微分積分学１
No.10 2005.12.22（補講）
4. 二変数関数と偏微分 4.1 二変数関数 担当：市原
3
次元空間の座標
¶ ³
互いに直交している
3
つの軸x
軸, y
軸, z
軸を用いて得られる3
次元空間の座標を空間座 標という.
O
x y
z r
O x y
a b
z c ( a , b , 0 )
( 0 , b , c ) ( a , 0 , c )
µ ´
定理
12 (
空間図形を表す方程式)
• (
空間内の2
点間の距離)
三平方の定理より,
空間内の2
点A(a
1, a
2, a
3), B(b
1, b
2, b
3)
の間の距離は,
√ (b
1− a
1)
2+ (b
2− a
2)
2+ (b
3− a
3)
2• (
平面の方程式)
実数A, B, C, D
に対して,
式Ax + By + Cz = D
を満たす
(x, y, z)
を座標にもつ点の集合は空間内の平面になる.
また
,
式Ax + By + Cz = D
をその平面を表す方程式という.
• (
球面の方程式)
点(a
1, a
2, a
3)
から距離がr
である点の集合を,
点(a
1, a
2, a
3)
を 中心とする半径r
の球面という.
点
(a
1, a
2, a
3)
を中心とする半径r
の球面を表す方程式は(x − a
1)
2+ (y − a
2)
2+ (z − a
3)
2= r
2例題
22
次の空間図形を表す方程式を求めなさい. (1) 3
点(1, 0, 2), (0, 2, 1), (0, − 1, 3)
を通る平面(2)
中心が(3, 4, − 1)
で半径が2
の球面14
2
変数関数¶ ³
2
つの変数x, y
にそれぞれある値を代入すると,
対応してz
の値が1
つ決まるとき, z
はx, y
についての2
変数関数であるといい, z = f (x, y)
などで書き表す.
µ ´
2
変数関数のグラフ¶ ³
2
変数関数z = f (x, y)
について,
集合{
(x, y, z) ∈ R
3| z = f(x, y) }
を
, z = f (x, y)
のグ ラフと呼ぶ.
2
変数関数z = f(x, y)
のグラフは, (
一般には)
空間内の曲面になる.
与えられた2
変数関 数のグラフの概形を描くことは容易ではないが,
たとえば,
コンピュータを利用すると,
次 のようなグラフが出来上がる.
(1) f(x, y) = xy(x
2− y
2)
x
2+ y
2(2) g(x, y) = (x
2+ x
3+ y
2)e
−x2−y2z = g
(x
,y
)z = f
(x
,y
)µ ´
¶
等高線³
xy
平面上で,
座標(x, y)
で表される地点の標高z
が,
関 係式z = 4 − x
2− y
2で定まるとする.
この地形図の等 高線を描いてみよう.
たとえば
, z = 0
となる地点(x, y)
では関係式x
2+y
2= 4
が満たされている.
つまり, z = 0
の等高線は「平面z = 0
上のx
2+ y
2= 4
で表わされる曲線」になる.
同様に計算してみると,
いくつかのz
の値については 右のようになる.
z
の値 関係式4 x
2+ y
2= 0 3 x
2+ y
2= 1 2 x
2+ y
2= 2 1 x
2+ y
2= 3 0 x
2+ y
2= 4
以上の表から
, (x, y)
平面上で等高線は左下の図のようになる.
x
y
従って
,
右上の図が, 2
変数関数z = 4 − x
2− y
2のグラフの概形を表わしている.
µ ´
15
微分積分学１
No.10 2005.12.22
（補講）4. 二変数関数と偏微分 4.1 二変数関数 担当：市原
例題
23
次の空間図形を表す方程式を求めなさい.
(1)
点(1, 3, 4)
を通り,
ベクトル
0 4 1
と垂直な平面 （この平面の法線ベクトルという）(2) 2
点( − 3, 2, 5), (1, 4, 3)
を直径の両端とし,
点(0, 2, 2)
を通る球面問題
19
地点(x, y)
での高さz
が, z = y − x
2で定まる地形図の等高線を描きなさい.
問題
