天体力学 III 講義ノート

天体力学 III ^{講義ノート}

堀源一郎

Contents

1

3

1.1 束縛条件 . . . . 3

1.2 Newton の運動の法則 . . . . 4

1.3 角運動量の保存 . . . . 5

1.4 仕事とエネルギー . . . . 6

1.5 剛体の運動 . . . . 7

2

9 2.1 慣性能率（面，線，点に関する） . . . . 9

2.2 方向による I の変化 . . . 10

2.3 慣性楕円体の性質 . . . 12

2.3.1 A ≤ B ≤ C i.e a ≥ b ≥ c . . . 12

2.3.2 中心慣性楕円体 . . . 13

2.4 中心楕円体の座標軸 . . . 14

2.5 主点 . . . 18

2.5.1 中心楕円体が球 . . . 18

2.5.2 中心楕円体が球でないとき . . . 19

2.6 回転の楕円体 . . . 21

3

22 3.1 歴史 . . . 22

3.2 剛体の変位 . . . 22

3.2.1 固定軸の回りの回転による変位 . . . 22

3.2.2 剛体の変位 ( 一般的 ) . . . 23

3.3 固定点の回りの運動 . . . 26

3.3.1 角速度 . . . 26

3.3.2 角運動量と運動エネルギー . . . 27

3.3.3 i, j, k を慣性主軸にとる . . . 29

1

2

3.3.4 N ~ = MV~r G ~g の場合 . . . 32

3.3.5 支持点 O に働く束縛力 . . . 34

3.3.6 オイラー角の時間変化 . . . 38

3.3.7 D = C の場合 . . . 40

3.3.8 A = B < C ( 扁球 ) . . . 41

3.3.9 Poinsot の方法 . . . 42

3.3.10 ポルホードとハーポルホード . . . 45

4

47 4.1 オイラー角 . . . 47

4.2 Andoyer(アンドワイエ) 変数 . . . 48

4.3 重心の回りの自由回転 . . . 52

4.3.1 A = B の場合 . . . 52

4.3.2 A 6 = B < C の場合 . . . 52

4.4 有限 2 体問題 . . . 56

4.4.1 M 2 の公転運動 . . . 60

4.4.2 M j の自転運動 . . . 61

4.5 U の展開 . . . 62

4.6 地球の自転運動 . . . 67

4.7 水星の自転運動 . . . 71

4.8 非剛体の効果 . . . 75

1 質点系としての剛体 3

1 質点系としての剛体

1.1 ^束縛条件

束縛のある質点系として剛体を見る．

| ~r j − ~r k | = r jk = const. (1) 束縛条件の数

m

m r

r

k

j k

j

Figure 1: 質点系としての剛体

n C ₂ = n(n − 1)

2 (2)

独立な数は？

• 4 質点：

4 C 2 = 6 (3)

すべて独立．一辺だけを動かせる (Local に ) ．

• 5 質点：

5 C 2 = 10 (4)

すべて独立ではない．E は BCD からの距離で決まる．すると n 個

6 + 4 束縛

6 + 3 独立な束縛

Table 1: 束縛

1 質点系としての剛体 4

A

B

C

D

Figure 2: 4 質点 A

B

C

D

E

Figure 3: 5 質点

束縛： 6 + 4 + 5 + · · · + n − 1 = n(n − 1)

2 (5)

独立な束縛 6 + 3 + 3 + · · · + 3

| {z }

n−4

= 3n − 6 (6)

よって，剛体の自由度は，

3n − (3n − 6) = 6 (7)

6 = 3

重心の位置 |{z}

+ 2

軸方向 |{z}

+ 1 |{z}

回転

(8)

1.2 Newton ^{の運動の法則}

m _j ~ ¨ r _j = f ~ _j (9)

f ~ j = f ~ _j ⁽ⁱ⁾ 質点同士の力 |{z}

+ f ~ _j ^(e) (10)

1 質点系としての剛体 5 f ~ _j ⁽ⁱ⁾ = ^X

k6=j

f ~ jk ⇒ 束縛力 (11)

f ~ jk = − f ~ Kj ∝ ~r j − ~r k (12) よって，束縛力は ¹ ，

X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ = 0 定義より (13) 重心の運動 ²

M~ r ¨ G = f ~ _j ^(e) = vecf (14) d

dt (M ~ dotr G ) = f ~ (15)

1.3 ^{角運動量の保存}

X m j (~r j × ~ r ¨ j ) = ^X ~r j × f ~ _j ⁽ⁱ⁾ + ^X ~r j × f ~ _j ^(e) = ^X ~r j × f ~ ^(e) (16)

X (~r j × f ~ j ) = ^X

j>k

~r j × f ~ j + ^X

k>j

~r k × ~k k

= ^X

j>k

~r j × f ~ j − ^X

k>j

~r j × f ~ j

= ^X

j>j

(~r j+k − ~r j−k ) × f ~ j+k (k → − k)

= ^X (~r j−k − ~r j+k ) × f ~ j−k ( f ~ j+k = − f ~ j−k )

= ^X (~r k × f ~ k ) = 0 (17)

よって，

d dt



 X

j

m j ~r j × ~ r ˙ j



 = ^X

j

~r j × f ~ j

(18)

~ ˙

G = N ~ (19)

原点に対する Moment の保存．勿論，単位ベクトルとの内積を取れば，固定軸 A(~a) に ついて軸まわりの Moment の保存．

~a · G ~ ˙ = ~a · N ~ (20)

N ~ に直交な軸のまわりの Moment は保存される．

さらに，重心を通る軸の回りに Moment は保存される ( 重心は動いても良い．固定軸では ない)．

(21)

1

2

~ r _j

f ~ _j ^(e)

1 質点系としての剛体 6

~r j = ~r G + ~ ρ j

~r j × ~ r ˙ j = ~r G × ~ r ˙ G + ~r G × ~ ρ ˙ _j + ~ ρ j × ~ r ˙ G + ~ ρ × ~ ρ ˙ _j

P m j を施すと，

X m j

~r j × ~ r ˙ j

= M~r G × ~ r ˙ G + ^X m j ~ ρ j × ~ ρ ˙ _j (22) ( ^X m _j ~r _G = 0, ^X ~ r ˙ _G = 0)

d

dt を施して，

M~r G × ~ r ¨ G + d dt

X m j rho ~ j × ~ ρ ˙ _j

= ~r G × ^X

j

f ~ _j ^(e) + ^X

j

~

ρ j × f ~ _j ^(e)

M~ r ¨ _G = ^X f ~ _j ^(e) = f ~ より，

d dt

X m j

~ ρ j × ~ ρ ˙ _j = ^X ~ ρ j × f ~ _j ^(e) (23)

1.4 ^{仕事とエネルギー}

(10) より，

X m j ~r j · ~ r ¨ j = ^X ~r j · f ~ _j ⁽ⁱ⁾ + ~r j · f ~ _j ^(e) (24) t で積分して，

1 2

X m j

~ r ˙ j

2

− 1 2

X m j ~ r ˙ j

2 0 =

Z _t

0

X



 

 ~r j · f ~ _j ⁽ⁱ⁾

| {z }

6=0

+~r j · f ~ ^(e)



 

 dt (25) これはエネルギーの保存． ~r j = ~r G + ρ ~ j と置くと，

~ r ˙ j

2

= ~ r ˙ ² _G + 2 ~ r ˙ G · ~ ρ ˙ _j + ~ ρ ˙ ² _j (26) 代入すれば，

1 2

X m j

~ r ˙ j

2

= 1

2 M ( ~ r ˙ G ) ²

| {z }

外部運動エネルギー

+ 1

2

X m j ( ~ ρ ˙ _j ) ²

| {z }

内部運動エネルギー

(27)

(14) より，

M~ r ˙ G · ~ r ¨ G = ^X ~ r ˙ G · f ~ _j ^(e) (28)

1 質点系としての剛体 7 代入すれば，

1

2 M~ r ˙ ² _G −

1 2 M~ r ˙ G

2

| {z 0 }

外部運動エネルギーの変化

=

Z X f ~ _j ^(e) d~r G

| {z }

外力が重心の変化に対して行った外部仕事

d~r G

dt dt = d~r G

!

(29)

(25) の右辺，

Z X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ + f ~ _j ^(e) · (d~r G + d~ ρ j )

=

Z X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ · d~r G

| {z }

=0

+

Z X f ~ _j ^(e) · d~r G

| {z }

外力の外部仕事 +

Z X

( f ~ _j ⁽ⁱ⁾ + f ~ _j ^(e) ) · d~ ρ j

| {z }

内部仕事

(30)

Z X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ · d~ ρ j 内力の内部仕事 (31)

Z X f ~ _j ^(e) · d~ ρ j 内力の外部仕事 (32) これより，

1 2

X m j ~ ρ ˙ ² _j − 1 2

X

m j ~ ρ ˙ ² _j

| {z 0 }

内部運動エネルギーの変化

=

Z X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ + f ~ _j ^(e) · d~ ρ j

| {z }

内部仕事

(33)

剛体では，

Z X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ · d~ ρ j = 0 (34) 太陽系に働く外力では，平行とみなせるので，

f ~ _j ^(e) = m j f ~ →

Z X f ~ _j ^(e) · d~ ρ j = f ~ ·

Z

m j d~ ρ j = 0 (35) 内部に対して仕事はしない．ただし，近くを恒星が通るときは別である．

1.5 剛体の運動

(14) より，

M~ r ¨ G = f ~ = ^X f ~ _j ^(e) (36)

• 偶力は重心の運動に関与しない．

• 放物体の重心は放物線を描く

f ~ _j ^(e) = − k ² m _j ~r _j (37) のとき ³ ，

M~ ¨ r G = − k ² M~r G ⇒ ~ ¨ r G = − k ² ~r G (harmonic motion) (38)

3 f ∝ _r ¹

1 質点系としての剛体 8 (19) から，

G ~ = ^X m j

~r j × ~ r ˙ j

= M ~r _G × ~ r ˙ _G + ^X m _j ρ ~ _j × ~ ρ ˙ _j (39) 特に，

• f ~ _j ^(e) の性質： f ~ = ^P m j f ~ _j ^(e) が剛体の向きによらないならば，並進運動（重心の運動）

は自転に影響されない（ f ~ にのみよるから）．

また，

• vecG が剛体の位置（重心の位置）によらないならば，自転は並進運動に影響され ない．

(29) から，

1 2 M~ r ˙ ² _G

t 0

=

Z _t

0

f ~ · d~r G (40)

剛体の自由落下，

1

2 M (v ² − v ₀ ² ) =

Z _t

0 M~g · d~r G

= M g

Z

dh = M g h 落差 |{z}

(41) (33) から，

1 2

X m j ~ ρ ˙ ² _j

t 0

=

Z t 0

X f ~ _j ^(e) · d~ ρ j (42) すなわち，剛体では内部の内部仕事はゼロ．

f ~ _j ⁽ⁱ⁾ = ^X

k

f ~ jk , f ~ jk = − f ~ kj (43) f ~ _jk と f ~ _kj がなす仕事を W _jk とすると，

dW _jk = f ~ _jk · d~ ρ _j + f ~ _kj · d~ ρ _k = f ~ _jk (d~ ρ _j − d~ ρ _k ) (44) (~ ρ _j − ρ ~ _k ) ² = 一定 だから（束縛力の定義），

(~ ρ _j − ~ ρ _k ) · ~ r ˙ _j − ~ r ˙ _k = 0 (45) よって，

f ~ jk ∝ ~r j − ~r k = ~ ρ j − ~ ρ k ⇒ f ~ jk · (~ ρ j − ~ ρ k ) = 0 (46) したがって，

dW jk = 0 ⇒

Z X f ~ _j ⁽ⁱ⁾ · d~ ρ j = ^X

j>k

W jk = 0 (47)

外力の





外部 内部



 仕事は，剛体の





外部 内部



 運動エネルギーの変化に等しい．

2 慣性能率 9

2 慣性能率

2.1 慣性能率（面，線，点に関する）

x y

z

m p

j

j

Figure 4: 慣性能率

I = ^X m _j p ² _j , p _j : m _j と面，線，点との距離 (48) 面：

I yz = ^X m j x ² _j , I zx = ^X m j y _j ² , I xy = ^X m j z ² _j (49) 軸： ⁴

A ≡ I x = ^P m j

y _j ² + z _j ² = I zx + I xy

B ≡ I y = ^P m j

z _j ² + x ² _j = I xy + I yz

C ≡ I z = ^P m j

x ² _j + y _j ² = I yz + I zx



 

 

 

 

(50)

原点：

I 0 = ^X m j

x ² _j + y ² _j + z _j ² = I xy + I yz + I zx = 1

2 (A + B + C) (51) 慣性積：

D ≡ P _x = ^P m _j y _j z _j E ≡ P y = ^P m j z j x j

F ≡ P z = ^P m j x j y j



 

 

 

 

(52)

これより直ちに，

I x > 2P x , I y > 2P y , I z > 2P z , I 0 > P x + P y + P z (53)

4

I xy = A + B + C

2 − C, I yz = A + B + C

2 − A, I zx = A + B + C

2 − B

2 慣性能率 10

∗

I ∗ = M k ² _∗ なる k ∗ , M ^X m j (54) k ∗ は I ∗ による．

主回転半径：k

₀ 面，線，点が重心を含むとき k ∗ = k 0 ．平行に p だけ動かせば

k ² = k ₀ ² + p ² → k ≥ k 0 (55) ただちに，

I ≥ I p , I = M k ² , I p = M k ₀ ² (56) よって，平行移動で I p を minimum にするには重心を通れば良い．

2.2 方向による I の変化

回転移動で I はどう変わるか？

O

r p Q

L

P D

(α,β,γ) (ξ,η,ζ)

(x,y,z ) 1

Figure 5: 方向による I の変化

p ² = r ² − OQ ¯ ²

= (x ² + y ² + z ² ) (α ² + β ² + γ ² )

| {z }

=1

− (αx + βy + γz) ²

= α ² (y ² + z ² ) + β ² (z ² + x ² ) + γ ² (x ² + y ² ) − 2βγyz − 2γαzx − 2αβzy (57) L L = ^X mp ²

= Aα ² + Bβ ² + Cγ ² − 2Dβγ − 2Eγα − 2F αβ

= M ` ⁴

OD ¯ ² , ` : 代表的な長さ (58)

2 慣性能率 11 これを満たす OD ¯ が決まる． D は方向 L によって決まる．この D 点の軌跡は ⁵ ，

Aξ ² + Bη ² + Cζ ² − 2Dηζ − 2Eζξ − 2F ξη = M ` ⁴ (59) これは A, B, C > 0 より，楕円面を表す．これを慣性楕円体という．これを主軸変換すれ ば D, E, F = 0 となる．

慣性主軸：(59) を，

ϕ(ξ, η, ζ) = 0 (60)

とかく．主軸と楕円面の交点では，

~r k ~n, ~n = ∂ϕ

∂ξ , ∂ϕ

∂η , ∂ϕ

∂ζ

!

, ~r = (ξ, η, ζ) (61)

よって，

Aξ − Eζ − F η

ξ = Bη − Dζ − F ξ

η = Cζ − Dη − Eξ

ζ (62)

OD ¯ で割って ⁶ ，

I L = Aα − Eγ − F β

α = Bβ − Dγ − F α

β = Cγ − Dβ − Eα

γ (63)

よって，



 

 

A − I _L − F − E

− F B − U L − D

− E − D C − I L



 

 



 

 

α β γ



 

  = 0 (64) Non-trivial より det = 0，

A − I L − F − E

− F B − I L − D

− E − D C − I _L

= 0 (65)

これは 3 つの正根をもつ： I 1 , I 2 , I 3

I = I j , (α j , β j , γ j ) とおくと，

α

γ

= _(A−I ^D(B−I

^)+DF

j

)(B−I

)−F

= a j β

γ

= _(A−I ^D(A−I

^)+EF

j

)(B−I

)−F

= b j

α _j ² + β _j ² + γ _j ² = 1



 

 

 

 

α j = ± √ ^a

a

+b

+1

β j = ± √ ^b

a

+b

+1

γ j = ± √ _a

¹

+β

+1

(66)

5

α · OD = ¯ ξ, β · OD = ¯ η, γ · OD = ¯ ζ

6

( )α + ( )β + ( )γ

α ² + β ² + γ ² = ( )α + ( )β + ( )γ = L _L

2 慣性能率 12 このとき，

I j = Aα ² _j + Bβ _j ² + Cγ _j ² − 2Dβ j γ j − 2Eγ j α j − 2F α j β j > 0 (67) x, y, z −→ x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ へ変換

x y z x ⁰ α ₁ β ₁ γ ₁ y ⁰ α 2 β 2 γ 2

z ⁰ α 3 β 3 γ 3



 

 

 



 

 

 



A ⁰ = I 1

B ⁰ = I 2

C ⁰ = I ₃

D ⁰ = E ⁰ = F ⁰ = 0

(68)

(19) ↔ I L = I 1 α ² + I 2 β ² + I 3 γ ² (69) この，

• x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ を慣性主軸という．

• I 1 , I 2 , I 3 を主慣性能率という．

• x ⁰ y ⁰ , y ⁰ z ⁰ , z ⁰ x ⁰ 面を主慣性面という．

主軸の長さの半分を a, b, c （主半径）とすると，

I 1 = M ` ⁴

a ² , I 2 = M ` ⁴

b ² , I 3 = M ` ⁴

c ² (70)

a > b > c なら I 1 < I 2 < I 3

O が G に一致するとき中心 (central) と呼ぶ．

2.3 慣性楕円体の性質

2.3.1 A ≤ B ≤ C i.e a ≥ b ≥ c

A + B ≥ C (71)

より，

1 B ≥ 1

C ≥ 1 A + B 1 − A

B ≤ 1 − A

C ≤ 1 − A A + B B − A

B ≤ C − A

C ≤ B

A + B (72)

2 慣性能率 13 よって ⁷ ．

e ² _z ≤ e ² _y ≤ 1

2 − e ² _z (73)

e ² _z given ：

e

O e

prolate spheroid oblate spheroid

1/2

1 1

y

z 2

2

Figure 6: e ² _z − − e ² _y 1. e ² _y min. at B = C ：

prolate spheroid ( 回転楕円体：ハマキ型 ) 2. e ² _y max. at A + B = C：

物質分布は Disk (円盤) 3. e z = 0 at A = B ：

oblate spheroid (回転楕円体：パンケーキ型) e ² _z max = 1

2 ⇒ A C ≥ 1

2 i.e c a ≥ 1

√ 2 あまり平たくなれない (74) 2.3.2

z 軸が原点 O における慣性主軸である条件は，

D = ^X myz = 0, E = ^X mzx = 0 (75)

z 軸が O ⁰ における慣性主軸でもあるためには，

X my(z − h) = 0, ^X m(z − h)x = 0 (76) これより，

7

e ² _z = B − A

B

2 慣性能率 14

Disk prolate

spheroid

oblate spheroid

Figure 7: prolate spheroid, disk, oblate spheroid

O O

h

Figure 8: 中心慣性楕円体

h ^X my = h ^X mx = 0 = ⇒ ^X my = ^X mx = 0 (77) z 軸は重心を通る．ある軸 ` が軸上の 2 点において各々主軸→ ` は重心を通る．

2.4 中心楕円体の座標軸

平面 π ：

uξ + vη + wζ = 1 (78)

2 慣性能率 15

y z

x

π

G

P p

(x,y,z )

Figure 9: 中心慣性楕円体の座標軸 π に関する慣性能率 I π を考える ⁸ ．

I π = ^X mp ² = ^X m (ux + vy + wz − 1) ² u ² + v ² + w ²

= u ^{2 P} mx ² + v ^{2 P} my ² + w ^{2 P} mz ² + M

u ² + v ² + w ² (79)

今， a, b, c を yz 面， zx 面， xy 面（主慣性面）に関する回転半径とする．

X mx ² = M a ² , ^X my ² = M b ² , ^X mz ² = M c ² (80) I π = M k ² とすると，

k ² = u ² a ² + v ² b ² + w ² c ² + 1

u ² + v ² + w ² (81)

この k を一定とする一群の面の包絡面を考えよう．

u ² (k ² − a ¹ ) + v ² (k ² − b ² ) + w ² (k ² − c ² ) = 1 (82) この包絡面は

ξ ²

k ² − a ² + η ²

k ² − b ² + ζ ²

k ² − c ² = 1 (83)

となる．これは共焦点 2 次曲面と呼ばれるものである． c ² ≤ b ² ≤ a ² とすると， k の値に よって色々変わる．

1. k ² > a ² ：楕円面

2. b ² < k ² < a ² ：一葉双曲面

3. c ² < k ² < b ² ：二葉双曲面

2 慣性能率 16

G G G

Figure 10: 共焦点 2 次曲面

(ξ, η, ζ) を与えて解くと (83) は 3 次方程式となる．k ² ⇒ ３つの正根がでる：k ² ₁ , k ² ₂ , k ₃ ² ． 一般に，

c ² < k ² ₃ < b ² < k ₂ ² < a ² < k ² ₁ (84) この P (ξ, η, ζ) を通る k ₁ , k ₂ , k ₃ に指定される 3 直交曲面の接平面は 3 枚存在する（これ は包絡面を作る前の面と一致する）．接平面の方程式は ⁹ ，

ξ

k

−a

ξ + _k

^η

1

−b

η + _k

^ζ

1

−c

ζ = 1

ξ

k

−a

ξ + _k

^η

2

−b

η + _k

^ζ

2

−c

ζ = 1

ξ

k

−a

ξ + _k

^η

3

−b

η + _k

^ζ

3

−c

ζ = 1



 

 



 

 



(85)

Binet の定理： P (ξ 0 , η 0 , ζ 0 ) における 3 つの主慣性面は P を通る 3 つの共焦点 2 次曲面に接 し，また P における主慣性面における慣性能率の値は M k ₁ ² , M k ² ₂ , M k ₃ ² に等しい．ξ, η, ζ 軸へ座標変換する．

ξ = ξ 0 + α 1 x + α 2 y + α 3 z (86) η = η 0 + β 1 x + β 2 y + β 3 z (87) ζ = ζ ₀ + γ ₁ x + γ ₂ y + γ ₃ z (88) ここで，

α 1 = ρ 1

ξ 0

k ₁ ¹ − a ² , α 2 = ρ 2

ξ 0

k ¹ ₂ − a ² , α 3 = ρ 3

ξ 0

k ¹ ₃ − a ² (89)

8

p = | ax √ + by + cz − 1 |

a ² + b ² + 1 , M = X m

9

uξ + vη + wζ = 1

2 慣性能率 17

x y z

ξ

ζ

P η (ξ ,η , ζ ) ^{0 0 0}

Figure 11: Binet の定理 β ₁ = ρ ₁ η 0

k ₁ ² − b ² , β ₂ = ρ ₂ η 0

k ₂ ² − b ² , β ₃ = ρ ₃ η 0

k ₃ ² − b ² (90) γ 1 = ρ 1

ζ 0

k ₁ ² − c ² , γ 2 = ρ 2

ζ 0

k ² ₂ − c ² , γ 3 = ρ 3

ζ 0

k ₃ ² − c ² (91) ρ ² _i =



 ξ ₀ k ₁ ² − a ²

! 2

+ η ₀ k ₂ ² − b ²

! 2

+ ζ ₀ k ₃ ² − c ²

! 2

+





−1

(92) これを解くと，

x = α 1 ξ + β 1 η + γ 1 ζ − (α 1 ξ 0 + β 1 η 0 + γ 1 ζ 0 )

= α 1 ξ + β 1 η + γ 1 ζ − ρ 1 (93)

k j は (83) を満たすから， α 1 ξ 0 + β 1 η 0 + γ 1 ζ 0 = ρ 1

ξ 0

k ² ₁ − a ² + η 0

k ² ₂ − b ² + ζ 0

k ² ₃ − c ²

!

= ρ 1

!

y = α 2 ξ + β 2 η + γ 2 ζ − ρ 2 (94)

z = α 3 ξ + β 3 η + γ 3 ζ − ρ 3 (95)

さて，

X mξ = ^X mη = ^X mζ = ^X mξη = ^X mηζ = ^X mζξ = 0 (96) 主慣性面に関する慣性能率は ¹⁰ ，

X mx ² = ^X m(α 1 ξ + β 1 η + γ 1 ζ − ρ 1 ) ²

= M (α ² ₁ a ² + β ₁ ² b ² + γ ₁ ² c ² + ρ ² ₁ )

= M ρ ² ₁



 aξ 0

k ₁ ² − a ²

! ₂

+ bη 0

k ₁ ² − b ²

! ₂

+ cζ 0

k ₁ ² − c ²

! ₂

+ 1



 (97)

10

X mξ ² = M a ² , X

mη ² = M b ² , X

mζ ² = M c ²

2 慣性能率 18 いっぽう，

1 = ξ ₀ ²

k ₁ ² − a ² + η ² ₀

k ² ₁ − b ² + ζ ₀ ²

k ₁ ² − c ² (98)

より，

X mx ² = M ρ ² ₁

"

k ² ₁ ξ ₀ ²

(k ² ₁ − a ² ) ² + k ₁ ² η ² ₀

(k ² ₁ − b ² ) ² + k ² ₁ ζ ₀ ² (k ₁ ² − c ² ) ²

#

= M ρ ² ₁ k ₁ ² 1

ρ ² ₁ = M k ₁ ² (99)

同様に，

X my ² = M k ₂ ² (100)

X mz ² = M k ² ₃ (101)

X mxy = ^X myz = ^X mzx = 0 (102)

さて， P における慣性楕円体は，

A = ^X m(y ² + z ² ) = M (k ² ₂ + M k ² ₃ ) (103) 等により，

M (k ₂ ² + k ² ₃ )x ² + M (k ² ₃ + k ₁ ² )y ² + M(k 2 1 + k ² ₂ ) = M ` ⁴ (104) よって，

(k ₂ ² + k ² ₃ )x ² + (k ² ₃ + k ₁ ² )y ² + (k 2 1 + k ² ₂ ) = ` <sup>4</sup> (105) ここで ` は代表的な長さである．k ₁ > k ₂ > k ₃ より，

• 最長軸は楕円面に垂直

• 最短軸は二葉双極面に垂直

2.5 ^主点

The principal point of a given line

線 ` がその点 P の慣性主軸であるような ` 上の点 2.5.1

• G を通れば ` 上のどこでも主点

• G を通らなければ ` 上に降ろした G からの足 P

2 慣性能率 19

G

l

G

l

P

Figure 12: 中心楕円体が球

P P

G

x y

z

(α,β,γ) l

(x ,y , z ) 0 0 0

Figure 13: 中心楕円体が球でないとき

2.5.2

`：

x = x 0 + αs, y = y 0 + βs, z = z 0 + γs (106) 今，点 P (x, y, z) が主点とする．

a, b, c … 主慣性面に対する回転半径

P が主点だから 3 つの直交曲面のうち， 1 つが ` に直交している．直交曲面の方程式は (83) より，

x ²

k ² − a ² + y ²

k ² − b ² + z ²

k ² − c ² = 1 (107)

` がこれに直交するには α = 1

R

x 0 + αs

k ² − a ² , β = 1 R

y 0 + βs

k ² − b ² , γ = 1 R

z 0 + γs

k ² − c ² (108)

2 慣性能率 20

R ² =

x 0 + αs k ² − a ²

₂

+ y 0 + βs k ² − b ²

! 2

+

z 0 + γs k ² − c ²

₂

Normaling Factor (109) でなければならない．

1. ` が重心 G を通る時

(x 0 , y 0 , z 0 ) = (0, 0, 0) と出来るから，

α

1 − 1 R

s k ² − a ²

= 0, β

1 − 1 R

s k ² − b ²

= 0, γ

1 − 1 R

s k ² − c ²

= 0, (110) これが成り立つには ` が，

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (111) でなければならない（主慣性軸（座標軸））．

2. ` が重心 G を通らない時 (108) より，

R = x ₀ + αs

α(k ² − a ² ) = y ₀ + βs

β(k ² − b ² ) = z ₀ + γs

γ(k ² − c ² ) (112) s, k を消去すると，

R =

y

β − ^x α

a ² − b ² =

z

γ − ^y β

b ² − c ² =

x

α − ^y β

c ² − a ² (113)

これより，

b ² − c ²

α x 0 + c ² − a ²

β y 0 + a ² − b ²

γ z 0 = 0 (114)

もちろんこれは ` を含む平面の式である．

3. k, s の値

R ² α ² (k ² − a ² ) + R ² β ² (k ² − b ² ) + R ² γ ² (k ² − c ² ) = 1 (115) R ² k ² − R ² (α ² a ² + β ² b ² + γ ² c ² ) = 1 (116) よって，

k ² = 1

R ² + (a ² α ² + b ² β ² + c ² γ ² ) (117) したがって，

s = R(k ² − a ² ) − x 0

α = R(k ² − b ² ) − y 0

β = R(k ² − c ² ) − z 0

γ (118)

s = Rk ² − (a ² α ² + b ² β ² + c ² γ ² ) − (αx 0 + βy 0 + γz 0 )

= 1

R − (αx ₀ + βy ₀ + γz ₀ ) (119)

2 慣性能率 21

2.6 回転の楕円体

Ellipsiod of Joyration

O 点における慣性楕円体を，

Ax ² + By ² + Cz ² = M ` ⁴ (120)

x ² A + y ²

B + z ² C = 1

M (121)

(120) について (121) を回転の楕円体という． (121) の各軸の長さは (120) の回転半径で

ある．(120) と (121) は相反 (reciplocal) であるという．

3 オイラーの運動方程式 22

3 オイラーの運動方程式

3.1 ^歴史

1749 d’Akembert 剛体の自由回転

1758 Euler オイラーの運動方程式

Jacobi 外力が固定点を通る 1 つの力で Euler の問題が

置き換えられる時を解いた

1815 Lagrange 固定点の慣性楕円体が A = B で軸が重心を通る時

Poisson

1851 Poinsot Euler 問題を幾何学的に解く

1889 Mme Kovaleski A = B = 2C

19– Andoyer Andoyer con. var. の発見

3.2 ^{剛体の変位}

3.2.1

O P

Q P

0

ϕ

a

r r

0

Figure 14: 固定軸の回りの回転

~r = q~r ₀ q ⁻¹ (122)

q = cos ϕ

2 + ~a sin ϕ

2 (123)

q ⁻¹ = cos ϕ

2 − ~a sin ϕ

2 (124)

3 オイラーの運動方程式 23 qq ⁻¹ = cos ² ϕ

2 − ~a ² sin ϕ

2 (125)

~a~b = ~a · ~b + ~a × ~b = S~a~b + V ~a~b より，

~a~a = S~a~a = −| ~a | ² = − 1 (126) よって，

qq ⁻¹ = 1 (127)

~r 0 q ⁻¹ = ~r 0 cos ϕ

2 − ~r 0 ~a sin ϕ

2 (128)

q~r 0 q ⁻¹ = ~r 0 cos ² ϕ

2 − ~a~r 0 ~a sin ² ϕ

2 + (~a~r 0 − ~r 0 ~a)

| {z }

2 V ^~a~r

sin ϕ 2 cos ϕ

2

= V ~a~r 0 sin ϕ + ~r 0 cos ² ϕ

2 − ~a~r 0 ~a sin ² ϕ

2 (129)

変位 ∆~r は，

∆~r 0 = ~r − ~r 0

= V~a~r 0 sin ϕ − (~r 0 + ~a~r 0 ~a) sin ² ϕ

2 (130)

無限小回転では，

d~r 0 = dϕV~a · ~r 0 + O (dϕ ² ) (131)

~ r ˙ = d~r dt

~r=~r

= ˙ ϕV~a · ~r 0 = V( ~a ϕ) ˙ · ~r 0 = V~ω~r 0 (132)

~ω：角速度ベクトル よって，

~ r ˙ ₀ = V~ω · ~r ₀ (133)

となる ¹¹

3.2.2

(一般的)

平行移動する基準点 O に回転ベクトル ~a，回転角 ϕ は存在しない事を示そう．′

11

F ~ ∝ ~ ω × ~ r

3 オイラーの運動方程式 24

P

O O

D

T T r

r ρ

O O

P

1

1 1

0

1

a

Figure 15: 剛体の変位 (一般的) D ~ = T ~ + q~r 0 q ⁻¹ − ~r 0 , q = cos ϕ

2 + ~a sin ϕ

2 (134)

別の点 O 1 について行うと，

D ~ 1 = T ~ 1 + a~r 1 q ⁻¹ − ~r 1 (135) とおくと，

~r 1 = ~r 0 + ~ ρ (136)

T ~ 1 = T ~ 0 + q( − ~ ρ)q ⁻¹ + ~ ρ (137) よって，

D ~ 1 = T ~ + q~r 0 q ⁻¹ − ~r 0 = D ~ (138) さらに，次の定理が分かっている．

剛体の任意の変位は適当な screw ( T ~ k ~a) で表される．

いま，

D ~ = T ~ + q~rq ⁻¹ − ~r, q = cos ϕ

2 + ~a sin ϕ

2 (139)

O を ρ だけずらすと，

T ~ 1 = T ~ + q~ ρq ⁻¹ − ~ ρ (140) V~a ~ T 1 = 0 にするには，

V~a~ ρ = V~aq~ ρq ⁻¹ = V~a ~ T (141) であればよい．q は ~a で generate されているから，

q~a = ~aq (142)

3 オイラーの運動方程式 25 Vqpq ⁻¹ = Vq(Sp + Vp)q ⁻¹ = Vq(Sp)q ⁻¹ + Vq(Vp)q ⁻¹ = V(Sp)

| {z }

=0

+Vq(Vp)q ⁻¹ (143)

さて ¹² ，

q~ ρ 1 = (Sq + Vq)~ ρ 1 = ~ ρ 1 Sq + (Vq)~ ρ 1 = ~ ρ 1 (Sq − Vq) = ~ ρ 1 q ⁻¹ (144) よって，

(1 − q ² )~ ρ 1 = T ~ 1 , ρ ~ 1 = (1 − q ² ) ⁻¹ T ~ 1 (145) 別に，

1 − q ² = 1 − (cos ϕ + ~a sin ϕ) = 2 sin ² ϕ

2 − ~a sin ϕ = 2 ~a sin ϕ

| {z 2 }

V ^q

− ~a sin ϕ

2 + cos ϕ 2

| {z }

=q

= 2(Vq)q ⁻¹

(146) よって，

(1 − q ² ) ⁻¹ = 2(Vq)q ^{−1 −1} = q 1

2 (Vq) ⁻¹ = 1

2 (Vq) ⁻¹ q (qf (q) = f(q)q) (147)

~

ρ 1 q − q~ ρ 1 = T ~ 1 q (148)

さて，

[p, q] = 2VVpVq ≡ [Vp, Vq] (149)

pq − qp = (Sp + Vp)(Sq + Vq) − (Sq + q)(Sp + Vp)

= SpSq + VpSq + SpVq + VpVq − SqSp − VqSp − SqVp − VqVp

= VpVq − VqVp

= (SVpVq + VVpVq) − (SVqVp + VVqVp)

= 2VVpVq (150)

ここで，

SpSq = SqSp, VpSq = SqVp, Sab = Sba, Vab = − Vba (151)

を用いた．

3 オイラーの運動方程式 26

O r

a a

ϕ ϕ

2

2

1

1

0

Figure 16: 固定点の回りの回転

3.3 ^{固定点の回りの運動}

3.3.1

~a 1 の 回りに ϕ 1 回転した後，~a ₂ の回りに ϕ 2 回転しよう．

~r ₁ = q ₁ ~r ₀ q ⁻¹ ₁ , ~r ₂ = q ₂ ~r ₁ q ₁ ⁻¹ , q _j = cos ϕ _j

2 + ~a _j sin ϕ _j

2 (152)

よって，

~r 2 = q 2 q 1 ~r 0 q ₁ ⁻¹ q ⁻¹ ₂ (153) q 2 q 1 = q とおくと，q ⁻¹ ₁ q ₂ ⁻¹ = (q 2 q 1 ) ^−1=q

よって，

~r 2 = q~r 0 q ⁻¹ (154)

q =

cos ϕ 2

2 + ~a 2 sin ϕ 2

2 cos ϕ 1

2 + ~a 1 sin ϕ 1

2

= cos ϕ 2

2 cos ϕ 1

2 + ~a 2 sin ϕ 2

2 cos ϕ 1

2 + ~a 1 sin ϕ 1

2 cos ϕ 2

2 + sin ϕ 2

2 sin ϕ 1

2 ~a 2 ~a 1

=

cos ϕ ₂

2 cos ϕ ₁

2 + (S~a 2 ~a 1 ) sin ϕ ₂ 2 sin ϕ ₁

2

+ sin ϕ ₂

2 cos ϕ ₁

2 ~a 2 + sin ϕ ₁

2 cos ϕ ₂ 2 ~a 1

+ sin ϕ 2

2 sin ϕ 1

2 V~a 2 ~a 1 (155)

さて，q ₁ q 2 = q ⁰ とおくと，q ₁ q 2 6 = q 2 q 1 (等号は ~a 2 = ~a 1 の時だけ)．つまり，

有限回転は順序に依存する．

無限小回転

~r 1 = q 1 ~r 0 q ₁ ⁻¹

q 1 = 1 + ϕ 1

2 ~a 1 + O (ϕ ² ₁ )

12 ~ ρ 1 ⊥ Vq( k ~a)

(Vq)ρ 1 = − ρ 1 (Vq)

3 オイラーの運動方程式 27

=

1 + ϕ 1

2 ~a ₁

~r ₀

1 − ϕ 1

2 ~a ₁

= ~r 0 + ϕ 1

2 ( ~a 1 ~r 0 − ~r 0 ~a 1 ) + O (ϕ ² ₁ ) (pq − pq = 2VVpVq)

~r ₀ + ϕ ₁ V~a ₁ ~r ₀ + O (ϕ ² ₁ ) (156) よって，

~r ₂ = ~r ₁ + V~a ₂ ~r ₁ + O (ϕ ² ₂ )

= ~r 0 + ϕ 1 V~a 1 ~r 0 ∗ ϕ 2 V ~a 2 ~r 0 + O (二次) (157) 無限小回転は順序によらない．

無限小回転において，

dϕ _j ~a _j = ~ω _j dt, d(~r ₂ − ~r ₀ ) = ~ r ˙ ₀ dt (158) とおくと，

~ r ˙ 0 = V~ω 1 ~r 0 + V~ω 2 ~r 0 = V~ω~r 0 , ~ω = ~ω 1 + ~ω 2 (159) このように，角速度 ~ω はベクトルであり，合成できる ( 無限小回転 ) ．

3.3.2

G ~ = ^X mV~r~ r ˙ = ^X mV~rV~ω~r ; 角運動量 (160) ここで，

Vα(Vβγ) = Vα(βγ − Sβγ ) = Vαβγ = αSβγ − βSγα, Sγα = − γ · α (161) より，

G ~ = ^X m ^h ~rS~ω~r + ~ωr ^{2 i} (162) O を原点とする剛体に固定された軸 i, j, k をとる．

~ω = ω ₁ i + ω ₂ j + ω ₃ k (163)

~r = ξi + ηj + ζk (164)

すると，

S~ω~r = − ω 1 ξ − ω 2 η − ω 3 ζ (165)

3 オイラーの運動方程式 28

O i

j

k

Figure 17: i, j, k よって，

G ~ = ^hX mr ² ω 2 − ^X mξ(ω 1 ξ + ω 2 η + ω 3 ζ) ⁱ i + ^hX mr ² ω ₂ − ^X mη(ω ₁ ξ + ω ₂ η + ω ₃ ζ ) ⁱ j

+ ^hX mr ² ω 3 − ^X mζ(ω 1 ξ + ω 2 η + ω 3 ζ) ⁱ k (166) r ² = ξ ² + η ² + ζ ² より，

G j = ^X m(δ kl − δ jl )r k r l (167) 慣性積をつかって，

G ~ = (Aω 1 − F ω 2 − Eω 3 )i +(Bω 2 − Dω 3 − F ω 1 )j

+(Cω 3 − Eω 1 − Dω 2 )k (168)

同じ様に運動エネルギーについて ¹³ ， T = − 1

2

X mS ~ r~ ˙ r ˙ = − 1 2

X mS ~ rV~ω~r ˙ = − 1 2

X mS~ω~r~ r ˙

= − 1

2 S(~ω ^X m~r~ r) = ˙ − 1

2 S(~ω ^X mV~r~ r) = ˙ − 1

2 S~ω ~ G (169)

= 1

2 (Aω ₁ ² + Bω ₂ ² + Cω ₃ ² ) − (Dω ₂ ω ₃ + Eω ₃ ω ₁ + F ω ₁ ω ₂ ) (170) 一方 ~ r ˙ = V~ω~r を同時に代入して，

2T = − ^X mSV~ω~rV~ω~r (171)

SV~ω~rV~ω~r = S~ω~rV~ ω~r = − S~ω~rV~r~ω

= − S~ω~r(~r~ω − S~r~ω) = − ~r ² ~ω ² + (S~ ω~r) ² (172)

13 S~a~b = − ~a · ~b

3 オイラーの運動方程式 29 よって，

2T = ^X m[ω ² r ² − (S~ ω~r) ² ] = ^X mω ² [r ² − (S~rU~ω) ² ] = ω ^{2 X} mω ² p ² = ω ² I ω (173) ここで I ω は ω ~ 方向の慣性モーメント．

I ω = Aω ₁ ² + Bω ² ₂ + Cω ² ₃ − 2(Dω 2 ω 3 + Eω 3 ω 2 + F ω 1 ω 2 ) (174)

O

r p

S r U ω

2

ω

Figure 18: S~rU~ω, p ² , ~r

3.3.3 i, j, k

G ~ = Aω 1 i + Bω 2 j + Cω 3 (175)

i, j, k も剛体と共に動くから ¹⁴ ，

~ ˙

G = A ω ˙ 1 i + B ω ˙ 2 j + C ω ˙ 3 k

| {z }

∂G

∂t

+ Aω 1 V~ωi + Bω 2 V~ω + Cω 3 V~ωk

| {z }

V ^{ω ~ ~ G}

(176) よって，

~ ˙

G = ∂G

∂t + V~ω ~ G (177)

V~ω ~ G; 遠心偶力 (centrifugal couple) V~ωi = − ω 2 k + ω 3 j などにより，

~ ˙

G = [A ω ˙ 1 + (C − B)ω 2 ω 3 ] i + [B ω ˙ 2 + (A − C)ω 3 ω 1 ] j

+ [C ω ˙ 3 + (B − A)ω 1 ω 2 ] k (178)

14 ~ r ˙ = V~ ω~ r

3 オイラーの運動方程式 30 遠心力 (Centrifugal Couple) について

遠心力：

f ~ = mp ² ω ² U f , ~ U f ~ = V~aV~a ⁻¹ ~r = − V~aV~a~r (179) よって ¹⁵ ，

f ~ = − mω ² V~aV~a~r = mV~ωV~ω~r = m~ωS~ω~r + mω ² ~r (180)

V~r ~ f = mS~r~ ωV~ω~r (181)

一方，

~ ˙

G = ^X mV~rV~ω ~ R = ^X m~ωr ² + m~rS~ω~r (182) V~ω ~ G = ^X mV~ω~rS~ω~r = − ^X V~r ~ f (183)

よって V~ω ~ G

term

Euler の運動方程式

m f r

a =ω

Figure 19: 遠心力

~ ˙

G = N ~ の表式



 

 

 

 

A ω ˙ 1 + (C − B)ω 2 ω 3 = N 1

B ω ˙ ₂ + (A − C)ω ₃ ω ₁ = N ₂ C ω ˙ 3 + (B − A)ω 1 ω 2 = N 3

(184)

これは一般には解けない．天体力学では重心を O にとって N ~ = gradΦ ， A ∼ B ∼ C 等 の条件などによりいろいろと解ける．

これは 3 階の方程式である．実は 6 階の方程式でないと運動は解けない．後の 3 階は ψ, ˙ ϕ, ˙ vθ ˙ と ~ω の関係である．さて，

15 ~ ω = ω ω ˆ = ω~a

3 オイラーの運動方程式 31

N i A C Z

X

θ

ψ O ϕ θ

M

Figure 20: 慣性楕円体の赤道面と基準面

~ω = ω 1 i + ω 2 j + ω 3 k (185)

一方，

~ω = ˙ ψOZ + ˙ θON + ˙ ϕOC (186) ここで，

i = (OC)

^ϕ ON = (cos ϕ + OC sin ϕ)ON = cos ϕ · ON + sin ϕ · OM (187) j = ki = OC · i = cos ϕ · OM − sin ϕ · ON (188)

k = OC (189)

OZ = (ON)

^(−ϕ) OC = cos θ · OC + sin θOM (190) 代入すると，

~ω = ω 1 (cos ϕ · ON + sin ϕ · OM) + ω 2 (cos ϕ · OM − sin ϕ · ON) + ω 3 OC

= ψ(cos ˙ θ · OC + sin θOM) + ˙ θ · ON + ˙ ϕ · OC (191) 比較して，

ON; θ ˙ = ω ₁ cos ϕ − ω ₂ sin ϕ OM; sin θ ψ ˙ = ω ₁ sin ϕ + ω ₂ cos ϕ OC; ϕ ˙ + ˙ ψ cos θ = ω 3

ψ ˙ = − (ω 1 sin ϕ + ω 2 cos ϕ)cetθ + ω 3



 

 

 



 

 

 



(192)

一般には (184) を解いて ~ω を求め， (192) を用いて (ψ, θ, ϕ) を求めるわけであるが，こ

れは結構複雑になる．

3 オイラーの運動方程式 32

O

G

i

j k

Figure 21: 剛体に固定した座標系 3.3.4 N ~ = M V~r _G ~g

O r

Mg G

G

Figure 22: N ~ = M V~r G ~g O で支持された一様重力下のコマ．

~ ˙

G = M V~r G ~g (193)

まず ¹⁶ ，

S~ ω ~ G ˙ = MS~ωV~r G ~g = M S~ω~r G ~g = MS ((V~ω~r G ) ~g) = M S( ~ r ˙ G ~g) = d

dt (M S~r G ~g)(194) 一方，

S~ω ~ G ˙ = − [Aω ₁ ω ˙ ₁ + Bω ₂ ω ˙ ₂ + Cω ₃ ω ˙ ₃ ]

= − d dt

1 2

Aω ₁ ² + Bω ₂ ² + Cω ₃ ² = − T ˙ (195)

16 ~ r ˙ = V~ ω~ r, ^d~ _dt ^g = 0

3 オイラーの運動方程式 33 [ 注意 ]

T = − 1

2 S~ω ~ G, T ˙ = − 1 2

S ~ ω ~ ˙ G + ~ω~ G ˙

= − S~ω ~ G ˙ (196) したがって，

S ~ ω ~ ˙ G = S~ω~ G ˙ (197)

よって，

1 2

Aω ₁ ² + Bω ² ₂ + Cω ₃ ²

| {z }

運動エネルギー

+M S~r G ~g

| {z }

hg: 位置エネルギー

= const. (198)

これはエネルギー積分．さて， (193) で鉛直上向きを k 0 とすると，

O r

G

G

h g

Figure 23: 位置エネルギー

S Gk ~ ˙ 0 = M S(V~r G ~g)k 0 = M S~r G V(~gk 0 ) = 0 (~g k k 0 ) (199) よって，

S Gk ~ 0 = const. ⇒ 角運動量の z 成分 (200)

慣性主軸に対する k 0 の方向余弦を γ 1 , γ 2 , γ 3 とすれば，

Aω 1 γ 1 + Bω 2 γ 2 + Cω 3 γ 3 = const. (201) 知られている積分はこの 2 つだけである．さまざまな場合

Euler

O が G と一致

Lagrange

中心楕円体が軸対称，O が対称軸上にある．A = B 6 = C

Kovalevski

中心楕円体が軸対称， O は赤道面内， A = B = 2C

3 オイラーの運動方程式 34

O

G k 0

Figure 24: k 0

3.3.5

O

O を支えるのに必要な力は？

M~ r ¨ G = M ~ G + R, ~ R ~ : O に働く束縛力 (202) この束縛力は剛体のどの点に対しても同じ力が働く．さて ¹⁷ ，

~ r ˙ G = V~ω~r G , ~ r ¨ G = V ~ ω~r ˙ G + V~ω(V~ω~r G ) (203)

~ ˙

ω = ˙ ω 1 i + ˙ ω 2 j + ˙ ω 3 + ω 1 V~ ωi + ω 2 V~ωj + ω 3 V~ωk

| {z }

=0

, ˙ i = V~ω~i (204) V~ωi = ω 2 k − ω 3 j などにより，結局，

~ ˙ ω = ^X

i,j,k

B − C

A ω 2 ω 3 + N 1

A

i (205)

一方，

~r G ξi ¯ + ¯ ηj + ¯ ζk (206)

と書くと，

V ~ ω~r ˙ _G = ^X

i,j,k

C − A

B ω ₃ ω ₁ + N 2

B

ζ ¯ −

A − B

C ω ₁ ω ₂ + N 3

C

¯ η

i (207)

さて，

V~ωV~ω~r G = ω ² ~r G ~ωS~ω~r G

= ^{X h} ω 1 (ω 2 ξ ¯ + ω 2 η ¯ + ω 3 ζ) ¯ − ξ(ω ¯ ₁ ² + ω ² ₂ + ω ₃ ² ) ⁱ i

= ^{X h} ω 1 (ω 2 η ¯ + ω 3 ζ) ¯ − ξ(ω ¯ ₂ ² + ω ₃ ² ) ⁱ i (208)

17 ~ r ˙ _G

= V~ ω~a

3 オイラーの運動方程式 35 結局，

R ~ = − M~g + M ^X

C − A

B ω 3 ζ ¯ − A − B C ω 2 η ¯

ω 1

+ ω 1 (ω 2 η ¯ + ω 3 ζ) ¯ − ξ(ω ¯ ₂ ² + ω ₃ ² ) ⁱ i + M ^X

N 2

B ζ ¯ − N 3

C ηi ¯

(209) N 1 = − M S(V~r G ~g)i = M g(γ 2 ζ ¯ − γ 3 η) ¯ (210) N 2 = − M S(V~r G ~g)j = M g(γ 3 ξ ¯ − γ 1 ζ) ¯ (211) N ₃ = − M S(V~r _G ~g)k = M g(γ ₁ η ¯ − γ ₂ ξ) ¯ (212) 重心以外の点が支持点になるとよけいな力がいる．

N ~ = 0 の場合



 

 

~ ˙

G = 0 ⇒ G ~ = const.

T ˙ = S~ω ~ G ˙ = 0 ⇒ T = const. (213) そこで，

Aω ₁ i + Bω ₂ j + Cω ₃ k = const. ⇒ A ² ω ² + B ² ω ₂ ² + C ² ω ² ₃ = G ² Aω ² ₁ + Bω ₂ ² + Cω ₃ ² = 2h





 (214)

ω ₂ で表そう．

G ² − 2Ah = B(B − A)ω ₂ ² + C(C − A)ω ₃ ² (215) よって，

ω 3 = ±

s 1

C(C − A) [G ² − 2Ah − B(B − A)ω ₂ ² ] (216) ω 1 = ±

s 1

A(A − C) [G ² − 2Ch − B(B − C)ω ₂ ² ] (217) N ~ = 0 より，

B ω ˙ 2 + (A − C)ω 1 ω 3 = 0 (218)

代入すると，

˙ ω 2 = ±

v u u t − 1

AC

"

G ² − 2Ah

B − (B − A)ω ₂ ²

# "

G ² − 2Ch

B − (B − C)ω ₂ ²

#

(219)

dt = ±

Z dω ₂

r

− AC ¹

h G

−2Ah

B − (B − A)ω ₂ ^{2 i h G}

^−2Ch _B − (B − C)ω ₂ ^{2 i}

(220)

3 オイラーの運動方程式 36 右辺は楕円関数である ¹⁸ ． A ≤ B ≤ C と仮定しよう．すると，

G ² − 2Ah > 0 > G ² − 2Ch, B − A > 0 > B − C (221) よって，

Z dω 2

r

− _AC ^{1 h G}

^−2Ah _B − (B − A)ω ² ₂ ^{i h G}

^−2Ch _B − (B − C)ω ₂ ^{2 i}

=

v u

u t − ACB ²

(G ² − 2Ah)(G ² − 2Ch)

Z dω 2

q (1 − k ² _A ω ₂ ² )(1 − k _C ² ω ² ₂ ) (222) k _A ² = B(B − A)

G ² − 2Ah > 0, k _C ² = B(B − C) G ² − 2Ch > 0

| ω 2 | ≤ max

1 k A

, 1 k C

(223) k _A ω ₂ = u とすると，

Z dω ₂

(1 − u ² )(1 − k ² u ² ) ∝

Z

dt (224)

これより u = sn(t, k), k = ^k _k

A

．

D と ω G







2h = 2T = − rs~ω ~ G ≡ ω G G, ~ ω G : ~ωの G方向の成分 ~

G ≡ ω G D, D : ω G 方向の慣性能率 (225)

2h = Dω _G ² (226)

G = Dω G (227)

この ω G と D を使うと，

Aω ₁ ² + Cω ² ₃ = Dω _G ² − Bω ² ₂ , A ² ω ₁ ² + C ² ω ₃ ² = D ² ω ² _G − B ² ω ² ₂ (228)

∆ =

A C

A ² C ²

= AC(C − A) (229)

これより，

ω ₁ ² = 1 AC(C − A)

Dω _G ² − Bω ₂ ² C D ² ω _G ² − B ² ω ₃ ² C ²

18 A = B

3 オイラーの運動方程式 37

= B (C − A) A(C − A)



 

 



D(C − D) B (C − B) ω _G ²

| {z }

f

− ω ₂ ²



 

 



(230)

ω ₃ ² = B (A − B ) C(A − C)



 

 



D(A − D) B(A − B) ω ² _G

| {z }

g

− ω ₂ ²



 

 



(231)

よって，

f ² − g ² = D(C − A)(B − D) B(C − B )(A − B) ω _G ²







> 0, A < D < B

< 0, B < D < C (232) 1. A < D < B < C ¹⁹

f ² > g ² ≥ ω ₂ ² より，

ω ² ₁ ≥ D(B − D)

A(B − A) ω _G ² , − g ≤ ω ₂ ≤ g (233) 2. A < B < D < C

g ² > f ² ≥ > ω ₂ ²

− f ≤ ω 2 ≤ f, ω ₁ ² ≥ D(B − D)

C(B − C) (234)

いずれの場合も，

˙ ω 2 = ±

s (C − B)(B − A) AC

q

(f ² − ω ₂ ² )(g ² − ω ₂ ² ) (235)

Z ω

0

dω 2

q (f ² − ω ² ₎ (g ² − ω ₂ ² ) =

s (C − B )(B − A)

AC (t − t 0 ) (236)

さて，普通は D は C に近いので 2. の場合を代表して考えよう．楕円関数，楕円積分の テキスト Byrd & Friedman “Handbook of Elliptic Integrals” の 219:00

積分の左辺 = 1

g u (237)

sn ² u = ω ² ₂

f ² , k ² = f ²

g ² = (B − A)(C − D)

(D − A)(C − B) , k; modulus (238) k = 0 ⇒ sin u これは A = B or C = D のときに起こる．

u = ^r (t − t ₀ ) =

s D(C − B)(D − A)

ABC ω _G (t − t ₀ ) (239)

19 A < B < C

I _min

I _max for ∀ I