第９回 積分の計算
• 積分の命令
文字x などを含む式をx について積分するときはint, Int という命令を使 用します。使い方の違い、定積分、不定積分、積分の近似値などは以下の例を 見てください。
int( x^3-2*x*sin(x), x);
Int( x^3-2*x*sin(x), x); value(%);
int( x+cos(x), x=0..Pi);
Int( x+cos(x), x=0..Pi); value(%);
int( exp(x^2), x=0..1);
Int( exp(x^2), x=0..1); evalf(%);
この積分を実行するコマンドは部分積分や変数変換などをかなり自動的に行っ てくれますが、計算できる積分でも計算ができないこともあります。そういう 場合のため、変数変換、代入などを意識して計算をすすめることも重要です。
• student パッケージ
with(student): と入力すれば、変数変換などの微積分でよく用いる操作がで きるようになります。
• changevar コマンド 変数変換の命令です。
• subs コマンド
代入(substitution)の命令です。
• intparts コマンド 部分積分の命令です。
• parfrac
convert 命令に用いて、部分分数に変換するときに用います。有理式の積分を
考えるときに有効です。
• assumeコマンド
仮定する(assume)という命令です。仮定の付いている変数にはマークがつき
ます。
練習次の積分を計算してください.
(1) Z 3
1
x√
x2+ 1dx (2) Z
cos4xdx (3) Z
sin6xdx
練習 (1)
Z
sec2xtanxdx を計算せよ.
(2) u = secx という置換と u = tanx という二つの置換の方法で上の積分を計算
しその答えを較べよ.
練習いろいろな方法で次の積分を求め、その答えを確かめてください。
(1)
Z x2tan−1x
(1 +x2)2 dx (2) Z
xln(x√
1 +x2)dx (3)
Z
x2e−xdx (4)
Z 3
1
x2e−xdx (5)
Z
exsinxdx (6)
Z x8+ 2x−1 (x−1)3(x2+ 3)2dx (7)
Z x
x6+ 1dx (8)
Z tan√ x 2√
x dx (9)
Z
sin4xcos2xdx (10) Z 3
−1
x3+x
√1 +x2dx (11)
Z π/4
π/4
ptan2x+ 1dx
積分の計算は微分の逆、つまり微分された形から元の関数を探り当てる作業です.
変数 x と x の関数 y(x), その微分 y0(x) の関係式を微分方程式といいます. 微分方 程式を満たすy(x) を求める作業を微分方程式を解く, といい,積分同様にいろいろな 計算の技術があります.
微分方程式
dy
dx =f(x, y) を解く命令の形は
dsolve( diff(y(x),x) = f(x, y(x)), y(x) );
となります. 微分方程式を解くと不定積分に対応する定数の任意性が残ります. 多く の場合初期条件を付けて求めることがあります.
dy
dx =f(x, y), y(x0) = y0 という問題は
dsolve( {diff(y(x),x) = f(x, y(x)), y(x0)=y0}, y(x) );
という形になります.
微分方程式の解法についてはいろいろなものが知られていますが, 基本的な方法に
ついては Maple に組み込まれています. ですが、解法に沿って変形の方法などを誘
導していくことによって多くのものが解けるようになります. そのための第一段階が 不定積分の計算ということになります.
微分方程式としての問題は
解の存在性, 解の一意性
の議論です. これが数学として厄介なところで, これが保証されれば無理矢理求めれ ば良いので,様々な可能性が生まれます. その次は
解の安定性, 初期値に対する鋭敏さ というように解の振る舞いが問題になります.
初期値の変化に伴う解の変化や, 各点で関数の変化を与えて, それを滑らかに繋げ るかどうか,というのが上の問題の視覚化かと思います. 例を参考にしてください.
多くの方程式と同様にほとんど解けそうにない微分方程式も当然あります. そうい う場合には近似計算を元にした計算で解の様子を見ることもできます.
eq := diff(y(t), t) + sin(y(t)^2)=1;
f := dsolve( {eq, y(0)=1}, y(t), numeric);
f(0);
f(0.5);
with(plots):
odeplot(f, [t,y(t)], 0..4);
練習次の微分方程式を解き, 解の図を描いてください.
(1) dy
dx =ex+y (2) dy
dx = xy
x2+y2 (3) dy dx = x
y +yx (4)yy0 = 2y−x (5)xy0 =y+ 3x2 (6)xy0−y = logx
