解答例 ２次数学セレクション

© 電送数学舎 2006 －1－

[大阪大]

(1) yxsin2x…… , yx…… 対し , x座標 正 共有点 , x

x

xsin2  , 1sin2x  , sinx 1

こ ,

2 1 

x , xn1 xn  ,





   2 1 ) 1 (

2    

 n n

xn

さ , , y sin x 2xsinxcosx sin x xsin2x 2

2 _{  }

 

そこ ,







2 1   n

x い ,



 





sin(2 1)

2 1 2

1

sin2    



 n n n

y (1)2 1

っ , 曲線 直線 , 点A_n い 接し い 。

(2) 10≦sin2x≦ , x＞0 い x x≦x 2

sin , 線 AnAn1 曲線

ま 部 面積S ,



   1 ) sin ( 2 n n x

x x x x dx

S 



n1 cos2 n

x

x x xdx



   1 ) 2 cos 1 ( 2 1 n n x

x x x dx

ここ , (1) ,







2 1   n

xn ,





 2 1 1  

 n xn ,

 

( )( ) 2 1 ) ( 2 1

2 1 1

2 2 1 2 ₁ 1 n n n n n n x x x

x x x x x x x x

dx

x n_n n

n      

    



2 2 2

1_{ n n} 



1

2 cos n

n x

x x xdx







 



 ₁ 1

2 sin 2 1 2 sin 2 1 n n n n x x x

x xdx x

x



cos2



1

4 1 ) 2 sin 2 sin ( 2 1 1 1   

   nn

x x n

n n

n x x x x x

(cos2 cos2 ) 4

1

1 n

n x x 

  (cos(2 1) cos(2 1) ) 4

1 _{    }

 n n

( 1 1) 0 4

1 _{  }



し っ ,

2 2 1_n

S あ 。

［解 説］

微積 総合問題 。曲線 直線 位置関係 明 , を描くま

© 電送数学舎 2006 －2－

[岡山大]

(1) 点P(cos, sin), )Q(cos3, sin3 け 接 線 方程式 , そ ,

1 sin cos y  

x , xcos3 ysin3 1 こ 2本 接線 交点R(, ) ,

1 sin cos   

 , 1cos3 sin3 

ま , 

                  1 1 3 sin 3 cos sin cos      

さ , cossin3sincos3 sin(3 )sin2 ,

4

6  

 ≦ ≦ , 0sin2＞ ,

                     1 1 cos 3 cos sin 3 sin 2 sin 1       

っ ,

       

 _{2cos2 sin} cos_cos2

cos sin 2 1 ) sin 3 sin ( 2 sin

1 _{   }

       

 2sin2 sin 2sin

2 sin 1 ) cos 3 cos ( 2 sin

1 _{    }



(2) (1) ,



cos 2 cos 

x , y2sin ,

  

 

 _cos2

sin 2 cos cos 2 sin 2    d dx      2 2 2 cos sin ) 1 cos 2 ( cos sin

4  

     2 2 cos ) 1 cos 2 ( sin      2cos

d dy

っ , 点 R 軌跡 右 う , 求 網点部 面

積をS ,

3 1 1 2 1 2

1   





xdy S 6 3 cos 2 cos 2 cos 4 6  





_ _ d





_{1 3}3

6 3 2 sin 4 6      _

［解 説］

和積公式を利用し , 点 R 座標を整理し い , 積 実行 困難 っ

ま 。ま , (2) 面積計算 , 計算量を考え , y軸方向 積 べ 。

 ₆ …

4   d dx － x 1 ₃ 0



d dy

＋

y 1 2

© 電送数学舎 2006 －3－

[神戸大]

(1) )P(1, 1, 0 , Q(1, 1, 0), )R(1, 1, 2 ,

ま 線 QR xy 平面 垂直 , 平面zt 交

点S 座標 , )S(1, 1, t あ 。

ま , 線 PR 平面zt 交点T , 線 PRを t

t:2 内 点 ,



,



(1 , 1, )

) 2 (

2 , ) 2 (

2

T t t t

t t

t t t t

t

t _{ }

   

  

(2) 点T x座標 符号 場合 けを 。

(i) 1t 0(0≦t≦1)

線 ST をz軸 まわ 回転し ー ツ

状 形 , 外 径 2 , 内 径 1 あ , そ 面 積

) (t S ,

 

   

 _{( 2)}2 ₁2 )

(t S

(ii) 01t≦ (1≦t≦2)

線 ST を z 軸 まわ 回転し ー

ツ 状 形 , 外 径 2 , 内 径

2 2 ₁ ) 1

( t  あ

, そ 面積S(t) ,



(1 ) 1



(2 ) )

2 ( )

(t 2 t 2 2 2 t t2

S      

(i)(ii) , △PQR z軸まわ 回転体 体積V ,







  

 2

1

2 1

0 2

0S(t)dt dt (2t t )dt

V  



2 3



₁2 3 1_t t  

  _35

［解 説］

平面 形 回転体 体積を求 頻出題 。回転軸 垂直 回転体 口

ー ツ形 あ こ わ , 積 計算 難しくあ ま 。

x

y z

O

1 1

1



P

Q R

T

S

x y

1

1



T S

t



1

x y

1

1



T S

t



© 電送数学舎 2006 －4－

[筑波大]

(1) 条件 , 立体

2

: x z

R ≦ ………

lを中心軸 半径1 柱C 方程式 , 1

) 1 (

: y2 z 2≦

C ………

ま , 点(0, 0, 1h)を通 z軸 垂直 平面 方程式 , h

z1 ………

を 代入し ,

2 ) 1

( h

x ≦  ,

2

2 _{(1 )}

) 1

( h x h

 ≦ ≦

を 代入し , 1

2 2

≦ h

y  ,  1h2≦y≦ 1h2 R C 共通部 Tを平面 断し

口 を 示 , 右 網 点 部 。 そ

面積S(h) ,

2 2 _{2 1} )

1 ( 2 )

(h h h

S     2 2 ₁ ) 1 (

4 h h



(2) T 体積をV ,





      1 1 2 2 1

1S(h)dh 4(1 h) 1 h dh V







         1 1 2 2 1 1 2 1 1

2 _{8 1 4 1}

1

4 h dh h h dh h h dh





    1 0 2 2 1 0

2 _{8 1}

1

8 h dh h h dh

ここ , 原点 中心 , 半径1 四 面積

4  _, 4 1 1 0

2 _ 



h dh

ま , hsin





2

2  

 ≦ ≦

 く ,







   2

0 2 2 0 2 2 1 0 2

2 _{sin 2}

4 1 cos sin 1      

 d d

dh h h 16 2 8 1 ) 4 cos 1 ( 8 1 2 0         





d

以上 ,   

2 5 16 8 4

8   



V あ 。

［解 説］

10 以上 前, 旧旧課程 頃 頻出し い 共通部 体積を求 問題 。こ

こ数 , 空間 形 内容 削減さ , 散見さ 程 し , やや風向

変わっ し う 。

x y

2

) 1 ( h

 2

) 1 ( h

2

1h

 2

© 電送数学舎 2007 －5－

［神戸大］ (1)

2

0≦t≦ , x sint, ysin2t 対し , 0≦x≦1, 0≦y≦1 , 2

1 2 cos sin

2 t t x x

y  

(2) (1) ,

2 2

1 2

) 2 ( 2 1

2

x x x x y

      

2 2

1 ) 2 1 ( 2

x x   

っ , 曲線C 概形 右下 う 。

そ こ , x 軸 C ま 形 D 面 積 S ,

2 1 x

u  く ,





 1 0

2 1

2x x dx

S 



0 

1 u( du)



 1

0 udu





3

2 3

2 1

0   u u

(3) D を y 軸 まわ 回転さ 回転体 体積 V

, x sint く ,



 

 1 0

2 1 2

2 x x x dx

V  



1 

0

2 2 ₁

4 x x dx





 2

0

2 2 _{1 sin cos} sin

4 

 t t tdt 



2

0

2 2 _cos sin 4



 t tdt



 2

0 2

2 sin 

 tdt 



2 

0 (1 cos4 ) 2



 _{t dt}

2 2 

 _

 ₄2

［解 説］

(1)を誘導 し , (2) 面積, (3) 体積を計算し いま 。(1) 設問 け , パ

ラメータ表示 まま, S Vを計算し い こ し う。 , y軸回転体 体積 ,

いわ 筒 割を利用し いま 。

x 0 … 2 1

… 1 y 2 ＋ 0 － ×

y 0 1 0

x y

O 1

1

© 電送数学舎 2007 －6－

［千葉大］ (1) 4 3 log 2 1 4 1 )

(x  x2 x 

f 対し ,

x x x x x 2 1 2 1 2 1 )

(    2



f

さ , 接 点 x 座 標 をx,  (＜) く , 接 線 傾 そ )

(

f , )f( , 2接線 互い 垂直 あ 条件 , 

  () f ()

f 1 2 1 2 1 2 2         

こ , ( 1)( 1) 4 2

2_{   , 0}22_2_2_14 _ 0

) ( ) 1

( 2  2

, 01  0 ,  1, 1  。 1

 

 , 1f(1) , 1f(1) , 接線 方程式 , )

1 ( 1 

 x

y , yx 1



 , 1f(1) , 1f(1) , 接線 方程式 , 1

1   x

y , yx

(2) 接点を(t, f(t)) く , 接線 方程式 , )y f(t) f(t)(xt 原点を通 こ , ) f(t) f(t)(t

) ( 2 1 4 3 log 2 1 4

1 2 2 _t

t t t

t        ) 1 ( 2 3 log 2 2

2_{ t   t } t

t

t212log ………(＊)

, 右 , (＊) 解 t1 , (1) 傾

正 接線l 方程式 yx あ 。

(3) ₂ 2 ₂

2 1 2 1 2 1 ) ( x x x

x     

f , x＞0 い , 曲線

) (x

y f 概形 右 う 。

, 曲 線y f(x) 2 直 線xe, yx

ま 形 面積S ,







  

 e x x x dx

S 1 2 4 3 log 2 1 4 1





e

x x x x x

x3 2 ₁

2 1 4 3 ) log ( 2 1 12

1 _{   }

 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 4 1 2 1 ) 1 ( 12

1 3_{    } 2_

 e e e e

6 1 4 3 2 1 12

1 3_ 2_{ }

 e e e

［解 説］

(1) , ,  値 求ま う いう懸念 杞憂 過 ま し 。

x 0 … 1 … )

(x

f × ＋ ＋

) (x

f × － 0 ＋ )

(x

f × 1

O _t y 1 1  1  x y

O 1 e

© 電送数学舎 2007 －7－

［東北大］ 点(1, 0, 1) 点(1, 0, 2)を結ぶ線 lを, z軸 まわ 1回転し 筒 形A 方程式 ,

1 2 2_{y }

x , 1≦z≦2

ここ , 筒形Aをx軸 垂直 平面xt (1≦t≦1) 断 , そ 口

線 ,

1 2 2_{y }

t , 1≦z≦2 2

1 t

y  , 21≦z≦

ここ , こ 2本 線 をx 軸 まわ 1 回転し

ー ツ 状 形 い , そ 外 径 を R, 内 径 をr , そ 面積をS(t) ,

2 2 )

(t R r

S  



_1 2



2_22

 

_{ 1} 2



2_12



 t  t

) 2 ( ) 5

( t2  t2

  3

っ , Aをx軸 まわ 1回転し 立体 体積をV く ,



 6

3 )

( 1

1 1

1  





_ S t dt



_ dt V

［解 説］

立体を回転し 回転体 求積 いう, 2 代前 課程 こ , く出題さ

問題 。回転軸 垂直 断面積を考え ポイン 。 , 柱側面 方程

式 い , ピンポイン レクチャー を参照し く さい。

2

1

y z

2 1_t

 2

© 電送数学舎 2007 －8－

［東京工大］ (1) )fn(x)an(xn)(n1x 対し ,



( 1 ) ( )



( 2 2 1) )

(         

 x an n x x n an x n n

f

ま ,

x e

y  対し ,

x e y 

さ , 2曲線yan(xn)(n1x)

x e

y  xtn 接 , n

t n

n t n e

a (2 2 1)  ……… ,

n t n n

n t n n t e

a (  )( 1 )  ……… n

a ＞0 , , 2tn 2n1(tn n)(n1tn) 0 1 ) 1 2 ( 2

2_{ n t n n } tn n

っ ,

2 5 1 2 2 ) 1 ( 4 ) 1 2 ( 1

2 2 2 _{ }

      

 n n n n n

tn

n＜tn＜n1 ,

2 5 1 2    n

tn , 代入 ,

2 5 1 2 2 5 1 2 ) 5 2 ( 1 2 ) 5 1 2 (

1    _{ }   

   

 

 n n

n e e

n n

a

(2) ま , y fn(x) x軸 っ ま 部 面積 ,

6 ) 1 ( 6 ) 1 )( ( 3 1 n n n n n a n n a dx x n n x

a       





こ こ , 0≦x≦n い , 曲 線 x e y  )

( 0 x

y f , )y f1(x , …, )y fn1(x っ

さま 部 面積をTn く ,



_

 _





1

0 0 6 1n k k n x

n e dx a T

2 1 5 1 2 0 0 2 5 6 n n n x k e e - + - -= + é ù

= -_{êë úû} -

å

1 5 2

1

2 5 1

1 6 ₁ n n e e e e - -+ -= - + - ⋅

-さ , 条件 , Tn＜S0S1Sn＜Tn1 あ ,

2 5 3 1 2 5 1 1 ) 1 ( 6 5 2 1 1 1 6 5 2 1 lim lim       

 Tn n Tn    e  _e   e e n

っ , )lim( 0 1 n n S S S

2 5 3 ) 1 ( 6 5 2 1      e e

［解 説］

(2) , 最初, Snを定積 立式しまし , う い計算を実行 気 ま

。そこ , 6 1

公式 登場し わけ 。

O 1 y x 1 

‹電送数学舎 −−

９ ［東北大］

_I[₌[ ₊N[ _{に 対 し 点3FRVα VLQαが 曲 線}

[

\= I 上にあるので

α α

α FRV FRV

VLQ _{= + N}

よって VLQ_FRVFRV WDQα FRVα

α α α

− =

− =

N

まず弧34に対する扇形の面積6は

=

6 _⋅⋅

(

π _{−α +}π _+β

)

_{=π −α +β}

また線分23\=[WDQαと曲線\= I[に囲まれた部分の面積6は

{

}

³

−

= FRVα α

[WDQ [ G[

6 I FRVα α α

FRV

FRV

− = −

=

³

[ [ G[

同様にして 4−FRVβ −VLQβから線分24\=[WDQβ と曲線\= I[に

囲まれた部分の面積6は

{

}

³

− −

=

FRV

WDQ

β [ β [ G[

6 I β β

β

FRV FRV

FRV

+ = −

=

³

− [ [ G[

よって 6N =6+6+6 =π−α+β+FRVα+FRVβ

まずより α WDQα

FRV

₌ +

N であり FRVα ≦より

_＜α＜π _において

N→∞のとき_α→π_である。

また点4−FRVβ −VLQβが曲線\= I[上にあるので

β β

β FRV FRV

VLQ _{= − N}

−

よって VLQ_FRVFRV WDQβ FRVβ

β β β

+ =

+ =

N より β WDQβ

FRV

₌ −

N

すると同様にしてN→∞のとき_{β →}π _である。

以上より OLP6N

N→∞

{

π α β α β

}

π

FRV FRV

OLP _{− + + + =}

=

∞ →

N

［解 説］

計算量も適度な微積分の総合問題です。なお の結論は図からの予測と一致

するものです。

3

4

2 _[

\

$ %

−

−

β

‹電送数学舎

−−

10 ［京都大］

[\平面上の直線\=を含み[\平面と°の角をなす

平面+の方程式は

− =\

]

円柱& を平面+で分けた下方の部分を $としたとき

$を表す不等式は

_{+\ ] ] \−}

[ ≦ ≦ ≦ ≦

ここで$を\=W ≦W≦で切断したときその切り口は \=W上で

_{−W ] ] W−}

[ ≦ ≦ ≦ ≦

≦W≦ より _{−W≧ ≦W−≦から}

−W [ −W

− ≦ ≦ ≦]≦W−

この切り口の面積を6Wとおくと

W W W

6 = − −

よって$の体積を9とすると

³

³

³

= − − −

=

6WGW W W GW W GW

9

[

]

(

VLQ

)

_{− − ⋅ ⋅}π _{− ⋅ ⋅} π

− −

= W W

=⋅ −π + π

−

=

［解 説］

非回転体の体積を求める頻出問題です。京大では必須の平面の方程式を利用してい

ます。なお積分の第項は半径の円を用いて面積として計算しています。

[

\ ]

2

[ ]

−W

− −W

−

‹電送数学舎

−−

11 ［筑波大］

34=FRVθ − +VLQθ −より直線34はXを実数として

VLQ FRV

[ \ ] = +X θ − + θ −

さて平面]=Wと交わるのは−X=WよりX=−Wのときでありこのとき

FRV

+ − −

= W θ

[ =−FRVθW+FRVθ \=−W+VLQθ

条件より交点をα β Wとおくと

_β

α + =

{

−FRVθW+FRVθ

}

++VLQθ−W

₌₊VLQ_{θ −}FRV_θW+−−VLQ_θ+FRV_θW++VLQ_θ

線分34を]軸のまわりに回転させてできる曲面

を平面] =Wで切断したときにできる切り口は中心

が Wで半径が _{α+β の円である。}

その断面積を6Wとおくと

_{W =π α+β}

6

よって求める立体の体積9はより

= 9

³

6WGW =

³

+

α β GW

π

=π

{

+VLQθ−FRVθ+−−VLQθ+FRVθ++VLQθ

}

=π+VLQθ+FRVθ

αを

FRVα=

VLQα = を満たす角と決めるとより

{

VLQ

}

θ α

π _{+ +}

=

9

すると ≦θ＜πより −≦VLQθ +α≦となり9の最大値は

+

π

最小値はπ− である。

［解 説］

軸とねじれの位置にある線分を回転したときにできる曲面で囲まれた立体の体積を

求める頻出問題です。ただ本問は計算量が多めです。

3

4

[ _\

]

W

‹電送数学舎

−−

12 ［東京大］

辺の長さが の正八面体 $%&'()において正

方形$%&'の対角線の交点を2とすると

2%

2$= = ………①

また△$&(は∠$(&=°の直角二等辺三角形で あるので

2(

2$= = ………②

すると四面体 2$%( において底面の正三角形

$%(の重心を*とおくと①②より線分2*は平面$%(に垂直である。

同様に正三角形 &') の重心を*とおくと線分2*は平面 &') に垂直であ

る。さらに平面$%(と平面 &') は平行であること

より点* 2 *は一直線上にある。

これより△$%( の面を水平な台に置き真上から

見ると正三角形 $%(を* * のまわりに°だけ

回転すると正三角形&')の位置になっている。

したがって正八面体を真上から見た図は正六角

形$)%&('を外形とする右図である。

直線**を軸としてこの正八面体を 回転させてできる立体を5とするとそ

の外形は辺$)を**のまわりに回転したものに等しい。

さて辺%(の中点を0とおき△2$0において

$0

$* = = ⋅ =

$* 2$ 2* *

*

= = − = − =

ここで *を原点とし平面 $%( を [\ 平面とする座標系を設定する。さらに

$

* を[軸**を]軸とすると

* *

(

)

$

(

)

また点)の[座標と\座標は

FRV °= =

[ \= VLQ°=

よって )

(

)

となり

(

)

$)= − = −

$

% &

'

( )

2

*

*

$ % &

'

( * )

*

*

$ )

‹電送数学舎

−−

これより直線$)のパラメータ表示は

(

)

[ \ ] = +W − ………③

直線③と平面]=N

(

)

≦N≦ との交点は W=NよりW N

= となり

N N

[= − ⋅ = − \ N N

⋅ =

=

よって立体5を平面]=Nで切断したときの切り口の面積を6Nとおくと

{(

) (

) }

N [ \ N N

6 =π + =π − + =π

(

− N+N

)

これより立体5の体積9は

(

)

³

³

= − +

=

N GN N N GN 6

9 π π

[

]

_{N− N + N}

=π =π

(

− +

)

= π

［解 説］

ありふれた素材をもとにしたものですが内容は本格的な求積問題です。東大らし

い構図です。

© 電送数学舎2009 －14－

13 ［神戸大］ (1) 2直線x0

2





x , 2曲線ycos(xa) ycosx

っ ま 形G 面積S ,







 

 2

0 cos( ) cos  dx x a x S





2

0 sin )

sin(xa  x  





sin( ) 1 2

sin    

  a a cosasina1

(2) (1) ,





1

4 sin

2  

 a 

S

そこ ,

2 0≦a＜

4 3 4

4  

 ≦a ＜ ,

2

4 

 _



a わ

4





a , S 最大値 21を 。

(3) ま ,

2

0≦x≦ い , 曲 線ycosxを x 軸 関 し 折 返し, x軸 上側 対称移動 , 曲線ycosx

。 そ し ,

2

0＜a＜ , 2 曲 線ycos(xa), x

ycos 交点 , x a

x ) cos

cos(   , xax, 2 a x

形 G を x 軸 まわ 1 回転さ 立体 ,

2

0≦x≦a ycosx,

2 2≦x≦

a _{ycos(xa)}

を1回転さ 等しく, そ 体積V ,





   2 2 2 2 0

2 _{cos ( )}

cos    a a dx a x dx x V









     2 2 2

0 (1 cos2 ) 2 1 cos2( ) 2    a a dx a x dx x







    2 2 2 0 2

0 2 cos2 2 cos2( )

2      a a dx a x dx x dx









2

2 2 0 ₂ ) ( 2 sin 2 2 2 sin 2 2 2      a a _{x a}

x _ 

   ) sin( 4 ) 2 sin( 4 sin 4 4 2 a a

a    

     a sin2a

4 sin 2 4

2  

 _{ }



, こ 式 a0 成立 。

［解 説］

(3) 利用し う , 回転体 体積を求 , 回転軸 一方 側 曲線を対

称移動し ま , ミス 少 く ま 。

O a ₂ x

1

y

1 

O a ₂ x

1

y

2

© 電送数学舎2009 －15－

14 ［筑波大］

(1) ま , 平 面 形 : 0, 4

2 ≦ ≦z y x

D  平 面zt 交

わ Dt , 線 , 0



x ,  t≦y≦ t, zt………(＊)

ま , 直線 l 平面zt 交わ 点(1, 1, t) あ 。 さ , (＊)上 点 P 点(1, 1, t) 距離 最大値を M,

最小値をm く ,

(i) 0≦t≦1

t t t

M  (1 )212  22  t t t

m (1 )212  22  (ii) 1≦t≦4

t t t

M  (1 )212  22  1

 m

(2) Dをl まわ 1回転さ 立体Eを, 平面

t

z っ 断し , そ 口 面積S(t) , )

( )

(t M2 m2

S  

(i) 0≦t≦1



t t t t



t

t

S( ) (22  )(22  ) 4 (ii) 1≦t≦4



(2 2 ) 1



(1 2 ) )

(t t t t t

S       

(3) E 体積V ,







   

 4

1 1

0 4

0 S(t)dt 4 tdt (1 2 t t)dt

V  

  



4

1 2 2 3 1

0 2 3

2 1 3 4 3

2

4 t  t t  t

   



15₂





3 28 3 3

8 _{  }

 _45₂ 

［解 説］

平面 形を回転し 立体 体積を求 。回転軸 垂直 断

面 ー ツ形 , そ 外径 内径を求 こ ポイン 。

t

1 1

x

y z

l

t

 O t

4

t

 t

x

y

1 1

t

 t

x

y

1 1

© 電送数学舎2009 －16－

15 ［東京工大］ (1) 原点 点(1, 1, 1)を通 直線l 方程式 ,

z y

x  ………

こ , 点





3 , 3 , 3

P t t t を通 l 垂直 平面 ,



 

 



0

3 3

3     

t _y t _z t

x , xyzt

こ 平面 xy平面 交線 , 0z  を代入し , t

y

x  , 0z 

(2) xy 平 面 上 , xyt… … yx(1x)… … を

連立 ,

2 x x x

t   , 0x22xt ………

共有点を 条件 ,

0 1

4 t

D   , t≦1

っ , 直線 領域D :0≦y≦x(1x) 共有点を 条件 , 10≦t≦ あ 。

こ , 右 う 共有点をQ, R く ,

, )Q(t, 0, 0 , R(1 1t, t1 1t, 0) 。 ま , 直 線 l を xy 平 面 へ 正 射 影 , 直 線xy,

0 

z , こ 直線 放物線 原点 け 接線 一致 。

こ , 平面上 点Pを中心 し 線 QRを回転

し ー ツ状 形 外径 PQ, 内径 PR

, そ 面積S(t) , 2

PQ



    

2 2 2 3 3

3

2_{t } t _ t 

 2

3 2_t 

2

PR



 

2

  

2 2

3 1

1 3 2 1

1 3

t t t

t

t _{        } 

 t 4(t1)2(2t) 1t 3

2 2

) PR PQ ( )

(t  2 2

S 



4(t1)2(2t) 1t



さ , 直線l x 0, y 0, z 0 部 を正 l軸を設定し, lOP く , t 0 い ,

     

t t t t l

3 1 3 3 3

2 2 2

 

 

っ ,

3 1  dt

dl _,

求 回転体 体積V ,



 1

0 ( )dtdt dl t S

V 



1



   



0 4( 1) 2(2 ) 1

3 t t t dt



x y l z

P

O

α

O t 1

t

R

Q x y

P

© 電送数学舎2009 －17－

ここ , 1tu く ,







   

 0

1 4 2( 1) ( )

3 u u u du

V  



1   

0( 4 2 2 )

3 u u u u du







1

0 2 3 2 5 2

3 4 5 4 2

3  u  u  u

  





2₄₅3

3 4 5 4 2

3    



［解 説］

過去問を探 気 ま , 20 以上 前 , く見 け 問題 。

ー ツ状 断面 外径 い PQ, 内径 い PR , 場合 け 必要 い

ホ しま 。 , 空間 け 直線や平面 方程式 い ピンポイン

© 電送数学舎 2010 －18－

16 [筑波大] (1) C1: ysinx…… , C2: ycosx…… , C3: ytanx…… 対し,

ま , C1 C2 交点 , , sinxcosx ,





0 4 sin

2 x 

2 0≦x＜ ,

4



 x ,

2 2  y

ま , C2 C3 交点 , , cosxtanx , x

x sin

cos2  , 0sin2xsinx1

2

0≦x＜ け 解をx く ,

2 5 1 sin  

2 5 1 sin

cos    

  

y

さ , C3 C1 交点 , , tanxsinx , 0sinx(cosx1) 2

0≦x＜ , x0, y0

(2) C1, C2, C3 っ ま 形 面積S ,







 

 4

0 4

0 tan cos sin

 

 

dx x dx

x dx

x S



 

 



4

0 4

0 sin cos

cos

log x   x _  x 

 

1 2

2 sin 2

2 1 log ) cos

log(     



  

1 2 2

5 1 2

5 1

log      

 

2 1 2

5 2 2

5 1 log 2

1   _{  }

 

［解 説］

基本的 求積問題 。まっ く同 問題を解い いう記憶 あ , 出典

思い浮 びま 。

O ₄ ₂

α

1

y

x C1

C2

© 電送数学舎 2010 －19－

17 [京都大] 曲線ysinx(0≦x≦) x 軸 ま 形

面積S ,



cos



2

sin ₀

0  





 xdx x 

S ………

ま ,

2

0≦x≦ け 曲 線ysinx, yacosx 交点をxt く ,

t a t cos

sin  ………

, 2曲線ysinx, yacosx x軸 ま 形 面積T ,







 2

0sin cos



t t

dx x a dx x

T



 



2

0 sin cosx t a x _t 



1 cos

sin )

sin 1 ( 1

cos       



 t a t a t t a ………

さ , 条件 S:T 3:1 , S3T , , )

1 cos

sin ( 3

2 a t ta , 3asint3cost3a10……… , 13(a21)cost3a ,

) 1 ( 3

1 3

cos ₂

  

a a t ,

) 1 ( 3

) 1 3 (

sin ₂

 

a a a

t ………

を, 1sin cos 2 2_{t t}

代入 , 1

) 1 ( 9

) 1 3 ( ) 1 ( 9

) 1 3 (

2 2

2

2 2

2 2

   

 a

a a

a a

1 ) 1 ( 9

) 1 3 (

2 2

   a a

, 99a26a19a2

っ , 3 4 

a , こ 値 a＞0を満 。

［解 説］

交点 x 座標を文字 , そ 条件 を用い , 間接的 解 進 タイプ 有

問題 。演習必須 1題 。

2

  _x

O

y a

© 電送数学舎 2010 －20－

18 [東京大]

(1)



8



2 1 2 4 1 2 1

: y x x2  x x2

C ……(＊) 対し ,





0

8 1 2 1 2 ＞     x x

y , 0

8 ) 8 ( 4 8 ) 8 ( 8 2 1 2 2 2 2 2 2 ＞           x x x x x x y

ま , 



 





  

 2 8

1 lim

limy x x2

x x

∞ あ ,





0

8 8 lim 2 1 8 2 1 lim lim 2 2 _        _{ } 

 y x x x x _{x x}

x

さ ,



8



0

2 1 lim ) (

lim     2 

  

 y x x x x

x

っ , 曲線C 下 凸 あ , x軸 び直線yx

を漸近線 し 。

さ , P1(x1, y1) , P2(x2, y2) , H1(y1, y1) , )

, (

H2 y2 y2 , 1 1H OP

△



8



8



1

8 1 ) ( 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1

1       

 y x y x x x x

同様 , 1△OP2H2  , △OP1H1△OP2H2 あ 。 (2) 2直線P1H1 OP2 交点をI く , △OP1H1△OP2H2 ,

1 1

1H OIH

OP △

△  △OP2H2△OIH1

こ , C 線 P₁O, OP₂ ま 形 面 積 S , C 線 P1H₁, 2

2H

P , び直線yx ま 形 面積 等しい。

ここ , (＊) , 2 8

2_  x x

y , 8(2yx)2 x2 2

2_yx y ,

y y x 2

っ ,

 



 

1 2 log 2 log 2 2 2 2 1 2 1 2 1 y y y dy y dy y y y

S y y_y

y y

y     







［解 説］

曲線 概形を描く , 時間 ま 。 , S x 積 こ っ

求 ま 。 , (1)を利用し , 置換積 を実行し , 3倍程 記述量 必

要 。最初 こ 解法 し , 書 直しまし 。

© 電送数学舎 2010 －21－

19 [東北大] 領域0≦y≦sinx…… , 0≦x≦ty…… 対し ,

0＜t＜3 , 境界線ysinx 境界線ytx 交点 1 存在し, そ をx く ,

  t

sin , tsin………

こ , 右 網点部を x 軸 まわ 回転し 得

立体 体積V(t) , を利用 ,

  

  2

0

2 _{( )sin}

3 1 sin

)

(t 



xdx t

V    3

0

2 _sin

3 1

sin 





xdx ………

ここ , , 

 1cos

d

dt _{, ,}

dt d t V d

d t V dt

d 

 ( )

) ( 

 

  

_{sin sin cos ) 1 cos}1

( 2 2

  

 __sin2

さ , 条件 ,

4 ) (t  V

dt

d _,

4 1 sin2 3

0＜＜ ,

2 1

sin  ,   

6 5 , 6

 あ 。

6



 , 3

2 1 6  ＜ 

t 適 。



_65 _{, 3}

2 1 2 5 2 1 6

5 _{  }

  ＞

t 適さ い。

っ ,

2 1 6 

t あ , こ , , )

(t V

6 sin 3 1

sin 3

6 0

2  

  





xdx  



24 1 ) 2 cos 1 ( 2

6

0  





x dx







 

24 1 2

sin 2 1 2

6 0  

 x x 







24 1 8

3 12

2

  

［解 説］



＜ ＜x

0 い , ysinx ラ 上 凸 あ , x け 接 線 傾

1

 あ こ , ysinx ytx 交点 1 あ こ わ ま 。ま , 0＜＜ い , t  単調増加関数 ,  t 関数 っ い

ま 。

y

t

t π _x

© 電送数学舎 2010 －22－

20 [大阪大] 条件 , 球T1, T2 中心をそ (0, 0, 0), (2, 0, 0) ,

9

: 2 2 2

1 x y z 

T , 1T2 :(x2)2y2z2  ま , 球S 中心を(x0, y0, z0) く ,

1 ) ( ) ( ) (

: xx0 2 yy0 2 zz0 2  S

さ , S T1 内部 あ T1 内接し い こ ,

1 3 2 0 2 0 2

0 y z ≦ 

x , 4x₀2y₀2z₀2≦ ………

ま , S T2 外部 あ T2 外接し い こ ,

1 1 )

2

(x0 2y₀2z₀2  , 4( 2) 02 2

0 2

0 y z

x    ………

っ , S 中心 存在しう 範 D , ,

4 2 2 2

≦ z y

x   ………  4 )

2

(x 2y2z2 ……… 

こ こ , 平 面x k (0≦k≦1)   共 通 範 を

断 ,

2 2

2 _{z 4 k}

y  ≦  ………  2 2

2_{z 4(k2)}

y ……… 

こ , 口 , x軸上 中心 あ , 外径

2 4k , 内径

2 ) 2 ( 4 k ー ツ形 あ , そ 面積S(k) ,



4 ( 2)



(4 4 ) )

4 ( )

(k k2 k 2 k

S       

こ , 立体D 体積V ,



  

 1

0

3 _{( )}

2 3 4 2

1 _{S k dk}

V   



1  0 (4 4 ) 3

16_{  k dk   }

3 22 2 3

16 _{ }



［解 説］

平面 形 頻出 内接 外接を題材 し 問題 。対象 空間 形 同

う 考え こ ま 。 , 球面 方程式 い ピンポイン レク

チャー を参照し く さい。

2 2

4 1

O x

‹電送数学舎 2011

−−

21 [京都府医大] [ Wとおくと G[ GW となり

D

D [ G[

¨

D _{D D}

DW GW W

  ¯

¨

_{¡¢ °±} D D

& \ D [ と& \ [[の交点は

D [ [ [ D [

よって [ D となる。

ここで曲線&と曲線&および [ 軸で囲まれた部分

の面積6 D は

6 D

D D

D [ G[ [ [ G[

¨

¨

また曲線&と曲線&および直線[Dで囲まれた部分の面積6 D は

6 D D D

D [ [ G[ D D [ G[

¨

¨

すると I D 6 D 6 D なのでの結果を用いて

D

I

D D

D [ G[ [ [ G[

¨

¨

D D

D

[ [ G[

¨

………＊

D a

I

D D D _{D D}

D D

¸ ¸

D D D D D

¸

D _{D D}

D

\

^

D _D

D

これより

D

のとき Ia D となり I D の増減は下表

のようになる。

よって関数 I D は D のとき

極大値をとる。

≦[≦Dにおいて _{[[ [≧ より}

D D _{[ D}

[ [ G[ [ G[ _¡ ¯_° D ¢ ±

¨

＞

¨

＊との結果を用いると

D ＜ D D D D _D

I

D … …

D a

I ＋ −

D

I

D D [

\

2

&

‹電送数学舎 2011

−−

ここで＜ から _OLP

Dld D D dである。

すなわち Dl dのとき I D ＜となる。

よって

OLP

Dl I D と考え合わせると

D＞ において _I D すな

わち6 D 6 D となるようなDが存在する。

［解 説］

微積分の総合問題です。とがそれぞれとの誘導となっています。演習

‹電送数学舎 2011

−−

22 [大阪大]

まず_θπ_{のとき線分34を表す方程式は [ ≦ ≦ である。\}

また _{≦ ＜ のときθ} π _{線分34を表す方程式は}

WDQ _VLQ

\ θ [ θ ≦ ≦[ FRV θ

さて直線[ W ≦ ≦W FRV θ 上における \ の

とりうる値の範囲を求める。

ここで I θ WWDQθVLQθとおくと

_FRV FRVW

θ θ

θ

a ¸

I FRV_FRVθ W

θ

すると ≦ ≦W FRVθから≦ ≦W FRV θ となり FRV

W

α となるαがただ つ

存在する。また FRVβW FRVβ W

とおくと

W W≧ から α≦ である。β

これより I θ の増減は右表のようになり

WDQ VLQ VLQ W FRVW

α α α α

α

I

W W

W _W

¸

W

よって線分34が通過する部分'は

≦ ≦\ [

したがって' を [ 軸のまわりに 回転してで

きる立体の体積9は

9 π

¨

[ G[

π [ [ [ G[

¨

π   [ [ [ [ ¯

_¡¢ ¸ ¸ _°± π ¸ ¸ ¸

π

π

［解 説］

線分の通過領域を求める際に 文字を固定して処理する有名問題です。なお定

積分の数値計算が面倒なので変数を取り直した方がよかったかもしれません。

θ … α … β θ

a

I ＋ −

θ

I

2 [

\

2 _[

\

W

3

4

FRVθ

‹電送数学舎 2011

−−

23 [熊本大]

まず△345 の [\平面での切り口は線分25 である。

すると立体 . を [\ 平面で切ったときの断面は線分 25

の通過領域として求められる。

さて ≦ ≦ のときW 点_{5 W W W は[\ 平面上}

で放物線_{\ [ [ ≦ ≦ ……①を描く。[}

以下[\ 平面上で考えると①から \a [となり

点 _{D D D における接線の方程式は}

\ D D D [ D ………②

原点を通るとき_{D D D D D}

≦ ≦ からD Dでありこのとき②は \ [ となる。

さらにWのとき5 で直線25 \[と放物

線①との交点は

[ [ [より

[ [ [

以上より線分 25 の通過領域は右図の網点部となり

その面積を6とすると

\

^

6

¨

[ [ G[ q

¨

[ [ [ G[

[ [ _{[ [ [ G[}

  ¯

_{¡¢ °±}

¨

まず立体.を] 軸に垂直な平面で切ったときの断面は

.を[\平面で切った

ときの断面と相似である。

そこで ≦ ≦ のときN .を平面] N で切ったときの断面積を6Nとおくと相

似比がN であることから

N

6 6 N となり

N

6 N 6 N

立体.は[\平面について対称なのでその体積9は

N

9 6 GN N GN  _¡ N ¯_°

¢ ±

¨

¨

［解 説］

設問の定点通過する線分25の通過領域は図形的に解いています。

3

4 2

5

[ \ ]

2 [

‹電送数学舎 2011

−−

24 [名古屋大]

右図の長方形5Vを[軸のまわりに回転してできる

立体.Vの体積9 V は

\

^

9 V π V V

_{π VVV}

\

^

9 Va π V V V V

πV V

すると ＜ ＜ におけるV 9 V の増減

は右表のようになる。

よって 9 V は Vのとき最大値π

をとる。

Vのとき長方形5V ≦ ≦[ ≦ ≦ となり\ 立体.Vを表す式は

≦\ ] ≦ ≦ ≦[

さて立体.Vを平面\ N で切断したときの断面は

N ≦ ≦] N ………① ≦ ≦ ………②[

ここで断面の存在する N の範囲は ≦ ≦ であるがN

[] 平面に関する対称

性から以下 ≦ ≦ で考える。N

L ≦ ≦ のときN

①より _{N≦ ≦] N}

②と合わせると断面は右図のようになる。

この断面を \軸のまわりに回転してできるドー

ナツ形の図形の外径を5内径をUとすると

5 N N

U N N

よってこのドーナツ形の面積6 N は

6 N π 5 U π

LL ≦ ≦ のときN

N ≦ より ①から _{N≦ ≦] N}

②と合わせると断面は右図のようになる。

この断面を \軸のまわりに回転してできるドー

ナツ形の図形の外径を5内径をUとすると

5 N N _U

V … …

9 Va _{＋ −}

9 V _π

2

V

V

[ \

[

N

N

N

N

]

[

N

N

‹電送数学舎 2011

−−

よってこの図形の面積6 N は _{6 N π5UπN}

LLLより立体/の体積9は

9

¨

6 N GN

¨

πGN

¨

π N GN

π π  N N ¯

_{¡¢ °±}

π π π

［解 説］

立体の回転体の体積を求める問題で 年ほど前にはよく見かけました。回転軸に

垂直に切った断面の形状を考えることがポイントです。なお上の解答例で用いた円

柱面の方程式については「ピンポイントレクチャー」を参照してください。

© 電送数学舎 2012 －29－

25 [千葉大] (1) a<b 対し , f¢( )a = f¢( )b =0 ,

(

)

( )

(

)

( ) ( )

2 2

b _b b

a

a a

a+b_{-x ¢¢ x dx=é} a+b_{-x ¢ x ù - - ¢ x dx} ê ú

ë û

ò

f f

ò

f

( ) ( ) ( )

2 2

b a a-b _{¢ b} b-a _{¢ a é x ù} = f - f _{+ êë} f _úû

= f( )b -f( )a

(2) 車 時刻0 発進後, 時刻t 位置をx t( ) , 0<T 対し ,

0

( ) ( ) ( 0 )

T

L=

ò

x t dt¢ = x T -x ………

ここ , 条件 , x¢( 0 )=x T¢( )=0 , (1) ,

(

)

0

( ) ( 0 ) ( )

2 T

T

x T -x =

ò

-t x¢¢ t dt………

さ ,

2 4

( ) L

x t T

¢¢ < 仮定 , ,

(

)

(

)

0 0

( ) ( )

2 2

T T

T T

L=

ò

-t x¢¢ t dt ≦

ò

-t x¢¢ t dt 0

( ) 2

T

T _{t x¢¢ t dt} =

ò

-2 0 4

2 T

L T _{t dt} T

<

ò

- 4₂

(

2 2

)

8 8

L T T _L T

= + =

, L<L 成立し い。

っ , こ 車 加速 絶対値 x¢¢( )t , あ 瞬間 2 4L T

以上 あ 。

［解 説］

速 , 加速 題材 っ い ユ ーク 問題 。(1) 結論を利用 , (2)

背理法へ スムー 繋 ま 。 , 定積 計算 , 記述を省略しまし ,