北海道における河川・流域環境の変遷

(1)

1

．はじめに

複雑に蛇行を繰り返す自然河川を、地形図や空中写真、あるいは航空機から直接見下ろしたことのある人は多いだろう。自然河川を地上から川岸に沿って眺めると、一見複雑に見えた瀬と淵が、よく見ると規則的に、ある一定の間隔で繰り返されていることに気づくはずだ。そして川の中を瀬から淵へ向かって間近に観察すれば、水深、流速、河床礫の堆積構造が連続的に変化しながら、次の瀬まで来るとまたもとの状態に戻っては、同じパターンが繰り返されることを認識するはずである。このように自然河川の地形や景観には、スケールの変化に応じてさまざまな「多様性」が内在する¹^）。しかしそれと同時に、規則性という相反する性質を持ち合わせていることも大きな特徴である。

多様な河川環境は、淡水魚類や水生昆虫などの生息環境でもあり、進化的時間スケールで流域の生物多様性を豊かにし、また維持する役目を負ってきた²^）⁻⁴^）。近年、日本をはじめ世界各地で多く

の河川が直線化され、また何らかの人為改変を加えられ、かつての多様な河川地形は著しく損なわれてきている⁵^）。河川地形の均質化は、間違いなく生物多様性の低下をもたらす一因となってきたはずである。そのことが徐々に河川管理者、河川工学者の間で共通認識となりつつあるのは確かであるが⁶^）、生態学者との間で理解の溝がなかなか埋まらないのが現状のようでもある。

本論文では、まず河川地形の多様性と水生生物の多様性との関係について、サケ科魚類の産卵環境に焦点を当てながら、これまで明らかとなってきた知見を整理した。そして後半では、河川地形の多様性が人間活動による直線化により、これまでどの程度低下してきたのかを定量化する手法を紹介する。そして、その手法に基づいて北海道全域の

1

級・

2

級水系の過去約

50

年間における均質化の状況を解析した。

北海道における河川・流域環境の変遷

−直線化による河川環境の均質化について−

Changes in the Fluvial Morphology of Hokkaido Rivers

−Loss of Geodiversity due to Channelization−

福島路生¹・岩舘知寛²・金子正美³・矢吹哲夫³・亀山哲¹

Michio F

UKUSHIMA

・ Tomohiro I

WADATE

・ Masami K

ANEKO

・

Tetsuo Y

ABUKI

・ Satoshi k

AMEYAMA

（¹独立行政法人国立環境研究所・²北海道大学大学院環境科学院・

3酪農学園大学環境システム学部）

摘要

河川地形の多様度を定量的に測る指標として従来から用いられている屈曲率、また新たに開発した多様度指標YSを用いて、北海道の

1950

_{年代以降の地形変化}（主に直線化）の実態を、旧版地図などの地形図からベクトル化した河川データをもとに把握した。屈曲率の時代変化からは、北海道の

1

_級・

2

級水系のほとんどの河川において直線化された区間が検出された。一般化エントロピーを用いた多様度指標YSは、河川形状の複雑性が増すと増加し、規則性が増すと低下する性質を持つ。河川は本質的にこの

2

つの性質を持ち合わせているため、YS 指標は河川多様度の定量化に適している。

1950

年代以降、YS 指標の著しい低下が認められた河川として、標津川、浜益川、当縁川、沙留川、鷲別川、胆振幌別川などがある。全道的には

1950

_年代から

2000

_{年代にかけて}、河川地形の多様度は平均して

73

%程度低下してきたことが示された。

キーワード：一般化エントロピー^YS、河川地形の多様性、屈曲率、直線化、GIS

(2)

2

．河川地形と水生生物

2

.

1

河川地形の多様性（geodiversity）について 河川の平面形状は大きく分けて直線流路、網状流路、蛇行流路（または屈曲流路）などに分類される⁷^）^,⁸^）。蛇行した流路は一見複雑だが、個々の河道を局所的に見れば、屈曲の間隔（波長）や振幅はほぼ均一であり、正弦波に近似できる地形が繰り返されていることが多い。事実、河川地形学では、蛇行波長が河道幅の単純な増加関数となることが指摘されている⁹^）。因みに、河川屈曲率（sinuosity）は河道沿いに測定した距離を谷間に沿って測定した距離で除した値として定義され、通常その値が

1

.

5

を越えるものを蛇行あるいは蛇行河川と呼んでいる¹⁰^）。

地表斜面を流れる水は本来最大傾斜方向に流れるはずであるが、勾配が緩やかな平野部を流れる河川は、自然状態では網状流路または屈曲流路となり直線には流れない。高山⁷^）は、直線流路が網状流路や蛇行流路に比べて水理学的に不安定である、あるいは流れの乱れがラセン流を発生するとしているが、河川がなぜ屈曲あるいは蛇行するかという物理学的、または数学的な納得のゆく説明はなされていない¹⁰^）^,¹¹^）。

複雑で規則的な平面形状は、同時に複雑で規則的な縦断形状を河川に形成する。河川が蛇行することで縦断形状に生じる、そのような地形のひとつが瀬淵構造である。瀬淵の配置が規則的であることは、その間隔（ひとつの淵から次の淵までの距離）が、やはり河道幅の倍数（

5

倍から

7

倍）となる傾向のあることからも理解できる¹¹^）^,¹²^）。しかし実際は、河畔から河道に取り込まれた倒流木やその他の障害物が河床の局所洗掘を引き起こすため、瀬と淵の間隔はもう少し狭く、かつランダムに配置されるようになる¹³^）。

瀬淵構造などによって河床面に起伏が生じることにより、河川表層水が河床間隙に浸透し、いわゆるハイポレイックゾーン（河床間隙水域）が形成される。ハイポレイックゾーンの存在は実は古くから知られており¹⁴^）⁻¹⁶^）、ピトー管を用いて河床間隙の水圧を測定することで、瀬から淵に移行する付近でほぼ河床鉛直方向に浸透する水流の存在が確認されたのは、今から半世紀も前のことである¹⁴^）。ハイポレイックゾーンでは、河川水、氾濫原間隙水との間で常に水の交換が行われている。それと同時に、有機物・栄養塩類も移動するため、物質のソース・シンク両面の機能を併せ持つ、流域環境の重要な構成要素であると言えよう¹⁷^）。さらに近年、このハ

イポレイックゾーンの空間的規模が、従来考えられていたものとは桁違いに大きい（〜数km）ことや、そこに固有の生物種が生息していることなどが明らかになり注目を集めている¹⁸^）^,¹⁹^）。

2

.

2

河川地形と水生生物の多様性

河川地形の多様性、言い換えると河川地形の不均一性（heterogeneity）が水生生物の多様性を維持していることが、河川生態学者の間で次第に認識されつつある²^）^,³^）^,²⁰^）^,²¹^）。実は、そのことを水生昆虫の研究を通して、はじめて明らかにしたのは日本人の可児藤吉²²^）であった。可児は、複雑かつ規則的に変化する河川の地形（「微棲息場所」）に応じて、出現する水生昆虫の組成が連続的に変化し、多様な生物種を限られた空間の中に育んでいることを明らかにした。さらに、このような微細な生物の生息環境の観察を通して、河川地形をその平面及び縦断形状に基づいて、より大きな空間スケールで分類している。まさに多重空間スケールでの生態学を

1940

年代に世界に先駆けて実践していたのである。

河川地形の構造と河床間隙水に関する研究は、古くから太平洋サケの資源保護に関心の高い北米やロシアで盛んであった¹⁵^）^,²³^）。太平洋サケをはじめサケ科魚類は、河床礫に産卵し、その後数ヶ月を卵と仔魚として礫の中で過ごす。その間の溶存酸素の供給と老廃物の排出の役割を果している河床間隙水の動態とそれを支配する地形構造に関する理解は、サケ資源の保護には欠かせないからである。

Fukushima²⁴^）、Fukushima and Smoker²⁵^）、また Fukushima et al.²⁶^）は、サケ科イトウ属イトウ（Hucho perryi）、サケ科サケ属ベニザケ（Oncorhynchus nerka）、カラフトマス（O. gorbuscha）、サクラマス

（O. masou）の産卵環境を調査し、彼らの産卵床

（卵を埋める場所）の空間配置が瀬淵構造のそれと密接に対応していることを定量的な解析を通して明らかにした。すなわち種によって微妙な違いはあるものの、決まって淵から瀬への移行帯である瀬頭と呼ばれる部分を中心に、彼らは産卵床を設けるのである（図

1

）。

瀬淵構造は河川が屈曲することが原動力となって形成される。またサケ科魚類の多くが瀬淵構造を基本ユニットとして産卵場所の選択をしていることから、「河川の屈曲の激しい部分にサケ科魚類の産卵床がつくられる」のではないかとも考えられる。実際に、GPSで正確に測量したイトウ産卵床と河道形状の位置データとを解析した結果、この仮説の正しいことが明らかにされている²⁷^）

（図

2

A）。地形図あるいは空中写真から読み取れ

(3)

るきわめて大きなスケールの地形情報からでも、イトウの産卵場所がある程度特定できる可能性もあり、絶滅危惧種に指定された本種の保全への応用に期待が持てる。

もうひとつ、サケ科魚類の産卵場所が瀬淵構造という地形条件に規定されていることを裏付ける状況証拠がある（図

2

B）。この図は直線距離にし

て

1

kmほどの河川区間につくられたイトウ産卵床の位置をGPSで、

1998

年と

3

年後の

2001

年とに記録したものである。この

3

_{年間に蛇行のループ} が

1

箇所切断されるなど平面形状は若干変化しているが、瀬淵構造の配置は基本的に変化が無く、その結果、イトウ産卵床の分布にもほとんど変わりがない。まったく同一の地点につくられた産卵床も

5

_{つ存在している}。

可児が水生昆虫で明らかにしたように、淡水魚類の生息環境も、河川地形の多様性と規則性、あるいはそれらの生み出す複雑な水理条件と密接な関係を持っている。さらに言えば、水生生物の多様性を維持するメカニズムとして、河川地形の多様性が重要な機能を果たしているのではないだろうか。

2

.

3

直線化された河川の生態系

20

_{世紀に入り}、農業用水や排水を目的とした明渠化・暗渠化、また水害の防除を目的とした河川改修などを通して世界各地の自然河川がことごとく直線化され、人工的な水路と化した⁵^）^,⁶^）^,¹⁰^）^,²⁸^）⁻³⁰^）。英国イングランドとウェールズでは、

1930

_年から

1980

_{年までの間に総延長約}

8

,

500

kmの河川区間が直線化され、また米国ではほぼ同時期に約

26

,

500

kmが直線化されている。またデンマークでは延べ

880

kmの河道しか自然河川が残されておらず、全体の

98

%の河道でかつて直線化工事が行われてきた⁵^）。日本にはおそらく全国的な統計はないが、例えば北海道の石狩川では

1917

年以降、洪水対策を主な目的とする改修工事によって河道が次々とショートカットされ、現在では

100

km以上も短い総延長

262

kmに短縮されている³¹^）。

河川の直線化は河床勾配と平均流速を増大させ、掃流力を高めることによって河床の低下を引き起こす。河床低下はまた河岸の崩壊をまねき、それによって河川への土砂供給量が増加する³²^）⁻³⁴^）。また河川直線化は侵食・土砂移動プロセスを変化させるだけでなく、栄養塩の流出機構などにも影響を及ぼす³⁵^）⁻³⁷^）。さらに直線化に伴う瀬淵構造の消失、河畔林の消失、河川への太陽光の入射量増大、水温上昇、淡水魚類への餌資源供給量の減少（陸生昆虫など）、淡水魚類相の変化などを通して、流域生態系は大きく改変される³⁸^）⁻⁴¹^）。

3

．多様度指標による河川地形変化の定量化

河川の直線化が、いつどこでどの程度の規模で行われたかを、資料や文献などから把握すること 図 1 北海道及びアラスカ州での調査結果から，サケ

科魚類 4 種の産卵床の配置を模式的に表したも の.（写真提供：阿部幹雄氏）

図 2 A）北海道に生息するイトウは河川を平面的に 見れば，屈曲の激しい区間に選択的に産卵する

（赤丸が産卵床のつくられた地点）．

B）イトウが産卵床をつくる地点は年毎に一部 重複する（黄色の丸印は同一の地点につくられ た産卵床）．それは瀬淵構造の空間的配置が大 きく変動しないためである．

(4)

は通常きわめて困難である²⁹^）。過去から現在までの河川形状の変化を再現する手段として、過去に撮影された空中写真を現在のものと比較するという方法がある⁴²^）⁻⁴⁶^）。また、より低コストで広域的スケールな河川平面形状の時代変化を把握するためには、地形図や旧版地図などを利用する方法もある⁴⁷^）。

一方、このような画像から判読した河川形状について、その多様度を定量化する手法もいくつか考案されている。河川地形学で古くから使われている代表的な指標に、河川の屈曲率がある。また河川地形に限らず、物体の形状の自己相似性を定量化する指標にフラクタル次元（fractal dimension）

がある⁴⁸^）。しかし、自然地形はあくまで統計的に自己相似性を持つだけであり、厳密にはスケールに依存して多様度は変化する。そこでAndrle⁴⁹^）は、スケールごとに変化する屈曲の度合いを角度で表現する指標を用いて、自然地形の多様度を定量化している。

このように、自然地形の多様度指標は決してひとつではないが、形状の「多様度」あるいは「複雑度」の絶対的な定義というものが存在しない以上⁵⁰^）、これらの指標の優劣を議論することの意味は乏しい。本研究では、一般化エントロピーに基づいた多様度指標を用いて、北海道の主要な河川の過去半世紀にわたる形状変化を定量的に評価した。

3

.

1

調査地及びデータ処理

北海道には国が指定した

1

級水系が

13

^、道が指定した

2

_級水系が

213

_存在する⁵¹^）。本研究では、これら

1

級・

2

級水系を合わせた計

226

水系の河川本流を対象とした。これら河川本流の平面形状は、

1950

年代に国土地理院より発行された

1

/

50

,

000

_{旧版地図及び}、現在発行されている同縮尺の地形図（

2000

_{年代の地形図と呼ぶ}）から把握した。

上記の地形図及び旧版地図は、スキャナによって画像ファイルとして取り込んだ後、ERDAS IMAGINE

8

.

5

⁵²^）_{によって投影法を}UTMゾーン

54

_に幾何補正し、Easy Trace ver.

7

⁵³^）_{を用いて河川流路} に対応する画素を自動抽出し、河川のベクトルデータ化を行った。さらに、この河川データ（ライン）はArcGIS

9

.

0

⁵⁴^）を用いて、流程に沿った

10

m 間隔の連続するポイントデータに変換した。このようにして得られた

1950

年代と

2000

年代の河川データセットに対して、各ポイントを中心として上下流に

500

mの距離を隔てた区間の河川屈曲率を、S-PLUS

6

⁵⁵^）を用いてすべての点に対して求めた。その屈曲率の局所的な時代変化を検出するために、ArcGISを用いて

2000

_{年代の河川}

データの各ポイントに対して、空間的に最も近隣に存在する

1950

年代の河川データのポイントを検索し、

2

つのポイントに与えられた屈曲率の差を計算した。

3

.

2

河川多様度指標

YS

本研究では一般化エントロピーを応用した河川多様度指標YSを用いて、河川本流の平面形状の多様度を定量化することにした。YS 指標は以下のように定義される。

まず一般化エントロピーSとして

の式を用いる（対数は常用対数）。

ここでpiは全部でn個ある構成要素のそれぞれが全体に占める比率を示す。このときS は

の条件を満たし、その値が最大値log nとなるのは、すべての構成要素が等しくとなるときである。矢吹⁵⁶^）はこの式を変形した以下の式を考案し、それを完全均等、平等な状態からの隔たりを示す指数として提唱した。

このYS 指標は、Theil Entropy⁵⁷^）を次式のように標準化した形になっている（Appendix）。

エントロピーSが大きいほどYS指標は小さくなり、S=log n、つまり（i=

1

,

2

, ..., n）のときに最小値

0

_となる。

各構成要素の比率 piは、河川のラインを流程に沿って等間隔にn分割したときの各セグメントの両端間の直線距離をliととり、以下のように定義した（図

3

）。

ただし、である。

このYS 指標は、各セグメントが等しい直線距離をもつとき、すなわち同じ形を繰り返すときに

0

となる。例えば、完全に直線な河川ではもちろんのこと、セグメント長と同調した完全に規則的な蛇行を繰り返す河川でもYS=

0

となる。つまりYS 指標は河川の屈曲の度合を表現する指標ではなく、「平面形状の多様性」を抽出する指標になっている。またこのYS 指標は、他の指標にない、いくつかの実用的な利点を有しており

（Appendix）、河川地形への応用にふさわしいと

(5)

考える。

本研究では、空間スケール（セグメント長）と YS 指標との関係をみるため、河川を分割するn の値、言い換えるとセグメント長を変化させたときのYS 指標の変動を調べた（これをスケールプロファイルと呼ぶ）。セグメント長は基本的に

500

m から

5

,

000

mまでの間で変化させたが、n が常に

5

以上となることを優先させるため、河川によってはセグメント長の上限を短く設定した（いずれにせよ、

500

mから上限値までの間をログスケールで

100

_等分し、各々にYSを求めた）。なお本解析で対象とした河川は、上記

226

_{河川のうち流路長} が

10

km以上の

159

_{河川に限定した}。

3

.

3

結果と考察

全道に

226

_ある

1

_級・

2

_{級水系について}、地形

図からベクトルデータ化した河川本流のラインを図

4

に示す。ほとんどすべての河川で、局所的に屈曲率がこの

50

年間に低下した区間が認められる。それらの区間は一般に河川中流から下流にかけて分布する。中でも、十勝地方から根釧原野にかけての太平洋沿岸で、屈曲率の低下が著しい河川が目立つ。石狩川や釧路川の最下流部など、直線化されたことの明らかな区間で屈曲率の低下が認められないのは、これらの直線化工事がともに大正時代に着手されており、

1950

_{年代の旧版地} 図ではすでに直線化された後の河道となっているからである⁵⁸^）。

屈曲率の低下が顕著な河川をいくつか拡大して、

1950

年代と

2000

年代の

2

つの河道を重ね合わせてみると、直線化の実態がよく分かる（図

5

）。

標津川、直別川、当縁川など、かつて河川上流から下流にかけて全体的に蛇行を繰り返していた河川が

2000

年代までにほとんど直線化されてしまったことは、これらの河川で屈曲率の低下がほぼ全流程にわたって観察されること（図

4

）とも一致する。それに対し、浜益川や胆振幌別川などでは、著しい直線化は中下流部に集中している。次に、これらの

7

河川を含め、合計

10

河川の YS 指標のスケールプロファイルを求めた（図

6

）。

一般にYS 指標はわずかなスケールの変化に対して大きく変動する性質がある。またスケールの変化に対し、YS 指標の変化に一定の傾向は認められない。このようなことから、YS 指標のスケー

図 4 全道の 1 級・2 級水系の河川本流の過去 50 年あ まりの屈曲率低下状況.

上下流に 500 mのスケールで河川沿いに屈曲率を 10 m 間隔で求め，1950 年代と 2000 年代とでその値を比較 した結果．主な河川と屈曲率が顕著に低下した河川に は河川名を記した．

図 3 一般化エントロピーに基づく多様度指標YS の 計算方法.

図 5 屈曲率（及び多様度）が著しく低下した河川本流.

（青＝ 1950 年代，赤＝ 2000 年代）

(6)

ルプロファイルにおける全セグメント長（n=

100

）に対する平均値を時代ごとに求め、その値をその河川を代表する多様度とした。そして全河川

（

159

_河川）について、

2

つの年代の多様度をそれぞれx軸とy軸にとってプロットした（図

7

）。

全道の河川の多様度は時代間で少なからず変化しており、傾き

1

のライン付近に多くの河川が集

中するものの、全体的にライン下方にプロットされるものが目立つ（そのいくつかは図

5

、図

6

に示した河川である）。この

2

_{つの時代の多様度の一} 次回帰式は

2000

_{年代の多様度}=

0

.

728

×

1950

_{年度の多様度}+

0

.

000

で示され（F=

165

.

2

, df=

157

, p=

0

.

000

, R²=

0

.

513

）、

2000

年度の河川形状の多様度が、

1950

年度の多様度の

73

%にまで低下していることが示されている。

一方、傾き

1

のライン上方にプロットされる河川は、

2000

_{年度の方が}

1950

_{年度よりも多様度が} 高いことを意味する。しかしそれは、時代間の地図精度の違いによってある程度説明できる。国土地理院が作成した地形図に写真測量が本格的に採用されるようになったのは

1970

_{年代以降のこと} であり、それ以前は精度のやや劣る平板測量に基づいているからだ⁵⁹^）。さらに、単調な蛇行が繰り返される自然河川よりも、部分的に直線化された人工河川の方がYS 指標の大きくなる性質もあり

（前述）、このことも傾き

1

_{のライン上方にプロッ} トされる河川の説明になる。

直線河川でも単純な蛇行河川でも多様度が共にゼロ、またはゼロに近いとみなすYS 指標の特性は、河川を住処とする生物の立場からすると生息環境の選択肢が

1

_{つだけであり}、その自由度が

0

であるとみなすことに等しい⁶⁰^）。実際の河川では、規則的な波形が繰り返される単調な蛇行流路でも、その内部は瀬−淵−平瀬などの多様な地形で構成されており⁶¹^）⁻⁶³^）、決して生息環境選択の自由度が

0

となることはありえない。しかし、すでに説明した通り、瀬淵構造は河川生態系の基本ユニットでもあり、個々のユニットの中では、ある程度同じ生物相が繰り返されている⁶⁴^）^,⁶⁵^）。したがって単調な蛇行流路の生物多様性が、決して高くならないのは確かである。また、大変興味深い事実として、生態学の分野で使われる代表的な種の多様度指標にシャノン・ウィーナーの指数があるが⁶⁶^）、この式はYS 指標を構成する一般化エントロピーの式に他ならない（Appendix）。

4

．おわりに

河川地形の多様性は、複雑性と規則性の両面を持つことをたびたび強調してきた。河川に生息する淡水魚類など水生生物は、この

2

_{つの性質をう} まく利用し、それに適応して個々の種を進化させてきたとも言えよう。なぜなら生息環境の複雑 図 6 いくつかの河川で求めたYS のスケールプロ

ファイル.

（青＝ 1950 年代，赤＝ 2000 年代）

図 7 全 159 河川のスケールプロファイルにおいて YS の平均値を時代ごとに求め，1950 年代と 2000 年代とで比較したもの.

実線は傾き 1 の直線、また破線は一次回帰直線．

(7)

性は多種の共存を可能とし、また規則性は個々の種の安定した繁栄に欠かせない代替生息地を保障するからである。かつては多様な河川環境も、治水事業が本格化した

60

年代ころから急速に均質化の道を歩んできた。この地形変化を、平面形状の変化として捉え、それを広域的に定量化することによって、均質化が広い範囲で普遍的に進行してきたことを示すことができた。本研究で紹介した多様度指標YSは、地形の複雑性が増すと増加し、規則性が増すと低下するという性質を持ち、河川地形の多様性を測る尺度として非常に好都合であった。

はたして地形の多様性（geodiversity）は生物多様性（biodiversity）を高めるのかどうか？少なくとも数学的には同一の尺度で測ることが可能な

2

_つの概念は、実際にどのように関係しあうのであろうか？これについては今後の生態学と地形学の発展を待つほかない。

謝辞

本研究は国立環境研究所・重点特別研究プロジェクト「生物多様性の減少機構解明と保全に関するプロジェクト」、ならびにH

15

⁻

16

年度科学研究費補助金による「淡水魚類生息環境のダムによる分断と河道直線化による均質化の影響評価」の一環として行われた。飯塚由香里氏と鈴木龍太氏には河川データの作成に多大な協力をいただいた。また写真家の阿部幹雄氏にはイトウと蛇行河川の写真を提供していただいた。ここに記して謝意を表します。

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Appendix

（

1

） 一般化エントロピー（generalized entropy）エントロピーは熱・統計力学の分野で生まれた重要な物理量である。エントロピーS の統計力学的定 義式はボルツマンによって

… ①

で示された（ボルツマン「熱力学の第2_{法則と熱平} 衡についての諸定理に関する確率論の計算とのあいだの関係について」，物理学古典論文叢書6「統計力学」東海大学出版会，1970）。ここでNは全粒子数、nは微視状態の数、p_i は i 番目の微視状態にある粒子数比率で、k_Bはボルツマン定数、対数は自然対数である。熱力学においては、孤立系（全エネルギーが一定の系）でエントロピーが増大し（熱力学第 2_法則）、平衡状態で最大となる。このときエネルギーEi をもつ i 番目の微視状態に入る粒子数比率は

で与えられる（ボルツマン分布）。また

このときの熱の出入りQに伴うエントロピー変化は

… ②

になることが示され、これはエントロピーの熱力学的定義式に一致する。ただし、Tは系の絶対温度である。

熱力学の定義式②からは、エントロピーはいつのまにか増える不思議な量という理解に留まっていたが（クラウジウス1865）、統計力学の定義式①によってエントロピーは微視的スケールでの「散らばり具合」を表す指標であることが初めて理解された。この微視的スケールでの「散らばり具合」を示すエントロピー概念は、その後、巨視的スケールでの

「散らばり具合」を示す指標として一般化され、様々な分野で実用的な応用に供されている。この熱統計力学分野を離れた一般化エントロピーの実用的応用の嚆矢は、シャノンによる情報量の尺度としての情報エントロピー（Shannon, C.E. 1948, A Mathematical Theory of Communications, Bell System Technical Journal 27, 379-623^）であり、更に生物種の多様度指標（MacArthur, R.H. 1955, Fluctuations of animal populations and a measure of community stability, Ecology 36, 533-536^）の考案へと発展を遂げた。エントロピーの統計力学的定義式である①式をN

(10)

で割ったは、1粒子当たりのエントロピーである

が、pi を i 番目の生物種の個体数比率とみなすと、

このは生物種の個体数の「散らばり具合」を表す指標になる。①式でkB＝1としたが生態学で活用されているシャノン・ウィーナーの多様度指数であることは本文で述べたとおりである^66）。

更にこの一般化されたエントロピー概念は、社会科学の分野で富の不平等指数として応用され、Theil

Entropyと呼ばれている^57）。これは、p_iをある社会の

i番目の構成員の所得比率、nを構成員の人数として

… ③ と表される。③式は、最大エントロピーlog nから社会の富の散らばりのエントロピーを引いた式となっている。ここで最大エントロピーlogn は、の均等分布、すなわち完全平等に対応す

る。つまりTheil Entropyは富の分布が完全平等の場

合からどれ位隔たっているかを表す指標、言い換えれば不平等指標を与えていることが理解される。社会科学の分野で用いられる不平等指標は他にもあるが（世界銀行で採用されているジニ係数等）、その指標が社会の構成員の数や富の絶対量に依らない

指標はTheil Entropy以外にない。さらにこの指標は

③式から、社会全体を構成する個々の小社会内部の不平等指標が分かっていれば、各小社会の富の分布から社会全体の不平等指標を求めることができるという他の不平等指標にない実用的な利点を保証する。

一般化エントロピーであるシャノン・ウィーナーの多様度指数やTheil Entropyは、巨視的な「散らばり具合」を表すという意味においてのみ、熱・統計力学のエントロピーの一般化になっているが、熱力学第2法則（エントロピー増大の法則）に対応する性質は備えていない。数式的に熱・統計力学のエントロピーと同じ形をしていることで、上述したような利点が保証されることが、一般化エントロピーの最大の長所である。

（

2

） 河川多様度指標

YS

についての補足

本論文で用いた河川多様度指標YSは、（1）で説

明したTheil Entropyと同様の以下の利点をもってい

る。

1．YS 指標は各河川の河川長や、セグメントの直線距離の総和Lに依存しない性質をもっている。すなわち、相似な河川形状については同じYSが与えられる。このことが、様々な河川長をもつ河川間の多様性比較を可能にしている（同一の河川であってもYSはセグメント長には依存する）。

2^．ただし河川の2次元形状がフラクタル構造をもつ場合、YS 指標はセグメント長に依存せず一定となる。

3^．河川全体を構成する各支流のYS 指標がすべて分かれば、各支流の総セグメント長の分布から、河川全体のYS 指標を求めることができる。

（受付

2005

_年

8

_月

2

_日、受理

2005

_年

9

_月

30

_日）