命題の逆とその真偽

例題

命題の逆とその真偽

１

(1) (2)

解

命題の関係図

p ⟹ q q ⟹ p

q ⟹ p p ⟹ q

逆

逆 裏 対偶 裏

※ もとの命題が真(正しいこと)であっても， 

  その逆が真(正しい)とは限らない

例

反対

+1 ^逆 −1

裏 対偶 裏

   は実数とする。次の命題の逆を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

a = b ⟹ a² = b²

a = 2, b = 3 ⟹ ab = 6

(1) 命題の逆は，a² = b² ⟹ a = b

真偽は，偽

反例： 4

a² = b² ⟹ a = b

a = 2, b = − 2 ^{22 (−}₄^{2)2 2 ≠ −2}

(2) 命題の逆は，

真偽は，偽

反例： a = − 2, b = − 3

ab = 6 ⟹ a = 2, b = 3

も成り立つ！

名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

＞ 第１章 数 式 ＞ 第４節 集合 命題 ＞ 第４講：命題 逆・対偶・裏 数

(1) (2)

解

   は実数とする。次の命題の逆を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

(1) 命題の逆は，

真偽は，偽 反例： a = 9

(2) 命題の逆は，

真偽は，真

(1) (2)

解

   は実数とする。次の命題の逆を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

a > b ⟹ a− b > 0 a > 0, b > 0 ⟹ ab > 0

(1) 命題の逆は，

真偽は，真

(2) 命題の逆は，

真偽は，偽

反例： a = − 2, b = − 3 ^{も成り立つ！}

a :^素数 ⟹ a :^奇数

a :^３の倍数 ⟹ a :^９の倍数

a− b > 0 ⟹ a > b

ab > 0 ⟹ a > 0, b > 0

⟹ a : 素数

a : ^奇数

⟹ a :３の倍数

a :^９の倍数

命題の逆とその真偽

１

名前 (       ）

例題

命題の対偶とその真偽

２

(1) (2)

解

命題の関係図

p ⟹ q q ⟹ p

q ⟹ p p ⟹ q

逆

逆 裏 対偶 裏

※ もとの命題とその対偶の真偽は一致する

例

反対

+1 ^逆 −1

裏 対偶 裏

   は実数とする。次の命題の対偶を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

a = b ⟹ a² = b² a = 2

(1) 命題の逆は，a² = b² ⟹ a = b

真偽は，真

(2)

その裏は，

命題の逆のその裏は，対偶になる

a² ≠ b² ⟹ a ≠ b

命題の逆は，

その裏は，

ab = 6 ⟹ a = 2 ab ≠ 6 ⟹ a ≠ 2

※ 「かつ」の裏は「または」

b = 3 ⟹ ab = 6

かつ

かつ b = 3

または b ≠ 3

名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

＞ 第１章 数 式 ＞ 第４節 集合 命題 ＞ 第４講：命題 逆・対偶・裏 数

(1) (2)

解

   は実数とする。次の命題の対偶を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

(1) 命題の逆は，

真偽は，偽 反例： a = 2

(2) 命題の逆は，

真偽は，

(1) (2)

解

   は実数とする。次の命題の対偶を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

a > b ⟹ a− b > 0 a > 0

(1) 命題の逆は，

(2) 命題の逆は，

真偽は，真

a :^素数 ⟹ a :^奇数

a :^３の倍数 ⟹ a :^９の倍数

a− b > 0 ⟹ a > b

ab > 0 ⟹ a > 0, b > 0

⟹ a : 素数

a : ^奇数

⟹ a :３の倍数

a :^９の倍数

真偽は，真

その裏は， a− b ≦ 0 ⟹ a ≦ b

これがもとの 命題の対偶に なる

その裏は， ab ≦ 0 ⟹ a ≦ 0 ^または b ≦ 0 b > 0 ⟹ ab > 0

かつ

その裏は，a ≠^奇数 ⟹ a ≠^素数

は偶数であり，素数

2

その裏は， a ≠^９の倍数 ⟹ a ≠^３の倍数

命題の対偶とその真偽

２

名前 (       ）

偽 反例： a = 6

の倍数かつ,  の倍数 でない時, 条件を満たす

6 9

確認テスト

１ ２

Tー１ 確認テスト

(1) (2)

   は実数とする。次の命題の逆を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

a = b ⟹ a² = b²

a = 2, b = 3 ⟹ ab = 6

(1)

(2)

命題の逆は，a² = b² ⟹ a = b 真偽は，偽

反例： a = 2, b = −2 命題の逆は，

真偽は，偽

a = − 2, b = − 3

ab = 6 ⟹ a = 2, b = 3

(1) (2)

   は実数とする。次の命題の対偶を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

a = b ⟹ a² = b²

a = 2 ^かつ b = 3 ⟹ ab = 6

(1)

(2)

命題の対偶は，

真偽は，真

a² ≠ b² ⟹ a ≠ b

命題の対偶は，

ab ≠ 6 ⟹ a ≠ 2 ^または b ≠ 3 真偽は，真

確認テスト

数

１ ２

確認テスト

＞ 第１章 数 式 ＞ 第４節 集合 命題 ＞ 第４講：命題 逆・対偶・裏

   は実数とする。次の命題の逆を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

(1)

(2)

命題の逆は，

真偽は，

命題の逆は，

真偽は，偽

反例： a = − 2, b = − 3

(1) (2)

   は実数とする。次の命題の対偶を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

(1)

(2)

命題の対偶は，

真偽は，真 命題の対偶は，

真偽は，真

Tー２

(1) (2)

a > b ⟹ a− b > 0 a > 0, b > 0 ⟹ ab > 0

真

a −b > 0 ⟹ a > b

ab > 0 ⟹ a > 0, b > 0

a > b ⟹ a − b > 0

a > 0 ^かつ b > 0 ⟹ ab > 0

a −b ≦ 0 ⟹ a ≦ b

ab ≦ 0 ⟹ a ≦ 0 ^または b ≦ 0

確認テスト

１ ２

確認テスト

(1) (2)

   は実数とする。次の命題の逆を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

(1)

(2)

命題の逆は，

真偽は，偽 反例：

命題の逆は，

真偽は，

(1) (2)

   は実数とする。次の命題の対偶を述べ， 

その真偽を調べなさい。

a, b

(1)

(2)

命題の対偶は，

真偽は，

命題の対偶は，

真偽は，

Tー３

a :^素数 ⟹ a :^奇数

a :^３の倍数 ⟹ a :^９の倍数

a = 9

⟹ a : 素数 a : ^奇数

真

⟹ a :３の倍数 a :^９の倍数

a :^素数 ⟹ a :^奇数

a :^３の倍数 ⟹ a :^９の倍数

偽 a = 2

a ≠ ^奇数 ⟹ a ≠ ^素数

反例：

a ≠ ^９の倍数 ⟹ a ≠^３の倍数 偽 ^反例： a = 6