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数 学 的
帰
納 法
〜 最 小 原 理 か ら〜95
／12
／09
海 城 中学 高 等 学 校大 和
澄 夫 こ こ で は， 数 学 的 帰 納 法 で の 証 明 方法 よ り， そ の 考え 方の 指 導につ い て 考えて み る。 指 導要領の 改訂 に
伴
い ， コ ン ピ ュ ー タ を扱 うこ とにな っ た ， 数 学の み な ら ず， 簿 記， 会 計な どコ ン ピ ュ ー タ ソフ トの 表計 算 な どを 使 う場 合 ， し ば しば， 簡 単 な 手 順 を 繰 り返 す こ と が あ る。 そ の 手 順を機 械に覚 え させ る （マ ク ロ を組 む） 必 要 が 増 す と思 わ れ る。 こ れ は， ま さに帰 納 的で あ る。 証 明の 手 段 と し て の 数学 的 帰 納 法の み ならず。 考 え 方 と し て の 帰納 法の 授 業が 必要に なるの で は と思 う。 ［1
］ 数 学 的 帰 納 法 に 対 しての 疑 問◇考
え 方 に対 す る疑 問 （D
帰納 的集 合は 無 限 に数を含 め るの か （2
） 無 限の 要 素 を含むた め に は ， 無 限の 時 間が か か るの で は な い か 実 際に は ， あ る番 号で定理 の 成立 が 示 さ れ れ ば よい の で あっ て ， そ の 必 要な
番 号 ま で を帰納 的 集合 が含
む 「到 達 す るこ と が でき る」 こ と が保 証 されて い れば よい 。 ◇証i
明方 法にっ い て の 疑 問 （1
） なぜ ，1
の 場 合 を証 明せ ね ば ならない の か （2
）n 番 目の 命題 がなぜ成立す る とし て よい の か 具体 例 が 少 ない 。 表 計算 ソ フ トの 利用 が考え られ ない か 。 ◇ 数 学 的 帰 納 法の 原 理が わ か りに くい 。最
小原理 （全順 序集合
， 整 列 原理）
を 用 い てみる。 「数 学 的 帰 納 法」 ≡ 「1
を含む帰 納 的集
合の 補集
合 は空集
合で あ る」 とい っ た具 合に進 め た い 。 ［2
］ 最小原理 か ら数 学 的帰 納 法へ 数 学 的 帰 納 法の 導 入 を2
時 間 程度の 教 材 案 と して みた。【教
材 例
】
1
．最 小 原
理原 理 と は ， 経 験 や 観 察な ど か ら 得 られ た 基 本 的 と 思 え る こ とが ら で ， 証 明 で きな か っ た り， 証 明の 必要の ない もの で あ る。 一
33
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science
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数 学 以 外の 原理 の 例 と して， エ ネル ギ ー保 存の 原理 （法則 ） ， 電 気 量の 保 存 など が 知 ら れ て い る。 次を原理 とし て 認 め， 数 学で用 い る証明 方 法の ひ とつ を 導 こ う。 ◇ 最小 原理 負で ない 整 数 の 集 合 の 部 分 集 合は最小元 を持つ 。 問題
1
秋葉
原 などの 電気 街 で， あ るパ ソ コ ン を 買 うとする と き， 必 ず 一 番 安 く 売っ て い る店が あ るこ と を 示 せ。 例 題1
最小 公倍 数ふ たつ の 自
然数
に は最
小 公倍数
が必ず存在 す
る。 証 明）そ れ ぞ れ の 数 の 正 の 倍 数の 共通集 合は正 （負でない ）の 数 の 集 合 なの で 最小原 理 か ら最小 元 （最小数 ）
L
が ひ とつ 存 在 する。L
は それ ぞ れ の 数の 倍 数で あ る か ら公倍 数 しか も最小 な の で 最小 公倍 数 で あ る。 終 例題2
商 と余 りの 関 係 a ，b
を 正 の 整数 とする と き，a ＝
qb
＋ r（
0
≦rgb）
で あ る唯一 の 正 の 整 数の 組
q
，r が 定ま る。 証 明）M
；｛
x；x ＝ a −qb
，x ≧0
｝
とす るb
＝O
の 場合 を考え れ ば ，M
≠ φ で あ る。 よっ て， 最小原理 か らM
の 最小 元 r が存 在 するr ・ a −
qb
（
≧0
）
こ の r に対 し て ，0
≦r ＜b
で ある ∵ もし，b
≦ r な ら プ＝ 厂一b
＝ a − （
9
＋1
）
b
＜r と な り， r の 最小性に反 す るq
は 唯一 定 ま る∵ r ＝ a −
qb
＝ a −g
’b
か ら明 白 終 問題2
a ，
b
を a ＞b
＞0
で あ る整 数 とす る と き，nb ≦a ＜
（
n ＋1
）
b
と な る， 自然 数 n が （唯 一） 存 在 する こ と を 示せ 。 一34 一 N工 工一Eleotronlo Llbrary
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2
．数
学
的 帰 納 法
◇ 帰 納 的 と は 例題 次の よ うな ， 会 計 の 表 が あ る， こ の 残 金 を 求 めてみ よ う。A
年月 目B
摘 要C
収 入D
支 出E
残 金195
／10
／25
給料
300
，000
2
26
食 費120
，000
3
11
／10
電 話 料 金4
，800
4
15
教育
費32
，000
5
20
バ イ ト代50
，000
6
22
保 険 料40
，000
7
E
列の3
行 目 （E3
） を求 め る と，E3
＝C2
−D2
＋E2
と計 算 すれ ば よい 。 一般 のE
列 の n 行 目の残 金 は ， 次 の 漸 化式 で求 め られ る。En
碍Cn
＿ 1−Dn
．−1十En
−1こ の よ うに ， 今の 場 合を確 定 し て い る前の 場 合か ら導 くこ と がで き る と き， 帰 納 的で あ る と い う。 ◇ 帰 納 的 集 合 整 数 の 集 合の 部 分 集 合
M
が帰 納 的である とは ， n ∈M
な ら n ＋1
∈M
が 常に成立 する こ とで ある。 例1
1
を含
み， 加 法 につ い て 閉 じて い る 整数 の 部分 集 合N
（自然 数の 集 合 ）n を
N
の 要 素 （元） とする と， 加 法につ い て 閉 じ てい る の だ か ら 次 の 数 n 十1
∈N
例2
あ る雑 誌 の 定 期 購 読 者の 本 棚 定 期 購 読 を書 店 に申し 込んだ雑誌 の 号か ら後の 雑 誌は， すべ て本 棚にな らん で い る。 ◇数 学 的 帰 納 法 と は正 の 整 数 （自然 数 ）の 集 合の 中に，
1
を含む 帰 納 的 な 部 分 集 合M
が あ る とする。 こ の集 合M
の 補 集 合C
を考えてみ よ う。C
は負で ない 数の 集 合 で あ るか ら ，最小 原 理 か ら，C
に は 最 小元n が存 在 す る。 とこ ろ で ， n よ り1
小 さい 数 n −1
はC
の 元 では ない の だ か ら，M
に含ま れ る。 し か し，M
は 帰 納的 なの だ か ら， n −1
∈M
の と き， ndM
と な ら な くて は な ら ない 。 この と き， 集 合C
は どうなっ て しま うの だ ろ う。 一 35 一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science
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数 学 的 帰 納 法 番 号 （自 然 数 ） につ い て の 性 質が あ り， その 番 号を含 む集 合が
