TRU Mathematics 23−1（1987）
ON THE CALCULATION OF A SYSTEM OF
OF AN ALGEBRAIC NUtyBERFUNDAMENTAL UNIIS
F工EM
Takashi AZUHATA
〔Received Apri1 9， 1987〕 ’ §0． Introduction It is well known that the fmdanental units of real quadratic fields are calculated by the cont inued fractional expansion，：which is very simple・ Con− sequently it is also known to calculate a system of fundamental units of the c㎝posite field of several quadratic fields（see Wada［6］）． H㎝ever the ，ca1．culation of a syst㎝of fundamental units of general fields se㎝s very difficult． After the Voronoi’s algorit㎞， we㎞ow the several ways to calcu− 1ate units of algebraic number fields whose degrees are greater than pwo （see ［1］ 一 ［5］）． But the calculat ion is getting very difficult with the growth of regulator． In this paper， we consider the algorithm to calculate a system of fundamental uhits of such fields if certain conditions are satisfied． In particular， we will shcw that it is possible．to calculate a system of funda− mental units of the fields with degree n≦5 and unit rank r≦2 if their integral basis are given． We construct the sequence of ideals which can be considered as the generql izat ion of the continued fractional expansion of quadrat ic irrationals 〔see ［1］， §1）． We can get a unit by repeat ing the loop several times， which is made up fr㎝solving the linear inequalities and mult『iplying their solutions． Using the same method， we also consider the algorit㎞to test whether a given ideal is principal or not． ． ． §1． Calculat ion of a system of independent units of order We use the following notations： K ： an algebraic number field of degree n＞2， DK ：the discriminant of K・ OI（ ：the integer ring of K， 3334
T．AZUHATA ｛ξ1・1・ξ2・…・ξ。｝・an i・t・g・alb・・i・・fK・ ．・★・［ξ、㌔・，ξ2★・…・ξ。’］・㎝・rder・f・K・ EK・the unit g・・叩・f K・ K（i）（1≦i≦，〕’：rea1。。。」。g。t。 fi・1d・・f K， ・（s＋’）・K（s＋t＋’）（幽）・c・叩・ex c・nj・g…f…d・・9・・ rニs＋t−1 〔n＝s＋2t）， ・（・）二｛；霊，，1・1、・1・（k）le（k）（幽ユ・ 、 『
N＝NK／Q：n°m°f UQ・ 、 『
N・（・）・N（・）・’1，・・K×， ・。・（・／・）tl・Kl1／2［・K・・＊］・L〔・）・（・・gl・1、…g回2・……91・1。）・R「…K×・
” ★ ★ ” ★ ” For a principal ideal A＝ αO withα ∈0 ， we define N’（A） ＝N‘（α〕O and N（A） ★ ’’ ” ’’ ★ ÷ ニ［0 ：A］・ We say that A is integral if A⊂O・ PuY B＝（ξ1・ξ2・’°’・ξn）・ サナ ナ ナ ＊B＝（ξ1・ξ2・・．．・ξn）・ ．
” ★ ＊ ”Le∬ma 1．1． Let A＝αO wtthα∈0．Thenπω＝1〃ω1．
を ナ ド ド N −＋ve Proof． We may write αB ＝BT（α） and αB ＝ B T （α） with T（α），T （α） ∈ M。（Z）・It i・ea・ily verifi・d th・t シ ■− ナ Idet（T（α））1＝ IN（α）1， Idet（T （α））1＝ ［o ：A］． ・・pP・se 9★．＝蒼T㌔・・h T＊・M。（・）．百・n・・f・・・…f・・m・T“（・）・T“−1T（・）T★ that ldet（T （α））1＝ ldet〔T（α））1ニ IN（α）1． ” ★ ‥ Le㎜a1．2．写胴sαp励叫αZ in畑rαZ tdeαZ of O．then so ts N°ω． Furthervnore． if Y ∈ハr’rA）」 then YA is dtvisibZe by ∼阿・4ノ．・ 35
． CALC皿、ATICN OF A SYSTEM OF FUNDAMENTAL UNITS
，．。。f．、、。t元．α。㌔1毛、・，．。㌔n、。喜㌔ボT・（α），N’〔α〕官・’．敵，，（。）） ★ ★ ★ with T〔・）‘M。（Z）’T（N‘（・））‘M。（Q）・It f・11・w・f・㎝d・t（T（・））・±N（・） 』and N，（。）喜★・・N（めα一1官★・…Ef（N（。）T★（。）−1），h。、 T★（N’（、））．N（。〕T＊（，）−1∈ ・。（・）．Hence岨・・・…gra・．・h・…tef h・・f・・ea…yver・f・・d． ’ We note the following Proposition so−called Minkowski’s linear forms ． theorem． 』 Proposition 1・3・ 1｝et fi』＝：Σゴフヱ alゴXブ rヱ＃i≦9eノ わθ Zinear fornns whose・’
@・蝉・・＝∼・θα1’tア・5・5・a頑…9・ρ・鋤3＜t、S・ ・ith・。卵㌍α鞠』
r・gi≦ち鞠…W・・ th・t d・…、ゴ… d・、・・、・・…δ。……一
・ nzanbθ？s wi疹h・・ ．二’．・。≠t．t 一・。．、 ・・≡≦tl・ ll、i．、 ・、…納・・t・・副・
Th・・．th・協…』α・粥θs’1型・δi・・≡…v…・n・…ta・吻・α・
soZution． ． ．． ・ ． ： ＊ C・「・ll・r・1・4・Lel 4 be a． n・n’z’・・q ’ P・͡・‘鋤αZ・τ゜and Z・t ・・・……・δ。．、・・声励・一・…r鋤屹・嵩・、測i・△。・Th・鋤・r…xi・t・・
． ηo㌃2θro・nzmiber Y tn． A sdtiSfying’1YI’kく6k rヱ≦k≦r＋1）・ P…f・L・t｛・1・ω2・…・ωn｝beab・・i・・fAand ．’・、・ω、（’）・、・ω、（’）・、・…’・ω。（’〕・。（・≦・；n）． ・・pP・se（・、・・、’…・ωn）・9★T★（元）・前㌔★〔A）…h・T“（元）・M。〔・）．胸 1・・t（・」（’））日・・t（ξj（’））・・t（T“T＊（A））lr1・Kl1／2［・K・・★］⑭・ ［ll’e「ef°「e the f°11°w’ng’nequC”t’es：、 If“＜δi（1≦i≦・）．・lf、￥jl・lf，．t．jl・／戸（1皇）36 ． T．AZI疽ATA ．・ ． ． hav。 a n。n，。i。i。・i。、。g．a・，。・。、i。n。 f，。。 P。6P。、i，i。n・．3． Thi，． P．。v。、。u。 assertlon． F・・mL・㎜・1・2・肥can・・n・t・u・t the seq・・nce・f i・t・g・al id・a1・｛Ai｝i．0 ． as follows： ． ＊ ロ． ．コ ．． 』『
iユ） AO・0・0≠Yi・N’（Ai）・YiAi＝N（Ai）Ai．1（i≧0）・ ・
−− ナ Since each．ideal is principa1， we平ay write Ai ＝ αiO where αi’s satisfy the． 、 following relat工on： ’ 層 ’ ．． ・ ． 1（2） ’ α0＝1・・i．1＝αiYi／N（Ai）〔i≧0）・ 、
．ロ び W・n・tice th・tぷAi）di・idesα1Yi・ince Ai．1．＝αinO i・an i・t・g・al idea1・ 、Fix an integer’2 with 1≦兄≦・・1・and take p・・iti・・nu・ber△〉△0・It i・p・Si・ib1・ from Corollary 1・4 to take Yi in （り as follows： 』 ・ （・） 1・、1、，・M（元、）eω一1，1・、1、・N（元、〕e（k）（幽・・，・≠・）・ ・ ・ince N（ ．．ml（Ai））・N（云、）n−1…f・・・…f・・m（・）・h・t ：』 ．』』
ロロ ロロ エロ ひ ココ ．N（・、）nN（・、．、）・1・（・、）1，N（・、）・△N（・、）n’・（・、．、）・△（型）： ．，． ’ ， ナ ’ Since ther．e are only finite， say p（△），principal integral ideals of O whose …・are less th皿△…h・v・A。・A。 f・r s㎝・i・・bgers u・・wi・h O≦・・vS・）（△〕・・・…㎝・…蹴吻・㎝…t・｛α・・』ε、一・；二1・・、碗〃・…
un・t・・ア・㌔・t・・鋤砕、い」。1・、1k…幽・・， k・…
P…f・It f・11㎝・f・㎝（1）・nd A。・A。th・t ’ ．−・ ・語。・（穏（・、鵬））〕K。・K。・元。・ ・・ 』 ＊ ★ ★ ’ ． ★Since AゴαuO・we getε見0＝0・H・nce ・￡ is q unit°f O・We find that’
1・、1、・庄：1・、1、／・（．．A． 1）e（k）d（幽＋…≠・） ．CAI、CULATION OF A SYSTEM OF㎜〕AMEN工AI． UNITS f・・m（3）・Theref・re l・￡1見・1・ It is ea・ily verifi・d that・ny・unit・㎝・ng the ab・ve・1・・2・…・εr．1
fom a syste皿of independent mits of O・To get Yi satisfying（3）・we must
solve the linear inequalities whose coefficients are the conjugates of basis of ideals N’（Ai）・ So we now consider the method to solve the linearinequalities
（4） ． lfil＝ 1Σj三1ωj（i）Xj l＜ δi （1≦i≦P） ロ オ ・here｛ω1・・2・…・ωn｝i・ab・・i・・f ・n idea1 A・f O・ndδi’s are p・・itiv・ ・㎜bers…h・、．t．、・δ、．、（1＜i＜t），己δi・N（元）・。・…f、★・f、，δi★・δi for 1＜i＜s and fs：2i＿1 ＝ Re（fs＋i） ＝ Σj…｝1 Re（ωj（s＋i〕）Xj・δs：2i＿1 ＝ δs＋i’ fs：2i ＝ Im〔fs＋i〕 一・Σj三1 1m（ωj（s＋i））Xj・δs：2i ニ δs＋i （1≦i≦t）・ 臓・・，．・、＋、・f，12i．、・π・、12、・旬・（・、，・、・…，ωn）・§＊T＊（．，A）an・ t（・、★，・f、“，…，fn★〕・Ft（・i，・、，…’，・。）…hT★
i●．`）・M。（・）…M。（・）（・’t・…・t・㎝・p・・e）パ・nF・F。輸・・th
・ ξ、★（1） ★（1）
■ ● ● ★（s） ξ1 Fo ＝ It is easily verified that ト ト ナLet a1・a2・…・an
・・（ξ、★（s＋1）） ・・（ξ、“（s＋1）） ● ● ● Re（ξ、＊（s＋t）） ・・（ξ、★（s＋t〕） ld・t（Fo）1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ・ ● ● ● ● ● ● ● ★（s） ξn ★（s＋1）） Re（ξ n ・・（ξ。“（s＋1）） ・ ■ ・ ★（s＋t）） Re（ξ n ・・（ξn＊〔S＋t）） （・／・）t1DKI1／2［・K be the column vectors 。f F’1 ． T★iK） ・ を ： 0 ］ and det〔F） ≠ 0． −1 −1 Fo and put37
38 T．AZUHATA ． V1＝｛Σi；1λi吉i lλi ∈R， 1λil＜δi★ 〔1≦‡≦n） ｝・ ． S叩P・・eth・tt（・、・・2・…’・n）i・㎝i…g・a・・・…i・n・f（4）・・h・n i．・i・ シ ナ
・1・・a・・1・ti・n・flfi l・δi（1≦i≦・）・S・w・m・y・・it・ ・
t（・、，・2，…，・n）・F−1t（・、’・2・…・・。）…h・、・’q，1・、1・δi★，・h・…，t（・、，・2・…・・n）・Vr m・・w…ysearch
・uit・bl・1・ttice p・i・t・・f th・paral1・1・t・p・Vl t…1・・（4）・エt f・ll・w・f・㎝ （・）・h・・N・（・、）N1（X、）・N（A、）n−1N’（云、．、）…nceab・・i・・f・㌔N，〔A。）・・ “ gi・・n・・b・・i・・f・・a・h idea1 N’（Ai）iS・・Φ1i・itly Cal・ul・t・d・・Fu「tbenn°「e・it ・・p・ssib・・t…k・a…i・｛・、，、，・、，、，…，・。，i｝・f N1（元、）・・f・…W・・ ωk，i ＝ Σj5， ajkξ《k （1≦1∼≦n）・ ajk∈ Z・ ajj ＞ ajk≧0 （1≦j＜k≦n〕・ ［Ehen the mat「ix（ajk）is uniquely detennined by an ideal N’（Ai）頷d ．N1（A． 1）・Z・a、、Z・・（λ、）n−1…j」・ F・・th・m・re T“（N’（Ai））−1・s ea…y・a・・u・…d．・en・t・ce th・・N，（元。）・N・（云。） if and・nly if Au＝Av・1・f・・t・・upP・se N1（A。〕＝N’（Av）・m・n N（Au）＝N〔A。） …mN（A u）n−1・N〔元。）n−1・ぬ…p・y・・g元。い・hav・N（元。）元。・N（元。）λ。 an・ Au・A。・［［1・e c・nverse i・t・ivi・1・H・nce we can decid・i㎜・di・t・1y曲・ther Au＝Av or not． Using Theorem 1．5， we can calculate a syst㎝of independent unit、 if。b。，i，。f O㌔， gi。。n． In the rest of this section， we consider the calculation of the f・nd・m・nt・l unit・k・f OK with l・K I 1・1i・・ase・f・・1・We regard・K・EKバK where WK i・th・・et・f…t・・f皿ity i・K・L・t P・K（・）・｛Bゴβj°k｝j d b・ the set°f p「incipal integ「al ideals°f K such t ?≠ βj・°K・1≦1βjl・・△・N（Bj）f△〔j‘J）・肌輌TI㎝゜F A斑S皿℃F酬D卿皿皿ITS
・・n・eq・・…y・・h−』撃狽刀￨jl、・．・． ’． The°「㎝1・6・のL・t th…t・伽・カ・α・αわ・v・ and A。一・K inω・呼〆°f一鵬已・力鋤’ 、
・1・、1、・△亘・θω・1・、1、≦・④θ「2亘，。≠・． The” ’he”e a？e ‘deaZs A・ ’・i°κ「t＞°ノ・αnd．β㌍β♂°・Z・P㌦ω ・h．縺Eビ
αi／w・一のF鋤∼Pθ・ ・ρ 批酬砧歪s輌aZ・』・ズ・i・・
−Y、・ノ卿輌一」・；・・≧・・J・ par・ieuld”． assimie AJ．≠・。θ≦、・・，、α・・ ヴプ ロ ■ ア Ai・・一刀E』ε・一・ゴe−。・J・／NJ（・i’・ ・ −’
・P…f・（・）1・f・…w・f・・司・、1、1・、1、≧N（A、）n−1・h・t ．
1・、1、≧・（A、）e（1）・1・、．、1、・1・、1、1・、1、N〔A、）−e（1！≧1・、1、． ・fl・、1、・N（A． 1〕e（1）・・h・・1・（・、〕1・N（K、）n−1 an・N・（元、）・・、・K． Theref・re・、．、・Y、・、叫）・・a皿・・and・1・、．、11・i・、1、．・・w・m・y・assum・ ’
1・、1、・N（A、）e（1）・．1・’、1、・1・、：、1、if l・、1、・1・Kl、． ・…e・here are・n・y f・・…6・㎝㎝tsα、 r・K・a…fy・・g・≦1・、1、≦1・Kl、 an・ lN（・i）1・’・…hav・1・i．、1、・1・kl、≦1・il、f・r・…p・・i・i・・i…ger i．・・ ・sea・i・y・…f・・d・h…≦1・、／・Kl、・△f剛・、1、・△1・、．、1、・Theref・re ． αi／εK＝βj』f°「s°me Bj’＝βj°K in PIK（△）．・i・ce N〔Ai）・△・H・nceεK・α、／βj・ 〔ii）As menti°n・d・b・v・…hav・1・il1≦1・i．111・・nd Ai．1・（）K if l・ill・ 1・i．lll・S・1・il1・1・Kl1≦1・i．11、1 f・r s㎝・i・0・S・pP・・e l・il1・ltKl1・1・i．1［1・i・h・i．1・Yi・i／N（Ai）・ “’ ★ ” that is・Yi＝N（Ai〕・i．1／・i i・N−T（・i）・i．1・W・p・t Yi・N（Ai〕・K／・i・ ・N’（・、）・K…f・・・…f・㎝1・（・、★）＋1・、「、1・、★1、二・（K、）n−1・h・・ 3940 ’ T〔．AZUHATA l，、★1、・N（A． 1）n’1／1・、★1、・・（元、）e（2）r11・、1、1・Kl、−1≦・（元、）9（2）−1・ It is easily verified that ．｝，、★1、・N（A． 1）e（1）1・Kl、1・、1、−1・N（A、）e（1）1・、．、1、1・、1、−1・1・、1、・ Thi・c・n・・adi・t・t・th・ass皿P・i・n・h・・IYill i・mi・i・・1・［［heref・re l・Kl1・ 1・i．、11・・lf・i．、・εK・・u・asser・i・n f・llb…『0・h・t・i・e Wr g・t l・Kl・・ 1・i・・1・＝1・i・21・and・i・2＝εK by the same argLquent as．ab°ve・Henge we get OUr aSSert 10n． ． ・ ・’ ． 1・i・P・t・・ea・y t・calculate al1 idegls’n PIK（△）・S°’the meth°；．°〔 （ii）i・m・re effecti… W・n・t・th・t th・abg・・th・・rem i・al・・valid f・・real quadrat ic fields． So we have the following 』 Corollary 1．7． Under the same n・tati・nsα・in The・remヱ・6・take mtnima Z
Y、働旭∂・・μZ・ω・・ ’． ・』
1π’rY訓・ヱ・Yi tf・K i・a ・・aZ guadrati・ ft・Zd・ 』 IN’（Ytノ「＜N（Atノ＜Yt ザKisαreaZ oubte fie Zd wtth「＝ヱ・． Th・n． Zi．、一・。声・…伽・9・・…1・and・。一・k：。…t／・・r・・i∼・ ． ’ R。ma・k 1． th・merit・f…a19・・it㎞i・th・t w・d・n，t need t・cal・・1at・ the norms of very large nu皿bers even if the fundamental unit is very large・ We h4ve only to multiply sπlall numbers one after・anOther・ Furthermore・ to び ロ est imate the regulator・we h鋼e only to calculate L〔εK） E Σklo L（Yk／N（Ak））・i・h・u・・a・・u1・ti・g・K・llkl。 Ykpt（Ak）・ ．』 ・’・
§2． System of generators of lattice I・the rest・f thi・P・pe「・we°nly c°nside「the casr°f O＝OK・Fi「stwen・…eth・tL（EK）・・af・・…tt・ce・・R「・L・tLbeaf・・…tt・cei・R「
CAL（刀［LATION OF A SYSTEM OF FONDI MEiNTAL UNITS
…U・＜吉、，査、，…，言．・b・a・血・at・・…f・…h［・・L’］・・・…ra
posit ive numberλ≦r， we put V★（λ）＝｛Σi三11」i蓋ilO≦Pi．≦1，Σi三1Pi≦λ｝・ ． L。㎜。2．1．L．τ吻。。カ。ti。。． b。。。αb。・・． ri）lf th・・・・・・…Z㎝・・t・主・鋤伽は・y楡
M・・．主白、・．訪…⊆・・r捌写・’≠・・、砺⊇…
t…幽・τ，・…』｛今≠÷亭「 ÷楡
ｿヱ 3 α2 か ・°°3 ar．｝・μ・ith a； E ’v’・… 『Fu？th・nngr・．ザペ→z（lgiE”一ヱノ砺ηω・・απ・h・… 吉r㌔γ’rr−1）・ P。。。f．（i）S叩P・・eU≠L， th・nthere is an・1・m・nt吉、i・L・・t inU・ Set吉＝ Σi；1 μi言i， and吉’ ＝ Σi：1 （μi−［μi］）さi， then』it is easily vepified that さ・or 一 吉・ ＋ Σi：1 さi is in V★（r／2）・ （ii） We show our aSsert iOn by the induction． It iS clear if r・1．． It follows fr㎝the induction hypothesis that there is a syste皿of generators｛→，★÷★ ÷★a1・a2・’”・ar−1｝ of L∩Σ1：｝R竃i with 吉、★・V★ir−・）（・Ssr−・）・・…w・㎜・ぽ・・…＜吉、★・…・吉。：、・吉．・＞w・・h suitable吉i， ∈ L． SupPose吉r ＝ mar・＋ Σ；：｛mi吉i★with m・rPi εZ・m＞0・ Then ’ 吉rl＝k（吉r一 Σ1二｝mi言i＊） ＝Σi：1μi言i 、withμi ∈Q，μr ＝In−1． It is easily verified Yhat 吉r★一＝ 4r’三 Σ互：圭 ［μi］吉i ロ・…V★
i・）紐dL・〈吉、★，52＊，…，吉r＊〉…next ass皿・言、㌔さ、（・5・≦r−・）・ …一咀・・a・・吉r★・告（ ÷ →・ ÷mla1＋…＋mr．1ar−1＋ar）…h・、・Z・⑲、… Henceさr★ ∈V★（r−1） from 1＋Σ；：｛mi〈 （m−1）（r−1）＋1≦m（r−1）・ 1・・he re・t・f・his secti・n・we s叩P・・e r・1・T・ke real n皿be「s d1・d2・ ●．・， dr such that di≧0・ Σi三1 di ＝ 10g△ ＞ 10g△0， apd put δ ＝ （d1・d2・ ．…・．）・R「…t…th…th・g・na・・卿・㎝・n・・f Ra…hre・pect t・R「・㎝・
41
42 T．AZUHATA 』 ． 1・tPW『：R「→Wb・．・he c…i・a1 p・・jecti・n． D・n・t・by D a・・mect・d・・悩6・
d㎝・i・・・・…hδ∈百・and．by EK（D）・h・・e・・f・un・tsε1s…K…h・h・t
pW（L（ε）） ∈ D and ang（さ・ L（ε）） ≦S ・ that is・ Σi：1 dklog lεlk≧0・ Lemma 2・2・5卿゜se th・t ．th・f・乙乙・吻9・・屹伽is・αtt・fi・d： 「つ・ PwrL（El∼ノ・is（iense in〃… Then EKrDノ・・η力励・α‘ rび・協・アf・nd・m・nt・Z units・τκ． ・．？「°°f・Fi「st we takeε斗f「㎝EK（D）・・th・t匹（・・）1・・h・・…．・f L（・、）・ is minimal・．S・pP・se th・t k mitsε1・・2・…・・k．（1≦k・・）are already・h・sen， ・・tMkb・th・m・d・・…R「g・nera・・d by L（・、）・・〔・2）・…・・（・k）・verZ・・… pW〔Mk）i・n・t dense in W．・ince its rank・ver Z i・n・t exceedi・g dim（W）・r−1． We take a『unit・’・k・1 f「・m・．EK（D）・u・h・h・・L（・k．1）i・n・t i・Mk皿d lL（・k．1）l i・ mi”imal・This is P°ssibl・beca・se pW（L（EK（D）））i・dense i・Db・・pW（Mk）・pW（L〔EK〔P）））i・n・t・1・thi・w・y…g・t・mitsε1・・2・…・εr・The．・i・i・
easily verified Vhat these r units fom a syst㎝of independent皿its of K． By・h・・am・・argum・n…、（r−1D）・…c・n・・…a・y・t㎝・f・・d・p・nd・n・皿… ナ ｛・i｝1、i．r・It f・ll・w・f・㎝L・㎜・2・1 th・t ． ． V2 ＝ ｛ Σi；1 λiL（εide） 1 （）；≦Pt il≦］． （1≦i≦r）｝ c°ntains a system°f gene「at・rs・f L（EK）・lt i・ea・ily verifi・d th・t PW（V2） ⊂D・［［he「ef°「e EK（D）c°ntain・Cry・t・m・f f・nd・m・n・・l uni… 百・p・・bl・mi・t・fi・d・u・haf・rea・hK． N・w・w・u・eth・f・ll・・i。g proposition so−called Kronecker「s approx加ation theor㎝．．P「・p・・iti・n 2・3・L・亡肋…吻・娠・アRn・・n・・qt・d・by
6−rθ、・θ2・…・・。ノ・診、−r・……．の。…． ；n一イ・．…。ρ．ヱノ．iIALCしiLATION OF A SYSTEM OF FUNDAMEN工AL UNITS
Th・…・d−・議㌦・・晦伽・一・・》・・．θ、1・、。…。θ。…z・＿
tndeρendent・vllrρ． ．、The°「em 2D・4・Let｛ε・・ε2・…・・。｝力・α・〃・』・ア．t卿・漉・・碗・・f Kandま三Σニヱ呼rε∂ω鋤αt・R×． The C・nditi・ηrつis。attsftedガα雇。nZy
ザr numbers a、・α2・…・・，…Zi・b・？ ind・p・nd・ht…四・ ＿P「°°f 戟@P”t．EKI＝＜r・・と・・’”・・r＞・輪pW（L（EK）〕・・d・pse・・W・f・an・ gnly if so is pW（L（EK1〕） since ［EK ：EK’］ 〈。。・ Note that．Σi三1 αip r（L（εi）） ＝δ and that any r−1 vectors among theπl are linear independent over R． Let ．f・．W−R「−1b・．a．1i・eart・・…m・…nd・f…dbyT〔pW〔・（・、））〕・さi』
〔1≦i≦r−1）． Then T（PW（L（εr）〕〕 ＝ 一 αr−1Σ：：1 αiさi． It fo！］pws fr㎝the above …p・・i…n・h・tT（pW（・（・K1）〕〕・・d・nse・・R「−1 if・…n・y・f・，・、／αr， α2／αr・…・αr−1／αrare li・ear i・d・p・nd・nt・ver Q・th・d・n・ity・f・・u㎞・d・1・ is invariant by a bijective linear transformation． Hence our assertionfollows． ． ．
We first Consider the case of r＝2． ’Corollary 2．5． 1アK is the fteZdω＃h degree n≦5 and r＝2 thien『the ・b・鋤…嬬・a・i。τ・吻鋤才．・6。・。9云、．。，ま．，、。9』△。。、、τ。≧、．．． P…f・W・・n・y・h・w・h・・ase・f ti・（・…g△）・L・t｛・、・・2｝be a system of independent units of K． We note that if ε is a real unit withl・1・…h・n・…r−…tf…㎝・th・・1・、k・2yl、・・h・・d・…h・，，・Z・f
and・nly if x＝y＝0・ince s＞0・H・nce ・1 ・nd・2 are li・・a・i・d・p・nd・nt・ver Q if ・、L（・、）・・2L〔・2）・さ・［［heref・re pW〔L〔Ek〕）i・d・nse i・Wf・・m皿・・rem 2．4．43
44
T．AZ㎜ Ne・t・e c・n・ider the speci・l ca・e・f・・3・’L・t K・Q（可・何）b・a biquad・ati・fi・ld where m1 ・nd m2 are・q・are’free i・t・gers with m1＞m2＞1・ and let G ＝ ＜σ， ρ＞ be the Galois group of K／Q where ・（可・砺）・（一遍［・喧）・ρ（可・可）・呵ド可）・ D・n・t・by・1・・2 ・nd・3〔・1）th・fund・m・nt・l mit・・f real q・ad「ati・fieldsQ（可）・Q（砺）・nd Q（輌）re・pec七i・・ly・胸i・i・w・ll㎞・諏th・t th・・e
皿it、 f。r、ll。，y、t㎝。f i。d。p。nd。nt mit・・f K． F・・α・Kx，・・． set l・1、・1・1・1・12・1・（・）1・1・13’・lb（・・）1・ C。r。11。。y 2．6．’L・t』カ・t・t鋤・わ… ab…．lf th・thre・・励… ・／・6・・、・ヱ／・…2’・n…／・・9・，・・…縮α・．i吻・P・・nt…醜』…condZtion rヲis satisfied with
オー‘°誓△．・・．・．・…㌔禦・・。ヱ．… P…f・．W・p・t・・1・g・1・b・1・g・2・c＝1・9・3・Tl’en L（・1）・（・・−a・・）・L（・2）＝（b・b⊂b）・・dL（・3〕層＝（・・’cドc）・ It is easily verified that ・ ． ： ． ’ （・，・，・）．＝去・（・、）・：・〔・2）÷（・3）・ ．〔・，・，・）・；（去・（・、）・吾・〔・2）一’…・（ご，））・ ・ Since 1／a， 1／b， 1／c are l ihear independent over Q， our assertlon immediately follows fr㎝Theorem 2．4． §3．Calculat ion of a system of fundamental units Suppose that the condition （＊） is sat isfie（l and r＞1． Calculating units パ・・fEK（D）i…der・f l L（η）1・、・e ・an・9・t…y・t㎝・f fund・・nent・1皿it・f・㎝’ や Lenma 2．2． We also use the s〔皿e sequence of ideals defiied by（1），and put Ai ＝ αi（h（with αi°s satisfying （3）． ．CAL（）UlaATION OF A SYSTEM OF H戊NDAMENTAI、 UNITS Le㎜a 3・1・Let A＝αOK be a prtn吻aZ int・grαZ ideaZ・f K and ・r＝
・・／m・h’）・・ith ・≠…噛・…ρ・sθM、…、w召「k／1・lk一ヱr・竺・η吻・・
δkare posittve nzambers with Hδk＝△・ 四昭n砂●h⑳θ ・川α「k・△−1δk・幽…．醐・、：，1αr、・△−1・、：，δk． P。。。f．エ・f。・・。w、 f．㎝IN（，）1≧◎n−1，h。， 一・1、≧・（A）n−1／・、≠kl・1、・N（元）n−1／・、≠、〔・、N（K）eω国、−1） ・δkN（◆◆A）e（k）1・lk−1△−1． ［Eheref・re 1α＊1、・δk△−1．・…e−sa・n…y， ・k三、M、≧繭n−1／1・1。．、・N（◆．A）n，1／（・。．、N（元）e（r＋1）1・1．．三1） ・△−1・k三、〔・kN（A〕e（k）1・lk−1）・ Hence we have （ii）． ・ 『 Take positive numberS δ（i，k） with ρ＞O as follows： 『 ’ （・）@・（…〕・｛1蕊ρdk）：三：：：・ ．
．． 「Then we ch…eYi≠Of・㎝N’（Ai）・ati・fying
l・、1、・δ（・，・）・（元、）e（k）1・、1、’1鰹r・・）， which is possible from Corollary 1．4 since ・i：｝・（・，・〕・（元、）e（k）1・ilk−1・M（λ、）n−1・ For a real number δ＞1， we put ・ S（δ） ＝ ｛ Σ111 yiさi l − lo9δ≦1」i≦0・ 二 10g『≦Σ ui ｝・ ・・f…㎝・f・㎝・・㎜・・．・・h・・L（・、）・i・さ・S（ム）（…）．N・W・we・・n・ider t・・ ・・th・d・t・ca1・U1・t・EK（D）f・r a・uit・b1・d。mai・Di・W・First鴫P・・D、・・45
46 T．AZUHINTA ㌦（−S〔δ））．f・・δ＞1・−m・n g・・h unit・i・EK（D1）・ati・fi・・ λdk ＜ 10g lεlk ＜ λdk ＋ 10g δ’ Σk…1 109 1εlk ＜ λlo9△ ＋ log δ ウぷ f°「s㎝eλ≧λ・（λ・is the minim㎝゜fλ）・Let PIK（S．1）＝｛Bゴβ」隈｝」・J b・th・・et・f p・incip・1 id・als su・h that ・j・・K・・（・j）・S’＝一λ。・S（・△1＋ρ）・・（tij）・△（j・J）・ ．
th・・r㎝3・2・P・i・・〃W… EKr・∂・』…x…』Z・A、 ＝．・、・。励
β・＝β・％‘π・「ρ∵ 乃鋤力ε＝αノβプ． ．
P「°°f・Letεbe a un’t’n EK（D・）・輪we may l叩P°se thatr ・（ε一1）∈一λa・S〔・）・・rs・m…λ。・・ak・an・…ger・≧・・u・h・… 一ρ・・ρ一λ・λ。≦・．・・f・・・…f・㎝一ρさ・S（△ρ）・Tl・ L〔・、）・iρさ・S〔・）・h・・ ・（ε一1・、）∈一λ。さ・〔・ρ一λ・λ。）さ・S（・）・S（・）・S’． ぶ Hence we find that Ai＝（・i／・）（）K E PIK（S1）・ince N（Ai）・△・Theref・re ・i／ε＝βj and e＝αi／βj・ Tl’is the°「em is an an・1・gy・f晒・・r㎝1・6（i）f・r r・1・T・fi・d m飢y units in EK（D1） rapidly・ it is desirable to take bigδ andρ・ But in that case・it is n°t easy tq cal・u1・te all・1・m・nt・i・PIK〔S1）・ince there are t°°m㎝yideals in it・Ne・t we・h・脱hg ap・ther皿・th・d・ith・・t・a1・・1・ti・g PIK（S’）・W・p・t D2・pW（（1一ρ）S（△〕）fq・0・ρ・1・It f・11・w・f・㎝S（△）・ （ρさ＋S（△）） ＝ （1一ρ）S（△） that（6） L（EK（D2）〕⊂・iご、（i・さ・S（△））・
…nea・h・un・・・…K（・、）・at・・f・es1 λdk − （1一ρ）10g△ ＜ log ［εlk ＜ λdk・ （λ＋ρ一1）10g△ ＜ Σ，11 10g lεlk叫（加tTI〔）N・OF・A・SYS田4 OF FUNDAMEMIAI， UNITS ウ． エ ロ f・rs・m・λ＞0・L・t r（Ai）＝r（Ai・δ（i・k））be a set・f・ll・・n−ze・・el・m・nt・Yls ・・N’（・．`． 1）・a…fy・・g l・1、・δ（・，・）・（元、〕e（k）1・、ik−1（・9k≦…）． 皿・・rem 3・3・」励励力・i・ EK「D2ノ・α・b…ttt・・α・ε一Y・ノN（Ai／for s°ηθ
ｿ＝・iOK and’Y伽r「ちノ・ ・ ． 『
P…f≡1・f・ll㎝・f・・m（6）・h・t・each・uni・・i・EK（D2）S・・i・fies L（・）・（i・・）・さ・S（・）f・rs・m・i…ger≧・・F・rAi・αi・K・…Y・N1（・i）b・±N（Ai）・／・i・Then y‘N’〔Ai）and ’．
1・1、・exp（（…）・dk）・（元、）e（k）1・、1、−1（・Sk≦・），・ ・k：、M、・△（’＋1）ρ一1・k：、 N（元、）e〔k）1・、lk−1 f・㎝L（Y）・（i・・〕pa・L〔N〔Ai）／・i）・S（△）・We n・tice th・・ 婁｝M、・・1：｝・（K、）e（k）1・、lk−1二・（8、〕n−1． Theref・re w・hav・M．．、・△1−（’＋1）ρN（元、）e（「＋1）1・、1．．ご1…nce Y・r（云、）an・ ε＝Yαi／N（AH・［［his p「°ves°u「asse「ti°n’・ ．
F・「ea・h idea1 Ai・we ca1・・1・t・al1・1・m・nt・・f r（Ai）・If there i・an ・1㎝・n・Y…（A． 1〕…hl・（・）1・N（云、）n−1，・h・n・・α、・Pt（A、〕．・・a皿・・ satisfying L（ε） ∈ （i＋1〕pδ＋ S（△〕． As mentioned in Section 1， we search lattice p・i・t・・f・・uitab1・p・・al1・1・t・P・t・ca1・・1・t・r（Ai）・1・th・t・ase・ コ エ コロwe
@may alsGget Y in N’（Ai）n°t in「〔Ai）・We． ngte that・Th…㎝3・3 d・esn’t ロ ． ． depend・n the ch・ice・f・n id・a1 Ai・S・w・m・y・h…e・uit・bl・Yi i・N1（Ai） n°tnecessa「ily i・「（Ai〕・・th・t r（Ai．1）i・a・ea・ily・a1・・1・t・d・・p・ssibl・・47
48
T．AZUHATA
1・thi・W・w・g・t・・eq・・nce・f皿it・パ・i・EK（D2）i・・rder・f l L（n）1・N・・ w・ ・xp1・i・the a19・rithn i・・a・e・f r＝2コt f・11・w・f・㎝C・r・11a「y 2・5 th・t ．・h・ c・nditi・・（★）is sati・fi・d・i・hさ…g△さ。 if・・2・and・≦5・曲ere u・2・・r lif・≧2・P・・ D2・pW（（1一ρ）S（△））・i・h O・ρ・1；Tfien ea・h皿i・・i・EK（D2）satisfies
1・gl・1。・0・0・1・91・13．u＞一（1一ρ）1・9△・Tak・・1・・2 f・㎝EK（D2）・・f・11・ws： ．
〔i）1・gl・11。・nd lL（・1）lare珊i・im・1・ （ii） L（ε2〕 is independent to L（ε1〕 and・ 、 ． ． （iii）1・g l・21。and rL（・2）laremi・i叫 廿・nit is easily verified th・t there are n・unit・η≠1i・EK（D2）・u・h th・t L（n）・V3・｛μ1L（・1）† P2L（・2）10≦μ1・P2・1・μ1・μ2・1｝・Henc
〟oε・・ε2｝is a system°f fundamenta1 units°f K f「°m Lemma 2・1・［［T’e f・・…i・g・・th・d i・a…effective・L・t D2’・pw（（・一ρ）〔・・g△さ3．u・S（△））〕・99 egch皿itεin EK（D2’）satisfies
1・91・1。・0・0・1・91・r3．u・（1一ρ）1・g△・ ． Tak・．ε、 f・㎝EK（D2）and・2 f・・mEK〔D2り・ゆ・h・…91・ilu a・d lL（・i）1・・6 皿inima1 （i＝1，2）． Then we also find that there are no units n ≠ 1 such that L（n）ξV3・H・n・e｛・1・F2｝i・a1・…．・y・t㎝・ff皿d・・n・nt・1皿it・・fK・T・ ・a1・u1・t・皿it・in EK（D2’）・鳩may t・k・δ（i・k）・・f・11・ws： ・ δ（i，U）・△（1＋i）ρ，δ（i，3−u）．・△1一ρ，δ（i，3）・△−iρ． Next・e c・n・ider the ca・e・f・・3．・・t・k・P・and・，・・th・t（・一・）・…（・一ρ・） and p・t D2ニpW（〔1一ρ〕S（△））・D2’＝pW（（1一ρ’）S（△））・First we・ea「ch a syst㎝゜f i・d・p・nd・nt皿it・｛・1・・2・・3｝f・㎝EK〔D2）・ati・fyi・g th・f・11・・ing tw・ conditions： （i） ’IL（・1）1≦IL（・2）1≦IL（・3）卜 （ii） there are no units n ≠ 1 such that． L〔n） ∈ ｛ Σi2，μiL（εi） 1 0≦μi ＜1， Σμi ＜1 ｝・CALCULATIGN OF A SYSTEM OF R㎜AL UNITS
49
th・n w（・fi・d th・t L（EK）∩（U「（・1）＋U「（・2））＝＜L（・1）・L（・2）＞by th・．sam・ argument as in the case of r＝2． Next we check whether the above皿its fornt a system of fundamental mits or not・We、search mits n in Ek（D2，）witll ． L（n） ε ｛ Σi三1 μil」（εi） 1 0≦μi ＜ 1・ Σ Vi ＜…｝｝・an
戟Ep…3㌔・・rε、・2・3n−1…n…by R（・、・・2・・3）・h・ regu・…r・f m…
ε1・ε2・ε3・ If there are no units in them． satisfying R（ε1・ε2・ε3） 〉 ★ 1 ． R（・1・・2・・3）・then the ab・ve mit・f・m a・y・t㎝・f fund・mental unit・fr・m シ ＊ L・㎜・2・1・Otherwise・w・ tak・ ・3・・th・t R（・1・・2・・3）i・minぬ1・th・n ｛・1・・2・・3｝i・a・y・t㎝・f fu・d・m・nt・1・nit・・W・have n・t p・・v・th・t th・ assumption of Corollary 2．6 is true． Hbwever the author has calculated a・y・t㎝・ffmd㎝・n…皿i…fbiquadra・i・fi・・d・Q（可’何）・i・h盲・
畢（・，・，・）・・i・g加・v・me・h・d f・r severa・・ases（see・T・b・…）． Remark 2．1）As mentioned in Section O， the another algorit㎞forQ〔ノ可・砺）i・already k・・岨・’ 、．’・ ． ．’ ・・
2）Our algorit㎞deeply depends on the I鴎thod to Solve linear’ inequalities． We take the aboveρ so that each r（Ai） is as easily calculated aS possible． ． ・ 3） The condition （★） iS not necessary and sufficient for our argument． We only need the fact that EK（D）・Contains a system of fundamental units of K・ 4） As mentioned in Remark 1， we・have only』to calculate L（ε） to estinぬte 中e reg・1・t・r・ince R（・…2・…・・r）・ld・t（1・g l・ilj）1・ §4． Test for principal ideal s In this section， we consider whether a．given idea1． is principal or not．Suppose that a syst㎝of fundamenta1（or independent）units of K is calculated
by the．method in previous sections． For a non−zero ideal A of K， we define N・（A）・N（元）元一1．路。n L。㎜と1．2・。nd・C。r。11ary 1．4。1，。 h。1d f。r皿y i。・。gra150 T．AZUHATA idea1、。f K． L。t tr・b。 a n。n−z6。。 i。・。g．al id。a1。f・K・wh。，e．w。．assum。 th。・．a ． ■ basis of A is given． We construct the sequence of ideals as follows： A。・A・・≠・i・N・〔A． 1）・・、X、・N（A、）A、．、（・≧・）・．』・ ． ロロ ロ ロ ■ ロ W・p・・Ai・αiA・i・h・i・∈Kx・a・i・fyi・g・0・1・・i．1・Yi・i／N（Ai）（i≧0）・恥・・ ・h・t・iA i・an・i…g・a・id・a・b・・di i・n・t necessa・i・y i・・K・Fi・・t・e・rea・
°fthe@case°fτ＝L Dgn°te byεK th 血撃氏xta’un’t°f K w’th lεKli＞1’
Theorem 4．1． 1｝et． the notations 力θ αs αbove． SupPose that B is an i…g・・zwz・tth・・t・i・・1’c．加』』z・z・・e・τz。ぬ協；一β元・鋤
β・・×・W…Z・・supρ・・θ拠1βい≧・協漁硫Z・殻・・≠Yジ醐∂
satisfying ’
・・ノ 1・、1，・△〃（Z’、）e r°−1。1，、1、・・IA、）e「2ノ、1，、1、．・・m…ma・。or
・8・ 1，iし・△卿θω．1，、1、≧卿θ「2月山1、i・m轍・．
コの ロ． ロ ロ ガ・tl is prinoipαz． Then there tsα匁ideaZ左＝α．A such thαt z z ち一B・ヱ≦1・乞㌔・1・κ1ヱ・ P…f・First…upP・・e that each・、・a・i・fi・・（7〕． W・m日y ass㎝・ A≠B・・nd・≦1β1、・1・Kl、…i・ ・a・’ E・y…ifi・d Ch・・1・il2・1・i．、12・ Since there are・nly fi・it・i・t・g・al id・alsαiA・u・h th・t 1≧1・il2・1・Kl2・N（・iA）＜△・we have 『
Li・i．，。。1・il2・0・Li・i．．。。1・il1・… ・・nce l・、1、≦IBI、≦1・i．、1、 f・r・・m・・≧・・N・…h・t th・…q…i・y l・、1、≦ 1・、．、1、d・e・n・・・…y・rl・・d．・・pP・se N（A． 1）・N（B〕… 1α・1・≦1β1・＜1・…1・w’lh・…＝・…Pa（A・）・皿・皿…N・・A・訂・皿・F…NDAM・NTAI．・UN・・［S 51 ひ ロ ナ −■ that’s・・i＝N（A・）αi†・／αi・We put・i＝N（A・）β／・i・lt f・ll㎝・f・・m lN〔β／・i）1・ N（B）／N（Ai）…1β／・il、≧・ that ． 』 ・ ・ lB／・、1、○・1・、「、・N（A、）e（2）． ★ ”． It is ea・ily verifi・d・h・t lYi l 1・IYili・［［his c・nt・adi・t・t・th・ assumpti・n th・t lYi！・i・・i・i・・1・H・W・v・・1・i｝、r・…i・…Hence・・皿・t h・v・・i・β f°「s°me i・Ne・t we s叩P・・e th・t A・・OK（α E OK）i・p・i・・ip・1 ・nd・a・hYi satisfies〔8）・M・ltiplyi・g・・ui・・bl・uni七・・e−may・assum・1・1・11≦1・Kl1・ w・g・t・u・．a・s・rti・・．．by’the・㎝・’1a・9n・nt・s i・th・p…f・f Th・・rem 1．6： ・ サ び C・rgll・・y 4・2・T・k・eaeh y、・at‘・fy‘・g r8ノ・Th・碗αZΩ・輌吻・Z’tf’
・…鳩城・一・ノー・K・f……迦川・、1、・1・。㌧・
C°「°11a「y 4・3・F°” any t”teg・αZ tde・Z A ・f・K・t・k・・α・h Yi・ati・fyt・gr7ノ・ Then there crg tntegers k≧1αnd％≧Osuch that
” 膓≠k 一・L・・κ一n禁；ヱ乃パr元プ f°「any i≧％・We assume．that Yt≠k＝Yz tf仇θ・hgt・e・f Yt is n・亡unique・ Rema「k 3・1）lf K i・a・ubiC fi・ld with・・1・th・n・a・h Yi i・uniquely d・t・mi・・d by Ai・‘Becau・e l・11・1β11 if and・nly if…±β・ 2） It follows frαn Theorem 4．1 that Theorem 1．6 〔ii） also holds by taking Yi satisfying（7）・We note that above algorit㎞in Corollary 4・3 is considered as an expansion of continued fractional expansion （see ［1］， §1）． Next we c…ider the case・f r＞1・P・t D2・pW（（1一ρ〕S（△）Mth O・ρ・1・ Let・1・・2・…・・でb・a・y・P・m・f fund・m・・t・1〔・r i・d・p・・d・nt）・nit・・f K and V4 ＝ ｛ Σill ViL（εi） 1 0≦Vi ＜ 1 ｝・ SupPose PW（V4） ⊂D2 and52 T．A㎜ ・
〔9〕 V4⊂・i三、〔i・a・S〔△））・
W・a1・・d・n・t・by「（Ai）the set・f・・n−zer・el㎝・nt・Y’・i・N「（Ai）・ati・fying （・・） M、・δ（・，・）・〔云、）e（k）1・、lk−1〔幽・・）・ where δ（i，k） are defined by （5）． We check al l elements Y l s in r（Ai） whether l・（・）1・N（元、）n−1・rn・t・Tl・en・P・・元、．、・Yi・（元、）一’λ、 f・r a・…ab…≠・、・N・（K、）・ − ． ・
Theorem 4．4． The ideα乙・4 is prinotpa Z ifαη∂onZy i∫therε…are’i（！ea Z・ち・nd・…−tY・ ｨf・r・…ゆ・・励・・1剛一・・z／−1・
Pr・・f・Ass皿e th・t A is p・i・・ip・1・．Then A＝αOK withα‘（）K・SupP°・e ・（，）・Σ、：、，、L（。、），、、・R・an・・P。・。…、［−1’1・㌦・n K…K・α1・K and−L〔αε）E V4・S・w・may assume−L（・）‘V4・The「ef・「e −
．L（。）・L（α一1）・（i・1）bさ・S（△） ロロ び コロ f・rs㎝e O≦i‘m f・・m（9〕・F・r‘Ai．＝・iA・P・t Y＝N1（αdi）＝±N（Ai）／ααi・By the ・㎝・a・9…eny・・…h・D…f・f亜・・rem・．・，・・f・…h・・Y・…N・（A． 1）飢q ・at・・fy・・g〔・・）・・…〔・）・（…）・a・L（N．（・、〕イ・、）・S（・）・H・nce Y d（・、）『 and lN（・）卜N（云、）n−1・ince N’（元、〕・Y・K・聴c・叩・・t・・th・p…f・53
CAI．CULATIQN OF A SYSTEM OF FUNDAMENTAL UNITS ． §5． Examples ’ i）L。tK・Q（。1／4〕b。ap。τelyqua．ti。 fi。1d。i、hO．m．Z．エf・i・ square−free with m≡2，3 （mod 4）， then an integral basis of K is given by ｛・…m1／4・β・・’／2，・・m3／4｝， and D、・−28・3（see［・］）．・・b・…h・w・a syst㎝゜f fund・m・・t・l unit・｛・〔1〕・・（2〕｝・f K・hereε（1）E EK（D2’）・・（2）E EK（D2）・i・h a・（・・g△，・〕，…／4． L・n㎝ber・f…p・， R・・ regu・…r． ii〕L・t K・Q呵・可）b・abiquad・ati・fi・1d・ith p・・itive square−free integers m1・M2・Tabl・Il sh・w・a・y・t㎝・f f・nd㎝・nta1皿it・｛・（1）・・（2）・ ・（・〕｝・fK…h・（・）・EK〔・、）・a・半（・，・，・），…／・．・・d・scr・・・・… °fK・1＝R（・1・・2・・3）／R（・（1）・ε（2）・・（3））曲ere・1・・2’・3 are fund・・nent・l units of three subfields of K respectively， H＝class number of K．54
T．AZUHATA
Table I m＝2 ・m＝3 m＝6 m＝7 m＝10 m＝11 m＝14 rn＝15 m＝19 m＝22 m＝23 mニ26 m＝30 m＝31 m＝34 m＝35 m＝38 皿＝39 m＝42 m＝43 ε（1）＝1＋β ε〔1〕ニ2＋β ε〔1）＝5＋2β ε（1）＝8＋3β ε（1）＝3＋β ワ﹂311＝ ＝−
＝ニLL＝
LI山 L
ε（1）＝10＋3β L＝4 1．＝13 R＝66．79376 ε〔1）＝15＋4β L＝3 ε（2）＝15＋8α＋4β＋2Y L＝3 R＝27．83277 ε（1）＝4＋β L＝3 ε（2）＝2＋α L＝1 R＝9．94567 ε（1）＝177829682＋85175723α＋40796927β＋19540∫｝51Y L＝13 ε（2）＝523033＋250519α＋119992β＋57473Y L＝8 R＝101． 71211 ε（1）ニ777573300580561＋359034076122154α＋165779184702772β＋76546322225318Y L＝21 ε（2）＝19091962739167081859422676999692294167747941＋8815458553293349616679218613735261040571086α
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56 T．AZUHATA ・
