 弾 塑 性 材の場 合と同 様

(22) 式

(23

a)式

25)式お よび (26

a

 

b

> 式で与 え ら れ ること が わ か る。  

ge]cr

お よ び降 伏 関数中 央 点の 応 力の増 分は

(18) 式

(36式 お よ び (37)

式 を も ちいる と

そ れ ぞ れ次 式の よ うに表され る

こ こに μ

1

。〒

s

書,

afL

    β

1

    

σ+ △

∂售}

1

、)

  ∂σt」 s (a= 1

2,…

 

M

△。壽一

歯歯

s

壁 。

1   ∂σitt β

σ、,

1

σ嵩)

…一

40 )

△σ留+

4P

let

 

1

、)

 

7・

 

r・

7r・

 

41

   

[・詞 一 [

Sa

・]

 

s

・・一

(a・

1fir

・:v)                   

 

ttt

 (

42.

a

 

b

)  完 全 弾 塑 性 材の場 合 と 同 様

,M =

1とすれ ば

(39) 式

(42

 a ,b〕 式は, 先に導びい た 1つの応 力 状 態の み が降 伏 曲 面上 にある場 合の (32)式

(35)式に な る ことは

容易に 知 れ る

 

4.

残 留応力お よ び残 留 変 形 解 析  前 節で は 残 留ひずみ増 分

残 留 応 力 増 分 関 係 を 導び い た

本 節で は

こ の関 係 式を含め た残 留 応 力お よ び残 留 変 形 解 析に関 す る 増 分 型の 基 礎 式 と

これに対す る い くつか の変分原理の分 型 汎 関 数の誘 導 を行 う。  4

1 基 礎 式  残 留 応 力 お よ び 残留 変 形 解 析に関す る増分 型基礎 式 は 次 式で与え られ る

一 37 一

(6)

 ○残 留 変 位 増 分

残 留ひずみ分関係

 

 

 

∂△岬 +∂△utn ∂x丿    ∂Xi

一 ・・

一 …・

…・

43 こ こに

Xi :座標  ○ 残留ひずみ増 分

残 留 応 力増分関係     ムσ野

=D

}Pl,,

A

ε〜kni

− Ap

Rij・

 (44 )                  (3

1, お よ び 3

2節 参 照 )  ○ 平 衡方程 式     △ ∂σ曽         

o

 

一・

 (45 )       ∂XJ  O 力 学 的 境 界 条 件     △Tl「i

4 σ

L

n」

0

9・

 (46 ) こ こ に nJ :単 位 外 向 き法 線  0 幾 何 学 的 境 界 条 件     ∠

Lutn=

0

r・

 

77・

 

47

 4

2 変分原理  次に

こ の基 礎 式に対す るいくつ かの分原理の増 分 型 汎 関 数 を

文 献

23

,24

)に従っ て

誘 導し て み る。  OHu

Washizu の原 理  ま ず

Hu

Washizu の 理の増 分 型 汎 関 数 は

  

 

AU ,

/[

9

D野裡

△ε〜,

ムε留

ss

Ap ’

R

  

 

  

 

1

去(

+∂

dV

  

 

  

 

ff

,. 

ATt’

i

A

L

dS ……『

……・

(48) こ こに

,V

析領域, 

Su

:幾 何 学 的 境 界 と な る

(48 )式に お け る独 立 関 数は △u卯

△ε

1

△σ曽で あ り, 付 帯条件は ない

ま た, 停 留 条件は, そ れ ぞ れ

δ加

1

η に関す る もの が (

45

}式の平 衡 方 程 式と (46 }式の力学的境界条件

飴 ε曽に関す るものが (

44

) 式の残 留ひみ増 分

残 留応力 増 分 関 係

δ

A

 aX にす るものが (43)式の残 留変位 増 分

残 留ひずみ増分 関係 と (47)式の幾 何 学 的 境 界 条件である

 OHellinger

Relssnerの理  次に

Hellinger

Ressner の 原 理の 増 分 型 汎 関 数は (44)式か ら得ら れ る     ∠」ε曽

C9?鳶ゴムσ〜ζ

1

十 △

P

C

習鳶ビR.

 

r・

t・

 (49) こ こ に     [  ψ

C

,   ijiCt]

1

9

?st]

 (50 ) を (48式に代 入, 変分 を 取っ た時 0と なる不 要の項 を 省 略し

さ らに

残留変 位増分の Xt に関 す る微分項を 部分積分 す るこ とに より

次 式の よ う に求ま る

  

 

All

fB

c

翫 … 野… 貿

 

 

 

 

 

一c

・ :?kt

P・ …

・・

2

dV

  

 

  

ff

、. ATY ’

A

tr

… ∫

……・

一 ・

(51 ) こ こ に

,S

σ :力 学 的 境 界

38

 

(51 }式に お ける独 立 関 数は

Autp

△σ

1

ワであ り

付 帯 条 件は ない

○最 小コ ンプリメ ンタリ

ル ギ

の原 理  △σ曽が

(45)式の平 衡 方 程 式お よ び (46)式の 力学 的 境 界 条件を満足 する場であれ ば

(51)式は

次の よ うに な る

   

A…

ffX

s

 

 

c

e

?. ,

A

・曽

・ ♂召

  

 

  

 

一CZV

., 

 

A

t

Y

Ap

R

,,

dV − ・

……

52

}  (52}が

最 小コ ンプリメ ンタ リ

ル ギ

理 の増 分 型 汎 関 数であ り

独 立 関 数は

45)式お よ び (46 ) 式 を付帯条件と す る,

4

σ搬のみ で あ る

○ 最小 ポテン シャ ル エ ネル ギ

の原 理  最後に 最小ポテンシ ャル エ ル ギ

理の分 型 汎関 数は, (

43

)式の残 留 変 位 増 分

残 留増 分 関 係

お よび (44) 式の残 留ひずみ増 分

残 留 応 力 増 分 関 係 を も ちい て

(48)式 か ら △ε曽

△σ曽を消 去し

さ らに,

Auln

が (

47

)式の幾 何学 的境 界条 件を満足 し てい ると して

次 式の よ うに求め ら れ る

 

 

 

AU.一

∬/

§

’1 + ∂

 

 

 

 

 

 

+ ∂

・ ∂

9tXi

s

      

A

・・…

…・

7……・

………

(・

3

)  (53 )式に お け る独 立 関 数は

△岬 の み で あり

(47〕 式が付帯 条件と してせ られ る

 ところ で, 完 全 弾 塑 性 材の場 合, 塑 性ひずみ増 分が応 力 増分に よっ て

義 的に表せないため

(50)式により

C

  を求め るこ とが で きず, し た がっ て, (51) 式の

Hellinger

−Reissner

理の分 型 汎 関 数, およ び (52) 式の最 小コ ンプリメ ン タ リ

エ ネル ギ

の原 理の増 分 型 汎 関数は

そ の ま まの形では

使 用す ること ができ ない

そこ で

(44 )式 の 残留ひずみ増分

残 留 応 力 増分 関係 導 出の基 礎と なっ た次 式に も う

度 立ち帰り

こ れ を 直接 残留ひずみ増分

残 留 応 力 増 分 関 係とし て扱か う。

  

 

8

1

。燭 ・

A

・… 曽

1

・)一・ (・一 ・…

…・

・)               

 

一・

 (54 )

 

  

tg

) .,…

1

tt− …

55 ) (44 )式の残留ひずみ

残 留 応 力 増 分 関係は

上の 2 式に よ り誘 導され る ことに注 意さ れ たい 3

1 節参照)

 すると

,Hellinger

Reissner

の原理

お よび最 小コン プリメ ンタリ

ルギ

の原理の増 分型 汎関 数は

そ れ ぞ れ, 次 式の よ うにな る。 ・

n

∬∬

・翫… 属

  

 

・レ

1

。 燭 ・ △が

ts

i

・)

・・

(7)

  

 

  

 

fll9

ATt

・ ’

AuLr,

Fds

…・

……

…・

6

  

 

A・1

・=

c

… 沼

  

 

  

 

1

1

嘱 吻 ・

      

・粤

1

・)

・・

…・

…・

…・

一 … …

157

こ こ に

残 留 塑 性ひ ずみ増 分の大 きさを示すλ

la

新た な独 立 関 数 として導 入さ れてお り

(54)式

(55 ) 式は

そ れ ぞ れ δλ

1a

δ

A

σ!

1

に関す る 停 留条 件と し て 満足さ れ る ことは 自明で あ ろ う

 なお

以上の増 分 型汎関数 をハ イ ブ リッ ド型に変 換す るこ とも

文献

23

−25

)に従え ば容 易であるが

こ こ で は

省略す る

 

5.

崩 壊 形 式につ い て   4

2

節で誘導し た増分型 変分原 理に基づ く適 当 な有 限 要素モ デル をも ちいれば

4

1節で誘 導した基 礎 式は

容 易に解 析 可 能であ り, p * 対する残 留 応 力, 残 留 変 形 等の応 答を求め ること がで き る

ところで

本 報 告で 提案し てい る手 法に よ り

step  

by

 step に解 析 を行っ て い く と

最終 的に は 2種 類の崩 壊 形 式に よ り

構造物 は崩 壊に至る

 

1

つ は

ρ* の増 加に伴い

剛 性マ ト リックス の値が 極めて小さ く なり (あるい は

特 異にな り)

非 常に大 き な残 留 変 形を生じ る場 合で あ り

こ れ が 漸 増 塑 性 崩 壊

もしくは即 時塑 性 崩 壊と呼ば れる もの で あ る。 漸増 塑 性 崩 壊か即時 塑 性崩壊か の区 別は

崩 壊モ

ドを形 成 して い る 降 伏 曲 面上 の応 力 状 態に対 応す る外 荷重 を チェ ックす ることにより

容 易に行 うこと ができ る。 崩 壊モ

ドを形 成し て い る こ れ等すべ て の応 力が

固定 荷 重と N 組の繰り返し変 動 荷 重の和とし て与え られる 1 つ の外 荷 重に対 応 す る ものであ れは その崩 壊は即 時塑 性 崩 壊で あ り

他の場 合は

漸 増 塑 性 崩 壊で あ る

  もう1つ の崩 壊 形 式は

繰り返し変 動 荷 重に対する弾 性 応 力応 答の領 域が

もは やこれ以上膨 張で き な く な る 状態で あOP 

例 え ば

完全塑性材の場 合に は

(18) 式 お よ び (19)式の解 と して     

A

σ

1

; 

O,

 

Ap

宰 

=O・

 

tt・

tt・

 (58

a

 b) 以 外

有 意な △σ留

△が が存 在し な い状 態とし て定 義 さ れ る。 この崩 壊 形式は

交番塑 性崩壊と呼 ばれ

,一

般 には

正 負 逆の降 伏が繰り返し生じ る状 態と して表 現さ れ る が

これ は先の定義で

応力 領域の中で

2

つ の応 力 状態の みが降伏 曲面 上にあ る場 合に担当す ること は

容 易にわ か る。  

6.

数 値 解 析 例   本 節で は

本 報 告で提 案し て い る手 法の有 効 性を示す ため

最 小ポ テン シャル エ ルギ

原 理に基づ く トラ スモデル を も ちい て

簡 単な平面ト ラス造物の析を 行なっ た結 果 を報 告す る

  6

1  トラス モ デル   まず, 最小 ポテン シャルエ ネルギ

の原理に基づ く平 面 トラスモ デルの誘 導 を行う6    トラス 部 材に お け る 残 留ひずみ増分

残留 応 力 増分関 係は

3.1

, お よび

3,

2節での定 式 化 を単軸応 力 状 態に焼 き直すこ とによ り

完 全 弾 塑 性 材

ひずみ硬 化 材 を 間わ

ず,.

次式

の 盡う」三三

…される

  .

 _.

  …

      ∠」σM

=E

S

ε cn

∠Sρ*

R ・

 

一・

(59) こ こ に

   

E

、_

E °

R_

E

a…

1

…一

(60

,b

)      

E

H

     

E

H

    (1つの応力状 態の み が降 伏 曲 面上に ある場 合齣     

E

=E ,R =O………・

tt…一 一 ……

(61

 a

 

b

)      (すべ て の応 力 状 態が降 伏 曲 面 内に あ る場 合)

 

 

E

・ヤ・グ繍

・・ 盤 ・ず・  ま た, ひずみ硬 化材に お け る降伏曲 面 中 央 点の応力の 増分 も

同様に

34

a

 

b

式 お よび (35)式より     ム♂

Aσ[n+

Ap

∂ce)

1

………・

………・

(62 ) とな る。  次に

(43 )式

(45 )式

(46 )式

お よび 47式 の分型 基 礎 式 を平 面 トラス構 造 物のそ れに置きか え

変 位 場とし て要 素 内線 形の そ れ をも ちい ると

ひずみ

応 力 共 要 素 内

定である か ら, Fig

5に示す代 表 的 トラ ス要 素に関 する最 小ボ テン シャル エ ルギ

原 理 分 型 汎 関 数は

  

A

13

・・

s

E

A ・

i

(麟

△暘 ・ )・       

A

(△

△頭n )

△P療

R

     

LAd

・r ・ 」

h

14d

L

ム♂・ 」

Ap

i

1

             

…・

…・

…・

……・

………・

…・

(63 ) と な る

こ こ に 一

1

1

100   1  00    

00

S .

Y

M

      0

  x〔u}

・ ?

1

P

a

u

〔 ?

  ユ      !       l { wコ

ω ω

〔L

1

)”

7

i

} ω

〔 L

Cy}・

e

(玉)

Fig

5 Aplane truss element

注4)単 軸 応 力 状 態では

2つ の異な る応 力 状 態が降伏曲面に

   達 し た 場合

交 番 塑 性 崩 壊と なる

し た がっ て

2つ 以

    上の応 力 状 態が降 伏 曲 面 上にある場 合を考 慮する必 要は     ない

(8)

lrl

A

R

 

 

100

 

t−・

 (64

a

c   

A

断 面 積

,1

要 素長 さ

ω :z 方 向変 位    u :x 方 向 変 位 で あ り

ld

(n }

h

]が

それぞ れ, 残 留 変 位パ ラメ

ク ト

お よび要 素剛性マ ト リックスである

  (63) 式の変 分を とると

   

DAII 砦a

L

δ∠id〔「}」《[

k

IAd

工雪

∠Sp*

1

γ

D

tt・

(65)  (65) 式は

局 所座標系表 示に なっ て い る の で

これ を全 体座標 系 表 示に変 換す れ ば

残 留変形 お よ び 残 留 応 力 解 析の た め の平 面 トラスモ デルが得ら れ る。  6

2 解析結果  解 析モ デル は

Fig

6に示 す よ う な

,2

つ の荷重を受 ける同じ断 面 積 を有 する ユ1 個の部材よ り構成さ れ た平 面 トラ ス構 造 物であ り

部材の応カ

ひずみ関係は

完 全 弾 塑 性の そ れ とし て い る。  2つ の荷 重 P1

 P2の変 動 領 域は     

P*

°

COS  8≦PIp

COS θ

…・

……・

(66

 a     

0

≦Pt≦p串

sin θ

………・

……・

…・

…・

…・

66

 

b

) で あ り, θ

=0.

0, 15

0, 30

O,45

0

52

5

60

O

67

5

75

0

82

5

gO

0 (

deg

)の 10ケ

ス につ い て

解 析 を行っ て い る

こ こ に     p1 =PlPiU

 p2・= P2

P2u・

………t・

67

at 

b

であ り

,P

、a

 

PiU

そ れ ぞ れ 

P1

お よ び

P

が単独に 載 荷さ れ た時の即 時 塑 性崩壊荷重であ る

ま た

が の 増 分 量は

新た な降 伏 を生じ る最 小のと してい る。  解 析 結 果は

Fig

7

9 (

b

お よ び

Table

 l (a

 

b

>に 示し て い る。  こ の平 面 トラス構 造 物につ い ては

線 形 計 画 法に よる

Shakedown

荷 重

お よ び P,

 P,≧0の領 域につ い て の 仮想変 形法に よ る即時塑性崩壊に関す る極 限 荷 重が

弾 1P ・                                        L     PZ L                  L い !・

。(

。2)

21 ・・。6 k4!・・2) い ・。。

。 (

2

岨 。3(・・1・mも       ら        PL

。・

409 ア1

!O (k

e}       4        P2u 

t

 s 1941  

 LO (kg )

Fig

6 A plane truss structure  under  repeated  varLab 【e loads

     PI and  P2

40

性 限 界荷重と と も に

Borkowski

Kleiber

に よっ て与 えられて おり12 )

,Fig.

7に

本 解析結果 と と もに示 して い る。 ま た

Fig

8に は

漸 増 塑 性崩壊, お よび即 時塑 性 崩 壊にお け る崩壊モ

ドを示 し ている

Fig.

7

の図中

弾 性 限 界AB

 BC は

そ れ ぞ れ

 No

6

お よ び

No .

4 の部 材塑 性 化対 応す る。ま た

Shakedown

限 界の内, AF は

No .6

部材に生じ る交 番 塑 性 崩 壊

 

FG ,

 

GH

は 即 時 塑 性崩壊

,HJ

は漸 増 塑性 崩 壊「lm であ り

 

FG ,

 

GH ,

L

o P J        

ヨ 二\         H   Cう 丶

     

、.

     

       試

0 3 o

6 o

4 0

丶 

   

一一

   ul

im8te    

   Shnkedevn    

− ・

     Sln5

ic

il

i

i

 

ii

iiii

1

 

 

宝         、 +

    \T \

°

O     Shake40珮 十   SLaSttc     ( ?resent )

       

A

   

      Pl o

e   O

O     O

2      0b      O6      DS      LO

  Fig

ア Characteristic load domains fQr the plane truss (a )

i77

“b

1

/ 

1

×

_

 

_

(c ) (b) (d)        

  Me

ber  a じ yteld        

−一

Me山ber

 

et

 

rigid

 

mQ しion

Fig

8 Collapse modes  Df the plane truss

注5) 文 献12)によれば

HJの漸 増 塑 性 崩 壊 限界は な く

HI

   IJが 即時 塑 性 崩 壊に よ るSbakedown 限 界 で あ る と報 告     されて い る

しか し な が ら

著 者等が同じ方 法で再 計 算    し た ところ

文 献12)の結果 は 誤 りであ るこ と が 明 らか    に なっ た ので

これ を 訂 正 し た も の を

Shakedown 限     界と して

Fig

7に示 して いる

Fig 。   g ( a )   Relatlo 隠   between   p 亭   a 皿 d   displacements   for   the         plane し 「 uss   〔θ = 30 .0 ( deg ))

参照

関連したドキュメント

Let X be a smooth projective variety defined over an algebraically closed field k of positive characteristic.. By our assumption the image of f contains

In this paper, we study the generalized Keldys- Fichera boundary value problem which is a kind of new boundary conditions for a class of higher-order equations with

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