演習問題 1 の解 説

演習問題

1

の解

電源電圧

E,

内部インピーダンスが

Z

₀説の電源に、伝搬定数が 

,

特性インピー ダンスが

Z

₀

,

長さ が

l

の線路が接続されている。これに等価な電圧源 を求めよ。

さらに、線路が無損失なら、それはどのように表わせるか

?

ただし、

sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ

である。

l

, Z₀

E

Z

₀

D C

B E A

Z

₀

















 



 





l Z l

l Z

l D

C B A









cosh 1 sinh

sinh cosh

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

cosh sinh

) sinh (cosh

cosh sinh

sinh

cosh Z

l l

l l

Z l

Z l Z

l Z

l Z

A CZ

B

Z

_eq

DZ





 



 



 

















E

_eq

Z

_eq 等価電圧源

l l

E Z l

l Z E CZ

A E

_eq

E



 



sinh cosh sinh cosh

0

0 0  



 



線路が無損失なら

α = 0

なので、

γ = jβ

とな り、

E l j

l l j

l E l

j l

j

E

_eq

E (cos sin )

sin cos

sinh

cosh

 







  

 

  前回の演習問題の

結果から、

演習問題

2

の解

全長

400km

の線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見たイ説

ンピーダンスの値が

j250Ω

、また受電端を開放した場合、送電端から見た アドミタンスの値が

j1.5×10

^-3

Ʊ

であった。この線路の伝搬定数

γ

、特性 インピーダンス

Z

₀ 、および

1km

当たりのリアクタンス

X

、サセプタンス

B

を求めよ。

Z

₀



400km

Z

_S

= j250 Ω

短短

短短

Y

_o

= j1.5×10

^-3

Ʊ



Z

₀



 

















 



 





0 0

0

0

cosh 1 sinh

sinh cosh

I V l

Z l

l Z

l I

V

l

l

 





V

₀

= 0

I

₀

= 0 l = 400km

V

_l

I

_l

V

₀

= 0

のとき    



250

0

tanh

0 0

j l I Z

Z V

l V l

s



I

₀

= 0

のとき ^{3 1}

0 0

10 5 . 1 1 tanh

0

















l j

Z V

Y I

l I l

o 

演習問題

2

の解 説

上式を解いてやれば、

X= 0.56 Ω/km

、

B= 3.4×10

^-6

Ʊ/km

が求まる 従って、

Z

₀ 

Z

_s

Y

_o 

408



375 . 0 tan

)

tanh( j



l



j



l



j

また、

^Z

s

^Y

o ^

 ^tanh



^l 

^{2  }

^{0 . 375}

より、

375 . 0 1 tan

_1



 

l 375

. 0 )

tanh(

tanh



l

  

j



l



j

従って純虚数となるためには、

α = 0

でなければならず、

よって、

γ ≈ j1.37×10

^-6

m

^-1

α = 0

ということは、

R = G = 0

、つまり、無損失線路である





 

 

408

0

B

X jB

G

jX Z R

1 6

m 10 37 . 1 )

)(

(

       ^{ }



R jX G jB XB j XB j



従って、

複合線路

0 02

2 02

2 2

2

01 1 01

1 1

1

0 2

2 1

1

Z I V Z

I V I

Z V Z

I V I

V V

V V

V



























 





 











x x

x x

x x

x x

x x

x x

Z e e V

Z e V

I e

I x I

Z e e V

Z e V

I e

I x I

e V e

V x

V e

V e

V x

V

2 2

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1

02 2 02

2 2

2 2

01 1 01

1 1

1 1

2 2

2 1

1 1

) (

, )

(

) ( ,

) (

























 

 





 

 









































2

種類の線路の縦続接続

ただし、

Z

_L

Z

₀₁ ₁

Z

₀₂ ₂

x = 0 +x

V

₁

(x) I

₁

(x)

V

₂

(x) I

₂

(x) V

₀

I

₀

各々の線路上の電圧、電流 接続点

(x = 0)

で

の電圧、電流

(9.1)

式

(9.2)

式



V

2



V

1



V

2

Z

₀₁ ₁

Z

₀₂ ₂



V

1



I

1



I

1

I

^2

I

₂^

電圧および電流 フェーザの方向 電圧波および電 流波の進行方向 および

複合線路

負荷インピーダンス

Z

_L が第二の線路の特性インピーダンス

Z

₀₂ に等 しいか、或いは第二の線路が無限に長いとき、第二の線路上に反射波 はない。

0 0

2 2









I V

0 02

2 2

01 1 01

1 1

1 0

2 1

1

, I

Z I V

Z V Z

I V I

V V

V

V

^  ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^ 

Z Γ Z

Z Z

V

V





 





01 02

01 02

1

1

Γ

V V I

I

_^   _^  

1 1 1

電圧反射係数 1

電圧透過係数

電流反射係数

電流透過係数 従って、

両式より　　　　　を消去すると、

V

₂^

, I

₂^

Z Γ Z

Z V

V

 

 





2 1

01 02

02 1

2

Γ

Z Z

Z Z

V Z V I

I

 

 

 ^_





2 1 /

/

01 02

01 01

1

02 2

1 2

両式より　　　　　を消去すると、

V

1^

, I

1^

) / ,

/

( I

₁^ 

V

₁^

Z

₀

I

₁^  

V

₁^

Z

₀

Z

₀₂ 即ち、

x=0

Z

₀₁ ₁

V

₀

Z

₀₂ ₂

I

₀



V

1 _

V

2



V

1



I

1

I

^2



I

1

複合線路

接続点における電圧

V

₀ および電流

I

₀ によって、各線路上の電圧および電流を表せば、

) 1

/(

), 1

/(

) 1

/(

), 1

/(

0 ,

, 0 ,

0 1

0 1

0 1

0 1

2 0

2 2

0 2

Γ ΓI

I Γ

I I

Γ ΓV

V Γ

V V

I I

I V

V V











































x x

x x

x x

e I x I e

V x

V

Γ Γe I e

x Γ I

Γe V e

x V

2 2

1 1

1 1

0 2

0 2

0 1

0 1

) ( ,

) (

) 1 ( 1 ,

) (



















 



  ^{ }

上式を

(9.1)

式、

(9.2)

式に代入して、

より、

一様な線路上の任意の点には入射波と反射波が存在するかも知れないが、一様 な線路の途中で新たな反射波が生じることはなく、その点での反射波は、線路 の不連続点

(

受電端とか接続点とか

)

において発生した反射波が、その点を 通って送電端の方へ戻っていく途中のものである。

入射波電圧 反射波電圧

入射波電流 反射波電流

3

種類の線路の縦続接 続

x n

x n n

n x

n x n

n

x V e

ⁿ

V e

ⁿ

Z I x V e

ⁿ

V e

ⁿ

V ( )

 ^{ }  ^{ }

,

₀

( )

 ^{ }  ^{ }

負荷を第

3

の線路の特性インピーダンス

Z

₀₃ に等しいとすると、

第

2

と第

3

の線路の接続点

(x = −l)

における反射係数  ₂₃ は、

02 03

02 03

23

Z Z

Z Γ Z



 

従って、第

1

と第

2

の線路の接続点

(x = 0)

より右を見たインピーダンス

Z

_i は、

l l

i

Γ e

e Z Γ

V V V V V Z

V

V Z V

I Z V

2 2

2 23

2 23 02

2 2 2 2

02 2

2

2 2

02 2

2

1 1 1

1 )

0 (

) 0 (



























 





 

 



各線路上の電圧

V

_n

(x) (n = 1, 2, 3)

および電流

I

_n

(x) (n = 1, 2, 3)

は、

Z

₀₃

x = 0

Z

₀₁ ₁

Z

₀₃ ₃

Z

_i

l Z

₀₂ ₂

x = - l



₂₃

無反射

l l

l

V e V e

V e V l

V l

Γ V

²

2

2 2

2 2 2

2 2

2

23

( )

)

(

_

















  



  或いは、

3

種の線路の縦続接

従って、

x = 0

の点において、第

1

の線路から負荷方向を見た反射係数  は、続

l l l

l

l l

l l

l l

l l l l

i i

e Γ Γ

e Γ Γ

e Z Γ

Z

Z Z

e Z Γ

Z

Z Z

e Γ Z Z

Z Z

e Γ Z Z

Z Z

e Γ Z

e Γ Z

e Γ Z

e Γ Z

e Z Γ

e Z Γ

e Z Γ

e Z Γ

Z Z

Z Γ Z

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 23 12

2 23 12

2 23 01 02

01 02

2 23 01

02

01 02

2 23 01 02

01 02

2 23 01 02

01 02

2 23 01

2 23 02

2 23 01

2 23 02

2 01 23

2 02 23

2 01 23

2 23 02

01 01

1 1 )

( ) (

) (

) (

) 1

( )

1 (

) 1

( )

1 ( 1

1 1 1



























































 



 

 



 









 











 

 



 



 

 

01 02

01 02

12

Z Z

Z Γ Z



 

ただし、 と置いた

) 1

1 ( ) 1

(

_{2 12}

23 12

2 23 12

12 ₂

2

e Γ Γ Γ

e Γ Γ

Γ

_l

l 

 





 ^{ } _{ }

さらに変形すると、

) 1

}(

) (

){

1

(

_{12 23 23 12 23 12}

12

Γ e

²

Γ e

²

e

²

Γ e

²

Γ e

²

Γ e

²

Γ

Γ

  ^{l l}  ^{l l}  ^{l l}  



 ^{     }

 

さらに、右辺第

2

項中の真中の因数を無限級数に展開して、

3

種の線路の縦続接 続

Z

₀₃

x = 0

Z

₀₁ ₁

Z

₀₃ ₃

l Z

₀₂ ₂

x = - l



₂₃

Γ

23



)

(



Γ

₁₂

 

e

^2l

e

^2l



) 1

(



Γ

₁₂



Γ

23



e

^2l

)



1

(



Γ

₁₂

2

次反射 

Γ

23



e

^2l



)

(



Γ

₁₂



e

^2l



3

次反射 

( 1



Γ

₁₂

)

) 1

}(

) (

){

1

(

_{12 23 23 12 23 12}

12

Γ e

²

Γ e

²

e

²

Γ e

²

Γ e

²

Γ e

²

Γ

Γ

Γ

   ^{ l  l}  ^{ l  l}  ^{ l  l} 

 



01 02

01 02

12

Z Z

Z Γ Z



 

02 03

02 03

23

Z Z

Z Γ Z



  ただし、

1

次反射

送電端より

Γ

12



1

受電端へ

1

次伝達波

) 1

(



Γ

₂₃



2

次伝達波

) 1

(



Γ

₂₃



3

次伝達波

) 1

(



Γ

₂₃



複合線路と縦続行 列

Z

₀₁

, 

₁

Z

₀₂

, 

₂

l

₁

l

₂

1 1

1 1

D C

B A

2 2

2 2

D C

B A

































 



 







 







 





2 2 2

2 02

2 2 02

2 2 1

1 1

1 01

1 1 01

1 1

2 2

2 2

1 1

1 1

cosh 1 sinh

sinh cosh

cosh 1 sinh

sinh cosh

l Z l

l Z

l l

Z l

l Z

l D

C

B A

D C

B A

D C

B A

















受電端にインピーダンス

Z

_L の負荷或いは特性インピーダンス

Z

_L の半無限 長線路を接続した線路の、受電端からの距離

x

の点から負荷側を見たイン ピーダンス

Z

_in は、



 





















 



 





0 0

0

0

cosh 1 sinh

sinh cosh

I V x

Z x

x Z

x I

V

x

x

 





線路を通して見た負荷のインピーダ ンス

0 0

0

0

0

tanh

tanh cosh

sinh

sinh cosh

0

0

Z x Z

x Z

Z Z x

Z x Z

x Z

x Z

I Z V

L L L

L I

Z x V x in

L 

 



 

















従って、

V

₀

= Z

_L

I

₀

Z

₀ 

I

₀

V

₀

x x =0

Z

_in

Z

_L 或いは、特性イン

ピーダンス

Z

_L の半無 限長線路

I

_x

V

_x

0 0

0

tan

tan Z x jZ

x jZ

Z Z Z

L L

in 

 





伝送線路が無損失線路

(α = 0, γ = jβ)

の場合は　　　　　　　より、　　

tanh j 



j tan 

1/4

波長インピーダンス整 合

Z

₀₁

, 

₁

Z

₀

, 

₀

l

Z

₀₂

, 

₂

Z

₁

Z

₂

例

9.1.1

0 0

02

0 0

02 0

1

tan

tan Z l jZ

l jZ

Z Z

Z



 





0 0

01

0 0

01 0

2

tan

tan Z l jZ

l jZ

Z Z

Z



 





特性インピーダンスが

Z

₀₁ および

Z

₀₂ の線路の間に、特性インピーダ ンス

Z

₀

,

伝搬定数  ₀

= j,

長さ

l

の無損失線路を挿入する場合につ いて考える。

Z

₀₁ の線路との接続点から右方を見たインピーダンスを

Z

₁

Z

₀₂ の線路との接続点から左方を見たインピーダンスを

Z

₂

02 2 0

1

Z

Z



Z

01 2 0

2

Z

Z



Z

となり、

Z

₀² 

Z

₀₁

Z

₀₂のとき、

Z

1 

Z

01

Z

₂ 

Z

₀₂となる。

これを、

1/4

波長インピーダンス整合または

1/4

波長インピーダンス変成器 と呼ぶ。

ここで、

l = /4

であるように長さを定めれば、 であるから、

2 4

2

 





l

  

特性インピーダンスが

Z

₀₁ および

Z

₀₂ の両端線路が半無限長であるとすると、

とすると、

となる。

無損失線路の伝送 式

x I

x Z

V j I

x I

jZ x

V V

x x









cos sin

) / (

sin cos

0 0

0

0 0 0









R = G = 0

の線路、即ち無損失線路では 

= 0

より、

= j

となり、線路上 の点

x

における電圧、電流は以下の式で与えられる。ただし、

V

₀

, I

₀ は受 電端の電圧、電流









sin sinh

cos cosh

j j

j



 の公式を使用した

x

I Z x

I V

x I

Z x V

V

x x









cosh sinh

sinh cosh

0 0

0

0 0 0









p.170

式

(8.25) V

₀

I

₀

V

_x

I

_x

x x = 0

Z

₀ 

x j x

j x

j x

j x

x x

x j x

j x

j x

j x

x x

e I Z Z V

e I Z Z V

e I e

I I

I I

e I Z V e

I Z V e

V e

V V

V V









































































) 2 (

) 1 2 (

1

) 2 (

) 1 2 (

1

0 0 0

0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

0 0

入射波と反射波成分で表せば、

p.169

式

(8.23) 参照

線路上の点

x (

受電端を

x = 0)

における電圧、電流

無損失線路の伝送 式

V

_x

, Z

₀

I

_x を、受電端での電圧反射係数

Γ

₀ を用いて表せば、

) 1

( )

1 ( )

1 (

) (

) (

) 1

(

) 1

( )

1 (

2 0 0

2 0

0 0

0 0

0

2 0 0

0 0 0

0 0

2 0

x j x

j x

j x

x x

x x

x j x

j x

x x

x j x

j x

j x

j x

j x

j

x j x

x x

x x x

x x

x

e Γ e

V e

Γ V

Γ V

V V

e I e

I Z I

I Z I

Z

e Γ e

V e

V Γ e

V e

V e

V

e Γ V

Γ V

V Γ V

V V

V



































































































































(

前々回スライド

p.9

参照

)

x j x

j x

j x

j x

x x

x j x

j x

j x

j x

x x

e I Z V e

I Z V e

I e

I Z I

I Z I

Z

e I Z V e

I Z V e

V e

V V

V V









































































) 2 (

) 1 2 (

) 1 (

) (

) 2 (

) 1 2 (

1

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0

( 0 )

) 0 (

I Z V

I Z V V

V x

Γ x



 

 

  _^

での入射波 受電端

での反射波 受電端

位置

x

での電圧反射係数

受電端での電圧反射係数 での入射波 式 位置

での反射波

位置

( 8 . 48 )

0 2 0

0 2

0 0 0

0

x x

x x x

j x

j x

j x j

x x

x

V Z I

I Z e V

Γ V e

V e

V e V V

V x

Γ x



 









 _^{ }_ ^_^ _^{    }

線路上の電圧、電流の円線

受電端の反射係数 ₀ を極形式で表すと、図

Γ

₀ 

Γ

₀

e

^j

)

1 (

) 1

(

) 2 ( 0 0

) 2 ( 0





























x j x

x

x j x

x

e Γ V

I Z

e Γ V

V

V

_x と

Z

₀

I

_x とを、　　　を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。

V

x^



V

x

V

x

) 2 ( 0



 



 j x

x

Γ e

V

) 2 ( 0



 





V

_x

Γ e

^{j x}



 

x 2

I

x

Z

₀

0

0 

1 Γ

偏角 は

絶対値、

は 

Γ

0

V

_x が

Z

₀

I

_x に対して位相が進んでいる場合

:

誘導性、遅れている場合

:

容量性

線路上の電圧、電流の円線

x

の場所を動かしていくと、下図のように 図

V

_x と

Z

₀

I

_x とが同相になることがある。

この時、

V

_x と

Z

₀

I

_x は、最大値

(V

_max

, Z

₀

I

_max

)

或いは最小値

(V

_min

, Z

₀

I

_min

)

をとる



V

x

V

x

I

x

Z

₀

0

) ( V

_min

) ( Z

₀

I

_max



V

x

V

x

I

x

Z

₀

0

) ( V

_max

)

( Z

₀

I

_min

max min

max

R

I V I

Z V

x x

x    _min

max

min

R

I V I

Z V

x x

x   

2 0 max

min 0 min

max 0 max

min min

max min

max

Z

I I Z I

I Z I

V I

R V

R

    

max 0

max

Z I

V



min 0

min

Z I

V

 より、

この時、点

x

から受電端を見たインピーダンスは純抵抗

R

になる。

) 31 . 9 ( ,

max min 0 min

min max 0

max



V Z V V R

Z V

R

 

線路上の電圧、電流の円線

2

つの観測点

x

₁ と

x

₂ における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、図

4 2

2

1

2

2











  





x x

2

点間の距離は、

 1

V

x 1

V

x

1 0

I

x

Z 0



x = x

₁

 2

V

x 2

V

x

2 0

I

x

Z 0



x = x

₂

Z

_L

Z

₀

x = 0 V

_min

V

_max

V

_max

x

₁

x

₂

V

_x

/4

Z

₀

I

_max

Z

₀

I

_min

Z

₀

I

_x

Z

₀

I

_min

∵ 線路上の電圧

、電流は、位置

x

に対して

e

^−j2βx で あり、

β=2π/λ

で ある

線路上の電圧、電流の円線 図

2 2 0 1

0 1

x x x

x

V I Z I

Z

V



) 4 / 1 (

0 2

0 0

1









x x

x

Z Z Z

Z Z

Z

短短短短

/4

だけ離れた各々の点から受電端の方を見た

2

つのインピーダン

スは、互いに逆回路の関係にある

) 4 / 1 ( )

4 / 1 ( 0

) 4 / 1 ( 0 )

4 / 1 ( 0

) 4 / 1 ( 0 0

1 0 1 0

1

0 1

1

/ 1

1 /

1 /

1 /



















  



 



 



 



  _x

x x x

x x

x x

x

x

Γ

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z Γ Z

2

1 x

x

Γ

Γ



0 

0

Γ Γ

₀ 

1

先の円線図の関係より、

或いは、

さらに、

より、 

/4

だけ離れた

2

点における反射係数の符号は反対になる 大きさについては、無損失線路の場合、線路上至るところで

(Z

_L

= Z

₀

)

の場合

(Z

_L

= jX)

の場合



V

x

V

x

I

x

Z

₀

0 0

V

x

I

x

Z

_{0 }

V

x

定在波比

min max min

SWR

max

I I V

V





定在波比

(SWR

または

VSWR)

VSWR: Voltage Standing Wave Ratio

無損失線路の受電端に任意の負荷

Z

_L を接続すると、線路上の電圧

V

_x および電流

I

_x は、

/4

間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最 大

(

小

)

値となる点では電流が最小

(

大

)

値をとる。

0 0 0

0 0 0 min

max

1 1 /

1

/ SWR 1

Γ Γ V

V V V V

V

V V

V V

x x

x x



 



 



 

 _{ }



















SWR 1

SWR: Standing Wave Ratio

定在波比

SWR

と反射係数 ₀ との関係は、線路が無損失であるとして

1 0



Γ

₀ 

Z

_L

Z

₀

x=0 V

_max

V

_min

V

_max

V

_x

/4

I

x

Z

₀

/4

Z

₀

I

_max

Z

₀

I

_min

Z

₀

I

_min

さらに、

R

_max

= Z

₀

∙SWR

、

R

_min

= Z

₀

/SWR

の関係も式

(9.31)

から分かる

定在波による負荷の測 定

0 0

0

0

0

0 0

0

0 0 0

tan

tan cos

sin

sin cos

cos sin

sin cos

Z x jZ

x jZ

Z Z x Z x

j Z

x jZ

x Z

x I

Z x j V

x I

jZ x

V I

Z V

r r r

r x

x

x 

 

 



 





 

 



 





 

 



















Z

_r

Z

₀

x = 0 V

_max

V

_min

x

_max

x

_min

V

_max

j

無損失線路

(= 0) の受電端 x = 0

に負荷

Z

_r を接続したとき、線路上の任意 の点より負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、

V

₀

= Z

_r

I

₀ の関係より、

0 max

max 0

0 0

max

tan

SWR tan

Z x

jZ

x jZ

Z Z Z

R

r r



 



 



max max

0

1 SWR tan

tan SWR

x j

x Z j

Z

_r









 

min min

0

SWR tan

tan SWR 1

x j

x Z j

Z

_r









  よって、

さらに、

Z

₀ と

β

短短が既知の線路を用い て、

SWR

と

x

_max 或いは

x

_min を測定することにより、

Z

_r の値 を求めることができる

特性インピーダンス

Z

₀

= 300[Ω]

の無損失線路が、負荷イン ピーダンス

Z

_L で終端されている。負荷から

1/4

波長離れた 点から負荷を見たインピーダンス

Z

を測定したところ、

Z

= 200 + j150[Ω]

であった。

Z

_L はいくらか。

演習問題

過去の定期試験の問題

問題３　図に示すように、特性インピーダンス

Z

₀ 、位相定数

β

₀ 、長さ

L

の 第１の無損失分布定数線路に、特性インピーダンス

Z

、位相定数

β

の 半無限長の第２の無損失分布定数線路を繋いだ。

（１）端子

1-1’

から見たインピーダンス

Z

_in を求めよ。

（２）半無限長線路の第２の分布定数線路に代えて、純抵抗

R

を端子

2-2’

に接 続した。

Z

_in が純抵抗

R

の値に依らず、純抵抗となる条件を求めよ。ま た、その時の

Z

_in を求めよ。

（３）図

3

の回路において、端子

2-2’

での反射係数

Γ

₂ を求めよ。さらに、

L=

λ/4

の場合の端子

1-1’

での反射係数

Γ

₁ を求めよ。

（４）設問

(3)

において、

Z

₀ が純抵抗

50Ω

の場合、端子

2-2’

における反射係数

Γ

₂ が

0.5 + j 0.5

になった。この時、第２の線路の特性インピーダンス

Z

を求めよ。

Z ₀ ,  ₀ Z ,  L

Z _in 1

1’

2

2’

Γ 1 ^Γ 2

E _S

Z ₀

ご聴講ありがとうございま した