非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約

非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約

その他のタイトル Optimal Banking Contracts with a Common Borrower under Asymmetric Information

著者 宇惠 勝也

雑誌名 關西大學商學論集

巻 53

号 5

ページ 33‑44

発行年 2008‑12‑25

URL http://hdl.handle.net/10112/780

関西大学商学論集 第

5 3

5

( 2 0 0 8

1 2

非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約

宇 恵 勝 也

概 要

本稿では，

Martimort and  S t o l e  ( 2 0 0 1 a )

( 2 0 0 3 )

8

非対称情報下における共通工ージェンシー・モデルを銀行の貸付契約問題に応用した．す なわち，二つの銀行が，私的情報を有する

1

対称情報の場合の最適契約（ファーストベストの解）と非対称情報下で 2行が協調行動 をとる（すなわち，あたかも合併した一つの銀行のごとく行動する）場合の最適契約（協 調・非対称情報のケースの解）の二つをベンチマークとし，非協調・非対称情報下で導き 出された最適契約を評価した．その結果，非協調・非対称情報下の最適契約は次のような 特徴を持つことが明らかとなった． 2行の貸付額は対称的（両行に共通）であり，効率的 なタイプの企業についてはそのファーストベストの貸付額の水準で一致し，他方，非効率 的なタイプの企業についてはそのファーストベストの貸付額より低い水準で一致する．し かも，各タイプの貸付額は協調・非対称情報のケースの貸付額と同一であることから，こ の非協調・非対称情報のケースでは，協調・非対称情報のケースに比して相対的に，新た な非効率性は生じない．

キーワード：貸付，アドバース・セレクション，内在的な共通エージェンシー，複数プリ ンシパル，最適契約設計

1 

3 3  

本稿では，

Martimort and  S t o l e   ( 2 0 0 1 a )

( 2 0 0 3 )

8

1

(commonagency)

1共通エージェンシーを巡る諸問題については，例えば，

B o l t o na n d  D e w a t r i p o n t  ( 2 0 0 5 ,  C h a p t e r  1 3 )

34  関西大学商学論集 第

5 3

5

( 2 0 0 8

2

め，その分析は，たとえプリンシパルとエージェントの間で情報の非対称性がない場合であっ ても，自明ではなくなってしまう．そこで宇恵

( 2 0 0 8 )

( 2 0 0 8 )

( i n t r i n s i ccommon  a g e n c y )

2

本稿の構成は，以下の通りである．まず第 2節ではモデルの基本的な枠組を説明し，第 3節 では分析のベンチマークを明らかにする．次いで第 4節では最適契約を導出し，その含意を考 察 す る 最 後 に 第

5

2 

二つの銀行が，共通の借手である企業と貸付契約を結ぽうとしている．企業は投資の決定主 体であり，投資の収益性は企業のタイプ

0

をeで表し， e

=  { f l . ,  7 J } ,   1  < f l . <   J 7

0=0‑g

0

f l .

p , 7 J

1‑p

j

l

( j =  1 ,  2 )

0

2

l 1 ,l 2

b ( l i , h , 0 )

b ( l i ,l 2 ,  0 )   =  O ( l i

2

U  =  b ( l i ,  l 2 ,  0 )  ‑R  =  0 ( l i   +  l 2 )  ‑( r 1

( 1 )  

R =  r 1   +  r 2

2

0>1

0 ( h

h

2

2

j

C ( l i )

2内在的な共通工ージェンシーと委誰された共通エージェンシー

( d e l e g a t e dcommon a g e n c y )

Martimortand S t o l e   ( 2 0 0 1 b )

非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約（宇恋）

3 5  

仮定する．そうすると，銀行

j

½ ^{= r i  ‑c ( l j )}

^{l i‑C ( l i )   ( 2 )}  

で与えられるここで，

c ( l i ) =  l i  

C ( l i )

C

2

C(O) = 0 ,  

<  l  <  l

l

C ' ( l ) >  0 ,   C ' ( O )  = 0 ,   C ' ( l )  = o o ,

>  0

3 

二つのベンチマーク

比較のために二つのベンチマークを考察する．一つは，企業のタイプが私的情報ではなく銀 行にも知られているようなケース，すなわち対称情報のケースである．いま一つは，非対称情 報の下で

2

非対称情報のケースである．

3 . 1  

銀行にとって望ましい貸付額と元利合計額が企業のタイプに依存することは明らかである．

そこで，銀行

j

f l .

I j ( l j )

r . j

で表す（他の変数に関しても同様に表すこととする）．元利合計額は企業から銀行への移転 であるから，タイプ

0

b ( l i ,  l 2 ,  0 )  ‑c ( l i )  ‑c ( l 2 )

0

ように決定される．

~B:X b ( l i ,  l 2 ,  0 )  ‑c ( l 1 )  ‑c ( l 2 )

c ' ( z l b )  = 0 ,   ¥ / 0  E  9  ( 3 )  

li,l2 

すなわち，ファーストベストの貸付額は対称的（両行に共通）であり，タイプgの企業に対し ては

I f b

0

‑ l f b   ‑ f b   ‑ f b  

=  l i

2

研 ＝

0

( r { b

r

0  ⇒ Rfb = r { b  

r { b  = 20lfb,'10 E  9  ( 4 )  

Q

b=

i b 

r : { b  = 2 m ̲ f  b ,

= 

36  関西大学商学論集 第

5 3

5

( 2 0 0 8

1 2

3 . 2  

次に，タイプが企業の私的情報で銀行が協調する（あるいは，合併した一つの銀行のごとく に行動する）ケースを分析する．表明原理により，誘因両立的な直接表明メカニズムに限定

して分析を進める．直接表明メカニズムはV

=  { ( h , l 2 , E ) ,  ( l 1 ,  l 2

Q ( h  

f l . ( l 1   +  l 2 )  ‑ R  0 ( 1 1  +  l 2 )  ‑ R 

O ( I 1  +  I 2 )

f l . ( I i  + 

O ( l 1  +  l 2 )  ‑ R 

( I Q )  

（陀）

（匹）

（買）

ここで，（起）と（冗りは誘因両立制約であり，（区

2 )

( 2 0 0 7 )

0

( K

g

2 )

問題

(p)

max 

c

c ( l 2 ) ] +  ^{( 1  ‑}

c ( l 1 )  ‑c ( l 2 ) ]  

II 

s u b j e c t  t o

I C )  and

最適な貸付額は対称的

(lC=lf=lg,I C

c

Q - — • 0 ^1‑p  p  c( I C ) ＝ 0 

( 5 )  

( 6 )   ( 7 )  

よって，

F

i C

炉 ＝ 2 亜 ー 岱 ＝ 0

ザ＝ 2 面

＿脊 ‑;=2

( 8 )   ( 9 )  

( 2 0 0 7 )

0

( I C = I f b )

g

0 へ

( L C< L f b )

3ぃま

L=L1 +L2• E=h

EQ).

( 2 0 0 7 )

非対称情報下における共通の借手と最適箕付契約（宇恵） 37 

4 

それでは，非対称情報の下，非協調的な銀行が

2

うすると，銀行

j

L

( j =  1 ,   2 ) 4 .  

2

1

問題

( p l )

max  p [ r . 1 ― c ( L 1 ) ]  +  ( 1  ‑ p )

c ( l 1 ) ]

Vl 

s u b j e c t  t o  

f l ( h  +  L 2 )  ‑

. 1   + r . 2 ) 2 : :  ( l ( l  1  +  l 2 )  ‑(r1+r2)  f l ( h  +  h) ‑( r . 1   +  r . 2 ) 2 : :  f l ( l 1  +  h) 

f 1   +  r . 2 )   0 ( l 1  +  l 2 )  

' f 1 +

2 ) 2 : :O ( L l  +  L 2 )  

1+  r . 2 )   O ( l 1  +  l 2 )  

1+r2)2 : :   O ( L 1  +  l 2 )  

r . 1

2 ) Q(h 

1

2 : :

O ( l 1  +  l 2 )  

2 ) 2 : :

{ 1 0 )  

（ 起 C ) ( I Q 1 )  

（応）

（ 冗 1 )

（区~c)

（冗り

最初の

4

2

6

(K

E Q ̲ C )

r . 1+ r . 2 ,   R

2

(K

2 )

と等しいことに注意しよう．

新たに加わった誘因両立制約

(K

g

1

Q

1

2

4一般に，複数プリンシパルのスクリーニング問題においては，表明原理が成り立たなくなる可能性のあることが 知られている．ただし，

Martimortand S t o l e  ( 2 0 0 1 a )

2

( p u r e ‑ s t r a t e g yd i r e c t   e q u i l i b r i a  with complements)

複数プリンシパルのスクリーニング問題において表明原理が成立しないことを示す例については，

Martimo  r t  

and S t o l e   ( 2 0 0 2 )

( 2 0 0 3 )

8

3 8  

同様に，銀行 1 の契約を所与としたときの銀行 2 の問題は次のようになる．

問題

max  p [ r . 2 ― c ( I 2 ) ]  +  ( 1  ‑ p ) [ ' f 2  ‑c ( I 2 ) ]  

v2 

s u b j e c t  t o （匝），（茫），（匹汎（的 C ) and 

! l . ( h  +  h) ‑( r 1  +  r2)~ f l . ( h  +  I 2 )  ‑( r . 1

2 ) B ( l 1  +  I 2 )  ‑

f 1 ＋デ 2 )

B ( I 1  +  I 2 )  ‑

1  +  r 2 )  

( 1 1 )  

(K

（

I C 2 )  

もしも新たに加わった誘因両立制約が有効でなければ，各銀行の問題は協調・非対称情報の ケースの制約式と同じになり，分配スケジュールを適当に調整することによって協調・非対称 情報のケースのときの最適契約を実現することができる．この点に注意しながら，各銀行の問 題を順に解くことにしよう．

ステップ 1 ：誘因両立制約 ( I Q j ) およぴ（ I c j ) を満たす契約は，単調性 i j こ L j を満たす．

（証明）誘因両立制約 ( I Q j ) および（冗り）より，

凱 ー l j ) 戸乃ーら狂（し一 L j )

となる．この不等式と仮定 8 >  f l . より， I j こ L j が成立することがわかる． （証了）

ステップ 2: （囮）の右辺の方が（冗州の右辺よりも大きい．

（証明） （厄）の右辺から（冗門の右辺を引いた値は，

{ B ( h  +  l 2 )  ‑(r1+

2 ) }‑{ B ( I 1  +  I 2 )  ‑( r 1

2 ) } =  8 ( l 2  ‑I 2 )  ‑( r 2  ‑r 2 )  

となり，この値は ( 1 2 ) より非負となる． （証了）

ステップ 3 : （ I C 2 ) の右辺の方が (K ヂ）の右辺よりも大きい．

（証明） （囮）の右辺から（冗門の右辺を引いた値は，

{ B ( I 1  +  I 2 )   ‑ （ テ 1+E2)

O ( L 1  + L 2 )  ‑ （ E l  +E2)} 

6 ( I 1  ‑ L 1 )  ‑ （ f 1  ‑ ' f . 1 )   となり，この値は { 1 2 ) より非負となる． （証了）

( 1 2 )  

ステップ 4:制約式（冗州ぉよび（区ヂ）を満たす契約は，タイプ 0 の参加制約（酉ヂ）を満 たす（よって制約式（丙ヂ）を無視できる）．

（証明）制約式 ( I C

）および（ ￡QC) より，

0 ( h  +I2)‑

こ 0 ( h+ L 2 )  ‑

E 1  +E2) 

~

f l . { I 1   +  I 2 )  ‑( r 1  +  r 2 )  

~o

非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約（宇恵）

3 9  

となる．よって（百ヂ）が成立する． （証了）

ステップ

5:

0

（証明）仮に最適解は（冗や）を厳密な不等号で満たすと仮定してみよう．ここでもしも最適 解において（訳ヂ）が等号で成立するならば，

o 

=  O ( l 1  +  l 2 )  

2 )>  O ( I i  +  I 2 )  ‑( r . 1   +  r.2)~ ! l . ( h  +  h) ‑( r . 1   +  r . 2 )  

となり，タイプ

0

2 C )

j

（鯰）および（鴎）の右辺の値を小さくするので（起

C )

( ! Q j )

2

3

: j )

j )

j

(K

ステップ

6 :

i jこL j

( I C C )

C )

も満たされる．

（証明）制約式（冗や）が等号で満たされるので，

（

r1+

2 )‑( r . 1   +  r . 2 )  ‑f l . {  ( l 1  +  l 2 )  ‑< I 1  +  I 2 ) }  

=  O { ( l 1  +  l 2 )  ‑< I 1  +  h ) }  ‑! l . { ( l 1  +  l 2 )  ‑( I i   +  I 2 ) }  

＝ 

△ 0 {   ( l 1   ‑I i ) +  ( l 2  ‑I 2 ) }  

となる．単調性およぴ△

0>0

(K

ステップ

7:

1 6

( p j )

6

5

( j =  1 ,  2 )

( p l )

丙 十 和 ＝ （

E 1  

B ( l 1+  l 2 )  ‑B ( h  +  l 2 )   r 1  +  r 2  

f l . ( h  +  l 2 )  

! : 1   +r2  ~(r1 +  r 2 )  +  f l . ( h + し ) ‑ f l . ( l 1+  I 2 )  

デ1+ 〒2~ （こ1+〒

2 )+  0 ( 1 1  +  I 2 )  ‑0 ( h  +  I 2 )   h

であり，他方，問題 (p2)に関しては，

（冠'),（即

0 ' ) and 

r . 1   +  r . 2  

( r . 1 +

2 )

Q ( h  + L 2 )  ‑Q(h + i 2 )   ' f 1 + ' f 2   ~( r1 +  r . 2 )  +  0 ( l 1  +  l 2 )  ‑0 ( l 1  +  I 2 )  

（冠＇）

（匹 C ' )

（邸）

（厄）

( m 1 )  

（起り

（悶）

4 0  

L 2 こ i 2 ( m 2 )   で あ る 問 題 ( p j ) において制約式が以上の 5 本であるならば，丙と

を同じだけ増やすこ

とができる．そのような変化は制約式（区ヂ＇）の左辺を大きくする一方，この制約式を除くす べての制約式に影蓉を与えないため，最適解においては（区 2 C ' ) は等号で成立する．よって，

等号で成立する（区ヂ＇）と（冗ゃ')の 2 式より，

を得る．

丙 ＋

r 2 =  O ( l 1   +  l2) —• O(I1 +  I 2 )   r . 1  

r . 2   =  f l . C I 1  

I 2 )  

ステップ 8 : （記 ' 1 ) と（冗立）はいずれも最適解において等号で成立する．

（証明）（冠 )の右辺から（冗 ' 1 ) の右辺を引いた値は，

O ( l 2  ‑I 2 )  ‑

2

C' 

となり，この値は ( 1 2 ) より非負となる．よって，（記 ' 1 ) と ( I c )の 2 式より，

丙 十 和 $

( r . 1

2 )

0 ( l i  

l 2 )  ‑0 { I l  

h) 

$  ( r . 1  

r . 2 )  

O ( l 1  

l 2 )  ‑O ( I t  

I 2 )

2

となることから，（冗 ' 1 ) は最適解において等号で成立する． したがって，

丙ー

r . 1 =  O ( l 1  ‑I 1 )  

を得る．同様に，（冗 C ' ) の右辺から（冗立）の右辺を引いた値は，

O ( l 1

I i ) ‑

C' 

となり，この値は ( 1 2 ) より非負となる．よって，（冗；）と（冗）の 2 式より，

丙 ＋ デ

2$

r . 2 )

O ( l 1  

l 2 )  ‑O ( l 1  

$  ( r . 1  

r . 2 )  

O ( l 1  

l 2 )  ‑O ( I t  

I 2 )

2

となることから，（茫 ' 2 ) もまた最適解において等号で成立する． したがって，

r 2  ‑r . 2   =  O ( l 2  ‑I 2 )   を得る． （証了）

（好 )

（匹 C " )

( 1 3 )  

（瞑')

( 1 4 )  

（囮）

非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約（宇恵）

4 1  

ステップ

9:

まず，等式（

me")

r . 1

( 1 0 )

2

1

問題

( p l ' )

max p ( ‑ r . 2

f l ( l i

I 2 )  ‑c ( I i ) ]  

( 1  ‑P )

2

0 ( 1 1  

1 2 )

O ( I i

I 2 )  ‑c ( l 1 ) ]   ( 1 5 )  

Vl 

s u b j e c t  t o

and( m i )  

と な る 他 方 ， 等 式

( I C C' )

2 C' )

( 1 1 )

1

2

問題 (p2')

m

p [ ‑ r . 1 丑 a 1

1‑p

I

0 ( h

c ( l 2 ) ] ( 1 6 )   s u b j e c t  t o

and ( m 2 )  

となる．

ステップ

10:

( m j )

( p j '

( j =  1 ,  2 )

{ a ; , ^{r . ; ) ,   ( l ;}

c '

Q - — • ^1‑p  0 p  c '

0

によって与えられる． したがって，最適貸付額は，

F  =L;=L; 

f

; i

( 1 7 }   ( 1 8 }  

( 1 9 )   ( 2 0 )  

LC< l J b   ‑ J b   ‑ c  

<  l  =  l 

( m j )

5C(•) の厳密な凸性により目的関数 (15) および (16) が厳密な凹関数となること．境界値の仮定 (c'(O)

=  1

c ' ( f ) =  +oo)

Q 

0 >  1 

が満たされるものと仮定すれば．最適貸付額は一意で

( 0 , [ ]

42  関西大学商学論集 第53巻第5号 (2008年12月）

ステップ

1 1

( K i )

(K

( j =  ^{1 ,  2 )}

( r . ;

ぢ＝鈎

可＝罰—じ）＋的

そうすると，この最適返済額は

( K i )

( 2 1 )   ( 2 2 )  

それでは，上の結果の持つ含意について検討しよう．最適契約は次のような特徴を持つこと がわかる．第

1

( 1 8 )

0

( l =l 

=h 

( 1 7 )

Q

(lfb>lC

l i  

第

2

1 ) , { 1 9 ) ,   ( 2 0 ) ,   { 2 1 )

{ 2 2 )

旦＝

f l . ( l i

=  0  ( 2 3 )  

万＝

0

I ; )‑[ O ( I ;  ‑I i )

i

=2 △ O l  

_{( 2 4 )}  

となる．タイプ

0

f l .

0

さもなければ各銀行は，タイプ

0

0

2 4 )

2

0 I c

I C

L f b

この結果もまた，協調・非対称情報のケースと同じである．

6ただし，この結果は，企業（エージェント）のタイプが 2種類であるという仮定に依存している．この点に関 しては，伊藤 (2003)第8章を参照

非対称情報下における共通の借手と最適貸付契約（宇恵） 43 

5 結 論

本稿では，

Martimortand S t o l e   ( 2 0 0 1 a )

( 2 0 0 3 )

8

二つの銀行が，私的情報を有する

1

2

2

（ファーストベストの解）と 2行が非対称情報下で協調行動をとる場合の最適契約（協調・非 対称情報のケースの解）の二つをベンチマークとし，非協調・非対称情報下で導き出された最 適契約を評価した．その結果，非協調・非対称情報下の最適契約は次のような特徴を持つこと が明らかとなった．

第

1

2

は，協調・非対称情報のケースに比して相対的に，新たな非効率性は生じない．

第

2

さもなければ各銀行は，効率的なタイプに正直に自分のタイプを申告させることができないた めである．この留保効用を上回る部分は効率的なタイプの私的情報に起因する情報レントであ るこの情報レントを節約するため，非効率的なタイプの企業に対する貸付額は，そのファー ストベストの貸付額を下回ることとなる．

本稿の分析結果は，企業のタイプが

2

参考文献

[ 1 ]   B o l t o n ,  P .  and D e w a t r i p o n t ,  M. ( 2 0 0 5 ) ,  C o n t r a c t  T h e o r y .  Cambridge, MA: The MIT  P r e s s .  

[ 2 ]   M a r t i m o r t ,  D. and S t o l e ,   L .   (2001a),  "Common Agency E q u i l i b r i a  with D i s c r e t e  

4 4  

Mechanisms and D i s c r e t e  T y p e s , "  C E S i f o  W o r k i n g  Paper S e r i e s  N o .  5 7 2 .  

[ 3 ]   M a r t i m o r t ,  D .  and S t o l e ,  L .  ( 2 0 0 1 b ) ,  " C o n t r a c t u a l  E x t e r n a l i t i e s  and Common Agency  E q u i l i b r i a , "   C E S i f o  Working Paper S e r i e s  N o .  5 8 1 .  

[ 4 ]   M a r t i m o r t ,  D .  and S t o l e ,  L .   ( 2 0 0 2 ) ,  "The R e v e l a t i o n  and D e l e g a t i o n  P r i n c i p l e s  i n   Common Agency Games," E c o n o m e t r i c a .  7 0 :   1 6 5 9  ‑1 6 7 3 .  

[ 5 ]

( 2 0 0 3 ) ,

[ 6 ]

( 2 0 0 7 ) ,

5 2

1 • 2 

号合併号，

1 5‑2 8

[ 7 ]

( 2 0 0 8 ) ,

5 3

4

3 3

‑4 4