博 士 （工 学 ）学 位 論 文
多 孔 板 を含 む音 場 の数 値 解 析 法 に関 する研 究
２０１３年 ３月
成 蹊 大 学 大 学 院 理 工 学 研 究 科 理 工 学 専 攻
目 次
第 1 章 . 緒 論 ··· 1 1 . 1 . 緒 言 · · · 1 1 . 2 . 従 来 の 研 究 の 概 要 · · · 5 1 . 2 . 1 . 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 に 関 す る 研 究 · · · 5 1 . 2 . 2 . 音 響 連 成 振 動 す る 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 に 関 す る 研 究 · · · 7 1 . 3 . 本 研 究 の 目 的 と 概 要 · · · 8 第 2 章 . 多 孔 板 を含 む音 場 の数 値 解 析 手 法 ··· 9 2 . 1 . 緒 言 · · · 9 2 . 2 . 解 析 手 法 · · · 1 1 2 . 2 . 1 . 多 孔 板 を 含 む 音 場 の モ デ ル 化 · · · 1 1 2 . 2 . 2 . 境 界 要 素 法 に よ る 音 場 の 定 式 化 · · · 1 2 2 . 2 . 3 . 多 孔 板 の 吸 音 モ デ ル · · · 2 1 2 . 3 . 解 析 手 法 の 有 効 性 の 検 証 （ １ ） ： １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法 と の 比 較 · · · 2 5 2 . 4 . 解 析 手 法 の 有 効 性 の 検 証 （ ２ ） ： 音 響 管 内 斜 入 射 実 験 と の 比 較 · · · 2 7 2 . 4 . 1 . 検 証 対 象 と 実 験 結 果 · · · 2 7 2 . 4 . 2 . 解 析 結 果 · · · 3 3 2 . 5 . 実 問 題 へ の 適 用 ： 中 空 二 重 壁 （ 自 動 車 ド ア ） の 高 遮 音 化 · · · 3 8 2 . 5 . 1 . 数 値 解 析 に よ る 多 孔 板 最 適 配 置 の 検 討 · · · 3 8 2 . 5 . 2 . 多 孔 板 に よ る 遮 音 性 能 向 上 効 果 の 確 認 · · · 4 4 2 . 6 . 結 言 · · · 4 8 第 3 章 . 振 動 する板 を含 む音 場 の数 値 解 析 手 法 ··· 49 3 . 1 . 緒 言 · · · 4 9 3 . 2 . 解 析 手 法 · · · 5 0 3 . 2 . 1 . 振 動 す る 板 を 含 む 音 場 の モ デ ル 化 · · · 5 03 . 2 . 3 . 有 限 要 素 法 に よ る 板 の 定 式 化 · · · 5 2 3 . 2 . 4 . 音 場 と 板 振 動 の 連 成 挙 動 の モ デ ル 化 · · · 6 7 3 . 3 . 解 析 手 法 の 有 効 性 の 検 証 ： 短 冊 板 音 圧 励 振 実 験 と の 比 較 · · · 7 1 3 . 3 . 1 . 検 証 対 象 · · · 7 1 3 . 3 . 2 . 実 験 結 果 と 解 析 結 果 · · · 7 2 3 . 4 . 結 言 · · · 7 4 第 4 章 . 振 動 する多 孔 板 を含 む音 場 の数 値 解 析 手 法 ··· 75 4 . 1 . 緒 言 · · · 7 5 4 . 2 . 解 析 手 法 · · · 7 6 4 . 2 . 1 . 多 孔 板 を 含 む 音 場 の モ デ ル 化 · · · 7 6 4 . 2 . 2 . 境 界 要 素 法 に よ る 音 場 の 定 式 化 · · · 7 7 4 . 2 . 3 . 有 限 要 素 法 に よ る 多 孔 板 の 定 式 化 · · · 7 7 4 . 2 . 4 . 音 場 と 多 孔 板 振 動 の 連 成 挙 動 の モ デ ル 化 · · · 7 8 4 . 3 . 解 析 手 法 の 有 効 性 の 検 証 ： 音 響 管 実 験 と の 比 較 · · · 8 2 4 . 3 . 1 . 検 証 対 象 · · · 8 2 4 . 3 . 2 . 実 験 結 果 と 解 析 結 果 · · · 8 4 4 . 3 . 3 . 多 孔 板 の 吸 音 特 性 に 影 響 を 与 え る 因 子 に 関 す る 考 察 · · · 8 5 4 . 3 . 3 . 1 . 多 孔 板 振 動 の 構 造 減 衰 の 影 響 · · · 8 6 4 . 3 . 3 . 2 . 多 孔 板 周 囲 拘 束 の 不 均 一 性 の 影 響 · · · 8 8 4 . 3 . 3 . 3 . 媒 質 温 度 の 影 響 · · · 9 1 4 . 4 . 実 問 題 へ の 適 用 ： 固 体 放 射 音 の 低 減 · · · 9 3 4 . 4 . 1 . 多 孔 板 に よ る 固 体 音 低 減 効 果 と そ の 予 測 · · · 9 4 4 . 4 . 2 . 固 体 音 低 減 構 造 の 設 計 指 針 · · · 9 8 4 . 5 . 結 言 · · · 1 0 2 第 5 章 . 振 動 する多 孔 板 を含 む音 場 の数 値 解 析 手 法 （多 孔 板 の非 線 形 吸 音 特 性 を 考 慮 する 場 合 ） ··· 103 5 . 1 . 緒 言 · · · 1 0 3 5 . 2 . 多 孔 板 の 音 響 連 成 振 動 と 非 線 形 吸 音 特 性 の 相 乗 効 果 · · · 1 0 4 5 . 2 . 1 . 実 験 方 法 · · · 1 0 4
5 . 2 . 2 . 実 験 結 果 · · · 1 0 5 5 . 3 . 振 動 す る 非 線 形 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 予 測 · · · 1 0 7 5 . 3 . 1 . 多 孔 板 の 振 動 と 非 線 形 特 性 を 考 慮 し た 吸 音 モ デ ル · · · 1 0 7 5 . 3 . 2 . 解 析 結 果 · · · 1 0 8 5 . 4 . 結 言 · · · 1 1 1 第 6 章 . 結 論 ··· 113 参 考 文 献 関 連 論 文 ・ 講 演 発 表 ・ 発 明
第 1章 . 緒 論
1.1. 緒 言
ま ず 初 め に ， 機 械 製 品 の 騒 音 性 能 お よ び 低 騒 音 化 開 発 を 取 り 巻 く 状 況 に つ い て 述 べる． 近 年 ， 私 た ち の 身 の 回 り に あ る エ ア コ ン ， 掃 除 機 ， コ ン ピ ュ ー タ ， デ ジ タ ル 複 合 機 な ど の 家 電 や 事 務 機 器 ， 自 動 車 ， 鉄 道 な ど の 輸 送 機 器 ， さ ら に は コ ン プ レ ッ サ ， 建 設 機 械 な ど の 産 業 機 械 に 至 る ま で ， 低 騒 音 で あ る こ と が 重 要 で 欠 く こ と の で き な い 商 品 性 の １ つ と な っ て い る ． そ の 理 由 は ユ ー ザ 要 求 の 高 ま り ， 法 規 制 や 業 界 規 準 な ど そ れ ぞ れ で あ る が ， 製 品 カ タ ロ グ に そ の 機 器 の 主 た る 性 能 ・ 機 能 と と も に 騒 音 レ ベ ル が 併 記 さ れ て い ること か ら 明 らか であ る． 例 えば ， あ るメ ーカ の 掃 除 機 は 2009 年 に 63dB であった運 転 音 を 2010 年 には 55dB，2011 年 には 53dB と年 々静 音 化 して，ユーザ要 求 の高 まりに応 え て いる． 建 設 機 械 に お い て は ， 国 内 で は 1997 年 より国 土 交 通 省 による低 騒 音 型 建 設 機 械 ， 超 低 騒 音 型 建 設 機 械 （ 低 騒 音 よ り 6dB 低 騒 音 ）の型 式 指 定 制 度 が実 施 され てお り， また ， EU では 2002 年 より騒 音 規 制 が実 施 され，2006 年 にはさらに 3dB 厳 しい 規 制 と なっ て いる ． 一 方 ， 機 械 製 品 の 主 た る 性 能 の 向 上 は 著 し く ， そ れ に 伴 う 大 出 力 化 ， 大 型 化 ， 高 速 化 な どに よ り， 機 械 に 内 包 さ れ る 騒 音 源 は ます ます 増 大 し て い る ． また， し ば し ば 低 騒 音 化 と 相 反 す る 開 発 要 件 に な る 低 コ ス ト ， 省 エ ネ 性 能 （ そ の た め の 軽 量 化 ） ， 冷 却 性 能 （ そ の た め の 密 閉 性 の 緩 和 ） ， 省 ス ペ ー ス （ 高 密 度 化 ） な ど の 要 求 も 高 く な っ て い る ． 先 に も 取 り 上 げ た 掃 除 機 で は ， 主 た る 性 能 で あ る 吸 引 風 量 を モ ー タ の 高 出 力 化 に よ り 5 倍 に 高 め な が ら 運 転 音 を 維 持 し た 例 も 見 ら れ る ． ま た ， 建 設 機 械 の シ ョ ベ ル で は ， 狭 小 地 で の 作 業 性 向 上 の た め の 後 方 小 旋 回 化 に よ り ， エ ン ジ ン ル ー ム が 縮 小 さ れ ， 低 騒 音 化 対 策 が よ り 困 難 に な っ たと いう 事 例 が あ る ． 以 上 の よ う に 対 応 の 困 難 さ が 増 し て い る ユ ー ザ 動 向 ， 市 場 環 境 の 中 で ， 機 械 製 品 の メ ー カ 企 業 は 低 騒 音 で あ る こ と を 重 要 な 性 能 要 件 と 設 定 し て 製 品 開 発 を 進 め て お り ， そ の 目 標 達 成 に は ま すま す 高 度 な 技 術 が 必 要 と なっ て いる と 言 え る．次 に ， 機 械 製 品 の 低 騒 音 化 手 法 に つ い て 考 え る． 機 械 の 低 騒 音 化 に 対 し て 最 も 優 先 す べ き は 騒 音 源 対 策 ， す な わ ち ， 騒 音 源 （ 例 え ば ， 自 動 車 に お け る エ ン ジ ン の 音 響 放 射 パ ワ ー ） を 小 さ く す る ， あ る い は ， そ の 極 近 傍 に 騒 音 を 封 じ 込 め る こ と で あ る ． し か し ， 実 状 と し て 騒 音 源 対 策 は 低 騒 音 化 要 求 に 対 し て 十 分 な レ ベ ル に 達 し て お ら ず ， そ の 結 果 ， 騒 音 源 か ら 放 射 さ れ た 音 波 に 対 す る 対 策 が 必 要 に な っ て く る ． 騒 音 源 対 策 が 不 十 分 で あ る 理 由 は ， 騒 音 源 は そ の 機 械 の 主 た る 性 能 を 実 現 す る の が 最 優 先 で あ る こ と ， 騒 音 源 近 傍 は 熱 ， 油 な ど 騒 音 対 策 部 材 に と っ て 過 酷 な 環 境 であ るこ と な どが 考 え られ る． 次 善 の 策 で あ る 放 射 さ れ 空 間 を 伝 搬 し て い る 音 波 に 対 す る 対 策 と し て は ， 吸 音 と 遮 音 と い う 手 段 が あ る ． 吸 音 と は 音 波 の エ ネ ル ギ を 熱 エ ネ ル ギ な ど に 変 換 す る こ と に よ り 音 波 を 減 衰 さ せ る こ と で あ り ， 例 え ば ， 自 動 車 の エ ン ジ ン フ ー ド の 裏 側 に は 吸 音 材 が 設 け ら れ て お り ， エ ン ジ ン か ら 放 射 さ れ た 騒 音 を そ こ で 吸 収 し て ， エ ン ジ ン ル ー ム の 外 に 漏 れ る 騒 音 を 低 減 し て い る ． 吸 音 材 と し て 最 も 普 及 し て い る の は グ ラ ス ウ ー ル な ど の 繊 維 系 素 材 を 成 型 し た も の で あ る が ， 近 年 ， ウ レ タ ン ス ポ ン ジ な ど の 発 砲 樹 脂 素 材 を 成 型 し た 吸 音 材 や 板 状 の 部 材 に 微 細 な 孔 を 多 数 設 け た 多 孔 板 と そ の 背 後 に 設 け ら れ た 空 気 層 か ら な る 吸 音 部 材 も 開 発 さ れ 活 用 が 進 ん で い る ． 一 方 の 遮 音 は 騒 音 源 を 板 状 の 部 材 な ど で 囲 い ， 騒 音 の 機 械 外 部 へ の 漏 洩 を 抑 制 す る こ と で あ り ， 例 え ば ， 自 動 車 の エ ン ジ ン フ ー ド は 遮 音 部 材 と し て の 役 割 も 担 っ て お り ， ま た ， コ ン プ レ ッ サ な ど 産 業 機 械 の カ バ ー も 遮 音 を 目 的 と し た も の で あ る ． し か し ， 多 く の 機 械 で 冷 却 機 能 が 必 要 と さ れ ， 冷 却 空 気 を 取 り 入 れ ， 排 気 す る た め の 開 口 を 設 け る と 遮 音 性 能 が 劣 化 す る と い う 問 題 が あ り， 結 果 と し て ， 吸 音 対 策 に 期 待 す る こ と が 多 く な っ て い る ． また ， 吸 音 ， 遮 音 に よ る 対 策 は コ ス ト 増 大 と い う 問 題 を 生 じ さ せ る ． 吸 音 ， 遮 音 は 騒 音 源 か ら 放 射 さ れ た 音 波 の 伝 搬 経 路 に お け る 対 策 で あ る た め ， 自 ず と 対 策 面 積 が 大 き く な り ， 吸 音 材 ， 遮 音 材 の 使 用 量 が 多 く なる か ら で あ る． 以 上 の よ う な 実 状 の 中 に あ っ て ， い か に 吸 音 材 ， 遮 音 材 を 効 果 的 に 使 用 し て 低 コ ス ト な 対 策 を 実 現 す る か ， お よ び ， そ の よ う な 対 策 構 造 を い か に し て 検 討 ・ 設 計 す る か が 今 後 の 重 要 な 技 術 課 題 に な っ て く る と 考 え ら れ る ． 前 者 の 課 題 に つ い て は ， 前 出 の 多 孔 板 を 用 い た 吸 音 部 材 の 活 用 が 解 決 策 の １ つ で あ る と 考 え て い る ． 低 コ ス ト 対 策 を 実 現 す る に は 騒 音 源 の 近 傍 で 対 策 す る こ と が 重 要 で あ る が ， 多 孔 板 は 素 材 を 適 切 に 選
べ ば （ 例 え ば ， ア ル ミ ， 鋼 な ど の 金 属 製 ） ， 前 述 し た 騒 音 源 対 策 の 困 難 さ の 理 由 で あ る 過 酷 な 環 境 に も 耐 え うる 吸 音 部 材 を 実 現 可 能 だ か ら であ る． 次 に ， メ ー カ企 業 の 開 発 現 場 の 状 況 に つ いて 述 べ る． 上 述 の 機 械 製 品 を 取 り 巻 く ユ ー ザ 動 向 ， 市 場 環 境 は 製 品 開 発 の 進 め 方 に も 影 響 を 与 え る ． 低 コ ス ト 化 要 求 は 製 品 の 製 造 原 価 だ け が 対 象 で は な く ， 開 発 コ ス ト に も 求 め ら れ る ． す な わ ち ， 開 発 の 効 率 化 （ 期 間 短 縮 ， 省 力 化 ） が 求 め ら れ ， 各 開 発 過 程 に お け る 試 行 錯 誤 や 手 戻 り （ 開 発 要 件 未 達 な ど の 不 具 合 に よ り 開 発 の 前 段 階 に 戻 る こ と ） を 排 除 す る こ と が 重 要 な 課 題 と な る ． し か も ， 上 述 の よ う に 製 品 の 高 性 能 化 に よ っ て 機 械 へ の 投 入 エネ ル ギ は そ の 製 品 に と っ て 未 知 の 領 域 に 達 し ， 相 反 す る 開 発 要 件 が 増 加 して い ると いう 状 況 であ る ． 課 題 解 決 の １ つ の 手 段 と し て ， 多 く の 企 業 が 製 品 開 発 の 効 率 化 を 目 指 し た フ ロ ン ト ロ ー デ ィ ン グ と 呼 ば れ る 製 品 開 発 工 程 の 導 入 を 進 め て い る ． フ ロ ン ト ロ ー デ ィ ン グ と は 製 品 開 発 の 初 期 工 程 に 多 く の 資 源 を 投 入 し ， 開 発 初 期 で の 製 品 完 成 度 を 高 め る と い う 考 え で あ る ． そ の 結 果 と し て ， よ り 多 く の コ ス ト を 要 す る 後 期 工 程 で の 開 発 や り 直 し を 回 避 で きる の であ る． 低 騒 音 化 な ど の 性 能 開 発 に 対 し て これを 実 行 する と いう こ と は， 開 発 初 期 の 机 上 検 討 を 高 精 度 化 ， す な わ ち， 製 品 ， 部 品 の 試 作 品 が 無 い 段 階 で 性 能 を 予 測 ・ 評 価 し ， 性 能 要 件 達 成 に 向 け た 設 計 変 更 を ほ ぼ 終 え て し ま う と い う こ と で あ る ． こ れ の 実 現 に 必 要 不 可 欠 で ， 近 年 ， 開 発 現 場 で の 活 用 が 進 ん で い る の が 数 値 解 析 （ コ ン ピ ュ ー タ シ ミ レ ー シ ョ ン ョ ン ） を 用 い た 性 能 事 前 予 測 技 術 で あ る ． 構 造 の 変 形 や 強 度 を 予 測 す る 有 限 要 素 法 に よ る 構 造 解 析 は 古 く か ら 開 発 現 場 で 普 及 し て い る が ， 近 年 で は 流 体 解 析 ， 熱 解 析 ， そ し て ， さ ら に 少 し 遅 れ て い る が 本 研 究 の 対 象 で あ る 音 場 解 析 も 活 用 が 進 んで い る． こ の よ う に メ ー カ 企 業 の 開 発 現 場 で は ， 開 発 の 効 率 化 も 重 要 な 課 題 と 捉 え て ， 新 た な 開 発 手 法 や 設 計 技 術 を 取 り 入 れ な が ら 製 品 開 発 を 実 施 し て い る ． ま た ， 事 前 予 測 技 術 の 活 用 は ， 前 項 の 最 後 に 述 べ た 技 術 課 題 （ 対 策 構 造 の 検 討 ・ 設 計 手 法 の 確 立 ） の 解 決 に も 繋 が り， 今 後 も よ り 一 層 普 及 す ると 考 え ら れる．
以 上 に 述 べて きた こ と を まと め る と ， 機 械 製 品 の 高 性 能 化 ， 要 求 性 能 の 複 雑 化 の 中 で ， 低 騒 音 で あ る こ と は 今 後 も 機 械 製 品 の 重 要 な 性 能 要 件 で あ り ， そ の 達 成 に は 従 来 以 上 に 高 度 な 技 術 が 必 要 と され る． 低 騒 音 化 対 策 が低 コストであることも重 要 な開 発 要 件 であり，吸 音 ，遮 音 を効 率 的 に 駆 使 し て ， 低 騒 音 構 造 を 実 現 す る こ と が 技 術 課 題 で あ る ． 高 効 率 に 吸 音 を 付 与 する 手 段 と し て ， 多 孔 板 を 用 いた 吸 音 部 材 の 活 用 が 有 望 であ る． 低 コ ス ト 化 は 開 発 工 程 に も 求 め ら れ ， 数 値 解 析 を 用 い た 開 発 初 期 段 階 の 机 上 検 討 の 高 精 度 化 が 技 術 課 題 であ る． となる． こ の よ う な 背 景 か ら ， 本 研 究 で は ， 機 械 製 品 の 低 騒 音 化 ， お よ び ， そ の 設 計 効 率 化 に 資 す る 「 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 予 測 技 術 」 の 獲 得 を 目 的 と し て ， 下 記 に つ い て 検 討 す る． （ １ ） 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 手 法 （ ２ ） 音 響 連 成 振 動 す る 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 手 法
1.2. 従 来 の研 究 の概 要
本 節 で は ， 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 に 関 し て ， 本 研 究 に 関 係 の 深 い 従 来 の 研 究 に つ い て 概 説 す る． 本 研 究 で 取 り 上 げ る 多 孔 板 は ， 多 数 の 孔 を 設 け た 板 状 の 部 材 で あ り ， 背 後 に 空 気 層 を 設 け る こ と で 吸 音 性 を 発 揮 す る こ と が 知 ら れ て お り ， 建 築 音 響 の 分 野(1)や ジ ェ ッ ト エ ン ジ ン の 周 囲 の よ う な 非 常 に 高 音 圧 な 環 境 下 で の 騒 音 対 策(2)な ど に 古 く か ら 活 用 さ れ て き た ． 近 年 で は ， 孔 加 工 技 術 の 発 展 に と も な っ て 孔 を 微 細 化 で き る よ う に な り ， 従 来 か ら 多 用 さ れ て い る グ ラ ス ウ ー ル な ど の 多 孔 質 吸 音 材 と 同 等 以 上 の 吸 音 性 能 を 得 る こ と も 可 能 と な り， そ の 活 用 分 野 は 多 岐 に 広 が りを 見 せて い る(3)(4) ． 以 下 で ， 本 研 究 の 対 象 で あ る 「 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 」 ， 「 音 響 連 成 振 動 する 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 」 に 関 する 従 来 の 研 究 に つ い て 述 べる． 1 . 2 . 1 . 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 に 関 す る 研 究 多 孔 板 の 吸 音 特 性 や そ の メ カ ニ ズ ム に つ い て は ， Ingard(5) ， Melling(6) ， Maa(7)(8)， 高 橋 ら(9)に よ り 古 く か ら 実 験 的 ， 理 論 的 な 研 究 が な さ れ て お り ， そ の メ カ ニ ズ ム は ， 孔 内 の 媒 質 が 交 番 的 に 往 復 運 動 す る こ と に よ る 孔 内 壁 面 と の 摩 擦 と 孔 か ら 噴 出 し た 流 れ が 渦 に な る こ と に よ る エ ネ ル ギ 消 散 と 考 え ら れ て い る ． 特 に ， 渦 に よ る エ ネ ル ギ 消 散 は 孔 内 媒 質 の 振 動 速 度 に 対 し て 非 線 形 な 特 性 を 持 っ て お り ， 高 音 圧 環 境 下 で 大 き な 吸 音 効 果 を も た ら す ． ま た ， こ れ ら の 研 究 に よ り 多 孔 板 吸 音 モ デ ル ， す な わ ち ， 多 孔 板 の 音 響 特 性 を 記 述 す る 音 響 イ ン ピ ー ダ ン ス モ デ ル （ 多 孔 板 の 表 裏 の 音 圧 と 多 孔 板 法 線 方 向 の 媒 質 粒 子 速 度 の 関 係 ） が 多 数 提 案 さ れ て お り ， 多 く の 分 野 で そ の 有 用 性 が 検 証 さ れ て い る(2)(10) ． 多 孔 板 お よ び 背 後 空 気 層 と そ の 周 囲 壁 面 を 含 め た 吸 音 構 造 が 一 次 元 音 場 と し て 取 り 扱 え る 構 造 で あ る 場 合 に は ， １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法(11)に 音 響 イ ン ピ ー ダ ン ス モ デ ルを 計 算 で き ， そ こ か ら 吸 音 性 能 を 算 出 で き る ． ま た ， 無 限 大 平 面 の 吸 音 構 造 表 面 に 平 面 波 が 入 射 す る 場 合(12)な ど 限 ら れ た 問 題 は ， 上 述 の 音 響 イ ン ピ ー ダ ン ス を 境 界 条 件 と し て 与 え る こと に よ っ て ， 多 孔 板 を 含 む 音 場 を 理 論 解 析 的 に 解 く こと が 可 能 であ る ． し か し ， 多 孔 板 が 実 際 に 使 用 さ れ る 機 械 製 品 内 部 の 音 場 は 複 雑 な ３ 次 元 形 状 で あ り ， 吸 音 構 造 も サ イ ズ は 有 限 で 任 意 の 形 状 を し て お り ， と も な っ て ， 吸 音 構 造 へ の 音 波 入 射 条 件 も 複 雑 に な る の で ， 実 製 品 の 開 発 に お け る 理 論 解 析 的 手 法 の 活 用 は 限 定 的 で あ る． 任 意 形 状 の 音 場 ， 吸 音 構 造 に 対 し て も 有 効 な 音 場 の 予 測 手 法 と し て， 有 限 要 素 法 （ 以 下 ， FEM ）(13)や 境 界 要 素 法 （ 以 下 ， BEM ）(14)(15)(16)を 用 い る 数 値 解 析 手 法 が 確 立 さ れ て い る(17) ． FEM に よ る 音 場 解 析 は ， 波 動 方 程 式 か ら 導 出 す る 領 域 積 分 方 程 式 を 解 析 対 象 の 空 間 領 域 を 要 素 分 割 し て 離 散 化 す る こ と に よ り マ ト リ ク ス 方 程 式 を 作 成 す る ． 空 間 領 域 を 要 素 分 割 す る こ と か ら ， 温 度 分 布 が あ る 場 合 な ど 不 均 一 媒 質 の 取 り 扱 い が 容 易 で あ る が ， 基 本 的 に 閉 空 間 が 対 象 で あ り ， 無 限 空 間 を 解 く の は 困 難 を 伴 う ． 一 方 ， BEM に よ る 音 場 解 析 は ， 波 動 方 程 式 か ら 導 出 す る 境 界 積 分 方 程 式 を 解 析 対 象 の 空 間 領 域 の 境 界 を 要 素 分 割 し て 離 散 化 す る こ と に よ り マ ト リ ク ス 方 程 式 を 作 成 す る ． 閉 空 間 だ け で な く 開 空 間 も 同 様 の 取 り 扱 い で 計 算 可 能 で あ る が ， 境 界 を 要 素 分 割 す る こ と か ら 不 均 一 媒 質 の 取 り 扱 い が 複 雑 に な る ． 計 算 コ ス ト に つ い て は ， 自 由 度 数 す な わ ち マ ト リ ク ス 方 程 式 の 次 元 数 は FEMが 圧 倒 的 に 多 く な る が ，BEM の マ トリ ク スが 密 マ ト リ ク ス で あ る の に 対 し て FEM は バ ン ド マ ト リ ク ス で あ り 求 解 が 比 較 的 容 易 で あ る こ と か ら ， 必 ず し も 自 由 度 数 の 少 な い BEM が 有 利 と は 言 え な い ． こ の よ う に 解 析 対 象 の 制 約 ， 計 算 コ ス ト に お い て ， FEM と BEM は 一 長 一 短 あ り ， 問 題 に 応 じ て 適 切 に 使 い 分 け る 必 要 が あ る ． 本 研 究 で 適 用 先 と し て 想 定 し て い る 機 械 製 品 で は ， 前 章 で 述 べ た よ う に ， 機 械 （ の 防 音 カ バ ー ） の 内 部 の 音 場 と 外 部 の 音 場 を 同 時 に 計 算 す る 必 要 が あ る の で ， 以 下 で は， 外 部 の 無 限 空 間 の 取 り 扱 いが 容 易 で あ る 境 界 要 素 法 に 着 目 する． 境 界 要 素 法 に 多 孔 板 を 組 み 込 む 手 法 と し て ， 最 も 単 純 な 手 法 は 孔 １ つ １ つ を 要 素 分 割 で 表 現 す る こ と で あ る が ， こ の 手 法 は 要 素 数 が 膨 大 に な り ， 機 械 製 品 の 実 構 造 を 対 象 と し た 場 合 に は 非 現 実 的 で あ る ． こ れ に 対 し て 田 中 ら(18)(19)は ， 多 孔 板 の 孔 部 以 外 だ け を 要 素 分 割 し ， 孔 部 は 各 孔 を １ 要 素 と し て 扱 う 手 法 を 提 案 し ， 計 算 時 間 短 縮 効 果 を 示 し た． 一 方 ， 杉 本 ら(20)(21)は ， 多 孔 板 に よ り 複 数 の 領 域 に 分 割 さ れ て い る 音 場 に 対 し
て ， そ れ ぞ れ の 領 域 に 境 界 要 素 法 を 適 用 し ， 両 領 域 の 界 面 上 要 素 を 多 孔 板 の 特 性 を 記 述 し た 伝 達 マ ト リ ク ス で 接 続 し て 連 立 さ せ る 手 法 を 提 案 し ， そ の 有 効 性 を 確 認 し て い る ． こ の 手 法 で は ， 多 孔 板 の 特 性 を 巨 視 的 に （ 多 数 の 孔 の 作 用 を 一 括 し て 平 均 的 に ） 取 り 扱 う の で ， 計 算 コ ス ト 面 で も 前 者 よ り も 有 利 で あ る ． た だ し ， こ こ で 紹 介 し た ３ 手 法 は 吸 音 効 果 を 有 し て い な い （ 孔 が 大 き い ） 多 孔 板 を 対 象 に し た も の で あ り ， 吸 音 効 果 を 考 慮 した 多 孔 板 に つ い て 同 様 の 手 法 の 有 効 性 を 確 認 し た報 告 は 見 られ な い ． 1 . 2 . 2 . 音 響 連 成 振 動 す る 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 解 析 手 法 に 関 す る 研 究 多 孔 板 が 音 響 連 成 振 動 し て い る 場 合 の 音 場 の 予 測 に つ い て も 同 様 で ， 理 論 解 析 で は ， 単 純 な 形 状 の 音 場 と 吸 音 構 造 ， 単 純 な 音 波 入 射 条 件 ， 加 え て ， 単 純 な 機 械 的 加 振 力 に 対 し て の み 予 測 が 可 能 で あ る ． 例 え ば ， Takahashi ， Toyoda ら(22)(23)(24)や Sakagamiら(25)は， 無 限 大 の 多 孔 板 に 平 面 波 が 斜 め に 入 射 し て 多 孔 板 が 励 振 さ れ た と き の 吸 音 性 能 や ， 無 限 大 の 多 孔 板 あ る い は 剛 壁 面 に 囲 ま れ た 矩 形 断 面 管 内 に 支 持 さ れ た 多 孔 板 を 点 加 振 し た 際 の 多 孔 板 か ら の 放 射 音 を ， 理 論 解 析 に よ り 予 測 し て い る ． ま た ， 多 孔 板 の 裏 面 （ 背 後 空 気 層 側 ） が ハ ニ カ ム コ ア で 裏 打 ち さ れ て い る 場 合 に つ い て も ， 予 測 で き る よ う に な っ て い る ． 数 値 解 析 に つ い て は ， 孔 の な い 板 に 対 し て は ， 板 に 有 限 要 素 法 を ， 音 場 に 境 界 要 素 法 を 適 用 す る 解 析 手 法(26)(27)(28)な ど が 確 立 さ れ て い る ． し か し ， 多 孔 板 を 組 み 込 ん だ 解 析 手 法 の 提 案 は 見 当 た ら な い．
1.3. 本 研 究 の目 的 と概 要
以 上 の 背 景 から， 本 研 究 は （ １ ） 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 手 法 （ ２ ） 音 響 連 成 振 動 す る 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 手 法 の 確 立 を 目 的 と す る ． この 目 的 の 達 成 に 向 け て 実 施 し た研 究 内 容 の 概 要 を 以 下 に 記 す． 第 ２ 章 で は ， 「 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 法 」 に 関 し て ， 多 孔 板 に よ り 複 数 の 領 域 に 分 割 さ れ て い る 音 場 に 対 し て ， そ れ ぞ れ の 音 場 に 境 界 要 素 法 を 適 用 し て 各 音 場 の マ ト リ ク ス 方 程 式 を 作 成 し ， 多 孔 板 の 表 ／ 裏 の 物 理 量 を 多 孔 板 吸 音 モ デ ル で 結 合 す る と い う 数 値 解 析 法 を 提 案 す る ． 使 用 し た 多 孔 板 吸 音 モ デ ル は 孔 貫 通 方 向 （ 板 厚 方 向 ） の 現 象 の み を 考 慮 し た １ 次 元 モ デ ル で あ り ， 音 波 が 多 孔 板 に 斜 め に 入 射 し た 際 の 音 場 と 多 孔 板 と の 接 合 面 に お け る 局 所 作 用 の 仮 定 の 妥 当 性 や 同 接 合 面 に お い て 一 様 で は な い 音 圧 分 布 や 位 相 分 布 が 存 在 す る 場 合 へ の 適 用 性 が 懸 念 さ れ るの で， 実 験 と の 比 較 に よ り 本 解 析 法 の ３ 次 元 音 場 で の 有 効 性 を 検 証 する ． 第 ３ 章 で は ， 「 音 響 連 成 振 動 す る 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 法 」 の 検 討 に 先 立 っ て ， 孔 の な い 板 が 音 響 連 成 振 動 す る 場 合 に つ い て ， 板 振 動 に 有 限 要 素 法 を ， 音 場 に 境 界 要 素 法 を 適 用 した 音 場 － 構 造 連 成 解 析 手 法 の 有 効 性 を 検 証 する． 第 ４ 章 お よ び 第 ５ 章 で は ， 「 音 響 連 成 振 動 す る 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 数 値 解 析 法 」 に 関 し て ， 前 章 の 音 場 － 構 造 連 成 解 析 手 法 に お け る 板 と 音 場 の 物 理 量 を 関 係 付 け る 連 成 関 係 式 に 多 孔 板 吸 音 モ デ ル を 組 み 込 む 手 法 を 考 案 す る ． そ し て ， 吸 音 特 性 の 非 線 形 性 が 発 現 し な い 場 合 （ 第 ４ 章 ） ， 発 現 し て い る 場 合 （ 第 ５ 章 ） に つ い て ， 実 験 と の 比 較 に よ り 本 解 析 法 の 有 効 性 を 検 証 する． ま た ， 第 ２ 章 ， 第 ４ 章 に お い て ， よ り 実 際 の 製 品 開 発 に 近 い 問 題 に 対 し て 数 値 解 析 を 適 用 し ， そ の 有 用 性 を 検 証 す る ． 第 ２ 章 で は 自 動 車 ド ア の 高 遮 音 化 に 向 け た ド ア 内 の 多 孔 板 最 適 配 置 設 計 問 題 に ， 第 ４ 章 で は 振 動 し て い る 構 造 体 か ら の 放 射 音 の 低 減 に 向 け た 多 孔 吸 音 構 造 最 適 設 計 問 題 に 適 用 する．第 2章 . 多 孔 板 を含 む音 場 の数 値 解 析 手 法
2.1. 緒 言
本 章 で は ， 境 界 要 素 法 に よ る 多 孔 板 を 含 む ３ 次 元 音 場 の 数 値 解 析 手 法 に つ い て 提 案 す る ． こ こ で は ， 多 孔 板 は 音 場 の 中 で 静 止 し て い る ， す な わ ち ， 多 孔 板 表 面 上 の 音 圧 に よ っ て 連 成 振 動 せ ず ， ま た ， 多 孔 板 構 造 に 直 接 作 用 す る 機 械 的 加 振 力 も 存 在 しな いもの とす る． 機 械 製 品 な ど の 低 騒 音 化 の た め の 防 音 構 造 を 効 率 的 （ 構 造 と し て ， ま た ， 開 発 工 程 と し て ） に 実 現 す る た め に は ， 機 械 内 部 の 音 場 （ 音 圧 と 媒 質 粒 子 速 度 の 分 布 と そ の 周 波 数 特 性 ） を 事 前 に 把 握 し て ， 吸 音 構 造 を 最 適 に 設 計 し ， 配 置 す る こ と が 重 要 で あ る ． す な わ ち ， 吸 音 構 造 を 含 む 任 意 形 状 の 音 場 を 精 度 良 く 予 測 す る こ と が 技 術 課 題 で ある． 本 研 究 で 取 り 上 げ る 多 孔 板 の 吸 音 特 性 に つ い て は 前 章 で も 述 べ た と お り ， 古 く か ら 実 験 的 ， 理 論 的 な 研 究(5)～(9)が な さ れ て お り ， そ の メ カ ニ ズ ム は ， 孔 内 に お け る 空 気 と 内 壁 面 と の 摩 擦 に よ る 粘 性 減 衰 お よ び 空 気 が 孔 か ら 噴 出 す る 際 に 生 じ る 渦 に よ る 圧 力 損 失 減 衰 に よ る と 考 え ら れ る ． 近 年 ， 孔 加 工 技 術 の 発 展 に 伴 っ て 孔 を 細 孔 化 し て 粘 性 減 衰 効 果 を 高 め る こ と に よ り ， 従 来 か ら 多 用 さ れ て い る グ ラ ス ウ ー ル な ど の 多 孔 質 吸 音 材 と 同 等 以 上 の 吸 音 性 能 を 得 る こ と も 可 能 と な り ， ま た ， 金 属 素 材 を 用 い る こ と に よ り 耐 候 性 ， 耐 久 性 ， あ る い は ， リ サ イ ク ル 性 な ど に 優 れ た 吸 音 構 造 を 実 現 で き る こ と か ら ， 多 方 面 で 多 孔 板 吸 音 構 造 を 利 用 し た防 音 構 造 が 実 用 化 され て い る( 3 ) (4) ． 多 孔 板 吸 音 モ デ ル に 関 す る 研 究(5)～( 1 0 )は ， 吸 音 構 造 の 合 理 的 な 設 計 の た め に 有 益 で ， そ れ ら を １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法(11)と 組 み 合 わ せ る こ と に よ り ， 孔 径 ， 開 孔 率 ， 板 厚 ， お よ び ， 空 気 層 の 厚 み を 設 計 パ ラ メ ー タ と し て ， 対 象 の 周 波 数 帯 域 で 所 要 の 垂 直 入 射 吸 音 率 を 実 現 す る 吸 音 構 造 の 設 計 も 可 能 と な っ た ． ま た ， 吸 音 構 造 が 無 限 大 サ イ ズ で 周 期 的 な 形 状 で あ れ ば ， 斜 め に 音 波 が 入 射 す る 場 合 に つ い て も ， 理 論 解 析 に よ る 吸 音 特 性 の 予 測 手 法 が 確 立 さ れ て い る( 2 5 )． し か し ， こ れ ら 理 論 解 析 的 な 手 法 で は ，元 形 状 で あ り ， 吸 音 構 造 も サ イ ズ は 有 限 で 任 意 の 形 状 を し て お り ， 吸 音 構 造 へ の 音 波 入 射 条 件 も 複 雑 に な るか ら であ る． そ こ で 本 章 で は ， 多 孔 板 を 含 む ３ 次 元 音 場 の 数 値 解 析 手 法 を 提 案 す る ． ３ 次 元 音 場 の 数 値 解 析 に つ い て は 前 章 で も 述 べ た と お り ， 有 限 要 素 法(13)， 境 界 要 素 法(14)(15)(16) が 多 方 面 で 活 用 さ れ て い る(17)が ， 本 研 究 で 適 用 先 と し て 想 定 し て い る 機 械 製 品 で は 機 械 （ の 防 音 カ バ ー ） の 内 部 の 音 場 と 外 部 の 音 場 を 同 時 に 計 算 す る 必 要 が あ る の で ， 外 部 の 無 限 空 間 の 取 り 扱 い が 容 易 で あ る 境 界 要 素 法 を 用 い る こ と と す る ． 多 孔 板 の 吸 音 特 性 の モ デ ル 化 に つ い て は ， 減 衰 効 果 を 有 し な い （ 孔 が 大 き い ） 多 孔 板 に よ り 複 数 の 領 域 に 分 割 さ れ て い る 音 場 に 対 し て ， 解 析 領 域 を 多 孔 板 表 裏 両 側 の 領 域 に 分 割 し ， 両 領 域 の 界 面 上 要 素 を 伝 達 マ ト リ ク ス で 接 続 し て 連 立 さ せ る 解 法(20)(21)に ， 宇 津 野 ら( 1 0 ) に よ る 多 孔 板 吸 音 モ デ ル を 適 用 す る 方 法 を 試 み る ． 本 吸 音 モ デ ル は 孔 貫 通 方 向 （ 板 厚 方 向 ） の 現 象 の み を 考 慮 し た １ 次 元 モ デ ル で あ る の で ， ３ 次 元 音 場 に 対 す る 有 効 性 ， す な わ ち ， 音 波 が 多 孔 板 に 斜 め に 入 射 し た 際 の 音 場 と 多 孔 板 と の 接 合 面 に お け る 局 所 作 用 の 仮 定 の 妥 当 性 や 同 接 合 面 に お い て 一 様 で は な い 音 圧 分 布 や 位 相 分 布 が 存 在 す る 場 合 へ の 適 用 性 に つ い て ， 実 験 と の 比 較 に よ り 検 証 す る ． さ ら に ， 二 重 壁 構 造 体 の 高 遮 音 化 に 向 け た 構 造 体 中 空 部 内 の 多 孔 板 最 適 配 置 設 計 問 題 に 同 法 を 適 用 して ， そ の 有 用 性 を 確 認 する ．
2.2. 解 析 手 法
2 . 2 . 1 . 多 孔 板 を 含 む 音 場 の モ デ ル 化 多 孔 板 を 含 む 音 場 の 例 と し て 図 2.1 に 示 す 音 場 を 取 り 上 げ ， 数 値 モ デ ル 化 手 法 に つ い て 説 明 す る ． こ の 音 場 は 音 圧 に よ っ て 連 成 振 動 し な い 多 孔 板 に よ っ て ２ つ の 領 域 （ 領 域 Ⅰ と Ⅱ ） に 分 割 さ れ て い る ． 図 2.1(b) に 示 す よ う に， 領 域 Ⅰ ， Ⅱの 多 孔 板 に 接 す る 境 界 を そ れ ぞれI p，I I pと し， そ れ 以 外 の 境 界 を そ れ ぞ れI，I Iと する． ま ず， 領 域 Ⅰ， Ⅱ そ れ ぞ れに 境 界 要 素 法 を 適 用 し， 各 音 場 に つ い て の マ トリ ク ス 方 程 式 を 作 成 す る ． そ の 際 ， 両 領 域 の 多 孔 板 に 接 す る 境 界I p，I I pは 同 じ 要 素 分 割 と す る ． そ し て ， 多 孔 板 を 挟 ん で 互 い に 対 面 す る ２ つ の 要 素 の 状 態 量 で あ る 音 圧 と 粒 子 速 度 を 多 孔 板 の 吸 音 モ デ ル( 1 0 )で 構 成 さ れ る 伝 達 マ ト リ ク ス で 関 連 付 け ， 両 領 域 Ⅰ ， Ⅱ の 離 散 マ ト リ ク ス 方 程 式 を 連 立 す る こ と に よ り ， 多 孔 板 を 含 ん だ 全 音 場 の 全 体 マ ト リ ク ス 方 程 式 を 導 く ． な お ， 本 手 法 で 用 い る 多 孔 板 の 吸 音 モ デ ル は ， 多 孔 板 の 吸 音 メ カ ニ ズ ム を 巨 視 的 に （ 多 数 の 孔 の 作 用 を 一 括 し て ） 表 現 可 能 な モ デ ル と し ， 要 素 に お け る 個 々 の 孔 位 置 に つ い て は 考 慮 しな い ． 以 下 で， 各 音 場 に 対 す る 境 界 要 素 法 に よ る マトリ ク ス 方 程 式 の 導 出 ， 多 孔 板 の 吸 音 モ デ ル を 用 い た 両 音 場 の 関 係 付 け 手 法 ， 多 孔 板 を 含 ん だ 全 音 場 の 全 体 マ ト リ ク ス 方 程 式 の 導 出 に つ い て 説 明 する． {uIIp} {pIIp} {pIp} {uIp} Perforated plate Region I Region II Region I Region II II I Ip IIp [HII+IIp]{pII+IIp}[HI+Ip]{pI+Ip}=[GI+Ip]{uI+Ip}
=[GII+IIp]{uII+IIp}
(a) Acoustic field including (b) Method for numerical modeling perforated plate
2 . 2 . 2 . 境 界 要 素 法 に よ る 音 場 の 定 式 化 図 2.2に示 す多 孔 板 のない閉 じた単 一 の３次 元 音 場 （内 部 音 場 ）に対 する離 散 マトリ ク ス 方 程 式 の 一 般 的 表 記 の 導 出 に つ い て ， 文 献 (15)(16)(29)を 参 考 に し て 整 理 す る ． 同 図 に お い て ， 音 場 領 域 を， 音 場 を 囲 む 境 界 をと す る ． 他 の 記 号 に つ い て は 後 述 す る． i d ri n i z x y
Fig. 2.2 Ｉnternal acoustic field
始 め に ， ３ 次 元 空 間 に お け る 音 波 （ 微 小 振 幅 を 仮 定 ） の 伝 搬 を 支 配 す る 波 動 方 程 式 を 導 出 する． 図 2.3 に 示 す よ う に 各 辺 が x ， y ， z 軸 に 平 行 で ， そ れ ぞ れ の 長 さ がx ，y ，z で あ る 微 小 直 方 体 要 素 を 設 定 し て ， ま ず， こ の 微 小 要 素 の 運 動 に つ い て 考 え る ． 時 刻tにおいて x軸 に 垂 直 な面 A 上 の 音 圧 を Pと すると ， 面 Aからx だ け 離 れた 面 B上 の 音 圧 はテ イラ ー 展 開 の １ 次 近 似 を 用 い る とP
P x
xと な る ． す な わ ち ， 微 小 直 方 体 に 作 用 す るx 方 向 の 力 はz x y x y z x x X X X P x x P P A B (x, y, z)
Fig. 2.3 Micro rectangular solid in acoustic field
z
y
x
x
P
z
y
x
x
P
P
z
y
P
( 2 . 1 ) であ る． 同 様 に し て，y および z 方 向 についてはz
y
x
y
P
x
z
y
y
P
P
x
z
P
( 2 . 2 )z
y
x
z
P
y
x
z
z
P
P
y
x
P
( 2 . 3 ) と な る． し た が っ て， 微 小 直 方 体 の 各 方 向 に 運 動 の 第 ２ 法 則 を 適 用 する と ，z
y
x
x
P
t
X
z
y
x
2 2 ( 2 . 4 ) z y x y P t Y z y x
2 2 ( 2 . 5 )z
y
x
z
P
t
Z
z
y
x
2 2 ( 2 . 6 ) と な り， 整 理 する こと で，x，y，z 各 方 向 に対 する運 動 方 程 式x
P
t
X
2 2
( 2 . 7 ) y P t Y 2 2
( 2 . 8 )z
P
t
Z
2 2
( 2 . 9 ) が求 まる． ここで，は 媒 質 の 密 度 であ り，X，Y，Z は媒 質 粒 子 の x，y，z 方 向 の振 動 変 位 で あ る ． な お ， 音 圧 に よ る 媒 質 密 度 の 変 化 量 は 微 小 で あ る の で ， 密 度は 一 定 値 と する． 媒 質 粒 子 の 振 動 速 度X
X
t
，Y
Y
t
，Z
Z
t
を 用 い て 書 き 直 す と ， x P t X
1 ( 2 . 1 0 ) y P t Y
1 ( 2 . 1 1 ) z P t Z
1 ( 2 . 1 2 ) となる． 次 に ， 音 波 の 伝 搬 に 伴 う 微 小 直 方 体 の 体 積 変 化 と そ れ に よ る 圧 力 変 化 に つ い て 考 え る． 微 小 直 方 体 が 平 衡 状 態 に あ ると き の 体 積 V はxyz である．時 刻 t において面 A の 振 動 変 位 を X と す る と ， 面 B の 振 動 変 位 は 音 圧 P と 同 様 に し て X
X x
xと な る．す な わち，x 方 向 の媒 質 粒 子 の移 動 に伴 う体 積 変 化 はz
y
x
x
X
z
y
X
z
y
x
x
X
X
( 2 . 1 3 ) となり， 同 様 に し て，y および z 方 向 についてはz
y
x
y
Y
x
z
Y
x
z
y
y
Y
Y
( 2 . 1 4 )z
y
x
z
Z
y
x
Z
y
x
z
z
Z
Z
( 2 . 1 5 ) と な る． し た が っ て， 媒 質 粒 子 の 移 動 に 伴 う 微 小 直 方 体 の 体 積 変 化 量 はz
y
x
z
Z
y
Y
x
X
V
( 2 . 1 6 ) であ り， 媒 質 の 体 積 弾 性 率 をK とすると，微 小 振 幅 に対 しては次 式 の関 係 が得 られる．
z
Z
y
Y
x
X
K
V
V
K
P
( 2 . 1 7 ) 式 (2.17)の両 辺 を１回 および２回 時 間 微 分 すると，
z
Z
y
Y
x
X
K
t
z
Z
t
y
Y
t
x
X
K
t
P
2 2 2 ( 2 . 1 8 ) t z Z t y Y t x X K t P 2 2 2 2 2 ( 2 . 1 9 )となり， 式 (2.19)の右 辺 に式 (2.10)～(2.12)を代 入 すると， 2 2 2 2 2 2 2 2 z P y P x P K t P
( 2 . 2 0 ) が 得 ら れ る ． こ れ が ， ３ 次 元 音 場 を 支 配 す る 波 動 方 程 式 （ 音 圧 に よ る 表 示 形 式 ） で あ る ． 音 圧 振 幅 p，角 振 動 数を 用 い て 音 圧 P を
j t p P exp
，j
p
j
t
t
P
exp
，p
j
t
t
P
exp
2 2 2
( 2 . 2 1 ) とお き， 音 速 c K
を 用 い る と ， 波 動 方 程 式 (2.20)を次 のように変 形 できる． 0 2 2 2 2 2 2 2 2 z p y p x p c p
( 2 . 2 2 ) さ ら に ， 波 数 k
cを 用 い る と ， ( 0 2 2 p k p 2 . 2 3 ) と 変 形 で き る． こ こ で，2は ラプ ラ ス 作 用 素 で 下 式 であ る ． 2 2 2 2 2 2 2 z y x ( 2 . 2 4 ) 式 (2.22) ， (2.23) は ， 単 一 の 周 波 数 成 分 に つ い て 表 示 し た 波 動 方 程 式 （ ヘ ル ム ホ ル ツ 方 程 式 ） で あ る． 次 に ， 境 界 要 素 法 に よ り 離 散 化 す る こ と に な る 境 界 積 分 方 程 式 を 導 出 す る ． 波 動方 程 式 (2.23)に重 み付 き残 差 法 を適 用 する．重 み関 数 をp*と する と ，
2 2
0
Ω p k p p dΩ ( 2 . 2 5 ) と な る ． さ ら に ， Green の公 式 ，すなわち，
Γ Ω dΩ n n dΓ
2 2 ( 2 . 2 6 ) が二 階 微 分 可 能 な 関 数，*に 対 し て 成 り 立 つ こと を 利 用 する と ， 式 (2.25)は
2 2
0
Ω Γ n dΓ p p k p dΩ p p n p p ( 2 . 2 7 ) と 変 形 で き る ． た だ し ， nは 境 界上 外 向 き 法 線 方 向 の 方 向 微 分 で あ る ． こ こ で ， 重 み 関 数 をp*として， ( i i i k p p
2 2 2 . 2 8 ) を 満 足 す る 関 数p* iを 導 入 す る ．iは Dirac の デ ル タ 関 数 で ， 点 i に お い て の み ∞ に な り ， 他 の 位 置 では 0 になる．式 (2.28)を満 たす関 数 p* iは 基 本 解 と 呼 ばれ る． 式 (2.27)の左 辺 に 対 し て ， 重 み 関 数 をp*を 基 本 解p* iに 変 更 し ， 式 (2.28) を 代 入 し て ， デ ル タ 関 数 の 性 質 を 考 慮 する と ，
i Γ i i Ω i Γ i i Ω Γ p dΓ n p p n p p dΩ p dΓ n p p n p p dΩ p k p p dΓ n p p n p p
2 2
( 2 . 2 9 )と 変 形 で き る ． こ こ で ，piは 点i （iΩ，iΓ ） の 音 圧 振 幅 で あ る （ 図 2.2 で は 点 i を 境 界 上 に 記 載 し て い る が ， こ こ での 点iは領 域内 に あ る） ． さ ら に ， ３ 次 元 音 場 に 対 す る 基 本 解
i i i r jkr p
4 exp ( 2 . 3 0 ) と ， 境 界 上 の 微 小 領 域 dndに 対 する 法 線 方 向 の 運 動 方 程 式 から 求 ま る 関 係 u j n p
( 2 . 3 1 ) を代 入 する と ， 式 (2.27)から領 域 内 の任 意 点 i（iΩ，iΓ） に 対 する 積 分 方 程 式
Γ i i Γ i i i i i r dΓ jkr u j dΓ r jk r jkr p p
4 exp cos 1 4 exp ( 2 . 3 2 ) が 求 ま る ． こ こ で ，p およびu は境 界上 の 音 圧 と 法 線 方 向 粒 子 速 度 で ， 粒 子 速 度u は ， 外 向 き 法 線 方 向 を 正 と す る ．は 媒 質 密 度 で ，riは 点iとdの 距 離 ，iは 点iとdを 結 ぶ 方 向riとdに お け る 外 向 き 法 線nとのなす角 度 である． 境 界 条 件 と し て ， 音 場 に 対 す る 加 振 や 剛 壁 を 表 す 粒 子 速 度u が 与 え ら れ る 境 界u と 吸 音 性 を 付 与 す る 場 合 な ど 音 響 イ ン ピ ー ダ ン スz=p/uが与 えられる境 界zが 存 在 す る 場 合 に は， 式 (2.32)は
u z Γ i i Γ i i Γ i i i i i dΓ r jkr u j dΓ r jkr z p j dΓ r jk r jkr p p
4 exp 4 exp cos 1 4 exp ( 2 . 3 3 ) と 書 き 換 え ら れ る ．以 上 は 領 域 内 部 の 任 意 点i （iΩ，iΓ） に つ い て の 定 式 化 で あ っ た が ， 式 (2.33) を 滑 らか な 境 界 上 の 任 意 点i（iΓ） に 展 開 す る と ， 境 界 上 での 積 分 方 程 式 と し て，
u z Γ i i Γ i i Γ i i i i i dΓ r jkr u j dΓ r jkr z p j dΓ r jk r jkr p p
2 exp 2 exp cos 1 2 exp ( 2 . 3 4 ) が 得 ら れ る ． 次 に ， 境 界を 要 素 分 割 し て ， 境 界 上 で の 積 分 方 程 式 (2.34) を 離 散 化 す る ． 要 素 分 割 さ れ た 各 要 素 境 界 をsと し ， 粒 子 速 度u が 与 え ら れ る 境 界u上 の 要 素 を 要 素 番 号s＝1～L ，音 響 インピーダ ンスzが与 えられる境 界z上 の 要 素 を 要 素 番 号s＝L+1 ～N と す る と ， 要 素iに対 する積 分 方 程 式 は式 (2.34)より
L s Γ i i N L s Γ i i N s Γ i i i i i s s s dΓ r jkr u j dΓ r jkr z p j dΓ r jk r jkr p p 1 1 1 2 exp 2 exp cos 1 2 exp
( 2 . 3 5 ) と な る． さ ら に ， 各 要 素s内 で 音 圧pと粒 子 速 度 uが一 定 とすると，
L s is s N L s is s s N s is is s g j u g z p j h p 1 1 1
( 2 . 3 6 )
s Γ i i i i is dΓ r jk r jkr h
cos 1 2 exp ( 2 . 3 7 )
s Γ i i is r dΓ jkr j g
2 exp ( 2 . 3 8 )となる． 全 要 素 （i=1, ･ ･ ･ ,N ） に つ い て 式 (2.36) ～ (2.38) を 定 式 化 し て 重 ね 合 わ せ る と ， 音 場 に対 す る 離 散 マトリ ク ス 方 程 式
H
p
G
u ( 2 . 3 9 ) が 得 ら れ る ． こ こ で ， {p} ， {u} は そ れ ぞ れ の 要 素 に お け る 音 圧 piと 法 線 方 向 粒 子 速 度 uiで 構 成 さ れ るN 行 の 音 圧 ベク ト ル およ び 粒 子 速 度 ベ ク ト ル であ る． N 行 N 列 の 係 数 マ ト リ ク ス [H]，[G]のi行 s列 成 分 は，
z s is is is u is is is s Γ z g h Γ s h H
( 2 . 4 0 )
z u is is s Γ Γ s g G 0
( 2 . 4 1 ) で 与 え ら れ る ． な お ， 式 (2.37) ，(2.38) 中 の 要 素 積 分 は， 本 研 究 ではガウ ス の 積 分 公 式 を 用 い た 数 値 積 分 に よ り 計 算 した ． 次 い で ， 図 2.1(b)の２つの音 場 （領 域 Ⅰ，Ⅱ ）それぞれの離 散 マト リクス方 程 式 を求 め る． 領 域 Ⅰ ， Ⅱ の 多 孔 板 に 接 す る 境 界I p，I I pの 音 圧 ベ ク ト ル と 粒 子 速 度 ベ ク ト ル を そ れ ぞ れ {pIp} ， { pI Ip} ， { uIp} ， { uI Ip} と し ， そ れ 以 外 の 境 界I，I Iに 関 し て {pI} ， { pI I} ， { uI} ， { uI I} と す る と ， 領 域 Ⅰ ， Ⅱ そ れ ぞ れ に 対 す る 式 ( 2 . 3 9 ) は， ( p I I Ip Ip Ip I I Ip I I p I I Ip Ip Ip I I Ip I I u u G G G G p p H H H H 2 . 4 2 )( p II II IIp IIp IIp II II IIp II II p II II IIp IIp IIp II II IIp II II u u G G G G p p H H H H 2 . 4 3 ) と な る ． こ こ で ，HX Y，GX Y（X,Y=I,Ip,II,IIp ） は ， そ れ ぞ れ 係 数 マ ト リ ク ス [H] ， [G] の 部 分 マトリク ス で ある． 式 (2.42) ， (2.43) に お い て ， 多 孔 板 に 接 し な い 境 界I，I Iの う ち ， 粒 子 速 度 が 既 知 の 要 素 （ 境 界 条 件 と し て ， 剛 壁 条 件 あ る い は 音 場 に 対 す る 加 振 と し て 任 意 の 速 度 値 が 与 え ら れ る 要 素 ） で は 音 圧 の み が 未 知 数 と な り ， 音 響 イ ン ピ ー ダ ン ス が 既 知 の 要 素 （ 境 界 条 件 と し て ， 吸 音 特 性 が 与 え ら れ る 要 素 ） で は 音 圧 と 粒 子 速 度 が 未 知 数 と な る ． 一 方 ， 多 孔 板 に 接 す る 境 界I p，I I pで は ， 音 圧 と 粒 子 速 度 が と も に 未 知 数 と な り ， 多 孔 板 を 挟 ん で 互 い に 対 面 す る ２ つ の 要 素 の 未 知 数 の 関 係 を 後 述 の 伝 達 マ ト リ ク ス で 規 定 する ことに なる． 2 . 2 . 3 . 多 孔 板 の 吸 音 モ デ ル 多 孔 板 を 挟 んで 互 い に 対 面 す る ２ つの 要 素 の 音 圧 p と法 線 方 向 粒 子 速 度 u の関 係 に つ い て 説 明 する． ま ず ， 多 孔 板 の 板 厚 が 音 波 の 波 長 よ り 十 分 小 さ い 場 合 へ の 適 用 を 前 提 と し て ， 孔 内 の 媒 質 は 一 体 と な っ て 運 動 す る と 仮 定 す る と ， 孔 内 媒 質 の 両 端 面 に 位 置 す る 領 域 Ⅰ， Ⅱ の 音 場 要 素iの法 線 方 向 粒 子 速 度 uIp, i，uI Ip, iは 等 しく な る． す な わ ち， ( 0 , , p i II p i I u u 2 . 4 4 ) となる． 次 に ， 多 孔 板 に よ る 圧 力 減 衰 は ， 宇 津 野 ら( 1 0 )が 提 案 し た 垂 直 な 音 波 入 射 の １ 次 元 現 象 を 前 提 に し た 多 孔 板 吸 音 モ デル を 導 入 して ，
( p i II p i II p i I
p
Zu
p
,
,
, 2 . 4 5 ) と す る ． こ こ で ，pIp, i，pI Ip, iは 対 面 す る 領 域 Ⅰ ， Ⅱ の 音 場 要 素i の 音 圧 ， uI Ip, iは 領 域 Ⅱ の 音 場 要 素iの法 線 方 向 粒 子 速 度 である．Zについては下 式 のように記 述 できる．
p i II p p s s su
R
R
d
t
a
k
aJ
k
a
k
J
j
Z
, 2 0 13
8
2
1
2
1
Re
Re
( 2 . 4 6 )
s p s s R d t a k aJ k a k J j Z
3 8 2 1 Im Im 0 1 ( 2 . 4 7 )
j
k
s2
( 2 . 4 8 ) こ こ で ，tは多 孔 板 の 板 厚 ，a，dはそれぞれ孔 の半 径 ，直 径 ，RPは 開 口 率 ［ （ 孔 の 面 積 ） ／ （ 多 孔 板 の 面 積 ） ］ ，は 孔 内 媒 質 の 密 度 ，は 孔 内 媒 質 の 粘 性 係 数 ，は 孔 の 圧 力 損 失 係 数 ，J0，J1は そ れ ぞ れ ０ 次 ， １ 次 の Bessel 関 数 で あ る ． 式 (2.46) お よ び (2.47) の 右 辺 第 １ 項 は ， 孔 内 に お け る 媒 質 と 内 壁 面 と の 粘 性 摩 擦 に よ る 圧 力 減 衰 を 表 し ， 式 ( 2 . 4 6 ) の 右 辺 第 ２ 項 は ， 媒 質 が 孔 か ら 噴 出 す る 際 に 生 じ る 渦 に よ る 圧 力 減 衰 を 表 し ， 孔 内 媒 質 の 粒 子 速 度u
IIp,iR
p に 依 存 し て い る ． 多 孔 板 上 の 粒 子 速 度 が 小 さ い 場 合 に は 第 １ 項 が 支 配 的 に な り ， 粒 子 速 度 が 大 き い 場 合 に は 第 ２ 項 が 支 配 的 に な る ． な お ， 一 般 に ， 多 孔 板 の 孔 に は あ ら ゆ る 方 向 か ら 音 波 が 入 射 す る こ と に な る が ， 本 手 法 で は ， 音 場 と 多 孔 板 と の 接 合 面 に お い て 局 所 作 用 を 仮 定 し ， 多 孔 板 法 線 方 向 の 粒 子 速 度 の みに よ っ て 吸 音 効 果 が 発 現 する と し て い る． 多 孔 板 に 接 す る 境 界I p，I I p上 の 互 い に 対 面 す る 全 要 素 組 み 合 わ せ に つ い て 式 ( 2 . 4 4 ) ， ( 2 . 4 5 ) を 作 成 す る と ， 式 ( 2 . 4 9 ) の 伝 達 マ ト リ ク ス 方 程 式 が 得 ら れ る ．( p II p II p I p I u p 1 0 Ζ 1 u p 2 . 4 9 ) ここ で，-Zは式 (2.46)，(2.47)から求 める各 要 素 組 み合 わせに対 する係 数 Zの逆 符 号 値 を 対 角 に 持 つ 対 角 マトリ ク ス，1 と-1 は正 および負 の単 位 マトリクス，0 は零 マトリクスであ る． 以 上 で 導 出 し た ３ つ の マ ト リ ク ス 方 程 式 (2.42) ， (2.43) ， (2.49) を 連 立 す る こ と に よ り ， 多 孔 板 を 含 んだ 全 音 場 に 対 する 全 体 マ トリ ク ス 方 程 式 が 式 (2.50)のように導 出 される． ( p II II p I I IIp IIp II IIp IIp II II II Ip Ip I Ip Ip I I I p II II p I I IIp IIp II IIp IIp II II II Ip Ip I Ip Ip I I I u u u u 1 0 1 0 Z 0 0 0 G G 0 0 G G 0 0 0 0 G G 0 0 G G p p p p 0 0 0 0 1 0 1 0 H H 0 0 H H 0 0 0 0 H H 0 0 H H 2 . 5 0 ) 式 (2.50) の 連 立 方 程 式 を 解 く こ と で ， 多 孔 板 を 含 む 全 音 場 を 求 める こ と が で き る ． す べ て の 要 素 に お い て 音 圧p が 未 知 数 で あ り ， 多 孔 板 に 接 す る 境 界I p，I I p上 の 要 素 ， お よ び ， 吸 音 境 界 な ど 音 響 イ ン ピ ー ダ ン ス が 規 定 さ れ て い る 要 素 で は 粒 子 速 度u も 未 知 数 と な る ． な お ， 式 (2.46) の 右 辺 第 ２ 項 に よ り 式 (2.50) は 非 線 形 方 程 式 に な る の で ， 反 復 解 法 を 用 い て 計 算 す る ． た だ し ， 式 (2.46) の 第 ２ 項 が 十 分 に 小 さ い 場 合 （ 多 孔 板 上 の 粒 子 速 度 が 小 さ く ， 開 口 率 が 大 き く ， 多 孔 板 孔 内 の 粒 子 速 度 が 小 さ い と き ） に は ， 第 ２ 項 を 無 視 し て ， 式 (2.50) を 線 形 方 程 式 に す る こ と で ， 計 算 を 高 速 に す る こ と が 可 能
であ る．
なお ， こ こ で は１ 枚 の 多 孔 板 と ２ つの 音 場 領 域 で 構 成 され る 場 合 に つ い て 説 明 した が ， よ り 多 く の 多 孔 板 ， 音 場 領 域 が 存 在 す る 場 合 に 対 し て も ， 同 様 の 取 り 扱 い に よ り 解 析 可 能 であ る ．
2.3. 解 析 手 法 の 有 効 性 の 検 証 （ １ ） ： １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法 と の 比
較
前 節 の 数 値 解 析 手 法 を 用 い て 多 孔 板 を 含 む 音 場 を 予 測 す る た め ， 本 手 法 を （ 株 ） 神 戸 製 鋼 所 製 の 汎 用 音 場 解 析 ソ フ ト ” ACOUSIS®” に 組 み 込 ん だ ． 本 節 で は ， 解 析 ソ フ ト の 計 算 精 度 を 確 認 す る 目 的 で ， 音 響 管 を 用 い た 多 孔 板 の 垂 直 入 射 吸 音 率 計 測 を 本 数 値 解 析 お よ び １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法(11)に よ り 模 擬 し ， 両 者 の 結 果 か ら 算 出 し た 垂 直 入 射 吸 音 率 を 比 較 する． 数 値 解 析 に 用 い た 数 値 モ デ ル を 図 2.4 に 示 す． 対 象 構 造 は 音 響 管 軸 に 対 し て 回 転 対 象 であ る の で， 音 響 管 軸 上 で 互 いに 直 交 する ２ 平 面 に 鏡 像 条 件 を 適 用 し て 1/4 モデ ル と し た ． モ デ ル 化 手 法 の 詳 細 に つ い て は 次 節 で 述 べ る の で こ こ で は 割 愛 す る ． 多 孔 板 は 板 厚 0.8mmの鋼 製 で，孔 径 2mm，開 口 率 2%であり，950mmの背 後 空 気 層 を有 する． 垂 直 入 射 吸 音 率 は， 多 孔 板 から 加 振 面 方 向 に 35mmおよび 635mm離 れた管 中 心 軸 上 の ２ 点 に お け る 音 圧 値 を 用 い て ２ 点 マ イ ク ロ ホ ン 法(30)に よ り 計 算 し た ． ま た ， 多 孔 板 の 吸 音 特 性 の 非 線 形 性 へ の 対 応 を 確 認 す る た め ， 図 2.4 中 の 点 A の 音 圧 レ ベ ル 値 が 80dB，100dB，110dBになるように設 定 した３パターンの加 振 面 入 力 条 件 に対 して解 析 を 実 施 し た． 比 較 対 象 と し て ， 上 述 の 数 値 モ デ ル と 同 様 の 系 に つ い て ， １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法 に よ る 計 算 を 実 施 し た ． な お ， 伝 達 マ ト リ ク ス 法 に 用 い た 多 孔 板 の 吸 音 モ デ ル は ， 数 値 解 析 と 同 じ 式 (2.49)である． 数 値 解 析 お よ び １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法 に よ り 得 た 多 孔 板 の 垂 直 入 射 吸 音 率 を 図 2 . 5 に 示 す ． 同 図 中 ， ド ッ ト 表 示 が 数 値 解 析 ， 線 表 示 が １ 次 元 伝 達 マ ト リ ク ス 法 で あ る ． 各 音 圧 条 件 に お い て 両 者 は 良 好 に 一 致 し て お り ， 解 析 プ ロ グ ラ ム の 計 算 精 度 が 十 分 に 確 保 さ れ て いる こと を 確 認 で きた ．Excited by 1m/s Point A
(35mm from perforated plate)
Perforated plate of steel Diameter: 87mm Thickness: 0.8mm Hole diameter: 2mm Porosity: 2% 950mm 700mm
Fig. 2.4 Numerical model for verification (1/4 model)
0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Frequency [Hz]
Sound Absorption Coefficient
1-D Transfer Matrix Method Numerical Analysis
80dB 100dB 110dB
Sound Pressure Lebel at Point A
