1−F−4 2003年日本オペレーションズ・リサーチ学会
秋季研究発表会
多段平滑ヒストグラムモデルに基づく画像2値化問題
01704426 京都府立大学
＊吉富康成 YOSHITOMI％sunari
メディックエンジニアリング 谷尻豊寿 TWIJIRITbyohisa
1．緒言
画像の特徴を解析するには，画像における対象物
を背景と識別する必要がある．このため，各画素の
濃度に対する閥値処理である2値化が行われる．通
常，2値化の閥値決定方法として，．固定閥値法，ク
∴タイル法，可変闇値法，判別分析法などが用いら
れているrl】．これらの方法の内，自動で閥値が決ま
る方法は判別分析法【』だけであるが，その適用範囲
が必ずしも広くない．
本報では，画像の濃度ヒストグラムを「多段で平
滑である」と仮定したモデ／巧“多段平滑濃度ヒスト
グラムモデル”と表記）を基に画像の2値化問題を最
適化問題として定式化し，（近似）最適解を用いて得
れた閥値での2値化の効果を検討した．
2．多段平滑濃度ヒストグラムモデルと2値化閥値
濃度ヒストグラムが2つの領域に分かれ，その各
領域において，各濃度に対する画素数が一定（各々，
柚）である濃度ヒストグラムを“2段平滑濃度ヒス
トグラム’’と表記する（図1上図）．この場合，図1
下図のように閥値と2値化抽出画素数（2値化で“1”
となる画素の数）の相関が，各闇値蘭域内で直線関係
となる・句≠ちの時，この2つの直線の交点の閥値
を用いて2値化することにより，高濃度の画素領域
と低濃度の画素領域を識別できる．
次に，濃度ヒストグラムが3つの領域に分かれ，
その各領域において，各濃度に対する画素数が一定
である濃度ヒストグラムを“3段平滑濃度ヒストグ
ラム”と表記する．この場合も，閥値と2値化抽出
画素数の相関が，各閉値領域内で直線関係となる．
そこで，隣接する閥値領域での対応する直線の交点
の開催を用いて2値化することにより，各濃度領域
の画素と他の濃度領域の画素を識別できる．ただし，
各濃度領域で一定である画素数の値が2つの隣接す
る濃度領域で一致する場合には，対応する2つの直
線は一致する．このため，2つの直線の交点は不定
となり，2値化の開値は決定できない．・
次節では，上記の2段平滑濃度ヒストグラムモデ
ル及び3段車痛濃度ヒストグラムモデルを基に，画
像2値化問題を最適化問題として定式化する．
画素数Ⅴ
濃度u
図12段平滑濃度ヒストグラム（上図）と
2値化閉値の決定法（下図）
3．画像2値化問題の定式化
3．12段平滑濃度ヒストグラムを基にした定式化
正の整数の集合をZとし，高濃度領域の最大濃度
（正の定数）を〟として，閉値fと2値化抽出画素数
C∫（定数）の相関において，2つの領域での回帰直線
の2乗誤差の荷重和′（のを最小にする高濃度領域
の最小濃度値βを決定する最適化問題即ま下記の
とおり定式化できる．
月‥Mhim王妃 ム（の
β一1 〟
′（の＝∑（ci−α1（のト岬））2・w∑（？f−α2（のトち（の）2
f＝O i＝β
弘β
ム．（β丸β−1）
q（β）＝
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皇c∫ 刷β瑚
α2（β）＝−
2
A（q，qXq＋q−1）
β一lβ−1 2∑（2f−？＋1）（cfβ一∑c′）
f＝O f＝0 壷二」 ＿
α】（ち）＝
ムI（の＝
β−t β∑（2′．−β・●1）ヱ∼
J＝0
〟−ち＋1 2
βl−t βI−t
2∑（2トβ・
． f冒0
〟 〟
A（q）＝
2∑（2f−β一明（c′（〟−β・・1）−∑c′〉
・J＝β fごβ
βl−1
年∑（2f二q＋1）2
I＝0
β，−1
ち（の＝ 〟
（〟−β＋l）∑（2卜−〟）2
J＝♂ ・
〃】−l
2∑（2トβ．−ち・l）〈c∫（ち一句）−∑c∫）
J＝βl i＝♂l
Su句ecttol≦0≦M−1，0∈Z
（1）
こ一三で，対象物が背景よ
と2値化抽出画索数の相関において，高閲値坂城で
の回帰直線の2乗誤差の荷重としてwを導入した．
原画像において，対象物が背景より低濃度である場
合は，前処理として濃度反転を行うこととする．荷
重wを導入した理由は，背景より対象物に対する閥
値領域でゐ回帰直線の2乗誤差を少なくすることが
より重要と考えたことによる．（近似）最適解β●を2
値化の閉値とする．
3．2 3段平滑濃度ヒ不トグラムを基にした定式化
他方，正の整数の集合をZとし，高濃度領域の最
大濃度（正の定紛を〟として，閉値∫と2値化抽出
画素数c∫（定数）の相関において，声つの領域での回
帰直線の2乗誤産の荷重和ム（β1，ち）を最小にする
中間濃度領域の最小濃度値qと高濃度領域の最小
濃度値ちを決定する最適化簡題ろは下記のと●おり
定村ヒできる．
ろ：MiI止mi次 ム（q，ち）
ム（q，ら）
句−I
ちl
＝∑（q−q（q）f一月（q））2＋γ∑（q
f＝O J＝q
〟
＋∂∑（q一句（色）トA（色））2
′＝ち
βl−l
A（q，ち）＝ ♂：−1
（ち一句）∑（2トq−ち＋1）2
／＝βl
1J A′
2∑（2トち−〟）（c‘（〟一色り）−■∑c′）
J＝β】 J＝βヱ
A（ち）＝ ．1′
（〟一ち・l）∑（2fTち−〟）2
たβ】
Subjecttol≦01＜02≦M−1，01∈Z；02∈Z・
（2）
ここで，対象物が背景より高濃度であるとし，その
2つの間に中間濃度領域が存在するとし，閥嘩と2
値化抽出画素数の相関において，中間閥値領域およ
び高閣値領域での回帰直線の・2乗誤差の荷重として
各々γ，∂を導入した．原画像において，対象物が背
景より低濃度である場合は，前処理として濃度反転
を行う
景より対象物に対する閥値領域での回帰直線の2乗
誤差を少なくすることがより重要と考え，かつ，中
間濃度域の申扱に自由度を与えキこ．と七よる．（近
似嵐朗紺．■，β2●の平均値を−2嘩化の圃値とする．
4．結言
多段平滑濃度ヒストグラムモデルを基に画像の2
値化問題を最適化問題として定式化した二適用例は
講演時に報告させて頂く．
参考文献
【1】田村秀行 監修，“コンピュータ画像処理入門’’，総研出
版，（1985），防・69．
凹大津展之，‘判別およて頗小2乗基準に基づく自動しきい
値選定皆，，電子通信学会論文誌の），J63・D（19鮒），42，
349・356．
∑cf・A（q ′＝0 A（鋸 昭一1）
α】（q）＝
q 2
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