電子工学数室矢鳴虎夫 　　　　　　　　中　　原　　潤一郎＊

点間隔に関するマルコフ過程の

  シミュレーションとその統計的性質

（昭和49平5月1B日 原稿受理）

電子工学数室矢鳴虎夫

        中  原  潤一郎＊

Computer simulation of Markov processes of inter−point

by Torao YANARU   Junichiro NAKAHRA

  Statistieal properties of M臼rkov prooesses of inter−point interΨals（MP s）are studied by com−

puter simulation method・ First， some kinds of transi亡ion probabi1 y density functiDns（TPDF s）

of the multiple MP s of orderた（A＝L 3）are derived from the（片十1）−dimensional probability density funotions（PDF／s）based on expone皿tial functions． Seoond，【he point sequenees（PS s）

of MP are generated， and further， ⑪ne of the PS♪s of MP is conΨ｛≧rted to other type of PS s

histograms of these two types of PS s are obtained． The res［dts are dis￠ussed from the viewpoint

        はえがき ・ ㌫難㌶ご亡㍑鵠纂外隠

 中浜ら（東北大学，脳研究施設）は猫の中枢内単一二   のTPDFの与えられた多亜MPの標本点列が実際どの ユーロンから得られる自発放電スパイク列の研究で，   ような様子を呈するかがわかっていれば，これらのスパ MRF（mense皿cehalic reticular foエmation）やRN   イク列と比較する上で極めて便利である．一方，数学的

（red nucleus）からのものはスパイク間隔に関して2〜   には， MPの一般論はほとんど完成されている様である 4重マルコフ過程（以後1重マルコフ過程を記号MP  が，実際的な点列の様子と結びつけて行われた研究は見 σ）で示す。また単にマルコフ過程という場合をMPで   あたらない。 このような意味あいから，本研究は多重 表わす。）に従っていると主張している1］2，。このMP（ ）  MPの計算機シミュレーションの方法を考えた。多重 の多重度，∫の検定は点間隔（以後スパイク間隔と同じ   MPとしてのTPDFは数値解析のし易い指数関敷を基 意味として用いる）が多次元正規分布に従うものとして   本としたものを用いた。そしてシミュレーシ目ンの結果 行われている。実際，点聞隔列が与えられたとき，これ   得られた点列について，点間隔ヒストグラム，系列相関係 をノンパラメトリックな方法でMP（Dとしての多重度   数（serial correlation coe伍cieロt， SCC），を求めた。

目≧2）を推測することは充分大きな標本量とぼう大な   点列の性質を研究する上で，上記のように点間隔に注 計算量を要するのでほとんど不可能に近い。まして多重   目する場合と，今一つ点密度の時間的変化に注目する場 MPとしての遮移確率密度関数（TPDF）の形を推測する   合がある。この双方から研究がなされているが，これら ことがほとんど不可能であることはいうまでもない。そ   点間隔と点密度を結びつけた研究は純数学的一般論（た の意味で中浜らが点間隔に関して正規分布を前提にした   とえば3〕個）をのぞいてほとんど実際的意味での研究は のは止むを得ない。しかし得られたスパイク間隔列は正   なされていない。筆者らは．一方において，点密度を基 規分布にならない場合が多いし，また相互に従属しあっ  本とした研究の一端として「積分型密度変鯛（integra1

−＿＿@      dθns y modulation， IDM）をうけた点過程6］7）の性質  亀現在九州大学大学院学生      を調べている。したがって今回も点間隔と点密度を結び

つける意味で，シミュレーションの結果得られた多重   も対称である必要はない。まず理論解｝斤をする上で出来 MPの標本点列の1つをフィルターして，近似的な変澗   るだけ簡単なものとして考えたにすぎない）。品に閥す 信号をつくり，「逆積分型密度変調（5・3で説明）」をほ   る一次元周辺PDFは

蒜蕊㌶麟㌶畿鷲： 五ω一∫元（x1，工2）古1−÷（・＋・・）・Xp（一工・）

      ロ多重MPの中にはほとんど「IDMをうけた再生過程」       （4）

に近いものがあることを把握した。更に実際に中浜らよ   となる。」質工bエ2）キ五（x1）ゾ1（苫2）であるのでエ、と工2は り提供されたMRFのスパイク列について同じ操作をほ   従属している。また， x2＜。。であるかぎり∫1（xD＞0で

どこしてみたところ単なる「1DMをうけた離過程」 あるので紺付PDF，

といえないことがわかり，かなり複雑な点列であること

力鞠された。       宮1（エ11x2）一五（⊇旅・・）一誓欝・・（一・1）

   2．点順に関するマルコフ過程につ・・て      α・≧°・°≦xK°°） （5）

点間馴｛卍、｝，α，〉・，∫一・±・，±2．…）の・っの標 を得る・また

i竃曇琴鷲璽耀藻l l≡麗欝璽蕊一叫（6）

ぺての整数πに対して      が簡単に求められる。しかしρ （∫＞1）の計算は困難で   Prob（xr1≦エ1，x冑．2≦よ2，一・・江旬一1≦x口）      ある。ρ1＜0であるので（5）式の91をMP（1）Nρ1の    ＝F身（工b工苫ジー−，工白）         （1）   TPDFの1っとする。また相続く点間隔の和（X・十工2）

が成立つ場合をいう。       のPDFは

に㌶㌶⊇程［°醐 て 次の条件幽 九一ω一∫三（一・）ゴ・一÷緬（一）（7）

       o   P・・bα・一・・縞一・＝ズ・・XH＝x・・… 1  で与えられる。

   X・一・一・一刷一F（工1jr2，X3，●・㌔苫占）（2） 3．1．2．MP（3）Nρエ が成立する｛ζ｝を・一般によく知られている痘重マルコ   3，1．1．と同様に4次元PDF

フ連鎖のタイプに属するものとして「Stochastic pomt

P…e…f1…1…t・gi・n wi・h…ft・・−ef・ct 五（・・ぷ．・・）一去壽1x・・xp（一昆工・）

。・t・・di・g。…力…P・」8 と名づけている・C°x ）は     （苦1，κ3，エ3．エ4≧0） （8）

これを「Wold 5 MarkoΨprooe360f intervals」とも

いっている．ここでは騨にMP（A）ということにす を考えると（8）式より

る・W・ dはこのMP（是）に（A＋1）次元ランダムペクト

@五（エ1）一÷（3＋x・）・・p（一工1）  （9）

ルを導入しMP（ユ）に変換して一般論を展開している。

      せ

＿れ係ご㌶係：㌶合 一⇒、頴一）（1°）

 以後，遅れ係数∫での相関係数を角で表わす。また   を得る。また

 3．1．1． MP（1）Nρ1

灘鰺㍊綴㌶；；F漂質5 伝・ω一去（2x十x2）exp（一工） （ユ2）

議遼蕊㌶㌫‡婁あ⊇‡，隠続きからわかるように一般に

一一一（ サほ￨旱‡f）・Xp障，） （遮1誉芸㌣）

      （13）

      を考えれば

なるタイプの⑭十1）次元PDFから負の相関をもつ

MP（P）のTPDFの例を見いだすことカ できる・これ 五（・1）一貴…e・p⌒1）＋畜・1e・・（一α・・1）

はパフメータ列｛α ｝を変化させることによってかなり

       （20）

色々な分布を：考えることができる。このことは負の相関    81（xllx21エ3，エ4）＝【βlexp（＿α1瓦23、（x、exp（＿α1エ、）

のある実際の点列の点間隔ヒストグラムのパターンに合

       十β2exp（一α2工234）Xle工P（一α2x1）〕

せながらシミュレートする上で都合がよい。 次の3．2．

における関蜘ζついても同じことカ・いえる・     ／［貴・xp（一α劇

 3．2．ρ1が正の場合

㌫P：：（1）P角      ＋融（』一）

  五（      （ただし x田＝拘÷x3十エ∂    （21工1，エ2）＝：β1エ1x2exp｛一α1（工1十工2）｝）

      ＋脚，exp［一α・α、＋エ，）］ （ユ4） を得る・

（ただし xい有≧0，αh偽，β1，β2＞0，倒キα2，貴＋畜一・）こ∵艦＋畜） 1

       ト

を考えると・（・4）式より    が一6（寿噺）−4（畜惜∫（22）

五栖）＝M顧一緬＋☆脚（一b …誌1蒜認∫・ 1

舐（工11よ2）＝【β1絢exp｛一α1（」↑1十x2）］       五口（文

@   十β2exp（一α2（工1十X3））］）一告糟・・P（一醐

      ：蕊二：：㌶：：、 （      ＋β・，xp（一αぱ16）      α24）｝（23）

このとき，       を得る。

用一2i蒜＋碁）・

・・−6 ﾘ＋畜）−4僚＋畜）・

㌍多鵠（1  1α1 α2）2・

      4．シミュレー杉ヨンの方法

       任意の確率分布関数F（幻に従う乱数列の発生は一様

（17）   乱数と逆関数F−1（め（存在が保証されていると仮定す       る）を用いて発生することが出来る。つまり1様乱数ひ       が与えられた場合X＝F−1（のはFぴ）に従う乱数であ       るo

ρ・は砥キα2であるので常に正である・また        MP（のの点間隔列（乱数列）を発生する場合は」F（め

伝．ω一告工・〔胸（一α・・＋β・e・p（一α・・）｝ の代り｝こTPDF⊇かれ〔鰍撒

      （18） F伽一の一∫。細（』…融

となるロ      （白＝＝工，2，…）      （24）

 3・2・乳 MP（3）Pρ1       を用いればよい。しかしF（エ1為，為，…、為＋1）は通常条 32・1・と同様に4次元PDF      件，（工言，工3， ㌔x友干1）の値によって色々変化して，逆関

五（⌒エ・，エ・）一β1酷・・P（一α 主x・）  酬（柄・・凸…1）がきれいな醜式1こなること

         十β，巴，再exp（一α！■Σx     ■1） （19）   毎、1）と一様乱数の実現値の1っμが与えられると

  訂＝F（エ1よ2，泊，・・㌔封克．1）        （25）   となる。また

なる方程式の根工＝拘を計算機による反復法によって求    MP（3）Pρ1の塙合は・4，βが

㌫ぎ願蓼麟：二誼，㌫欝 A（工2，工31工4）一恥（一一）ノD］

法，Von Miser法，2等分法などを使い分けた。

4．t唖①N・．脚）Nρ坤点嗣列の発生  恥為…）一畜・・p（一α2x2ヨ4）ρ

 都合上，MP（1）Np1の場合について説明する。3、1．1、

（5）式のTPDFより遷移分欄数は    D−一貴・・p（一α・・…）＋貴・・p（一α・・…）

        ヱ

Fα1晦）一轣B（エ1十よ±ユ十x2）剛一泊）ゴ屯    ㌔一竺＋為＋陥    （田）

     ＝1−［1十迂（xコ）エ｝eXP（一泊    （26）   となるだけである。なお次の5節での実例にはMP（1）

    （      1ただし メ（為）＝      ユ十工2）  ；醐（慧ノ；㌫＝は屈⌒

したがってF（エ1エ2）＝冨，α0，］）の一様乱数1とおけば

  〔1柏（工り）エ｝・・p（一．）＝1−・となる．（1−・）    5・結果と統計的処理

もまた（0 ユ）の一』様乱数であるから求めるエ｝ζついて    5．1． 点間隔ヒストグラムと相続く点間隔の和のヒス の方程式は       トグラム

  （1十』（エ2）x〕e北P←一工）一μ＝0     （27）   TB（tilne biエ）の巾を0ユに選ぷ。図1，図2はモ となる。したがって「まず適当な初期値x2を与え・更に   れそれMP（DNρ1， MP（3）N角をシミュレートして得 一梯乱数の1っμを発生して（27）式を解き，根工＝エ1  られた点列〔MP（1）Nρ、］，｛MP（3）Nρ1｝のヒストグラム を求める。続いてこのx1をx2に置き換えて同様の操作   である。図3は｛MP（3）P向｝のヒストグラムである。

を繰返す・このようにして1つの乱数列を発生する。初   （A）には点間隔ヒストグラム（記号H、で表わす），

期値の影響を取りのぞくため最初の50個を捨てる。新   （B）には相続く点間隔の和のヒストグラム（記号」馬 しく51個目からの乱数列をもうてMP（1）ρ1の点間隔   で表わす）を示す。 （C）はモれそれ［MP（1）Np1｝，

列とする。      ［MP（3）Nρ1｝，｛MP（3）Pρ1｝をシヤッフル（shu田e）し  MP（3）N角では遠がズ2，エ3，為の関数で        て得られた点列［MP（DNρ1〕、h，｛MP（3）Nρハ｝ h，｛MP       1

  遠α口・エ ）＝1＋x，＋x、＋x     （田）

       0．05 となる。初期値為，為，為を与えてMP（1）Nρ1のときと      卓        「 同じ操作によりMP（3）Nρ1の点間隔列を発生できる。      言         4．2 MP臼）Pρ1， MP（3）Pρ1の点間隔列の発生        ご  MP（1）の場合について説明する。遷移分布関数は

  F（ズ1エ2）＝：ユーメ（x2xα1x十ユ）眺P（一α1π）

       一」9（有xα2x十1）e冨P（一一α2：暫）   （29）       む

      むとなる6こ乙に             昌住03

   ヘ      ロ    リ

      』 ＝

∠国「鼻・・P（一血1x・）／D   三罐

       三』

    （A） ｛MP（1）Nρ11          n＝4000

 ・        m＝1．5  m竃＝＝1．52  ・       σ2：＝1．75 σ」〜二＝1．83

4      蠕  0       5 ＿x    10        ｛MP（1）Nρ1｝

     α22      ．、      α03        ロ

 ＿       ．      ＝  Dr＝1曇re宝P（一α1工2）→ニー念exp（一α，ズ量） ．      三匡

       9 求めるエに関する方程式は       」

Bα、）＝．互・・P（一α2x2）ノD      遣 0   5−・ 10、

      （C）        ・        ｛MP（1）Nρ1LhI

］1

ぷ国（α1」オ十1），、P（一刷       0  』5−・ 1°

 十β（萌Xα 十1）e：P（・一α2x）一窟二＝0  （20）             図一．1

      （A）IMP（3）Nρ1；

   1      n ＝4000

    ｝  m＝1．25，m＝126

 α05      σ ＝1．44． σ ＝1．48

    、       α05

三      ゴ

      言       二

む

§ 0    5＿・  10

訂

占α03 白 ＝コ  ー

＝  パ ロ   × ゴ      エ   ロ コ

匡 』，

   0        5 ＿x     lO       N

0．03

￡ 言 モ

㍊

  （由

1    ｛MP（3）Pρ11

l      n ＝4000

     m＝：1、25  m  ：＝1．23

」         σ ＝1．63  σ  ＝：161

1・ ｛MP〔3〕Nρ11      0   5＿x  10

       （B）

        、   ｛MP（3）P角｝

      囑

畦゜IMP 3）N・11曲  璽

  ロ       

   ㌔」     』・  5＿X l・

       u「LL、一

     0         5         10        −x

       O．03        図一2

      宮       ？

（3）PρD曲の1占である。〔・）．hは（弓の点間隔の順序     百

を締序1較換し鯛締互間の欄を取りのぞいた点  ｝0   5   10

列である。そのため〔・〕曲の・「f1は〔弓の乃「1そのも       一 X のである。また［・）曲は｛・｝の1次元PDF，五（め（そ       図一3 れそれの（A）図に破線で示された曲線）で決められる   だけでも再生過程との区別がつく。

再生過程の標本点列であるとほとんどみなされる。    5．2，系列相蘭係敷，SCC．

［MP（1）Pρ1］については選ばれたパラメータ（α1＝4，   図4の（A），（B），（C）．（D）にモれそれ〔MP（1）

α2＝1 β1＝44／2・β2＝1／2）の時は・理論上・五 ）、五遁   Nρ1｝，｛MP（3）Nρ1｝，｛MP（1）Pρ1｝，〔MP（3）Pρ1｝の点間

（よ）・1π＝L25・σ2＝1・63・ρ1＝0・346がすべて｛MP（3）  隔SCCを示す。破線で描かれたものは｛・』のSCCで Pρ1｝の場合のそれに一致するし，また」ぜ1やH2もほと   ある。これらの図から

んど［MP（3）Pρ1｝のそれに一致するので敢えて示さな   1）標本統計量〃』，σノ，ρ．、の値はそれぞれ理論統計 かった。図中に挿入された砺，σ〜の値はそれぞれm，  量m，σ2，角の値にほとんど近い。

σ2に対応する標本統計量である。またnは標本量であ    2）正の相関ρ1がかなり大きく選ばれた〔MP（1）Pρ1］

る。これらの図から次のようなことがいえる。      （または｛MP（3）Pρ1〕）は原理的には10c日1 contagion  1）4000個程度の標本があればH1． H麿からほとん   （Woldのいう）の範囲は1（または3）ステップであ ど五（x）・九囮（泊のパターンを推測できる。       るにもかかわらず相関が遅れ係数4程度（または25程  2）（MP（1）Nρ1｝，｛MP（3）Nρ1｝においてはH1がパタ   度）までも長びく。

一ンの上でそれぞれシャッフルされた｛MP（1）Nρ1）。h，   5，3．〔MP（3）Pρ1｝と「IDMされた再生過程」

｛MP（3）Np1｝．hと大差なくヒストグラムからだけでは再    都合上本題にはいる前に2っの事項（a），（b）を説明 生過程の標本とみなされる可能性がある。        する。

 3） ｛MP（3）Pρ日、（または［MP（1）Pρ1））の」占は    （a） n個からなる標本点列，ζのフィルタリングによ

｛・｝．hのH2とパターンの上ではっきり相異があり，∫f呈  る1つの近似点密度の表現方法。

い），ユ1（のの最小値力副．を見いだし，次のようなな変

 0．1

可 0

−0．1

 0．1

q

@0

−0．1

． @ ・  A  ，、         ユ2（∫）二且、（r十∫〃1．）一λ1皿ln，

         丁2＝ユ 75  σ2＝1 83      （0≦「≦（n−21ンπエ，」《雁，π1．；ζの平均間隔）（35）

         ρ1＝一α143         とし，更に平均点密度（1／mエ）に合せるため

O      lO      20 ＿＿−i 30     40     50       ［H＿2R｝■∫

  ｛MP（3M     ・ω一（・−2∫）臓・・ωノ∫・・（・）ぜ・ （36）

      o

       ：1翌。435σ鍵＝L4匿 を離た・この・（・）を点列ζの区間・［「m・・（π一 測          20  30  40  50    における近似点密度とする。

       −1       （b）逆積分形密度変調（inverse integral density

l：l／l…）P㌧：1：II障：｛二1｛㎜d  IIDM）

鵠＿．エ㌧

一〇・1      ． 1      −1

      −■  ×一一一一喝．一一一一司一■一一一一一一一一ひ一一一一一一一

  〇        −i      l

       ×一一一司r−・−r− 一一 一一  A（11     1

｛MPωN，・11

         A

C≠      ＾ A

m＝1．5   mエ巴1．52

   イ

丁2＝ユ．75    σ〜＝1．83

ρ1＝−0．143

0 10  20

堰@30      40      50

｛MP（3）Nρ11

＿■亀 五       ・．

L ．1 @     白      ．1

  ．．ゴ」   一            ．

香＝≠P．25     m真＝L26

σ2＝L44  σ鍵＝L4匿

ρ1＝−0．0435

0 10  20

 0．3 ミ

 0

−02

      σ2＝1．63  σ』ニ1．61      冥＿＿頃＿＿＿＿＿＿＿＿＿  l        l

∨≒㎡〔 一・・∴°・⌒ ，L・晶皐 ．      静      ii   l

      コ       

・2・4・＿i6°8°1°° @  ＿一一 ii i

       l  ll    l

1・2・3・4・5・  ll    l

lMP（3）Pρ11 m−L25 m・−1・23   1  1 i

       ノ       コ              ロ サ  ヨく        ちくぽウく       と 

 一般に点列ζは数学的には∂関数を用いて表現され      ξ    ＿t る。つまり      図一6

  ζ一宮δ（・一・ ），（・1峰象の発生点）・（32） 図6はIIDMの方灘示す．点列ζとモの点密度

    1■1

一方図5に示されるような中心周波数，ん巾，んなる      ＿         。 図一4       ／  ｛   ｛1    ↑

     一       ・（・）が与えられたとき調の時間齢」（・）一∫hωゴ・

長方鯛灘ウインドウP（∫）は時間ウインドウ 観いだす・次に×印で不されたζの靱の発竺を

  τω＝。。、（21活｝r）5i皿（2耳ノ「』r）ノ（2輪 ）（33） 」ωを写像関数としてt°軸1嚇する・このよっ1こし

耐耐る．したがってζとT①の合成積から て「酬こはζから皿Mlζよる点列ζ章を得る・（この        操作の逆をたどる場合がIDMである）

  」1（ ）＝】…1ア（ご一rf）      （34）    図7は点列｛MP（3）Pρ1］がIIDMによる時の様子

     メコロ

㌶霊驚魏㌶≧言：蕊竃i籔竃竃i竃霧霧

      パラメーターを，五＝0．02，∫』＝0・02、1＝300に選ん

      ， ㍗ ，   で［．｝をフ．、レターして得られた近似点密鹿λ（・）を

      示す。Jbニ0・02＝1ノ（2×25）の値は，｛・〕のSCCがβ38       あたりで 0 に近い値になることを目安にして決め       f   た。∫ご＝0．02の値はIIDMによる点列，｛MP（3）Pρ1）in▼

イ。−f．二f・−f。＋f・Ofrf・1。 f・＋f・  の点喘SCCが出来るだ｝ナ小さくなるよう噛々変化

1 1

¶

●

■ 1

■

1

1

1

  4

｛A）3

  0

（B）＿烈一…一…㌧。．1烈lll！1＿．印…一．1！，．竺，＿三1．＿9・ll・・11・12・・㎡

｛C）−1・−lll−1−…一・・……ll…・・・…一…1＿・．．一＿ 1．、．＿1．，〆書、、，＿＿．、，＿1，1 ． ，

図一7

は｛ ｝1・・である。図8は｛・〕1・・の点間隔SCCである    このSCCのパターンを見るかぎり｛・］ n．は点間隔相

（破線は｛・｝自身のSCC）。図8はλ（ ）の自己相関関   互間にほとんど相関が認あられない。また結合点間隔ヒ 数φ（「）である。図10は｛・）1・・の正「1（実線）と｛・）  ストグラム（ここには示していない）によっても充分独 の昂（破線）である。      立性を認めることが出来た。このことは逆の見方をすれ       ば，｛・｝は図10の実線で示された昂のパターシに充分

       近いパターンのPDFをもつ再生過程が」⑦に充分よ o・3咋s       く似た信号によって「IDMをうけた再生過程」とほぼ    、    へ、、へ、．       同等であることを意味している。

 o        ・㌔へ＾」r・ ・−」 ヘノマ㌔

一〇2       6．猫の中枢単・一ニューロンからのスパイク列

      エ        ロ       ロ       ヨ       コロロ

       ーi        図11，図ユ2は中浜らより提供されたMRF 323のス       図一8      パイク列1川（以後［MRF〕で表す）を統計処理したも        のである。図1ユの破線は〔MRF〕の点間隔SCCであ 三       る。このSCCパターンが大体｛MP（3）Pρ1｝のそれと

1』

       よく似ているので5・3・と同じような手続でIIDMをほ

0．5

       どこして［MRF｝1。．を考えてみた。その結果パラメー

0 ……− … … … … @… …1 …… 『    タ五，九を種々変化させてみたが相関をある程度以上

 o  加  40  60  旬  100    取りのぞくことはできなかった。図コ1の実線はそのう

      図一9     このときの［MRF｝1。．のHPを実線で示す．囎は

   ＿      ｛MRF〕のH1である。相関をもっと小さくする方法と   ＝

0．1

ぎ

占

3

冨 冠

0．02

r1      して多モードの周波数ウィンドウを用いてみることも考

ココ

r：、      えられるがいささか不自然である。 このようなことか

コ  コ

il      ら，たいして積極的なことはいえないが，｛MRF］をか

i

   ロ

i      ることが予想される。

ii

i㌔

  L． 、       〜

       、

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近い過程で ある。

 4） ［MRF｝はかなり複雑な点列である。

〔謝辞〕

この研究1こあたり数々の有益な助言を得た本学情報工 学科磯教授に，また図面の整理に多大の尽力を得た本学 電子工学科職員辻連之氏に深謝する。

       参考文献

      1） Nakahama． H．， Ishii， N．， Yamamoto， N．：

      Stochastic properties of spontaDeous inpulse       aotivty i且centml single neuron3・ Tohoku J       104， 373−409 （1971）．

      2）一一：Markov process of maintained inpulse       actiΨity in central siロ91e neurons・ Kybernetik

l      ．      11，61−72（1972）．

      3） Stratsnovich， R・L：Topics in the theory

，       ofτandomロoise Vol．1， Gordon and Breach        （1963）．

 °      4） Mac曲i， O，：Sto￠hastio point processes and    ．      multicoinoidenCes， IEEE Traロ畠．， IJ−17，2−7      0   ．1    2   3    4    5xmx     （1971）．

      図一12       5）磯・畔点過程のF・・t・・i・1m・m・nt d・n・iti・・

      と Cumulallt den6ities． 通資料MBE 72−43       （1973）．

        工 ま  と  め      6） 矢鳴：再生過程を積分形密度変調した点過程の

比躍㌘鴬霊二麟・鷲諜灘i惣d：1蒜

（々）のTPDFを求めることができる。       modulation of r臼ewal Pmcesses・Kybemetik・

 2）ρ1の値を0．3程度にしたMP（のは・厚理的に     16・9−25（1974）        ．

1・・al・・晦i・・の脚のあるステ・プ数（肯十1）〔 Bi。㍑；蕊㌫。：｝a霊yA隠．：；il嘘

巾｛・上まわ磁の遅れ係辮で゜肚の相関繊く・て  2仙（19、8）．

のため｛唖（3）P・・｝などの点離｛塒間的1ζかなりゆ 9）C・・．D． R． L・wi・， P・A・W・・Th・・t・d・ti・・1 っくりした変動をする。      analy8is of series of events， Chap．4． Lo血don：

3）MP（3）Pρ1はrlDMをうけた再生過程」｝・ほぼ  Methuen 1966・

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