非対称情報下における流通システム

非対称情報下における流通システム

楠田康之

本稿では，Ga1−Or〔1〕のモデルを用いて製造業者（firm）と私的情報を もつ小売業者（retailer）間の流通問題をprincipal−agenCy問題として考察 する。そこでは，製造業者が小売業者に課すfranchisefeeや再販価格維持（R PM）による垂直的拘束力を含む契約モデルを扱う。まず，Ga1−Orモデルに

したがい，連続型のタイプ分布の仮定のもとで最適契約を導出する。次に，

その拡張として，離散型のタイプ分布の仮定のもとでの最適分離契約問題を 解くことにする。

1．契約モデル

まず，次のような市場を考える。ある1蝕m（メーカー）の財が，あるl retailerによって販売される。その財の市場需要は（1）式で定義される。

（1−1）  ヴ＝α＋β一鞄，α＞0・

PR‥・retailprlCe

O…random変数

密度関数 g（の 分布関数 G（の

サポート ［一β0，β0］

￡（の＝0，侮γ（の＝α2．

っまり，random変数の期待値は0で，そのサポートは原点の左右に対称的

である。

次に fixedretai1ing costをKで表わす。さらに，単位当たり variable retai1ing cost は，

( 1ー 2) C = co+u. 

である。

u. .・random変数 密度関数 h((J)  分布関数 H((J) サポート [‑uo， uoJ  E(u) = 0， Var(u) = S2. 

この取引関係では， firm (principal)はretai1er(agent)のもつ私的情報。

とUを観察できないが，上に示した分布で確率をあてているものとする。

契約の提示にさきだち retai1erは需要の状態

a

ここで注目するのは retai1erが真の値 (J， uを報告するような契約を firmが提示できるか否かである。

取引は以下の順序で遂行される。

取引ゲーム

ここで，

. first stage  retai1erが0とUを観察し ，fJと&をfirm に報告

. second stage契約のサイン

. third stage  first stageのcommitmentに従って取 引が決定

Pw…単位当たり franchisefee， 

F…一括franchisefee.  T…貨弊移転，

とすると次の4つの契約の種類が考えられる。

(図1) 

qが qが

観察可能 観察不可能

RPMが (q，T)  (P_w， F)  不可能 . (i)  . (ii) 

RPMが (q， PR， T)  (P_w， PR^， F) 

可 能 . (出) • (iv)  ( i)  quantity‑forcing contract  (q，わ ( ii) FF contract  (P_w， F) 

(出)price‑forcing contract  (q， PR，わ (iv)  RPM contract  (Pw， P_R， F) 

以下，この順序にしたがって，最適な契約のメカニズムに必要な条件を考 えよう。

( i ) quantity forcing contract 

口販売量q(o，u)と支払い計画 T(O，u)によるquantityforcing contractを 考える。

agentの問題

maxVR(O， U;O， u) = q(O， U) α[+O‑q(O， U) ‑Co‑UJ‑T(O，命)‑K.

ここで， firmは (，}Uの(真の値)のみは知らないが，この2つは y三 ((}‑U) netintercept of the demand") 

の形で VRに入っている。そこで契約をy=(O‑u)を使って書くと，

契約 (q(y)，  T(y)) に対して agentの問題は，

( 1 ‑3)  max WR(タ;y)= q(y)[α+y‑q(タ)‑coJ‑T(タ)‑K.

w(y)^三 WR(Y;y)とすると，契約が truthfulrevelationをみたすならば，包 絡面定理より incentivecompatibi1ity制約は

( 1 ‑4)  w' (y) = g (y) . 

{注 1)

となることが示される。

( ii)  FF contract 

口次に，契約が明示的に retai1erの販売量の制約を課さなくても，代わり にfranchisefee (FF) contractを (Pw(タ)， F(y)) と定式化すれば， (1‑4)  と同様のI.C制約がでてくることを示そう。

agentの問題

( 1 ‑ 5)  maxS(q， y; y) =q[α+y‑q‑Pw(j) ‑coJ‑F(y) ‑K. 

qに関して最大化すると，

(1‑6)  q(y;y)=[α+y‑Pw(j) ‑coJ/ 2.  これを(1 ‑ 5)に代入して，

( 1一7) max _Y  WR("nv''?/ タ;y)=上4 α[+y‑Pw(j) ‑coJ 2 ‑F(y) ‑K.  ここで包絡面定理を使うと， I.C.制約は，

( 1ー 8)内)=す α+y‑Pw[ (y) ‑coJ三仰)

ここで， (1‑6) と (1 ‑ 8)が同値であることが示された。

( iii) price forcing contract 

口retailpriceとquantityが観察可能なら，契約は (q(u， O)，PR(丸め，T(u，の)の形で定式化される。

ところが ，qとPRが観察可能ならば，需要関数より 0も推定が可能とな る。よって，契約 (q(u，め，PR (u， O)， T(u，の)に対して，

agentの問題

max WR(仏:u， (}) =q(u， (}) [α +(}‑q(u， ()) +co‑uJ‑T(仏 (})‑K.

ω(u， ()) == WR(U; U， (})とすると， I.C.制約は，

aw(u， (}) 

( 1 ‑ 9)  ーすZ一=‑q(u， (}). 

(iv) RPM contract 

口次に， RPM contract (PR(U，O)，Pw(u，O)， F(u，O))でも， (1‑9) と同 様の制約がでることを示す。

もし， firmが ん とPwを任意の

a

PR(u，O) =Pw(u，O) +らとして， retai1erにゼロマージンを課すと， retai1erは

(注2) 

。に関して嘘を報告するインセンティブはなくなる。

よって，合だけの問題となり，

agentの問題

max W_R(合;u， 0) =^ーα[+O‑PR(仏O)]u‑F(u，O)‑K. 

ただし，この場合は ，Fを負と考える必要がある。

ω(u，O)三 WR(U;u， 0)とすれば， .rC.制約は，

dW(u，O) 

( 1ー10) ーすZ一=一α[+O‑PR(U，O)]=‑q(U，O).

これより， (1‑9) と (1^ー10)が同値であることが確認できた。

2.最適契約の解 FF contract 

口FFcontractの最適解を最解制御の手法を使って求める。まず，

F(y)三 土 問 一Pw(y)‑ Co] 2一 州)‑K.・

として，制御変数は Pw(y)，状態変数は W(y) とする。また ，Z(Y)をyの 分布関数，Z(Y)を密度関数とする。明らかにyのサポートは

y= [ ‑(OO+UO)， (OO+UO)]. 

最適制御の問題は， firmの収入qpw(y)+ F(y) より，

Problem FF 

(2‑1)  m似 lい 0) {~ ^α[+y‑pw‑Co]Pw 

Pw(・).w (・)，，‑(Oo+uo) ~ム

+ 士 川

(2 ‑ 2)  w'=

〔 す

(2 ‑ 3)  W~ o. 

解は，

‑Z(y)  ( 2 ‑4)  Pw(y) = _z

(y)  ω(y) 

=

す

(注3)

となる。

1 (Y  l‑Z(t)^{J '}  

2λ(8

0+UO)  Z (t) ^山

ここで，yの分布に対して一様分布の仮定を与えてみよう。すると，

‑(y+8o+uo) /2 (8o+uo)  Pw(y) =  _1 / 2 (8o+uo) 

=8o+uo‑Y. 

となり ，yの減少関数になることがわかる。また，もっともyの大きいタイ プ (y=8o+uo)については ，Pw(y) はゼロとなることも確認できる。

3 .最適分離メニュー

前節では，連続型の agentタイプの分布を仮定していた。次に，この仮 定をはずし，離散型モデルを考える。

口ここで考えるモデルの設定は principalのもつ， agentのタイプに対する 分布が連続でないことを除けば，前節で扱った Gal‑orモデルと同様である。

ただし，そこでの取引ゲームにおいては principalは可能なタイプの数と 同数の契約メニューを agentに提示し，隠れた情報をもっ agentが，その 中の適切な契約を選択するようにしなければならない。

ここで，全ての異なるタイプが，それぞれ異なる選択をとるようなメニュー を分離メニューと呼ぶ。これは，このようなメニューの選択により， agent  の私的情報が完全に伝達されてしまうことを意味する。

FF contract 

口firm(principal)は retai1er(agent)のタイプに関して離散的な分布をあて る。すなわち ，y(=O‑u) に対して， Yl， Y2，…， Yn(YlくY2く…くん)と 区別し ，Yjの実現を判(引>0 (i= 1 ，…，  n)， _~ f{Jj =  1 )の確率で予想す る。ただし ，Yi+l‑yj=yj‑yj‑1 (i= 2 ，… ， n‑l)と仮定する。また， firm  は組nのfranchisefee計画

(3 ‑ 1 ) α =  {(PJ ， Fl)，…，  (乃，pn)} 

を作り ，Yjタイプの retai1erに(九，Fi)を選ばせたいと考える。このとき，

principalの期待利潤は

( 3ー 2) H=ii

バ + [ 内

ここで， firm はretailerが販売量qに関して最大化行動をとることを前提と している。

principalの作るメニューの問題は，

Problem A 1 

(3‑3)  max  II 

(PJ"  Pl)，…，(1弘 pt)

S.  .t

(3 ‑4)

士川

(3 ‑5

市

寸

(

えj =l， 2，…， n)  (3 ‑6)す[内・一九一川ミO (i= 1， 2，… ， n) 

上の3つの制約式で， (3‑4)式は，各retai1erの参加条件， (3‑5)式 は1.C.条件， (3‑6)式は最適販売量が非負である条件を表わしている。

以下，計算過程では b三α‑coとおく。

次に， Problem A 1を解くために以下の補題を与えよう。

補題 1  最適契約において q作 1(Pw) ‑qi(Pw) > 0， VPω1・

(証明 )retai1er の利潤最大化により，げ~)

= i ‑

Yi+l‑Yi> 0より明らか。 (Q. E.  D.) 

補題 2  最適契約において， R71孟凡，F三pi‑l.

(証明)(3一5)式より，

( 3一7α)土 [Yi+b+凡J2-pi-K~+ ₌₄ ^{[Y汁b+piw‑1J 2̲pi一l‑K.}

(3^ー 7b)

士

寸

これより，

2 (b‑凡)y汁 (b‑凡)2ー 2(b‑piw‑1 )Yi一(b‑piw‑1)2 ミ4(pi̲pi‑l) 

ミ2(b一九)Yi^ー1+(b‑凡)^2 ‑ 2 (b一月，‑¹ )Yi-l 一 (b-P~-1)2.

よって，

(3‑8) (凡‑piw‑1) [凡+piw‑1ー20'汁b)J

~ 4 (F‑F‑l)ミ(凡‑piw‑1)[P~+P~-1 ‑ 2 0';ー1+b)J. 

y;>y;一 lより，

(3‑9) [凡+凡，1‑20'汁b)Jく[凡+乃71ー20'iー1+b)J. 

よ っ て ， 町 三 凡 次に ，(3‑7b)式より，

( 3 ‑10)  4 (Fi ‑Fi ‑1 )ミ0'i‑l+b一九)2ー0'iー1+b一乃，1)2 

= (凡‑乃，1)[凡+piw‑1^ー 20'i一1+b)J. 

(3 ‑_{6) 式と piw-}¹_ミ~piw より右辺は非負.よって F~F-l.

(Q. E.  D.) 

補題 3  最適契約において，乃7122凡であるとき，

( 3ー11)[;什 ならば

( 3 ‑12) [Yi+ 1 +b‑凡J 2 ‑4 Fミ[Yi+l+b‑piw‑1J2‑4F‑l. 

(証明)(3‑11)式の両辺に同じ項を足して，

YI² + 2 (b一九)Yi+(b‑piw) 2 ‑ 4 F+yλ1 ‑ 2 (b一九)Yi+1一(b‑pi;1 )Yi十l

ミYI²+ 2 (b-P~-1 )Yi+ (b‑piw‑1) 2 ‑4 F‑l 

+yλ1 ‑ 2 (b一九)Yi+1一(b‑乃，1)Yi+ 1・

整理すると，乃712z凡より，

yλ1 + 2 (b一凡)Yi+l+ (b一九)2 ̲  4 F  

‑{yλ 1  + 2 (b‑piw‑1)yi+ 1 + (b‑piw‑1 ) 2 ‑ 4 F‑1 } 

~ 2 (b‑凡)Yi+1 + 2 (b‑乃J1 )Yi一2(b一凡)Yi‑2 (b‑piw‑1 )Yi+ 1 

=2(1市l一九)(Yi+1 ‑Yi) ~ 0 .  (Q..  E.  D.)  この補題3と同様に，

補題 4  最適契約において ，piw~九ト l であるとき，

(3 ‑13)  [yi+b‑piwJ 2 ‑4 F~ [yi+b-piw+ 1 J 2 ‑4 F+ 1.  ならば

(3 ‑14)  [Yi一l+b一九^J2‑4F~ [yi-l +b‑piw+ 1 J 2 ‑4F+ 1.  (証明) 略.

補題 5  制約式 (3‑5)は，次の3式と同値である。

(3 ‑15)  以+b‑piwJ 2 ‑4 Fi~ [Yi+b一町lJ2‑4F'i+l. ( 3ー16) 以+b‑piwJ2‑4F~ [yi+b-piw-1J2-4F‑l. 

( 3 -17) 凡~乃←

(証明) (ゅ)自明.

(ゃ)(3 ‑17)式より補題4が使えて，

( 3ー18)[yi+b‑piw+1J2‑4F+l ~ [yi+b‑piw+2J2‑4F+2. 

(3 ‑15)式と (3‑18)式より，

[yj+b一凡J2~ 4F~Ú什 b-pitÕト 2J 2 ‑4 F+ 2. 

同様に，

[yj+b一凡J2 ‑4 F~ [yj+ b一花←3J2 ‑4F+ 3. 

[yj+b‑凡J2‑4F孟[yj+b‑.Pn^，J2 ‑4.Fn.  また，補題3より，

( 3一19)以+b ‑piw‑1 J 2 ‑4 F‑1ミ 以+b‑Fw‑2J2‑4F‑2. 

( 3 ‑16)式 と (3 ‑19)式より，

[yj+b‑凡J2‑4Fミ[yj+b‑乃;‑2 J 2 ‑4 F‑2 . 

同様に，

[yj+b‑凡J2‑4F~ [yj・ +b-乃;-3 J 2 ‑4 F‑3 . 

[yj+b一凡J2‑4Fミ[yj+b‑.PJJ2‑4Fl. 

以上のことは， (3‑5)式を意味する。 (Q. E.  D.) 

ここで， Problem A 1を書き換えると，

Problem A 2  nω:x  II 

(PJ， Fl)，…，  (凡 F")

s. t. 

(3 ‑20) 

士 [ 内

( 3 ‑21)上 α[+Yi一九‑coJ2-pi-K~土[α +Yi-₌₄  ^{P'w+ 1 ‑CoJ 2} 

‑pi+l‑K.  (i=1，2，…，  n‑1)  (3 ‑22)土α[+Yi一凡一coJ2-pi-K~土[α +Yi-P'w₌₄  ^1 ‑COJ2 

‑pi‑l‑K.  _(i= 2，…，  n)  (3 ‑23)凡主主乃ト

(3 ‑24)

す

さらに，以下の補題を与える。

補題 6 

士 川

よα[+Yi一九一coJ2-pt'-K~よ[α+Yi一九一 l-coJ2_pi一 l-K._~4

ならば

士 川

y~+ 2 (b‑PJ)Y2+(b‑PJ)2‑4Fl‑4K 

~y~+ 2 (b‑PJ)Y2+(b‑PJ)² 

(i= 2，…，  n) 

‑4K‑{Yr+ 2 (b‑PJ)Yl +(b‑PJ)2‑4K} 

=(Y2‑Yl)[Y2+YI + 2 (b‑PJ)J> O.  同様に，

y，2 + 2 (b一九)Yi+(b一九)2 ‑ 4 F ‑4 K> o. 

(i= 3，… ， n)  (Q. E.  D.) 

補題 7  Ylタイプの retai1erに対する最適契約において，

士 [ 内

(証明) 最適契約αに対してよ[α+Yl‑PJ ‑coJ 2 ‑Fl ‑K> 0と仮定す 4 

る。ここで，新しい契約

a = { (P J， F 1) ，…，  (乃，T)} 

を考え，

F

三 和

F=.F+

ヤ

とおく，ここで仮定より ，F~Fjである。この&に対して，

上α[+Yi一九‑coJ2-F-K~とよ[α+Yi一乃十 1_‑4  ^{‑coJ 2 ‑F+ 1 ‑K.} 

(i手 1) 

(i= 1， 2，… ， nー 1) 

よ[α +Yi一九-co]2-F-K2i[α +Yi-P~-I-coJ2_~4 ^{‑ F一l‑K.}

(i= 2，… ， n)  が成り立つ。また，補題6より，

士 [ 内

よって契約&は， Problem A 2の制約式をすべてみたしている。ところが

Jìi・ ~pi であるため，この契約により，最適契約より大きい利潤H が実現する ので矛盾。 (Q.E.  D.) 

この補題7は， firmがYiタイプの retailerに対して，その利潤がちょう どゼロになるように要求できることを示唆している。

補題 8  最適契約において，

よ[Yi+b一凡J2‑pi‑K=上[yi+b‑piw‑1J2 ̲pi‑l ‑K. 

4 

(i= 2，… ， n)  (証明) 最適契約αで，あるjE{2，… ， n}^{に対して，}

ヤ ，

ヤ ，

と仮定する。ここで、新い契約a= { (P J， T 1 ) ，…(乃， Fn)}  を考え，

Jii‑=pi 

Jii三F

十 台 ，

ー ヤ ，

(i~j)

とおく。この&に対して，制約式 (3‑21)  (3 ‑22)がみたされている。

また，

士

ミ 十 五

‑K‑[yt+ 1 +b一九J2+K} 

>0 

となるので， (3 ‑20)式もみたされる。ところが，aは最適契約&より高 いHを実現するので矛盾。 (Q.E. D.) 

以上の補題6'""8を用いると，

Problem A 3 

max  n 

(PJ.  Fl).…. (PJ，. 1"')  S.  .t

(3 ‑25)

士 [ 的

(3 ‑26)上α[+Yi‑凡‑coJ2-P'-K~上[α+Yi一局← 1₌₄  ^‑Co J 2 

‑F+ 1 ‑K.  (i= 1， 2， .一 ，n‑1)  ( 3ー27)土α[+Yi一九‑coJ2‑F‑K=上α[+Yi一昨1‑Co J 2 

4 

‑F‑^1 ‑K.  (i = 2， 一，. n)  (3 -28) 凡 ~piw+1 

(3‑mt[内 i一凡‑CoJミO ⁽ⁱ⁼ 1， 2，… ， n)  ( 3 ‑25) ， (3 ‑27)より，

F =よ[yi‑b一九J2‑K+上zI{[3けb‑PwJ2‑K一[Yt+1 +b‑凡J2+K} 

4tzl  J 

とおけるので，最終的に問題は次の形になる。

Problem A 4  m似 去む￠戸戸仏 .i

PJ. ...• }乃宝弘，;=‑1 'f' l 2 ^{LU I ‑'1  .L W}  ，..U..J.L W I 4 

+ 十 エ

(3 ー 30)よ[α +Yi一凡ーcoJ2-pi-K~ 上[α +Yi一乃← l-_= 4  coJ2

‑pi+l‑K.  (i=1，2， ・・・，n‑1)  ( 3 ‑31) _{乃J~芸乃←}

( 3 ‑32)

す [ 内

次の命題を与える。

命題 ProblemA4の解は， L CD〆約一1>L CD〆仰という条件およ

t= 1  t=I+ 1 

び (3一23)のもとで，

P:= 0  (i=n) 

d = 4

'fIi t=i+ 1 

Fl=

が

piF=土[Yi+b‑pi;J2‑K+土zI(yt‑yt+1)LYt+yt+l+2(b‑PC)]

4t~1

となる。すなわち，最適契約αは分離メニューとなる。

(i手 1) 

(証明)制約式を無視すると，最大化一階条件より上のpi;，piFが得られるの で，それが(3 ‑30) (3 ‑31)をみたすことを言えばよい。

まず，

piw‑1 ‑凡=̲1̲.む^{t仇i‑Yi‑仕上.土山i+1 ‑Yi)} 

CDi‑1 t=I  CDi t=I+ 1 

(i = 1， 2，  n ‑1 )