偏心分布荷重が加わる2辺支持平板の解析（II）
（昭和52年5月11日 原稿受付）
機械工学教室南波樹人
和 田 知 之 盛 中 清 和
An Analysis of Partially Loaded Rectangular Plates with Two Opposite Edges Simply Supported and other Two Edges Free（II）
by Tatsuhito NANBA Tomoyuki WADA Kiyokazu MORINAKA
In the former report， the partially loaded rectangular plates with two opposite edges simply supported and the other two edges free were studied using series method． The bending moments
〃エ，〃、and the deflectionωat some points of the loaded portion of the plate were calculated， and the maximum values of them were at the center．1）
This time， in case that a uniformly distributed partial load moves eccentrically to the y direction as shown in Fig．1，adistribution of the bending moments〃エ，払and that of the deflectionωin the shaded rectangle with the sidesμand〃were calculated using similar method and shown in diagrams．
ω Z軸方向たわみ 1．まえがき
ん 板厚 著者らは前報uで矩形板の相対する2辺が単純支持， 4 分布荷重強度 他の2辺が自由なる支持条件で，中央部に等分布荷重が α 自由辺の長さ 働く問題を級数法を用いて解いた。本報では載荷部を自 b 支持辺の長さ 由端方向に移動させる場合について解析し，載荷部の曲 μ，〃載荷部の辺の長さ げモーメント，たわみの分布を求めて図に示した。なお， ε 荷重中心のy方向偏心量
ここで用いる記号は前報1）と同じである。重複する式に 、4栩，Bm， Cm，Dm，、4〆Bゐ， C6，Z）毎、4完B㌫
ついては式の番号は前報の番号を用い，詳しい説明は省 C；，D；，鋤 係数
略した。 α （44） 式に示す板形状，載荷状態による「たわみ」を求 める係数
2・解析 β講（42）；（43は1・示す板形状織献態により・モー
記 号 メント」を求める係数 〃苅』ん 板の単位幅当りのエ，〃軸方向曲げモーメン
ト
D＝Elz3／12（1一レ2） 板の曲げ剛性 E ヤング率
レ ポアソン比
A B
b−v
Q ， 十e
一 ● 一 ⇔ 一 一 一 ■ 一 ● 一 一 一 一 一
@ 1
P b
弓
p r r e
2
Sb−v −e
@ C
ζ
一一一一一一一一gー一一一一一一
@ a
t tD
B（ノ1m一ノ1 ）θ2痂一（B初一B〆）￠−2γ幼
十（C斑一C6）（1十2γら）ε2γ加
十（Z）η2−1） ）（、1−2γ￡）θ一27加＝0 （24）
（、4仁、4〆）θ2痂十（B励一B ）θ一2加 b 十（C沈一C∴）（2十2γら）￠2痂
一（DバD ）（2−2γ易）e−2γ｝n＝0 （25）
X
（、4仁、4石）￠2加一（8扱一Bら）θ一2撤 十（Cm−C；）（3十2γ；）￠2冷
D十（1）バD♂）（3−2γ∴）￠ 2γ加＝0（26y
となる。
〃＝一〃／2にて，γ；＝一〃2π〆4αとおき，同様にして αη十（、4m−、4篇）θ2茄十（B加一B；）グ2茄
y
十（Cm−C；）2γ；ε2痂
図一1 ＋（D。−D；）2γ；、一・⊆0 （27）
（A−、4；）ε2椀一（Bm−B；）￠−2撤 図1のようにエニα／2を中央とする。矩形領域ヵ 〆s 〆 ＋（CバC；）（1＋2γ鋤θ諭
に荷重をかけ，板の中央より自由端への移動量をεとする。 ＋（D仁D；）（1−2γ；）ε一2％＝0 （28）・
ヵ7s 内のたわみ％は（16）式と同様に，次式で示される。 （、4仁、4；）￠2茄＋（βバB；）￠−2茄
（・；自然対数の底） ＋（C。一㈱（2＋2γ；）、・摘
％＝％1＋％2 −（D・−D；）（2−2γ；）・端＝0 （29）
＝￡（砺＋A。撃 （AバA；）・2友（βバβ；）・−2茄 掴 3 5 ＋（C仁C；）（3＋2γ；）θ・椀
＋8・・一竿＋C・禦声 ＋（Dゲ1）；）（3−2γ；）・−2痂一・ 0》
となる。
＋D・響・『竿）・i・㌣ （17y y＝b／2−。のの辺上では帥端の境界条件よ1），
無負荷部、4βρちsrCDについては（18）式と同様 Ol）・02）式が成立し・α；＝初π（b／2一ε）／αと置くと
・・ 卿 一鬼（1一レ）￠⇒B；（1一レ）グ吻 ω ＝。」邑，（輪 ＋碗＋、一（1−、）。ぽ
＋B∴・一禦＋C＝ 噺1＋〃＋（1−・）・ピ＝° （33γ
∠4ゐ（1一レ）ε碗十B∴（1一のε一鋤
＋D字・」禦）・i・撃 （18y ＋C；〔2＋（1−、）。㎡〕、砺
となる．次に、一 ／2にて、．r線上の馴条件よ ，（19）， −Dゐ〔2−（1−・）・ら〕〆＝° G4）
（2》，⑳，（22）式が成立する。いま簡単のため 同様に〃＝−6／2−￠にて，α；＝勿π（−b／2一ε）／αと γ6＝勿π〃／4αと置き，この4式を書き換えると 置くと
， ， 一ノ脇（1一レ）θ碗十B叙1一レ）￠ 鋤
砺＋（ノ1仁ノ1三）ε2γ抗＋（8η一疏）ε一2γ卿 ． ＋（CバCゐ）2，島，…＋（D D続）2γ∴，−2γ・＝。 ＋C；〔1＋・一（1−〃）α；〕εαm．
十D㌦〔1十レ十（1一レ）α；〕θ一α加＝0 （35）
（23） 、4；（1＿のθ・・〃＋B；（1一の〆櫛 ＋C；〔2＋（1一レ）α；〕εα茄
一D；〔2−（h）・；〕・一α茄＝° （3θ ＋（1−・）批一撃＋｛2＋（1−・）禦｝（M・字
c：γ霊㍑惣露まご：Aぽ ＋（1−・酬D〃・当・口
＝（βy）・、P （43）
3．数値計算 。。 魎 （W）炉〆2＝Σ（1＋、4ルfεα η＝1，3，5
最畑げモーメント・最大たわみは・エー・／2に生じ ＋蹴一撃＋（M＝芦
（ル仁） ＝Dπ＋〃ﾝ・一… … ＝（・）・誓 04γ
一Dユ竺一・・一（1−・）鋤丁 ここで
ると る
（）〔
一（1−・）輪竺｛2・＋（1−・）響y｝C・・÷〃 』。 4，（−1）（停1）／2si＝
｛ 劉 〕
一一π〃2
−2レ＋（1一レ）』麹Dmθ一撃（−1）（彿一1）／2 αm＝吻Pα・／D
O7） 4．計算結果（図1参照）
（〃・）…−D（陛＋・砦）＿、 図2−12は，幽・（42） 一（44）・式で示された曲
一嚥（竿‡〔一＋（1噛・㍗ 《㌫㌫鷺㌘㍑ご2裳鷲
＋（1−・）B諾｛2＋（1−・）禦｝ぽ巖㌶㌦鷲曲1ずモーメントとたわみ
一｛2−（1−・）禦｝D・・一㌣〕（−1） 1・・2
（38） −1．30 ω）エ・・一。．壽，（・品芦
ン だび
＋β・・一丁＋c竿・丁 ．1．、5
＋D堺一撃）（−1） 1）／・ （39γ
z4〃＝ノ1仇／砺， Bハ4＝B解／砺，（M＝C仇／砺， Z）〃 《ミ
＝D椀／砺と置けば，（37） ，（38 ，倒 式は ，1．20
（M・）一・−D。．壽，（沈・）・〔−1−（1−・）輪撃
一（1−・臓撃一｛2・＋・）＝｝αイ芦
一1」
一｛2・＋（1一の＝｝D〃・一禦〕吻・P
一〇．15
一〇．10
一〇．05
一 工 0
。．1i，5〔 獅
一（β）・P （42） 0
b／a＝0．2 u／とエ0．2 v／a＝0．02
舞一＿一一．一十：±フ紗・
e！a治0
ノ＿一一 一一一一一一一一一色P乙一一〜
、、、 0．04
0
∴ユll：㌔干土
TOO8 −OO4 0 ．∞4 ．OO8
（〃y）エ山2＝DΣ（勿π）2一レ＋（1一レ）、4〃♂『
@
）殆図一2 曲げモーメントの分布（b／α＝0．2，む／α＝0．02）
一1．30 眺＝0．2 u／a＝0．2 v／a＝0．05
一L25
θx ﾀy−一一一一一一
，o姐e陸
一〇」5
ｮ
oQ隻
ぜ一1．20−1」5
一〇．10
， @
@h
@ @
@
…−P9・＼＿L＿こ＼＼、
@ 、
@ 、
@ 、
@ 、
、 、
@ 、@ 、
@ 、
@ 、
@ 、
@ 、
@ 、
@ 、
@ 、
@ 、@ 、
、@ 、、
A 、、
@ 、、、
@0．02
一〇．05 、、
，
，，一一゜一一一一〜一ρρ蚕 、
、 、
@ 、@ 、
@ 、 、@ 、
@ 、
@ 、
A 、
@ 、@ 、
、 、
@、@ 、
@ 、、
@ 0
一1」0
Poisson s ratio＝0．3
、、
@、@ 、
@ 、
0 一6−o・4xlo 、
、、
一〇60
一〇55
一〇．50
一〇．45 一〇．15
一〇」0
一〇〇5
0
ヒン㌔＝0．5 u／a＝（12 v／a＝O．2
βx
βy −一一一一一一 季∪
￠巳
〃ジ 9ぼ＼＼、＼
／ ブ…＼・・ρ・5 ＼ 、α゜9＼
／ ／ ・、 ＼ ＼
：／斗†＼＼＼
、 、 、 へ ベ ヘ ヘ ヘ
ー「 ・＼
1 ，N、
一…k三1三1．十一一㌣
コ ヘ ー0，25x↑0 〜＼）
，一三但三（1 0A3
、 、 、 、 プ ヘ ノ へ
／：L−、級 ＼、
／／ ＼、 ＼
0 −0．08 −OO4 0 （104 0．08
0 「02 ＝01 0 ・01 ・02 脆 、 脆
図一3 曲げモーメントの分布 図一5 曲げモーメントの分布
（b／α＝0．2， む／αニ①．①5） （6／α＝0．5， む／α＝0．2）
一〇．7
一〇．6
一〇．5
一〇．4
0 0 「04 −．02 0 ．02 D4
0 0 「04 「02 0 D2 ．04 ％ 脆
図一4 曲げモーメントとたわみの分布 図一6 曲げモーメントとたわみの分布
（6／αニ0．5， 0／αニ0．1） （b／α＝LO， o／αニ0．1）
％＝05 u／a＝0．2 W＝0．1
一〇．20 仇
0，060 βy 一一一一一一一 α
e！aロ0
、
、
ノ 、
、
〆 、
．7
一〇」5
／ ．1主・・坦 、
、
0，055 一＿9」4
、、
戎o、各
一@ f 、 、@ 、
@ 、
@ 、
@ 、、 、
、
、
、
、
6 べ 6 、、、、
一〇．10
0」4
、
0，050 、、、
@ f
一 一一 A」〜《b
ノ』 、 、
、
、
5 ， 、
、、 0
一〇．05 、
、 一一
、
、
0，045 一 、、 一
、
、
、
、、
0 、
、
4 、、
Poisson S ratio＝03 一6O．24x10
、、 、
lb／a＝to u／さ＝0，2 v／a＝0．1
l
@ l
@ ラo．虚Gあ 1
一〇．6
0．05
．，．・通@ βx
βy−一一一…
ｿ
一〇．3
x ー02 0．04
U
，ノ
^1．．ら 、、
@、@ 、
@ 、@ 、
@ 、
@ 0．35
0．03
03 C
一〇．5
ｺ 一〇．4 −0，3
@〆
、 、
@、
@ 、@ 、
@ 、
一〇」
、 、
@、@ 、
@ 、@ 、
@ 、、
0
，一一一一一『『一、一＝
0．02 、、A 、、 0−
@ 、
0 Poisson s ratio＝0．3
＼十二5 ＼−0」x10
@ ＼v
一σ6
一〇．5
一〇ム
一〇．3
一〇．2 一〇．20
一〇．15
一〇」0
一〇〇5
005
OO4
oo3
b／a＝1．o u／a＝0」2 Y／a＝α2
βx
0
βy −一一一一一一
．〆9−一一一一＼α
0．02
0
， 一、、、 、
／ ／ ・、 ＼ ／ ・、 、
ロ
ノ
／ ＼1
／十 L＼㊤
十一：宴、 ＼
φ。把 ＼、 ㌧
●1各， ・
ノ 、 ノ 、 、
、 、 、 、 へ 03 ＼ 0 ＼ ＼ ＼ ＼ 0 、
／
ニる
一〇．32x10
、
Poisson s ratio＝03
、
、
、
、
〇 三〇8 −04 0 ．04 08
一〇β
一〇．5
一〇．4
一〇．3 一〇．3
一〇2
一〇．1 0．05
004
OO3
OO2
b／さ＝2．O u／a＝O．2 ∨／と＝0．1
多o也 1 戊
多o㊤
βy −一一一一一一
α
＿L
／…一一一一一＼ 1
。1プ9／、 ＼＼
、、
、
、 ノ ヘ
／＋一： ・o￡ ノ ・9 、
。》／／一 一一一一＼一＼．L、
、
一
9暁一一一一一＼、、 一一
，@ 、、
＼ 0 、、
0 ＼
o ・ 心、P。i。。α㎡。，ati。．03−…1σ5＼
0 0 一二〇4 ＝02 0 D2 ．04
拓 図一7 曲げモーメントとたわみの分布 図一9 曲げモーメントとたわみの分布
（b／α＝1．0， り／α＝①．2） （6／α＝：2・0， z戊／α＝0．1）
．035
13x
ﾆyα
ヒレ色＝1．O u！乞＝0．2 vノ遠＝0．5
@ ＿一一一一一一
1ふ 虜 ㌶
一〇．35
．030
一〇．15
桧 1
Y i
aA十 、 、
〉ミ ーO．10 ミ5．025 一〇．30
￨0．25
O 、
／
、
@ 、 、、、、 、 、
@ 、 、 、 、 、
@ 、@ 、 v
@ 、 、
．020
一〇．05 、 、0
A 、
@、 、
@、 、
一〇．20
0 Poisson s ratio＝0．3 0．7x10一
一〇．5
一〇．4
一〇．3
一α2
0 一〇20
一〇」5
一〇．10
一〇〇5
O 004
0．03
002
0．01
0
bノと＝2．O u／a＝0．2 v／a＝0，2
肯1；；；㌧！誠
／ α 、ぷ1各
ノ
／ 十 ・
チ（）・
ela，
，
，
，
＿q蔓 ＼十一
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
十
、
、
、
、
一 、
／ 一 ・ρ巴
，@ 、 、
， 、 、
，
／01 ＼ oク
、 ＿＿
、
、 一
、 、 、 、0
、丁
一＿」
Poisson s ratio＝0．3
、
、 0 ＼
＼
＝耳＼一
一〇．B5・10に・
0 0 一σ2 −0LI O OL1 （12 −08 三〇4 0 D4 08
酒 ％
図一8 曲げモーメントとたわみの分布 図一10 曲げモーメントとたわみの分布 （b／。＝1．0，。／。＝0．5） （b／・＝2・0・・／・＝0・2）
一〇35
一〇．30
一〇25
一〇20
b／a＝2の u／a＝α2 ％＝0．5
@ 霧
1
．35 、犠
〃x
⑥ 一一一一一一一
0030 α 一
一〇15 3 ③
諦9
、、
0025 、Ｌ 、、
．25 ミ ー0」0
o α020
一〜1C 、
f， 一 一 一 1 、 、 、@ 、@ 、@ 、黷k 、 、 、 、 o隻、、 、
、@、
@、
@ 、@ 、
、 i 、
一〇〇5 、・寸一、
20 一 、、、
0
、
、、
0 0015
Poisson、 ratio＝0．3
〒＝「†トα11冒1ぴ
Pミ当゜
、、一
0 0
一〇．2 一〇．1 0 0．1 σ2
一〇．25
一σ20
一〇15
一〇．10
1）載荷部が板の中央にあるとき，すなわち￠／α＝0 のとき，曲げモーメント〃エ，」Wおよびたわみ砂は載 荷部の中央すなわちx＝α／2，y＝0の点で最大とな り，当然のこと乍ら，ε／α＝0 において各分布曲線は エニα／2，y＝σの点に関し対称形をなしている。（図2
〜12）
2）同一板上でε／αが増加し，載荷部が自由端方向 へ移動するにつれて，曲げモーメント仏およびたわみ 2〃が最大となる点は自由端方向へ移動し，その値も増大 するが，曲げモーメント賦については最大となる点は自 由端と逆方向へ移動し，値も減少して自由端付近では0 に近くなる。（図2〜12）なお，板幅bおよび載荷部の幅
〃を変えてもその傾向は同じである。
表一1板幅の変化による凪批，ωの変化率
脆 図一11曲げモーメントとたわみの分布
（6／α＝2．0，u／α＝0．5）⑤
b／。．20ぬ．α2脆。1。r l
一〇〇8
￨OO6
ー0、04 一 ．025
@020 U
1震；1＼，…！ ＼＼ 1房〆一咋＼＼＼
f中芳《〆一め1 ・＼＼1つ憩
一σ02 ・
015
1虜4 ＼ 、 ∂∪ 、
D10
o
噤??f l i i
0 O 0
一〇．4 −0．2 0 0．2 0．4
図
％一α む一α δ万 （妬）m。． （ルf〃）m。x （％）max
（脇） ／。．。 （妬）。〆。．。 （％）ρ／。．。
④⑥⑨
0．1 0．5 P．0
Q．0 1，072 P，086 P，088
1，066 P，095 P，081
1，075 P，095 P，131
⑤⑦⑩
0．2
0．2 0．5 P．0
Q．0 1，093 P，127 P，132
1，047 P，061 P，060
1，173 P，174
表1は載荷部が自由端にある場合の，載荷部獅〆s 〆 内でのルfエ，ル1yおよび％の最大値と載荷部中央（y／α
＝0）の値の比を表わし，〃エ，仇，ω1の変化の割合を示 したものであるが，この場合，載荷部の長さは一定（＝0．
2）とし，載荷部の幅〃／αは2種類に分けている。板幅 b／αが大きくなるにつれてMエとωの変化の割合も大き くなっているが，板幅が大きくなるほどその増加はゆる やかになると考えられる。ルfyに関しては板幅の変化に
よる影響はわずかに現われているが，その傾向は明確で はない。
文 献
1）和田，盛中，南波；九州工業大学研究報告（工学），第33
号．
2）S．Timoshenko et al． t¶Theory of Plates and Shells ，2／e．
図一12 曲げモーメントとたわみの分布 （b／α＝2．0， 0／α＝1．0）
