基礎数学 第８回 指数法則
小野宏哉
【指数法則の例】
= =
//【 =15625 】
== =
//【 =0.04 】
•
2
第 5 章 式の計算（２） 5.1 指数法 則
【自然数の指数】
べき乗：，底
(は実数、以下同じ
)累乗： が自然数の時、（累乗 power ）：
aを
n回かけたもの
=例
=
：
= 2【
2の
n乗，
2の
5乗】
=
：
= x x【
xの
n乗，
xの
5乗】
=
【
x+1の
n乗】
•
5.1.1 指数法則
【指数が自然数の場合の指数法則とは】
指数法則 -1 ：
=指数法則 -2 ：
指数法則 -3 ：
指数法則 -4 ：
(m>n)注意点 -1 ：
=注意点 -2 ：
=•
4
5.1.1 指数法則（つづき）
【指数法則の適用例】
指数法則 -1 ：
=指数法則 -2 ：
指数法則 -3 ：
指数法則 -4 ：
注意点 -1 ：
=注意点 -2 ：
=•
例題
【素因数分解を行う。】
=
【指数法則 -2 を用いる。など。】
=
【指数法則 -4,-2 を用いる。】
= 【指数法則 -1 を用いる】
=
=
=
//•
6
指数法則 終わり
本日の目標 【実数指数の指数法則】
【は非負の実数、指数法則は実数の指数へ拡張（以下では , 】
指数法則 -1 ：
=指数法則 -2 ：
指数法則 -3 ：
指数法則 -4 ：
注意点 -1 ：
=注意点 -2 ：
=【 は実数なので、有理数 ( 分数 )
、無理数で良い】 , ,
•
8
指数が有理数 【指数法則適用例】
指数法則 -1 ：
= =【は実数、以下同じ】
指数法則 -2 ：
指数法則 -3 ：
指数法則 -4 ：
注意点 -1 ：
=注意点 -2 ：
=•
指数が有理数とは？【？】
自然数による累乗と累乗根が基本
底で指数 2 は平方 (2 乗 ) 3 は立方 (3 乗 )
底で指数 1/2 は平方根 ＝ 、 1/3 は立方根 : ＝
底で指数 2/3 の場合は、指数法則ｰ 2 から、 2 乗したのちにその 3 乗根をとる：
＝一般的に、自然数に対して を底としてを指数とする数は？
を乗したのちにその乗根をとる：
＝0.3 乗は 3/10 乗、 3 乗してから 10 乗根をとる：
＝ ＝•
10
指数が実数とは？【無理数の場合 】
無理数の指数は有理数の指数の助けを借りる：
実数の指数は、その値に収束する任意の有理数の数列の極限値とし て定義できる（数列による定義）： ==, = （ ）
実数を指数とするべき乗は、有理数の数列各項を指数とするべき乗 の数列の極限で表される ( 正確には上限と下限となる数列を用い る）：
したがって、実数の指数について指数法則が同様に成り立つ 結論として、べき乗は指数が有理数のべき乗で定義する：
：
•
【参考】第６章 数の定義
小野宏哉
第 6 章 数の定義 6.1 数の種類
複素数
C実数
R有理数
Q整数
Z自然数
Nゼロ
負の自然数 分数
無理数
累乗根/自然 数n のn 乗根 冪(べき)乗 根/実数 p の
p 乗根 超越数 (e,π) 虚数i
6.1 数の種類 6.1.1 無理数
【身近な無理数】
, , ,
平方根：非負の実数
aに対し 2 乗が
aとなる非負の実数 :
aの平方根：、ただし は実数
累乗根：自然数
nについて、非負の実数
aに対し
n乗が
aになる正の数：
aの
n乗根：べき乗根：、ただしは実数
=2, =2,=3,=2,=1.5
は有理数
•
14
6.1.1 無理数（つづき）
有理数と無理数の全体が実数
【自然数
p, qが存在しない】
【自然数
1,10が存在する】
【 自然数
7, 22が存在】
に対して
【自然数
p, qが存在しない】
に対して
【自然数
p, qが存在しない】
•
例題 無理数の計算－分母の有理化
= 【素因数分解する。 ＝】
=
= 【素因数分解する。 ＝ 2, ＝】
= 【約分する】
//
•
16
例題 無理数の計算－分母の有理化 -2
•
無理数なる｢べき乗数｣と実数の指数法則
非負の有理数
a (≠1,)に対し、、および 指数法則 -2 ： = より
同様に、 = と。
この結果、有理数を指数とする｢べき乗数｣が無理数として現れる。
前述の様に、有理数の指数法則を実数
p, qの指数法則に拡張できる。
有理数から、実数の 底
a(≠1,),指数
p, qに対する指数法則が導かれる。
以下、 非負の実数
a(≠1,)を底とする実数指数の指数法則を扱う。
•
18
実数を指数とする指数法則
非負の実数
a(≠1,)（以降同じ）
指数法則 -1 ：
=指数法則 -2 ：
指数法則 -3 ：
指数法則 -4 ：
注意点 -1 ：
=注意点 -2 ：
=•
指数法則の例 ( 有理数指数による実数 )
指数法則 -1 ：
= =【
= =】 指数法則 -2 ：
【
=】
指数法則 -3 ：
【
=】 指数法則 -4 ：
【
= =】
注意点 -1 ：
=注意点 -2 ：
=•
20
例題 平方根、累乗根の指数表現
【素因数分解する】
=
【累乗根を指数表現する】
=
== 15 //
•
例題 平方根の指数表現と指数法則
)
【符号を分け累乗を指数表現】
【素因数分解する】
【指数法則
-3,-2を用いる】
【指数法則
-2,-1を用いる】
=6
•
22
実数指数の指数法則 終
わり
指数と複素数
底が負の場合
6.2 虚数と複素数
虚数と実数の全体が複素数
【実数
aに対しは虚数
【、 1
複素数
【実数
a,bに対し、
a+biは複素数】
例
例
•
6.2 虚数と複素数（つづき）
例１
【を用いる】
=
=
例２
【を用いる】
=
=6
•
26
6.2 虚数と複素数（つづき）
例３
=
【と置く】
=
•
指数と複素数 終わり
28
指数と対数の対応関係
小野宏哉
5.1.2 指数と対数【参考】
=1024 ⇒ ⇒ 1024
は
2を基準とすれば
10⇒
の累乗数 真数
⇒ 1024は底
2とする
(指数として
)対数
10を得る
= ⇒
【底
2を指数
10で累乗すると 】
⇒2:
底
base、
10:指数
index、
1024:累乗
power例
=8 ⇒
真数
8は底
2とする
(指数
3として
)対数
3を得る
⇒ ⇒= ⇒
= 0.008 ⇒
= 10 ⇒
•
30
5.1.2 指数と対数（つづき）
【対数の定義】
実数 a (>0, 1) が与えられると、
任意の 正の実数 M に対して
= M である実数 r がただ一つ存在する。
これを = と表し、 a を底とする M の対数とい う。
•
5.1.2 指数と対数（自然対数の底）
自然対数：
,自然対数の底 e ：無理数（超越数）
≒2.7182818
･････････：ネピア
Napier数
：オイラーの等式
Euler’s identity：オイラーの公式
Euler’s formula•
32
【対数法則】
対数法則 -1 ：
=対数法則 -2 ：
=対数法則 -3 ：
=対数法則 -4 ：
= r対数法則 -5 ：
=注意点 -1 ：
= 0注意点 -2 ：
= 1•
対数法則の例
例 -0 ：
≒ 0.3010, ≒0.4771【常用対数】
例 -1 ：
= ≒0.3010+0.4771=0.7781例 -2 ：
=例 -3 ：
= 0.3010 0.4771= 0.1761例 -4 ：
= 10例 -5 ：
= 1.585注意点 -1 ：
= 0注意点 -2 ：
= 1•
34
対数と指数の対応例
例 -0 ：
≒ 0.30102 ≒0.4771 ⇔ 3例 -1 ：
= ≒0.3010+0.4771=0.7781⇔6=
例 -2 ：
= ⇔=
•
対数と指数の対応例（つづく）
例 -3 ：
= 0.3010 0.4771= 0.1761⇔
=
≒
例 -4 ：
≒
•
36
対数と指数の対応例（つづく）
例 -5 ：
= 1.585⇔ 3=
=
注意点 -1 ：
= 0⇔= 注意点 -2 ：
= 1⇔=
コメント
2より、最初の問いに対するひとつのイメージを伝える。
1
回に
10倍ずつ拡大する速システムで
3回分の時間経過を数えると
1000倍を達成する。
2倍ずつ 拡大する緩システムが同じ時間経過率で
2倍ずつの拡大を
10回経験すると約
1000倍になる。緩シス テムの
1回の拡大率は速システムでは
0.3回程度の時間経過に相当する。緩システムは
3/0.3すなわち 速システムの
3倍強、約
10回の時間経過を要する。この場合は底の
10から
2への変更が時間効率
0.3の低下として表れる。
•
