安定性

システム工学 I 第 12 回

安定性

安定性 (1)

「安定」という言葉の意味は (大辞林 第 3 版)・ ・ ・

• 落ち着いて変動の少ないこと

• ある系が外からの作用により微小な変化を与 えられても, もとの状態からのずれが一定の 範囲に収まるような状態

システム工学における「安定」は第二の意味に近い

安定性 (2)

JIS Z8116 自動制御用語–一般 では・ ・ ・

安定性: 系の状態が, 何らかの原因で一

時的に平衡状態又は定常状態からはず

れても, その原因がなくなれば, もとの

平衡状態又は定常状態に復帰するよう

な特性.

安定性 (3)

• 安定性に関する議論をする際には, 内部状態 に着目する場合と, 入出力関係に着目する場 合がある.

• 対象となるシステムは時不変で因果的である

ものと仮定するが, 非線形系を含む形で定義

を述べる.

入出力関係から見た安定性 (1)

• システムの入出力関係が y(t) = S [u(t)] と いう形で与えられているものとする. u(t) ∈ R ^m , y(t) ∈ R ^p とする. 作用素 S [·] は時不変 で因果的であると仮定するが, 線形とは限ら ない. また, 初期値は無視できると仮定する.

• 具体例としては, 初期値が零の線形時不変シ

ステムを考えればよい.

入出力関係から見た安定性 (2)

• ∀M > 0, ∀t ≥ 0, ku(t)k < M となるとき, 信 号 u は有界であるという.

• 時刻 t における信号の値を問題にしているわ

けではないときに, 「信号 u 」などといった

書き方をすることがある.

入出力関係から見た安定性 (3)

• 複素平面の部分集合 {z ∈ C : Re z < 0} を (開) 左半平面という.

• 複素平面の部分集合 {z ∈ C : Re z > 0} を (開) 右半平面という.

• この講義では, {z ∈ C : Re z ≥ 0} (右半平面

と虚軸の和集合) を閉右半平面という.

入出力関係から見た安定性 (4)

• y(t) = S[u(t)] という入出力関係を持つ因果 的なシステムが, u が有界なら y も有界とい う性質を持つとき, このシステムは BIBO 安 定 (Bounded Input Bounded Output Stable) という.

• 伝達関数 (行列) で記述されたシステムが BIBO

安定であるための条件を考える.

入出力関係から見た安定性 (5)

• 以下では, 伝達関数 G(s)(あるいは G(s)) に よって定められたシステムが BIBO 安定であ ることを, 「G(s)(あるいは G(s)) は BIBO 安 定である」という.

• Laplace 変換 を L[ ], 逆 Laplace 変換を

L

[ ] であらわす. また, U (s) = L[u(t)],

Y (s) = L[ y (t)] とする.

入出力関係から見た安定性 (6)

• まず 1 入力 1 出力系: Y (s) = G(s)U(s) を取 り扱う. G(s) はプロパーな有理関数とする.

• G(s) のインパルス応答 g(t) は Laplace 逆変 換によって得られる. これは指数関数と t の 多項式の組み合わせである.

• y(t) = Z t

0

g(t − τ )u(τ )dτ である.

入出力関係から見た安定性 (7)

• 多項式 p(s) と q(s) の最大公約多項式が 1 で あるとき, p(s) と q(s) は既約であるという.

• 以下では, 伝達関数および伝達関数行列の各

要素の分母と分子は既約であると仮定する.

入出力関係から見た安定性 (8)

• 多項式 p(s) に対し, p(s) = 0 の解 (根) を

p(s) の零点 というのであった. また, G(s) =

p(s)/q(s) に対し, p(s) の零点を G(s) の零点,

q(s) の零点を G(s) の極と言うのであった.

入出力関係から見た安定性 (9)

• プロパーな G(s) が BIBO 安定であるための 必要十分条件は, G(s) のすべての極が左半平 面にあることである.

⊲

G(s)

G(s)

BIBO

⊲

G(s)

G(s)

BIBO

G(s)

∀t, |u(t)| < M

.

|y(t)| ≤

R t

0 g(t − τ )u(τ )dτ

≤ M R t

0 |g(t−τ )|dτ

.

, R t

0 |g(t − τ )|dτ = R t

0 |g(τ )|dτ

, g(t)

t → ∞

t

, R t

0

R t

0 |g(τ )|dτ ≤ R

0

R t

0 |g(τ )|dτ < ∞

.

G(s)

BIBO

.

G(s)

• G(s)

,

t → ∞

, G(s)

BIBO

.

.

• G(s)

,

, t

,

G(s)

BIBO

.

入出力関係から見た安定性 (12)

• 次に伝達関数行列 G(s) = (G ij (s)) 1≤i≤p,1≤j≤m

を考える. ただし, すべての i, j に対し G ij (s) はプロパーな有理関数であると仮定する (G ij (s) = n ij (s)/d ij (s) とする).

• G(s) が BIBO 安定であるための必要十分条

件は, すべての G ij (s) が BIBO 安定であるこ

とである.

G ij (s)

BIBO

BIBO

,

G ₁₁ (s)

BIBO

.

u ₁ (t)

, u ₁ (t)

L

[G ₁₁ (s)U ₁ (s)]

, u(s) = (u 1 (s), 0, . . . , 0) ^T

, U ₁ (s) =

L[u ₁ (t)]

, u(s)

, L

[G(s)u(U )] =

L

[G ₁₁ (s)U ₁ (s)]

,

G(s)

BIBO

.

すべての

G ij (s)

BIBO

ku(t)k

,

M

と

, ∀j, |u _j (t)| < M

.

, |u(t)| < M

, ∀i, j, ∃M ij > 0,

L

[G ij (s)U (s)]

< M ij U

.

, M = max i,j {M ij }

, ∀i, |y i (t)| =

P m

j=1 G _ij (s)U _j (s)

≤ P m

j=1 |G _ij (s)U _j (s)| < mM U .

G(s)

BIBO

.

入出力関係から見た安定性 (15)

G(s) が BIBO 安定であるための必要十分条件 (∀i, j, G ij (s) の極が閉右半平面にない) は, 次のよ うにも言い換えられる:

• {d ij (s) : 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ m} の最小公倍 多項式が閉右半平面に零点を持たないこと

• G(s) が閉右半平面に伝達極を持たないこと

安定性判別法 (1)

• BIBO 安定性の判定のためには, 伝達関数行 列の分母の最小公倍多項式の零点をすべて求 めれば良かった.

• 今日ではコンピュータによって根を求めるこ

とは簡単であるが, 古典制御が発達した 20 世

紀前半にはコンピュータなどなかった.

安定性判別法 (2)

• 5 次以上の方程式は代数的に解けず, コンピ

ュータがなければ高次多項式の零点を精度良

く求めることは難しい. そこで, 手計算で高

次方程式の (閉) 右半平面に零点の有無を判

定する方法や, (実験などで得られる) システ

ムの周波数応答の波形から安定性を判定する

方法が発達した.

安定性判別法 (3)

• 今日では, そのような手法の価値は低下して

いるが, 前者には (係数が有理数であれば) 数

値計算の影響を受けないという長所があり,

後者には実験データから安定性の判定ができ

るという長所があるので, この講義でも紹介

する.

Routh の方法 (1)

• Routh の方法による安定性判別について述べ

る. d(s) = a 0 s ⁿ +a 1 s ⁿ⁻¹ · · ·+ a n を, 伝達関数 行列 G(s) の各要素の分母の最小公倍多項式 とする. d(s) の係数は実数で, a 0 6= 0 とする.

• d(s) を使って G(s) の BIBO 安定性を判定す

るためには準備が必要.

• a ₀ < 0

d(s)

−1

, a ₀ > 0

.

• d(s)

, d(s) = a ₀ Q k

i=1 (s + β _i )(s + ¯ β _i ) Q n

i=k+1 (s + α _i )

(β i

, α i

), β i

, α _i

. (s + β _i )(s + ¯ β _i ) = s ² + 2Reβ i + |β i | ²

, d(s)

.

•

, d(s)

, d(s)

.

Routh の方法 (3)

• 以上により, d(s) の係数にひとつでも零以下

(零を含む) のものがあれば, G(s) は BIBO 安

定でないことがわかった.

• 続いて, d(s) のすべての係数が正の場合に (こ

の場合には G(s) の BIBO 安定性の判定はま

だできていない), Routh 表と呼ばれる表を

作って, G (s) の BIBO 安定性を判定する.

Routh

:

1

d(s)

n

, n − 2

, n − 4

, . . .

1

, n − 1

, n − 3

, n − 5

, . . .

2

2

(

2

1

,

).

q

.

a ₀ a ₂ a ₄ · · ·

a ₁ a ₃ a ₅ · · · ⇒ x _1,1 x _1,2 · · · x _1,q

x _2,1 x _2,2 · · · x _2,q

,

.

Routh

:

Routh

k

(k ≥ 2)

,

.

x _1,1 x _1,2 · · · x _1,q

· · · · · · · · · · · · x _k,1 x _k,2 · · · x _1,q

第

k + 1

, 1 ≤ j < q

, x _k+1,j =

− 1 x _k,1 det

x _k−1,1 x _k−1,j+1 x _k,1 x _k,j+1

とする

.

, x _k+1,q =

0

.

Routh

:

•

, 2

1

.

•

Routh

1

,

p(s)

, p(s)

,

G(s)

BIBO

.

•

.

.

Routh

:

• Routh

.

•

,

3

4

q

.

•

,

2j + 3

2j + 4

q − j

q

(j ≥ 0).

,

,

2(j + 1) + 3

2(j + 1) + 4

q − j − 1

q

. 2

,

.

Scilab

-->s=poly(0,"s");

-->p=1+s+s^2+s^3+s^4+s^5;

-->roots(p) ans =

0.5 + 0.8660254i 0.5 - 0.8660254i - 1.

- 0.5 + 0.8660254i

- 0.5 - 0.8660254i

-->routh_t(p) ans =

1. 1. 1.

1. 1. 1.

4. 2. 0.

0.5 1. 0.

- 6. 0. 0.

1. 0. 0.

第

5

1

p(s) = 0

.

フィードバックシステムの安定条件 (1)

以下のようなフィードバックシステムを考える.

+

−

+ + G

(s)

G

(s) u

u

e

e

y

y

G 1 (s)G 2 (s) をこのシステムの一巡伝達関数という.

先の図で加算の部分に + 符号と − 符号が (不自然 に) 混在しているのは, 制御理論でよく用いられる, 以下のフィードバックシステムの安定条件に関す る記述との整合性を取るため.

+

−

G(s)

u

y

フィードバックシステムの安定条件 (3)

• u 1 と u 2 は外部入力, e 1 と e 2 はサブシステム G ₁ (s), G ₂ (s) への入力, y ₁ と y ₂ はサブシステ ム G 1 (s), G 2 (s) からの出力である.

• G 1 (s), G 2 (s) はプロパーな伝達関数とする.

• 前述のフィードバックシステム意味を持つた

めの条件を考える.

フィードバックシステムの安定条件 (4)

• L[u 1 (t)] = U 1 (s) とする. 他も同様.

• E 1 (s) = U 1 (s)−Y 2 (s), E 2 (s) = U 2 (s)+Y 1 (s), Y ₁ (s) = G ₁ (s)E ₁ (s), Y ₂ (s) = G ₂ (s)E ₂ (s) だ から, これらをまとめると,

Y 1 (s) = G 1 (s)U 1 (s) − G 1 (s)Y 2 (s),

Y ₂ (s) = G ₂ (s)U ₂ (s) + G ₂ (s)Y ₁ (s).

フィードバックシステムの安定条件 (5)

• 1 G 1 (s)

−G ₂ (s) 1

! Y 1 (s) Y ₂ (s)

!

= G 1 (s)U 1 (s) G ₂ (s)U ₂ (s)

!

が (Y ₁ (s), Y ₂ (s)) について解け, (U 1 (s), U ₂ (s))

から (Y 1 (s), Y 2 (s)) への伝達関数行列がプロ

パーになるようにしたいのであるが, これは

いつでも可能であるとは限らない.

•

p(s)

deg p(s)

G

(s) =

= D

+

, deg n

(s) < deg d

(s), d

(i = 1, 2). Y

(s)

Y

(s)

!

= 1 G

(s)

−G

(s) 1

!

U

(s) U

(s)

!

なので,

1 G

(s)

−G

(s) 1

!

がプロパーにならなければならない.

• 1 G

(s)

−G

(s) 1

!

= 1

1 + G

(s)G

(s)

1 −G

(s) G

(s) 1

!

だ か ら,

1 G

(s)

−G

(s) 1

!

が プ ロ パ ー で あ る た め に は

1

1

1 + G

(s)G

(s) = 1

1 + (D

+

)(D

+

)

= d

(s)d

(s)

d

(s)d

(s) + (D

d

(s) + n

(s))(D

d

(s) + n

(s))

•

D

D

6= −1

D

D

= −1

•

1 G

(s)

−G

(s) 1

!

がプロパーであるための必要 十分条件は, 1 +

D

D

6= 0

フィードバックシステムの安定条件 (8)

• 先に述べたフィードバックシステムにおいて, G i (s) = D i + ⁿ _d

_(s) ^(s) , deg n ⁰ _i (s) < deg d i (s), d i

はモニックとしたとき (i = 1, 2), 1 + D 1 D 2 6=

0 であれば, このフィードバックシステムは

well-posed であるという.

フィードバックシステムの安定条件 (9)

• 上述のように, 先に述べたフィードバックシ ステムにおいて, 1 G 1 (s)

−G 2 (s) 1

!

が逆行

列を持ち, その逆行列がプロパーな伝達関数

行列になるための必要十分条件は, そのフィー

ドバックシステムが well-posed であることで

ある.

•

,

1 G ₁ (s)

−G ₂ (s) 1

が逆行列を 持つ

,

1 + G ₁ (s)G ₂ (s) 6= 0

,

well-posed

.

,

.

•

, well-posed

1 − D ₁ D ₂ 6= 0

.

フィードバックシステムの安定条件 (11)

• G i (s) = ⁿ _d

^(s) _(s) (i = 1, 2) とし, 多項式 δ(s) を δ(s) = d 1 (s)d 2 (s) + n 1 (s)n 2 (s) と定義す ると・ ・ ・

1 G ₁ (s)

−G 2 (s) 1

=

d

(s)d

(s)

δ(s) − ⁿ

^(s)d _δ(s)

^(s)

n

(s)d

(s) δ(s)

d

(s)d

(s) δ(s)

!

フィードバックシステムの安定条件 (12)

(U ₁ , U ₂ ) ^T と (Y ₁ , Y ₂ ) ^T の関係は次のようになる.

Y 1 (s) Y 2 (s)

!

=









n ₁ (s)d ₂ (s)

δ(s) − n ₁ (s)n ₂ (s) δ(s) n 1 (s)n 2 (s)

δ(s)

d 1 (s)n 2 (s) δ(s)









U 1 (s) U 2 (s)

!

フィードバックシステムの安定条件 (13)

• よって, well-posed なフィードバックシステ ムが BIBO 安定であるための必要十分条件は, δ(s) の零点がすべて左半平面にあること.

• 次に, 複素平面における偏角の原理について

述べる. C : z = z(t) (a ≤ t ≤ b) を複素平面

でパラメータ表示された単一閉曲線とする.

偏角の原理 z は複素数, 関数 f (z) は z の有理関数 で, 閉曲線 C 上には極および零点を持たず, C の内 部に, 重複度も含めて, Z 個の零点と, P 個の極を 持つものとする. f (z(t)) の偏角を t に関して連続 に変化するように調整したものを θ(z(t)) とすると,

θ(z(b)) − θ(z(a))

2π = Z − P となる. すなわち, f に

よる閉曲線 C の像は, 原点を通らず, 原点のまわり

を反時計まわりに Z − P 回まわる閉曲線である.

フィードバックシステムの安定条件 (15)

• 複素解析では正に向き付けられた曲線を考え

るのであるが, システム工学では, 虚軸を −R

から +R まで移動し, 続いて閉右半平面を時

計回りに半周する曲線の R → ∞ とした極限

を考える. この曲線を C R とする. 曲線が負

に向き付けられていることに注意.

フィードバックシステムの安定条件 (16)

• C R を使う目的は, 偏角の原理を使って δ(s) の

閉右半平面における零点を調べることなのだ

が, δ(s) が虚軸上に零点を持つと偏角の原理

が使えない. そこで, 虚軸上に δ(s) の零点が

ある場合は, 経路の一部を, その零点の左側

を通過する小さな半円で置き換える (次ペー

ジ図).

正の向きの曲線

Re Im

0

R

曲線C 曲線

C

複素解析ではこちら システム工学ではこちら

フィードバックシステムの安定条件 (18)

• z(t) が C R 上を 1 周したときの δ(z(t)) の軌跡

を考える. δ(s) が閉右半平面に零点を持てば,

偏角の原理により, この軌跡は原点を時計回

りに零点の数だけ回る. よって, フィードバッ

クシステムが BIBO 安定であるための必要十

分条件は, この軌跡が原点を通過せず, かつ

原点をまわらないことである.

フィードバックシステムの安定条件 (19)

• δ(s) が原点を通過しないという条件を付けて

おけば, 虚軸上の極を横切る経路の一部をそ

の経路の左側を通る半円で置き換えるという

操作は不要なのだが, 慣習に合わせて上記の

ように経路を取った.

フィードバックシステムの安定条件 (20)

• 次に, 一巡伝達関数 G 1 (s)G 2 (s) を使って well-

posed なフィードバックシステムが BIBO 安

定性を判定することを考える G i (s) = n i (s)/d i (s) (i = 1, 2) で, これらの分母と分子は既約で あったことを思い出しておく.

• G

(s) と G

(s) のあいだで閉右半平面にある

極と零点が相殺されることはないと仮定する.

フィードバックシステムの安定条件 (21)

• δ(s) = d 1 (s)d 2 (s)(1+G 1 (s)G 2 (s)) であり, 1+

G 1 (s)G 2 (s) を使って BIBO 安定性を判定し たい.

• G 1 (s) と G 2 (s) のあいだで閉右半平面にある

極と零点が相殺されることがなければ, δ(s)

の虚軸上の零点と 1 + G 1 (s)G 2 (s) の虚軸上の

零点は一致することが示せる (後述).

まず

, δ(iω) = 0

1 + G ₁ (iω)G ₂ (iω) = 0

, 1 + G ₁ (iω)G 2 (iω) 6= 0

. δ(s)

, ω

. δ(s) =

d ₁ (s)d ₂ (s)(1 + G ₁ (s)G ₂ (s))

, 1 + G ₁ (iω)G ₂ (iω) 6= 0

, d ₁ (iω)d 2 (iω) = 0

.

,

δ(s) = d ₁ (s)d ₂ (s)+n ₁ (s)n ₂ (s)

, n ₁ (iω)n ₂ (iω) =

0

. (d i (s), n i (s))

(i = 1, 2),

G ₁ (s)

G ₂ (s)

,

.

次に

, 1 + G ₁ (iω)G ₂ (iω) = 0

, δ(iω) = 0

.

,

ω

. ω

, i = 1, 2

D i + ⁿ _d

^(s)

i

(s) , deg n ⁰ _i (s) < deg d i (s)

s = lim ω→∞ iω

, 1 + D ₁ D ₂ = 0

,

テムが

well-posed

.

以上により

, ω

, d ₁ (s)d ₂ (s)

,

d ₁ (iω)d ₂ (iω)

,

δ(iω) = d ₁ (iω)d ₂ (iω)(1 +

G ₁ (iω)G 2 (iω))

δ(iω) = 0

.

フィードバックシステムの安定条件 (24)

• δ(s), (1 + G 1 (s)G 2 (s),G 1 (s)G 2 (s) による曲線 C R の像を, δ(C R ), (1 + G 1 G 2 )(C R ) および (G 1 G 2 )(C R ) と書く.

• d 1 (s)d 2 (s) が閉右半平面に N d 個の零点を持

つと仮定する.

フィードバックシステムの安定条件 (25)

• 上述の結果を使うと, G 1 (s) および G 2 (s) が

プロパーで, フィードバックシステムが well-

posed, G 1 (s) と G 2 (s) のあいだで閉右半平面

における極零相殺がない, という仮定のもと

で, 以下の 3 条件が等価であることがわかる.

フィードバックシステムの安定条件 (26)

• δ(C R ) が原点を通過せず, 原点のまわりを回 らない

• (1 + G 1 G 2 )(C R ) が原点を通過せず, 原点のま わりを反時計回りに N d 周する

• (G 1 G 2 )(C R ) が −1 を通過せず, −1 のまわり

を反時計回りに N d 周する

フィードバックシステムの安定条件 (27)

• 上述の第 3 の条件によってフィードバックシス テムの BIBO 安定性を判定する方法を, Nyquist の安定判別法という.

G ₁ (s)

G ₂ (s)

,

Nyquist

, G ₁ (s)

G ₂ (s)

BIBO

.

計算例 先の図において

, G ₁ (s) = _s+1 ¹ , G ₂ (s) = K(

)

.

G ₁ (s)G ₂ (s) = _s+1 ^K

. G ₁ (s)

, G ₂ (s)

たない

.

, BIBO

は

, _1+s ^K

C _R

−1 + i0

.

Y ₁ (s) Y ₂ (s)

=

1

s+K+1 − _s+K+1 ^K

K s+K+1

K(s+1) s+K+1

! U ₁ (s) U ₂ (s)

だから

,

BIBO

, K > −1

.

δ(s) = d ₁ (s)d ₂ (s)(1 + G ₁ (s)G ₂ (s))

, d ₁ (s)d ₂ (s) = (s + 1)

, δ(C R )

, (G ₁ G ₂ )(C _R )

−1

,

.

, (G 1 G ₂ )(C R )

−1

,

.

0

−1 1

−1.2 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2

0

−0.6

−0.4

−0.2 0.2 0.4 0.6

−0.5

−0.3

−0.1 0.1 0.3 0.5

1e+03

−1.69

1.69

−0.461

0.461

−0.0919

0.0919

−0.0392

0.0392 0.001

K= 1, BIBO安定

0

−1

−1.2−1.1 −0.9 −0.8−0.7−0.6−0.5 −0.4−0.3−0.2−0.1 0.1 0.2 0

−0.6

−0.4

−0.2 0.2 0.4 0.6

−0.5

−0.3

−0.1 0.1 0.3 0.5

1e+03

−0.806 0.806

−0.365 0.365

−0.212 0.212

−0.135 0.135

−0.0823 0.0823

−0.0392 0.0392

0.001

K=−0.99,もう少しでBIBO安定でなくなる

0

−1

−1.6 −1.4 −1.2 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2

0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

1e+03

−0.729 0.729

−0.212 0.212

−0.135 0.135

−0.0823 0.0823

−0.0392 0.0392

0.001

K=−1.5, BIBO安定でない:

参考文献

•

• K. Zhou, Essentials of Robust Control, Prentice Hall, 1998.

•

(編集代表),

•

• M. Mandal and A. Asif, Continuous and Discrete Time Signal

and Systems, Cambridge Unviersity Press, 2007