線形計書法の逐次解法

リニヤー・プログラミyグ︑線形計書法の逐次解法

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古︑瀬 一大

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曳序

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線形計聲法(ピ冠①起国oσq旨崇忌=σq)という名稻は︑クーブマンスの編纂.になる﹁生産及割當の操業度分析﹂

ノ

(P︒露話ξ臣養一嶺冨O輪弓目O含︒註O昌舘益臣一一〇︒暮δ煽ポ09く♂︒︒095葺奮一〇昌旨O昌Oσq養娼F男O・μρμOαμ・)の刊行

ぜゆによつて既に廣く知られるようになつているものと思われるので︑ここで改めて読明することはせすに︑直ちに本題

に入ることとしたい︒

線形計聲法とゲーム理論とが︑その激学的表現に於て殆ど一致している︑ということもまた︑改めて論するまでも︑ない周知のヒとがらである︒けれども︑それぞれの領域がそれぞれの專門的研究者を持つているためであろうか︑こ

ノの二つの領域の間にはかならすしも完全な知識の交流が行われているとは言之ない貼が見られるようである︒

ここでは︑そのような問題の一例として︑逐次解法のそれを取り上げて考えてみょう︒〜ゲ遇ム問題の︼般的解法と

しては︑既に禦菖覧o図崔①欝︒臣が考築されており︑また︑從來その訣陥と思われていたq①鴨器影畠の問題も︑最

近になつて完全な解決策が與えられだるようになつた︒その線形計鑑法への適用もまた・チャーンズの論丸鶴よつて・

線形計書法̀の返吹解法..

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商學 一

討究・第三巻第三號 ■

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完成の域に達したものと考えてよいであろう︒獅ゲーム,問題の今一つの解法は︑ブラウン及びノイマンの逐吹解法であるが︑それの線形計書法への適用について

は︑現在のととろ全く論ぜられていない歌況である︒この論丈に於ては特にこの鮎を取上げて考えてみだい︒クープ

マンスは既に︑線形計豊法が何等かの逐女解法を持つ.に違ないことを︑市場機樗への類推を通じて︑直親的に豫想し

ハ リセていたのではないか︑と思われるが︑その具骸的解法を與えるととはできなかつた︒他方︑ノイマンは︑ゲームにつ

いての聯立微分方程式にょゐ解法(それは勿論直ちに逐次解法に轄化さをることができる)を藪学的に嚴密に誰明し

たけれども︑それの線形計書法への滴用︑從つて︑それと市場における償格攣動を通じての需給均衡成立の過程との

間の關聯については︑一言もふれていない︒・

ロへず筆者の意岡は︑このノイマンの解法を線形計叢法の形に書き改めることによつ̀内その維濟学的意味を明かにし︑

また線形計書法を具盟的に解くという問題に樹して何等かの貢献をしょう︑という二つの窯にあるのである︒

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ー'.一グーム問題の逐次解法

ー総得窯零の二人ゲーム(N霞o石︒β琶β司o窟崖oβ鵯舅Φ)の逐次解法には︑筆者の知る限り︑二つの方法がある︒

ノその一つはブラウンの毘︒諭o墓℃一昌にょる方法冠あり・他の一つは前笛にも簡輩に燭れておいたブデヅン及びノイ

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隔 ︑

31

 .マンの聯立微分方程式による方法である︒ブラウンによれば︑この二つはは質的には同一の解法であるとのことであ

 ヨねるが︑肝心のブラウン自身がその讃明を與えておらす︑筆者自身にもそれだけの饒暇も能力も持ち合せがないので︑

ず正しい解答はその道の專門家に御願するより他はない︒

第一のブラウンの岡ざ識o塞団冨回による方法を簡軍に読明すれば次の通りである︒則ちそれは︑巨2艮犀貯o目と

琶一乱目貯o目とが︑そのσq欝彫o営暮艮図・の一つの行又は列をそれぞれ一っの辱霞o︒︒苛暮①σq気と見徹して交互にその手

を決定し︑且つその都度σQ蟄旨︒目暮ユ図の数値を累積的に修正して行ぐ方法である︒その結果として得られるそれぞ

れの陰目oむ︒需算①σq鴇の頻度の比蛮・が︑極限に於てo娼寓目巴岸冒①9の酋暮oσq網の値︑に牧敷することになるのである

が︑その誤差と覧茸の回敏との積が大膿一定であるために︑最初のうちは非常にょく牧倣するけれども︑間もなく

(3んその牧轍速度が減退して︑極めて能率の悪い計算方法になつてしまう︑という大きな訣陥を持つている︒ブラウン自

身︑この方法の敏学的讃明を與えせおらす︑軍にその脚註に於て︑ロビンソンによる牧敷性の誰明㌔が近く臼げoぞ bβ買欝冨o隔目暮げ①琶暮言融誌上に掲載されるであろう︑と附記しているだけであり︑筆者もまた右の論文の存在を確

認して・おらないので︑残念ながら︑これ以上詳しく論することはできない︒

然し︑一つ氣にかかることは︑二つ以ヒのo娼寓舅二曳最o・︒笥暮oσq図が存在する場合に︑その中の何れを選ぶべき

ハち か︑という鮎である︒ブラウン自身は何等の理由をも示すことなしに︑一番左側の手を選んでいる︒この左右關係

は︑問題の本質とは全く無關係に︑偶然的に決定されるのであるから︑彼のこのような選び方もまた︑全く恣意的と

言わなければならない︒これが正當な方法として合理化されるためには︑選び方の如何が問題の答えに全く何らの影

響を臨及ぼさない︑ということを豫め積極的に誰明しておく必要があるのに︑彼はこの鮎についでも沈獣しているの

である︒これがまた例のζ,一巨覧o吋葺①窪o山に於ける釦oσQ㊦褐δ二曙の存在と何等かの關聯を持つているかもしれない

線形計書画法の逐女解法

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○

商學討究第三巻第三號'.・︑ρ

のであるけれども︑∴その解決はやはり專門の籔学者の手を待たなければならないであろう..第二のブラウン及びノ,

マンの聯立微分方程式法は概略次の通りである︒先す︑與えられた任意の︑σ︒蟄琶ρ冨暮ほ図Bに封して左の如き新たな

σ︒鼠①暴三図Aをつくる︒.'

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この新しいゲームAのO娼菖目￡舅凶凶Φ自看︒訂暮Oσq団(図ご団ご渇)を知れば︑もとのゲームBのO娼藏居蟄一ヨ冒㊦qむ︒首暮㊦σq曳

は︑ヨ欝恩目貯霞及び犀葺一暮冒霞についてそれぞれ︑﹂

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の形で與えられることになる︒それ故︑Bを解く代りにAを解くならば︑Bの解は一義的に決定できるわけである︒

この新しい撃冨︒冨暮匡図Aは︑その劉繕的位置にある二要素の値が互に符號を異にし且つその絶封値が同一であ

る︑則ち蟄蛍"1夢二q社﹄)が成立ヴ︑という特性を具えている︒この所謂蟄澤菖あ驚琴葺①窪ざな性質を利用するごと

によつて︑︑Aのo営一岩鑑葺訂oP・︒貯さ︒σq図をぱ︑左の聯立微分方程式のげヤ8に於ける各饗敏の牧敏値として求め

ることができる︒,

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但し︑

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33

ゆサ禽(9一)ロ昼図(oW皇)

$(図)ー1﹄S(爵)︑

この聯立微分方程式は︑s(自一)という特殊な非線形的要素を含んでいるために︑通常の方法でその一般的解を求める

ことは困難であるが︑任意の初期條件鱒ら)(但し﹄幻ら>Hつから出焚すれば︑時間の経過とともに必す或る有限

値㎡︑に牧敷し︑その極限度が同時にゲームAのo男蔵日菖貰訂Φ島雛貯暮oσq網を表わす︑ということをブラウン及びノ

︑

ーイマンの論文は讃明している︒ここでその詳細を繰返すことは筆者の最初め意圖を超えることになるので︑護者自ら

原論文を参照されるよう希望する︒このような簡軍には解けない微分方程式を與えてみても︑現實に解を求めるとい

う吾麦の目的には役立たないのではないかと考えられるかもしれない︒然し︑この式を近似的に定差方程式で表わす'

(ことによつて︑これを逐次解法の問題に縛化させることもできるし︑またその論文の冒頭に於て彼等自身が言つでい'

じタるように︑これを島σq壽葭8鳩覧げ霧叉は碧儀o碧①︒o琵弓暮Φ目炸かけゐことによつて︑機械的.電氣的に容易に解

くことができるのである,この顯を考慮に入れるならば︑こ︑の聯立微分方程式による表現方法を與えることは︑且ハ盟

的解法の上での一つの大きな前進を意味するものと考えてよいであろrう︒・・

1bロ同o類79謹も.︑周8量穿㊦のoぎ凱o昌o︑Oや彦$ξ国︒凱o葛逗曙㌦︑ぎ仲三信﹀冨ぞ︒・眺o馬津︒含︒齢団︒冒舶巳ヒ︼o︒毘8蝸HO蟄噛＼膨やω置‑砦9闘.'

2上記論丈の帽頭に︑この崔9ご目︒︒娼一爵法が或騰の微分方程式に關係をもつこと︑それについてにノイマンとの協同論丈中て︑

論蓮されていること︑な指摘しているが︑前節註②の論文がそれに該當するものと思われる︒

3曽︒書"O・蚕噂︒噂・魯9㍉唱・巽o・,︒

4.回貿︾・︒誤丸︒︒層仲ρ'4〜.卯

5目ぼ臼4娼.G︒ま噛器8冨伽︼冒︒9温日昏一①肖H..暫i2

綜形計書↑法の逐次解法'ら

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34

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9.旨尋

商學討究第三春第三槻'.＼

6b冒3ヨポρ竈6巳蜜ロ暮豊ロ讐句・︿︒炉..の巳鼠岳︒鳴O聾8ξ望︑ず︒昌巴薯銭︒5,国㌔.O︒葺旨&︒冨ε昏︒臣8り同900・09日㊥詔H80・喝ら・認〜6・畳,̀3﹁附記﹂この職立微分方程式な直接解くことは︑面倒てにあるが︑不可能てにない︒その解法の一例については︑第五節の註⑤な参

へ

照のことo‑﹁.ヒ

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=ゲームと線形計豊との關係

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任意のN霞o︒・已昌酔司o娼①話oβ撃墓は︑これを或る種の線形計餐法の問題に必す韓化させることができるし︑

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また逆に︑任意の線形計書法の問題を或る種の国霞o雪旨ゆ詔o窟器oβ撃塁oに翻鐸することも可能である︒

ち しノ前節にも述べたように︑任意の'σq跨①臼暮昌図Bを持うN亀o雛已β"詔o娼o塁o鐸σq塑器は︑左の如き蟄暮7

コ︒矯買賃o昏ざσq蟄墓彫暮ほ図盆を持つ一つのゲームに臨W化させることができるのであるが︑一︑

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  ユロなる條件の下に︑,財図を最大ならしめよ︑という一つの線形計甕法の問題に外ならない︒

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なる條件の下︑で︑︒図を最大ならしめよ︑という線形計聲法の問題は︑

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