演算の数理 II （レポート） 第 5 回 2021/01/25
1. 証明で使ったことの確認．
授業の 定理 9 の証明で，ほぼ無意識に使っていたことをちゃんと確認する．記号として
e
2πi8= cos( 2π
8 ) + i sin( 2π 8 ) =
√ 2 2 + i
√ 2 2
という，複素平面内の原点を中心とする半径 1 の円に内接する正 8 角形の頂点のうちで第一象限 にある 1, i とも違う点
1)を考えたのだった．もちろん (e
2πi8)
8= e
2πi= 1 が成り立つ．このと き，奇素数 p に対して，
(e
2πi8)
p+ (e
−2πi8)
p= {
e
2πi8+ e
−2πi8if p ≡ ± 1 (mod 8),
− (e
2πi8+ e
−2πi8) if p ≡ ± 3 (mod 8)
が成り立つことを， 4 つの場合分け
（ a ） p ≡ 1 (mod 8) のとき，
（ b ） p ≡ − 1 (mod 8) のとき，
（ c ） p ≡ 3 (mod 8) のとき，
（ d ） p ≡ − 3 (mod 8) のとき，
の全てで確認せよ（複素数の指数法則など自由に使ってよい） ．
2. ある数列の素因数分解について．
自然数 n に対して a
n:= n
2− 2 とおき，数列 a
2, a
3, a
4, a
5, . . . を考える（ a
1= − 1 は便宜上除 外する） ．この数列の各項の素因数分解を考えてみよう．
例えば順に素因数分解を見ていくと，
a
2= 2, a
3= 7, a
4= 14 = 2 × 7, a
5= 23, a
6= 34 = 2 × 17, a
7= 47,
a
8= 62 = 2 × 31, a
9= 79, a
10= 98 = 2 × 7
2, a
11= 119 = 7 × 17, a
12= 142 = 2 × 71,
という感じになっている．
もちろん n が偶数のときは，適当な整数 k を用いて n = 2k と書け， a
n= 2(2k
2− 1) と変形 できるので偶数．つまりこのときは a
nが素因数として 2 を持つことは自明（単なる中高の証明 問題） ．上の具体例の計算で出てきた「 2 以外の素数たち」をリストアップしてみると次のように なる．
7, 17, 23, 31, 47, 71, 79
一方で， 2 ∼ 79 の素数をリストアップして， mod 8 を取ってみると以下のようになる：
p 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79
mod8 2 3 5 7 3 5 1 3 7 5 7 5 1 3 7 5 3 5 3 7 1 7
なんか「数列 a
nの素因数」と「 mod 8 で 1, 7 になる素数」にメッチャ関係がありそう！と気づ く．定式化すると，
1) 伝わるかな．．．？
