3. 関数のグラフと近似　 3.1 グラフの概形

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数学演習

1 No.8 2005. 6.15

3. 関数のグラフと近似 3.1 グラフの概形担当：市原

例 (有理関数グラフの概形の描き方)

g(x) = x²+x−4

x−2 ^のとき,関数y=g(x)のグラフの概形を描いてみよう. g(x) =x+ 3 + 2

x−2 ^{と変形して},微分すると, g⁰(x) = 1− 2

(x−2)² g⁰⁰(x) = 4 (x−2)³ となる.

g⁰(x) = 0を解くことにより x= 2−√

2, 2 +√

2が極値を与える候補となる. 実際,g⁰⁰(x)は x6= 2 のとき連続関数であるので,

(1)g⁰⁰(2−√ 2) =√

2>0より x= 2−√

2 で極大値をとる. (2)g⁰⁰(2 +√

2) =−√

2<0 より x= 2 +√

2 で極小値をとる.

第 2次導関数の符号を調べることにより

x <2 において,y=g(x)は上に凸, x >2 において,y=g(x)は下に凸となっている.

従って,関数y=g(x)の定義域が{x∈R|x6= 2}であることに注意すると,増減表は次になる. (α= 2−√

2,β = 2 +√

2とする).

x x < α α α < x <2 2 2< x < β β β < x

g⁰(x) + 0 − · − 0 +

g⁰⁰(x) + + + · − − +

g(x)

- 極大 5−2√

2 ^? · - 極小

5 + 2√ 2

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また,y=g(x)はx= 2において定義されていないので,x= 2 の近くで関数値がどうなっているかを調べると,

x→2−0lim g(x) =−∞, lim

x→2+0g(x) =∞ となっている.

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もっと詳しく調べると, x が正または負で大きくなれば曲線がある直線に限りなく近づいている. つまり,つぎの漸近線についても考慮する必要がある.

¶ 漸近線 ³

関数y=f(x)のグラフに対して,

x→∞lim {f(x)−(ax+b)}= 0 または

x→−∞lim {f(x)−(ax+b)}= 0

となっているとき,直線 y=ax+bをy=f(x)のグラフの漸近線とよぶ.

µ ´

今の例では

x→±∞lim {g(x)−(x+ 3)}= lim

x→±∞

2 x−2 = 0

が成り立ち,y=x+ 3が漸近線となる. 以上より,グラフは下図のようになる.

O x

y 2

3

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