連続型擬似乱数の生成と変換

(1)

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆実習

B L08(2017-06-12 Mon)

最終更新: Time-stamp: ”2017-06-12 Mon 18:06 JST hig”

今日の目標

(

^区分的

)

一様分布にしたがう連続型確率変数に対応する擬似乱数が生成できる

変換

y = g(x)

のもとでの確率密度関数の変化を計算できる

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L08連続型擬似乱数の生成と変換計算科学☆実習B(2017) 1 / 24

(2)

ランダムウォークの境界条件・偏微分方程式の数値計算

アニメ

http://www.a.math.ryukoku.ac.jp/~hig/course/compsci2_

2013/img/pde-diff.gif

壁に対応する行列の話では

, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

のマス目の図から行列を作る説明したけど

,

マス目じゃなくて推移図

(

^状態の◦^が

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

で

,

その間をつなぐ矢印がある

)

があって

,

それを転置推移行列に直すっていう

,

先週の問題の形で言ったほうがよかったかな

.

反射壁

x = 0, 5

は説明の一貫性から残してるけど無駄

.

^{実質的には状態} 空間

S =

{

1, 2, 3, 4

}

.





1 0 0 0 0 0 0h h 0 0 0 0h 0h0 0 0 0h 0h0 0 0 0h h0 0 0 0 0 0 1





世の中で正しい答としては

,

^{反射壁を表現する}

M

^{は他にも作れるけど}

,

授業で説明したのはこれ

.

L07-Q1

Quiz解答:離散的なランダムウォークの確率の転置推移確率行列

(3)

1 





1

¹₇

0 0 0 0

⁴₇ ¹₇

0 0 0

²₇ ⁴₇ ¹₇

0 0 0

²₇ ⁴₇

0 0 0 0

²₇

1







2 略

L07-Q2 L07-Q3

Quiz^解答:偏微分方程式の条件チェック

u(x, t) = e

⁻^18t

sin(3x).

L08-Q4 L08-Q5

Quiz^解答:大きな転置推移確率行列をかける関数

(4)

ランダムウォークの境界条件・偏微分方程式の数値計算

ソースコード

1:

大きな転置推移確率行列をかける関数

1 i n t m u l t i p l y t r a n s (d o u b l e q [ ] , d o u b l e p [ ] ,i n t m){

2 i n t x ;

3 q [ 0 ] = 7 . 0 / 1 0∗p [ 0 ] + 2 . 0 / 1 0∗p [ 0 + 1 ] ;

4 f o r( x =1; x<m−1; x++){

5 q [ x ] = 3 . 0 / 1 0∗p [ x−1]+5.0/10∗p [ x ] + 2 . 0 / 1 0∗p [ x ] ;

6 }

7 q [ m−1]=3.0/10∗p [ m−2]+8.0/10∗p [ m−1 ] ;

8 r e t u r n 0 ;

9 }

q

の成分ごとに代入していくわけだから

, M

の行に規則性があるかどうか考える

x = 1,

· · ·

, m

−

2

^{は規則的なので}

, for loop

^{で自然に書ける}

. x = 0, m

−

1

は規則から外れているので

,

^{その行の成分を見て}

,

^そのまま書けばいい

.

for(x=0;x<m,x++)

^{みたいに書いていると}

,

^{範囲の端で}

,

^{代入文の右辺に}

p[-1]

^や

p[m]

がでてきておかしいことに気づく

.

(5)

ここまで来たよ

7 ランダムウォークの境界条件・偏微分方程式の数値計算

8 連続型擬似乱数の生成と変換一様乱数の生成

確率変数の変数変換

(6)

連続型擬似乱数の生成と変換一様乱数の生成

(

復習

)

離散型と連続型の確率変数

離散型

:

確率分布

,

確率関数塚田確率統計§3.2 連続型

:

確率密度関数塚田確率統計§3.3

f (r)

得点

r

^確率

f (r) 0 0.0667

1 0.2

2 0.3333

3 0.3

4 0.1

f(r)

-3-2-1123x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p

確率密度関数

f (r)

が大きいほど

,

その値

r

が

でやすい

0

≤

f (r).

f (r)

は

1

を超えることもある

.

(7)

連続型確率変数の母期待値

(

復習

)

母期待値の定義塚田確率統計§3.2,§3.3

離散型確率変数

E[ϕ(X)] =

∑

x

f (x)

·

ϕ(x). f (x):

^確率関数

,

^確率分布

連続型確率変数

E[ϕ(X)] =

∫ ₊_∞

−∞

f (x)

·

ϕ(x) dx. f (x):

^{確率密度関数}

母比率

(

の一種

) P(x

₀ ≤

X

≤

x

₁

) = E[1

_[x₀_≤_X_≤_x₁_]

(X)] =

∫ _x₁

x0

f (x) dx.

全事象の確率

1 = E[1] =

∫ ₊_∞

−∞

f (x) dx.

(8)

連続型確率変数に対応する擬似乱数 例一様分布

U(a, b)

^{塚田確率統計}§4.6

Y

∼

U(0, 1)

の確率密度関数

f (y) =

{

1 (0

≤

y < 1) 0 (

それ以外

)

に対応する擬似乱数

([0,

1)一様乱数

)

は

?

以後しばらく

, Y

^{と書いたら}

Y

∼

U(0, 1).

0.5 1.0 1.5 2.0

y 0.5

1.0 1.5 2.0 p

答

:

double getuniform()

そのもの計算科学☆実習B(2017)L01

(9)

[0, 2)

一様乱数を作るには

?

R

∼

U(a, b)

f

_R

(r)

が与えられたとき

, r = g(y)

でそれにしたがう乱数を作ろう

.

f (r) =

{

? (0

≤

r < 2) 0 (

それ以外

)

1 d o u b l e g e t r a n d o m (d o u b l e y ){

2 d o u b l e r ;

3 r =??? ;

4 r e t u r n r ;

5 }

6 r=g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

12345r 1 2 3 4 5 p

y r

0.31 0.62 0.82 1.64 0.49 0.98 0.04 0.08 0.60 1.20 r = g(y) = ???

考え方

1:

^{グラフ拡大縮小}

f

Y

(y) =

{

1 (0

≤

y < 1) 0 (

^他

)

考え方

2:

母平均値や両端ををあわせる塚田確率統計p.63

(10)

離散型乱数の復習

今までは

, Y

を

int getrandom(double y)

^で

,

離散的な擬似乱数

R

に

‘

^変換

’

^していた

.

R

確率

0 1/2 1 1/6 2 1/3

1 i n t g e t r a n d o m (d o u b l e y ){

2 i n t r ;

3 i f( y<3 / 6 . 0 ){

4 r =0;

5 }e l s e i f( y<( 3 + 1 ) / 6 . 0 ){

6 r =1;

7 }e l s e{

8 r =2;

9 }

10 r e t u r n r ;

11 }

0.5 1.0 1.5 2.0y

1 2

r

y r

0.31 0 0.82 2 0.49 0 0.04 0 0.60 1

g(y) =







0 (0

≤

y < 1/2)

1 (1/2

≤

y < 2/3)

2 (2/3

≤

y < 1)

(11)

[3, 4)

?

f (r) =

{

? (3

≤

r < 4) 0 (

それ以外

)

2 d o u b l e r ;

3 r =??? ;

4 r e t u r n r ;

5 }

6 r=g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

12345r 1 2 3 4 5 p

y r

0.31 3.31 0.82 3.82 0.49 3.49 0.04 3.04 0.60 3.60 r = g(y) = ??? .

考え方

1:

グラフ平行移動

f

_Y

(y) =

{

1 (0

≤

y < 1) 0 (

^他

)

考え方

2:

母平均値や両端ををあわせる

(12)

[2, 5)

?

f (r) =

{1

3

(2

≤

r < 5) 0 (

それ以外

)

12345r 1 2 3 4 5 p

r = g(y) =???

(13)

[1, 2) ∪ [3, 5)

?

f (r) =







1

3

(1

≤

r < 2)

1

3

(3

≤

r < 5)

0 (

それ以外

)

¹

2345r 1 2 3 4 5 p

r = g(y) =???

(14)

g(y)

の設計方法の解釈

1 2 3 4 5y

1 2 r

1 2 3 4 5y

1 2 r

1 2 3 4 5y

1 2 3 4 5 r

1 2 3 4 5y

1 2 3 4 5 r

1 2 3 4 5y

1 2 3 4 5 r

自分の言葉でどうぞ

(15)

ここまで来たよ

7 ランダムウォークの境界条件・偏微分方程式の数値計算

8 連続型擬似乱数の生成と変換一様乱数の生成

確率変数の変数変換

(16)

連続型擬似乱数の生成と変換確率変数の変数変換

確率変数の変数変換

逆の問. g(q), f_Q(q)が与えられたとき,r=g(q)のf_R(r)を求めよう.

L08-Q1

Quiz(確率変数の変換)

あるクッキーマシンの作る正方形のクッキーの面積(生地の量)Qは,次の確率密度関数にしたがう(単位省略).

f_Q(q) = {1

36 (64≤q <100)

0 (他)

クッキーの一辺の長さはR=g(Q) =√

Qで与えられる(単位省略).

1 Qの母平均値と母分散を求めよう.

2 確率P(Q >82)を求めよう.

3 f_R(r)を求めよう.

4 Rの母平均値と母分散を求めよう(2つの方法で).

(17)

Q

の乱数生成は簡単

.

2 d o u b l e r , q ;

3 r=a∗y+b ; /∗ [ 6 4 , 1 0 0 ) 一様乱数 ∗/

4 q=s q r t ( r ) ;

5 r e t u r n q ;

6 }

7 q=g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ; 標本

q r =

√

q

81 9.00

96 9.80

.. . .. .

64 8.00

(18)

R

の確率密度関数

f

R

(r)

は

? I

原理

P (g(a)

≤

R < g(b)) =P(a

≤

Q < b)

∫ _g(b)

g(a)

f

_R

(r) dr =

∫ _b

a

f

_Q

(q) dq

(19)

確率密度関数の変換の原理

+

おぼえ方

r = g(q)

を単調増加な関数とするとき

, f (r) dr

は変数変換しても不変

:

f _R (r) dr = f _Q (q) dq

f

_R

(r) = 1

dr

dq

(q) f

_Q

(q)

(20)

L08-Q2

Quiz(確率変数の変換)

[0, 1)

一様分布に従う連続型確率変数

Q

と

, R = g(Q) = aQ + b

で定まる連続型確率変数

R

^を考える

.

^ただし

, a > 0, b

^{は定数である}

.

1 確率

P (R <

¹₂

a + b)

^{を求めよう}

.

2

R

f

_R

(r)

を求めよう

.

(21)

答

:R = g(Q) = √ Q I

確率密度関数

f

Q

(q) =

{1

36

(64

≤

q < 100) 0 (

^他

)

R = g(Q) =

√

Q

(22)

1 2 3 4 5 y

1 2 3 4 5 r

y 1

2 s

y 1

2 s

g

の傾き大

⇕

f

_R

(r)

小

.

(23)

L08-Q3

Quiz(確率変数の変換)

[0, 1)

一様分布に従う連続型確率変数

Y

^と

, R = g(Y ) = e

^Y ^{で定まる連} 続型確率変数

R

を考える

.

1

E[R

²

]

を求めよう

.

2

R < 2

^{となる確率を求めよう}

.

3

R

^{の確率密度関数}

f

_R

(r)

^{を求めよう}

.

(24)

初夏のプチテスト

(

プログラミング

)

やります

!

2017-06-21

水

3

初夏のプチテスト

(

プログラミング

)

15

^{ピーナッツ}

. (

旧カリキュラムの人は演習の

30

^{ピーナッツ}

/100)

実施方法春のプチテストと同じ非参照非相談プログラミングのテストだけど

90

分フルに使いますチームでなく個人戦です別紙参照出題計画別紙参照

介護等体験などのやむを得ない欠席の方

:

事後に樋口指定の紙と証明書で届を出してくれれば

,

科目の成績計算の分子分母から除きます

.

お知らせ

チューター

/Math

^{ラウンジ月火水木昼}

1-614, 1-612.

樋口オフィスアワー月

6,

金

4.5.