NDC 415．5
ベクトル空間における積分について
池 上 哲 男＊
（昭和52年3月30日受理）
On integration in vector spaces
Tetsuo IKEGAMI
（Received March 30， 1977）
KYosida［1］の131−132ページにおいて，測度空間
（S，鶏，m）の上で定義されたBanach空間の値をとる関数 x（s）の強可測性に関するBJ。 Pettisの定理が示されてい るが，その証明中132ページで次の事実を使っている：
（・）一一 o繋1諜麓1の搬G）はまた
（Pettisの原論文［2］も殆ど同じ書き方がしてある。）
しかし，同＝書［1］の130ページにある 強％一可測 性 の定義に当てはめた場合，上の事実（＊）は自明ではないよ
うに思われる。この場合，131ページにおけるXn（s）の構成 法を若干修正することにより，そのようなXn（s）の強極限 x（s）は強駐可測であることを示すこともできるが，Xn（s）
をそのような特別のものとしないで，上の事実を一般的に 証明しておく方が，もとのPettisの定理の証明がすっきり
する。
そこで，本稿では，強iδ一可測性の定義にもとづいて，
上の一般的な事実の証明を与えよう。
一般にx（s）が強iδ一可測ならば，finitely−valuedの関数 の列2n（s）が存在して
s−lim zn（s） ＝2（s）
n−foo
∴目隊（s）Hk（s）i≦：II2n（s）一2（s）1ト→0（n→・c））
隊（s）1は1δ一可測だから1［z（s）1は駐可測となる。
「命題（＊）の証明」
xn（s）は強％一可測だからfinitely−valuedの関数の列
Sl（の（s）が存在して
s−limツ1（の（s）＝Xn（s） m−a． e． on S
l−ooそこで
・le・の一｛・∈・・「・1（n・（・）一Xn（・）「K券1メ｝
＊応用数学
とすると，Ek（の∈％で
E1（n）⊂E2（の⊂………⊂Ek（n）⊂…＿………
ツ1（の（s）はm−a．e．でXn（s）に強収束するから
m（S−UEIe（n））一〇 le一・1
Sはσ一finiteであるから
S1⊂S2⊂………・・…・⊂Sn⊂…………， m（Sn）＜QO，
USπ＝S n 1
とすると
の
0＝m（S−UEk（n））≧m（Sn−U（Ek（の∩Sn））⊇≧O
k＝1 k＝1
従って，ある番号砺が存在して
kn l
m（Sη野E・（の∩Sn））＝m（Sグ（E ln（の∩Sn））＜2・＋・一（！）
とできる。
E砺（の∩Sn＝Cnとおき，∪∩Cn＝Cとする。
海＝1n＝le そこで
・・（s）一｛響）（s） ：こ：1
とすると，2n（s）は明らかにfinitely−valuedの関数であ
る。
Cに属する任意のsをとると，ある番号leoが存在して
π）≧妬ではs∈Cnである。Cn ＝・Elen（n）∩Snであるから， Xn（s）＝鍋％（の（s）で
脚・・（・）一物（・）「「〈吉∴］X（S）一2n（S）1k＝1」X（S）一κ。（S）1」＋llXn（S）一an（S）11
−Hx（S）一Xn（S）1＋11Xn（S）一アk。（ ）（S）1 〈llx（・）一Xn（・）」＋麦
S−lim Xn（S）一・X（S）だから
n→oo
一1 一
津山．高専．紀要第15号（1977）
π→。。として
S一・lim 2n（S）一X（S）
n→oo とこうで
S−C；ST謬轟Cπ＝・鼎、（S 『Cn）
。 ．m（S−C）＝加（∩ U（Sn−Cn））≦Σ卿（Sn−Cn）
k＝・1n＝le n；＝h
義嚥（Elen（ ） ft Sn）！＜如・・よ・）
た→。。ζして
m（s−C）．一9
従って，x（s）は強魅可測である．。
おわりに，本命題につい一（i東京大学伊藤清三教授より示
唆を戴いたa． eをつ珈えて謝す・
文 献
［1］ K． Yos ida：Functional Analys is， Springer， 3rd ed．
1971
［2］B J Pett． s：
尞当L。㍑黙鷺（、938）
PP． 277−304
一2＝
