チーム決定問題について

(1)

チーム決定問題について

奥田和垂

1.緒言

二人以上の個人が集まって,共通す争目的を達成するために協働してなんらかの決定を下す集団を考える｡集団に属する各人の選好関係に差異がなく,共通の目的を反映する選好関数が唯一存在すると仮定できる場合,その集団をチームという1)｡決定を下す主体が,個人であれ,組織であれ,コンピュータのような機械であっても,その下した決定がなんらかの行動に反映されるとき,決定を下す主体の単位を意思決定者と呼ぶことにする｡このような意思決定者が複数集まってチームを形成しているとすれば,先の定義から意思決定者の選好関係はすべての意思決定者について同形であるので,各意思決定者は互いに協力して全員にとってよりよい結果がもたらされるように各自の選択を行なう｡

これをチーム決定問題という2)｡チーム決定問題で,意思決定者間の情報交換が完全になされ,全員が同じ情報を持っているならば,それは意思決定者が 1 人の場合の最適決定問題と等価になる｡したがって, チーム決定問題は意思決定者間の情報交換になんらかの制約がある場合に意味を持ち,その情報交換の型,すなわち情報構造を決定することが問題となる^｡このようなチーム決定問題を研究するチーム理論はMarschak³⁾ によって始められ,Radnerによって発展させられた¹)｡そこでは主として静的な問題が取り扱われていたが,後に

HoとChllに'よって動的な問題に拡張された4)｡一方,Witsenhausenは制御問題で情報構造を明確にすることが重要であることを指摘した｡これを契機に分散制御システムの研究が盛んになったが,分散制御システムはチーム決定問題と類似の構造を持っことから,チーム理論が制御の分野に取り入れられるようになった｡最近では, チーム理論にもとづいたコンピュータの並列処理5)や分

〔61〕

(2)

62 商学討究第41巻第4号

散処理の新しい形態として注目を浴びているチーム･コンピューティング (あるいは協同型処理 :cooperatingprocessing)6)･7)などが報告されている｡

本論では, チーム理論を分散制御に対する理論としてではなく,チームが行う意思決定を最適化するための理論としてとらえ,その理論と方法について述べる｡次章では,意思決定者の数と目的の数の関係から最適化理論の分類を行い, チーム理論の位置付けを行う｡次に, チーム理論ついて述べ,最後に,簡単な生産システムを例に取り,その適用例を示す｡

2.意思決定問題

意思決定者が,自らの目的を達成するために行動の代替案の中から特定の行動を選択するとき, これを意思決定といい8),代替案の選択が意思決定者にとっ

て最もよい,すなわち最適な結果が得られるように行なわれるとき, これを最適意思決定という^｡この最適な意思決定を行なう問題を最適意思決定問題といい, これは次のようである｡N人の意思決定者がそれぞれm i,i‑1,‑‑･, Nの代替案 Ⅹ ij,j‑1,‑‑,miを持っているとする｡それぞれの代替案が選択されると, その結果 z ij,j‑1,･･････,m iが生じる. 意思決定者は, 結果に対してそれぞれの好みを持っている. この好みはz ij間の選好関係とし

て表わすことができ, この関係を選好関数￠ i(zij)で表わす｡たとえば,意思決定者 iが2つの結果zil, Zi2について, zilをzi2より選好すれば,選好関数は^{￠ i}(zil^{, Zi2)}>⁰^となる^{｡ zi}^lと^zi2^{が同等であれば}^{￠ i}⁽^li^l^{, Zi2)}^{‑ 0}^,

zilとzi2が同等かあるいはzi.を選好すれば￠ i(芝il, Zi2)≧0である｡したがって意思決定問題は,意思決定者が自らの選好関係のもとで最もよい結果を得るように代替案を選択する問題であるといえる｡

上の意思決定問題で代替案や結果が数値として与えられていると, これは数理計画問題として記述することができる｡意思決定問題を数理計画問題として記述すると次のようになる｡代替案には,満たすべき制約giが規定されており,その制約を満たすすべての値が代替案であるとする｡これより代替案の集合Ⅹiは次のように書くことができる^｡

(3)

チーム決定問題について 63

Ⅹi‑(Ⅹi:gi(Ⅹi)≦0) ⁽¹⁾

結果は, ある代替案に対して得られるので,その関係を関数 f^{iで表わすと結}

果の集合Ziは,

zi‑‡zi:軍i‑fi(Ⅹi)) (2)

と書ける｡意思決定者が最も大きな値を持っ結果を選好するとすれば,これは Ziの中から最大のziを選ぶことを意味する｡すなわち

MAX.(zi:ZiEZi) (3) である｡最大のziを選ぶということは,̲fiを最大にするⅩiを選ぶことと等価である｡したがって式(3)は

MAX.fi(Ⅹi) (Ⅹi)

となる｡以上のことより,意思決定問題を数理計画問題として記述すると, 式 (1)を制約条件とし関数fi(Ⅹi)を最大化する問題として次のように書くことができる｡

MAX.fi(Ⅹi) (5) S.T.xi∈Ⅹi‑(Ⅹi:gi(Ⅹi)≦0) (6)

ここでⅩiは意思決定者iの決定変数,fi(Ⅹi)は目的関数である｡以下の議論で,Ⅹiはコンパクト凸集合,fiはⅩiに関して凹関数で,Ⅹに関して微分可能な連続関数であるとする｡

意思決定問題は,意思決定者の数と目的関数の関係によって以下のように分類することができる｡

I.最適化問題

意思決定者が1^人 (N^‑1^{)の場合,式}(5),(6)は次の最適化問題になる｡

MAX.f(Ⅹ) (7)

S.T.g(Ⅹ)≦0 ⁽⁸⁾

この問題に対する最適化手法としては,数多くの手法が提案されており⁹⁾, ここでは省略する｡

Ⅱ.多目的最適化問題

意思決定者が1人の場合であっても, その意思決定者が複数の目的を持って

(4)

64 商学討究第41巻第4号いるとき,次の多目的最適化問題となる｡

MAX.(fl(Ⅹ),f2(Ⅹ),I‑‑) S.T.g(Ⅹ)≦0

この多目的最適化問題に対しては, 目標計画法や対話型最適化法などの最適化手法が提案されている10)0

式(9),(10)のような多目的最適化問題では,すべての目的を同時に達成するような最適解は一般的には存在しない｡このような問題では, 解はPareto 最適解 (あるいは非劣解 :non‑inferiorsolution)となる｡Pareto解は, す

くなくとも他の1つの目的を減少させることなくして, ある目的を増加せしめることができない解である｡すなわち,式(9),(10)の問題で,すべてのiに対してfi(Ⅹ)≦fi(Ⅹ'),かついくつかのiに対してfi(Ⅹ)<fi(Ⅹ*)なる任意のⅩ が存在しないならば,またそのときにのみ Ⅹ*はPareto解である｡

Ⅱ.ゲーム決定問題

複数の意思決定者が存在し,それぞれが目的を持っている場合,ある意思決定者の決定が他の意思決定者の決定に影響を与えるならば,その意思決定問題はゲーム決定問題となる｡この決定問題は,意思決定者iの決定問題として次のように定式化できる｡

MAX.fi(Ⅹ) (ll)

S.T.gi(Ⅹ)≦0 (12) この問題に対する理論としてゲーム理論11)がある｡ゲームの理論では, 各意思決定者がそのとるべき戦略を合意の上で決定する協力ゲームと,意思決定者が互いに競合している場合の非協力ゲームがある｡協力ゲームには, 2人交渉ゲームや特性関数形 (提携形) ゲームなどがある｡意思決定者全員が協力して決定を行なう場合 ,それは多目的最適化問題と等価になる｡

非協力ゲームには,意思決定に優先権がある場合や,ゼロ和/非ゼロ和ゲームなどがある｡

1)Stackelberg解

意思決定に優先権がある場合で,優先権がある意思決定者の決定を他の意思

(5)

チ‑ム決定問題について 65 決定者が知って自らの決定を行なう｡これを説明するために,意思決定者が2 人の場合で,意思決定者 1に優先権がある場合を考える｡意思決定者 1の決定

Ⅹ;∈Ⅹ iが与えられたとき,意思決定者2は,

f2(Ⅹr,Ⅹ2')≧f2(Ⅹ1',Ⅹ2),Ⅹ2∈Ⅹ2 (13) となるように Ⅹ2'‑T(Ⅹ1')を選ぶ. ここでTは任意の関数である. このとき

fl(Ⅹ1',T(Ⅹ1'))≧fl(Ⅹ1',T(Ⅹ1)),Ⅹ1∈Ⅹ1 (14) となるような Ⅹ1'∈Ⅹ1,Ⅹ言‑T(Ⅹ1')が存在すればⅩ2'∈Ⅹ2はStackelberg解である｡

2人の意思決定者の最適化問題は,具体的には次のようになる｡任意のⅩ㌢

∈Ⅹ1に対する意思決定者 2の最適化問題は,

MAX.f2(x10,x2) (14) S.T.g2(Ⅹ10,Ⅹ2)≦0 ⁽¹⁵⁾

である｡これを最適にするためにLagrange関数を次式で定義する｡

L2(Ⅹ10,Ⅹ2,Å2)仝 f2(Ⅹ10,Ⅹ2)+ 入短 2(Ⅹ10,Ⅹ1) (16)

これより,意思決定者2が最適決定を得るためのKuhn‑Tuckerの必要条件は,

∂L2 ∂f2(Ⅹ10,Ⅹ2') ̲̲∂g2(Ⅹ10,Ⅹ2.)

∂Ⅹ2 ∂Ⅹ2

∂L2

∂ ス2‑g(xlO,x2')‑0

∂Ⅹ2 ‑0 (17) (18) である｡優先権のある意思決定者 1の最適化問題は,式(17),(18)を考慮して次のようになる｡

MAX.fl(Ⅹ1,Ⅹ2)

S.T.gl(Ⅹ 1,Ⅹ 2)≦O

g2(Ⅹ 1,Ⅹ 2)‑0

∂f2

∂Ⅹ2.A盲壁 =o

∂Ⅹ2 この問題のLagrange関数は,

Ll(Ⅹ1,Ⅹ2,人2,〟1,IL2,Z/1)仝fl(Ⅹ1,Ⅹ2)+ FLTgl(Ⅹ1,Ⅹ2) EiidgCid901122(ZqiZqnⅦMu )22qtMU

(6)

+ zjTg2(Ⅹ1,Ⅹ2)+LL首(∂f2/ ∂Ⅹ2+ ス盲∂g2/ ∂Ⅹ2) (23) となる｡Kuhn‑Tuckerの必要条件は,

∂Ll ∂fl(Ⅹ1',Ⅹ2') ̲ ∂gl(Ⅹl',Ⅹ2')

∂Ⅹ1 ∂Ⅹ1 ∂Ⅹ1

∂ ′ ∂f2(Ⅹ1',Ⅹ2') ∂g2(Ⅹl',Ⅹ2+)

･躍 ÷∂Ⅹ1＼( ∂Ⅹ2

∂L1

‑ ‑gl(Ⅹl+,Ⅹ2')‑0

∂〟l

aLl af2(xl+,x2*)

∂〝2 ∂Ⅹ2

∂L1

‑ ‑g2(Ⅹ1',Ⅹ2')‑0

∂g2(Ⅹl',Ⅹ2')

∂Ⅹ2

8g2(xl',X2')

(26)

(27) aLIL

である^｡この必要条件で,x2*とÅ2*は意思決定者 2の最適化問題の必要条件 (式(17),(18))よりⅩ1の関数,たとえばⅩ2'‑T(Ⅹ1),Å2'‑H(Ⅹ1)として記述できるので,式(24)〜(27)はⅩl,ILL,FL2,ン1について解けばよい｡ここで T(*)とH(*)は任意の関数である｡

2)2人ゼロ和ゲーム

2人ゼロ和ゲームは意思決定者が2人で, 2人の目的関数の和がゼロ,すなわちf1‑f2‑0の場合である｡これは,意思決定者 1の意思決定問題が最大化問題であれば,一方の意思決定者2の意思決定問題は最小化問題になる｡そしてその目的関数の最適値は一致する｡この関係は次式で記述することができる｡

f(Ⅹ18,Ⅹ2)≧f(Ⅹlt,Ⅹ2')≧f(Ⅹ1,Ⅹ2'),∀Ⅹ1∈Ⅹ1,∀Ⅹ2∈x2 (28) これを満たすⅩr,Ⅹ2+を鞍点解という.式(28)は等価的に次のように書ける.

f(Ⅹ1',Ⅹ2')‑maXmi nf(Ⅹ1,Ⅹ2)‑minmaxf(Ⅹ1,Ⅹ2) (29)

Ⅹ1 Ⅹ2 Ⅹ2 Ⅹ1

鞍点解が存在するための必要十分条件は, 式(29)が等号で成り立っことである｡これが不等号で成り立っ場合には鞍点解が存在せず, このときの解は

(7)

チーム決定問題について minimax解となる｡

意思決定者の最適化問題をそれぞれ次のようであるとする｡

意思決定者､1 :M AX.fl(Ⅹ1,Ⅹ2)

S.T.gl(Ⅹ1,Ⅹ2)≦0

意思決定者 2 :MIN.f2(Ⅹ1,Ⅹ2)

S.T.g2(Ⅹ1,Ⅹ2)≦0

そのLagrange関数はそれぞれ次のようである^｡

Ll(Ⅹ1,Ⅹ2,Al)仝fl(Ⅹ1,Ⅹ2)+ATgl(Ⅹ1,Ⅹ2) L2(Ⅹ1,Ⅹ2,人2)仝f2(Ⅹ1,Ⅹ2)+ス盲g2(Ⅹ1,Ⅹ2) これより鞍点解が存在するための必要条件は次のようになる｡

aLl afl(xl',x2+) agl(xl*,X2')

∂Ⅹ1 ∂Ⅹ1 ∂Ⅹ1

∂Ll

811^‑gl(^Ⅹ;^,^Ⅹ言^{)‑ 0}

aL2 8f2(xl',X2') 8g2(xl+,X2')

∂Ⅹ2 ∂Ⅹ2

∂L2

81 2

‑g2(Ⅹ;,Ⅹ28)‑ 0

∂Ⅹ2

EiidEidgEO1233333iZqJqnlUdZq

‑ 0 (34)

(35)

‑ 0 (36)

(37) 3)非ゼロ和ゲーム

非ゼロ和ゲームで意思決定者がN人いる場合,各意思決定者の最適な決定はNash解になる｡.Nash解は,他の意思決定者がNash解を採用しているとき, いずれの意思決定者も自己の解を改良するような解が存在しない均衡解である｡これはすべてのⅩi∈Ⅹi,i‑1^, ^‑ ‑‑‑,Nに対して,次のように書くこ

とができる^｡

fi(Ⅹ1',‑･･･,Ⅹトl,Ⅹi,Ⅹ+i.I^{, ･}･^{･･}‑･･,Ⅹ蒜)≦fi(Ⅹl',･･^･‑‑,Ⅹ蒜) (38) 意思決定者iの決定問題が式(ll),(12)の形で与えられているとき,Lagrange 関数は

Li(Ⅹ1,.･･･‑,ⅩN,Ai)仝fi(Ⅹ1,･･‑･,ⅩN)+lTgi(Ⅹ1,‑‑,ⅩN) (39)

(8)

となる｡これより式(38)を満たすNash解は,次の必要条件

∂Li ∂fi(Ⅹ;,･･‑･･,Ⅹ&) ̲ ̲∂gi(Ⅹl',･･･‑,Ⅹ蒜)

∂Ⅹi ∂Ⅹi

∂Li

∂Ai^‑gi⁽^Ⅹl^'^,･^･^･^･^‑^,Ⅹ晶⁾‑0 を満たすⅩ;∈Ⅹi,i‑1,‑‑‑,Nである｡

∂Ⅹi ‑ 0 (40)

(41)

Ⅳ.チーム決定問題

意思決定者が複数人で,各人に共通した目的がただ 1つ存在する場合,すなわちfl‑f2‑･‑‑‑fN‑fであるとき,その決定問題はチーム決定問題となる｡

これは,

f(Ⅹ1',‑････,Ⅹ苗)‑ max f(Ⅹ1,‑‑,ⅩN)

Ⅹ1,‥‥‥,ⅩN

(42)

であるようなⅩ‡∈Ⅹi,i‑1,‑‑,Nを見つける問題となる｡これは規模の小さな問題を除いて直接解くことは困難である｡チーム決定問題は,ある意思決定者の決定が他の意思決定者の決定に独立であると仮定し,そのときの最適解 : person‑by‑person最適解 (pbp最適解 ) を求めることで最適化される｡

pbp最適解を得るための必要条件は, f(Ⅹl',‑‑,Ⅹ'i‑1,Ⅹ'1,Ⅹ'i.I,‑‑,Ⅹ蒜)

≧f(Ⅹl',‑･:･,Ⅹ'i‑1,Ⅹi,Ⅹ'i.1,･･････,Ⅹ苗) (43)

であるO これは先のNash解の定義式(38)と同じ形である. したがって, チーム決定問題のpbp最適解は非ゼロ和N人非協力ゲームで各意思決定者が持つ目的が共通する 1つの目的になった場合であると考えることができる｡さらにチーム決定問題を多くの意思決定者の中のN人が協力して目的を達成するために決定し行動する問題であると解釈すれば,これはゲーム理論での協力ゲームの特殊な形であるといえる｡

以上の各決定問題の関係を図示すると,図1のようである｡

(9)

し̲̲̲̲̲ー̲̲̲｣

図1 最適決定問題の分類

叫‑ト･芳村P.,1

勧告

JナノT口髭

(10)

3. チーム決定問題 3.1.チーム理論

MarschakとRadnerによって与えられたチーム理論は, 全体の目的が与えられたとき各意思決定者が協同して, その目的を達成するにはどのような情報交換を行うべきかを対象とするものであった｡そこでは, チームに属する意思決定者 (メンバー)間の情報交換を規定する情報構造と, その情報構造のもとでの決定規則を決定している｡決定規則は, 式(43)のpbp最適解によって得

られる｡システム全体の最適解がpbp最適解であれば,個々の意思決定者についてもそれは最適である｡逆に個々の意思決定者についてpbp最適解が得られていても, それは必ずしも全体の最適解とはならない｡したがって, システム全体の最適解はpbp最適解の中に存在する｡他方,情報構造は一般には離散的な集合で表わされるので,最適な情報構造は通常の解析的な手法によって求めることはできない｡

Marschakらによって与えられたチーム理論は動的な要素,すなわち時間を考慮にいれていない静的な問題を対象にしているので静的チーム決定問題と呼ばれている｡静的な場合,意思決定者が下す決定は他の意思決定者の決.定に影響を及ぼすことはない｡この静的チーム決定問題はHo,Chu⁴⁾ によって動的な場合に紘張された｡この間題は動的チーム決定問題と呼ばれ,ある時刻における意思決定者の決定によってシステムの状態が変化するので,時間の経過とともに状態の変化を通じてある意思決定者の決定が他の意思決定者の決定に影響を与える｡動的要素を考慮にいれたチーム決定問題であっても, システムの状態が意思決定者の決定に影響されない場合が考えられる｡この場合には,各時刻の各意思決定者を新たな意思決定者と考えることによって静的チーム決定問題とすることができる｡この決定問題を準静的チーム決定問題という｡

チームに属する意思決定者iがシステムの状態yを観測することによってなんらかの情報ziを得る｡これを

zi‑l i(y),i‑i,･･････,N (44)

(11)

チーム決定問題について 71 で表わす｡この情報を意思決定者間で交換することによって意思決定者iは,

ui‑Pi(zi)‑Pi(li(y))‑ qi(y),i‑1,･･････,N (45) なる情報を得る｡通常 ,状態の観測と情報の交換には外乱をともなう｡この情報にもとづいて意思決定者iは意思決定

Ⅹi‑ γi(ui)‑ γi(77i(y)),i‑1,‑‑,N (46) を行なう. ここで,符iを情報関数あるいは情報構造と呼び,γiを制御関数あ

るいは意思決定関数といい,さきの決定規則である｡

状態の観測や情報交換にはそれなりの費用が必要で, これらの費用は情報構造や外乱に依存している｡したがってチーム理論における目的関数は,式(45),

(46)を考慮して次のようになる｡

f(γ1,･‑‑,γN,符1,‑･･･, 17N)あるいはf(γ1,･･‑･,γN) (47) さきに述べたようにチーム決定問題では, この目的関数を最適にするように情報構造 77iと意思決定関数 γiを決定するものである.

3.2.情報構造

最適な情報構造を解析的手法で求めることは困難であるので,考えられるすべての情報構造に関してその評価値を求め,その中から最適な情報構造を決定する｡これを行うために情報構造を意思決定者が情報を持っか持たないかによって1か 0の値をとる要素によって表すことにする｡すなわち,

qi,･‑(三^{意思決定者}^そ ^の ^他 ⁱ^{が情報 yj}^{を持っとき} ^i‑1^,‑‑^,m ⁽⁴⁸⁾

ここでm は情報の個数である. これを用いて意思決定者 iの情報構造かiとチーム全体の情報構造77を

符i‑ [77il,･･･‑,77iN]T,i‑1,‑‑,N (49) 77‑.[符i],i‑1,‑‑,N (50) で表す｡m‑Nのとき, 77はN人の意思決定者に対して 2^"雪組存在し,N の増加とともにその数は急速に増加する^｡ところで情報yiは意思決定者iのみが持っており,他の意思決定者がこの情報を受け取ることができるのは意思決定

(12)

72 商学討究第41^巻 ^第4号

者iのみからであるとする｡これは情報yiに関して意思決定者iのみが専門家で,他の意思決定者が情報yiを直接得るには意思決定者iが得る場合に比べて非常に高い費用を要する場合である｡このような特別な制約を課すことによって,検討すべき情報構造の数を減少させることができる｡これは次のように表すことができる｡

叩 ij‑0‑ 77ji‑0,i,j‑1,･･･‑,N (51) たとえばN‑2のとき情報構造 77の組合せは16組存在する. 式(51)の制約を課すと組合せは次の9組になる｡

[: :日 : :日 : :日 : :日 : ;日 : :廿日 : :日 : :]

Marschakらは式(50)で表される情報構造を次のように分類している1)0

①集中型情報構造 :どの意思決定者も同じ情報構造(771‑,･‑･･,‑ 77N)を持つ場合で,ll‑ である｡

②分散型情報構造 :各意思決定者が異なる情報構造を持つ場合で,T1‑

である｡

③集中型不完全情報構造 :情報が特定の意思決定者に集中している場合で,他の意思決定者はこの意思決定者からのみ情報を得ることができる. この場合か

‑ [11.0巨るいは〔:11巨あやo

④無情報構造 .･情報が全く得られない場合で,77‑

･=:i;二^である｡

Marschakらは例を用いて, これらの情報構造に対して観測費用と情報交換費用を考慮した評価を行い最適な情報構造を決定している｡

3.3.静的チーム決定問題

静的チーム決定問題は3.1節の式(44)〜(47)のようであるが,状態の観測や

(13)

チーム決定問題について 73 情報の交換にともなう外乱は,主観確率あるいは客観確率のどちらかの意味で確率的である｡したがって与えられた情報構造符のもとで,最適な意思決定関数は, γi∈r iに対して

J(71',‑‑,γ蒜)‑ max J(^{γ 1},････‑,γN)

γ 1,日●●日,γN

= maX

rl,HHH,rN^Ef(^{7 1}^,^‑‑^,^γN⁾⁽⁵²⁾

で決定される｡ここで

r

ⁱは意思決定関数の集合でⅩiを規定する｡pbp最適解の必要条件 (式(43))より

Ji(γl',‑‑,γ‡‑1,γ i,γ^‡+1,‑‑,γ蒜)

‑Ef(γ1',･‑･･,γ'i‑1,γ i,γ:+1,･･･‑,γ苗) (53) であるので,式(46)よりこれを γi∈r iについて最適にすることは,

maxJi‑maXEf(71',･･････,γ'i‑1,Ⅹi,γ'i^.I,‑‑,γ晶) (54)

Ⅹi Xi

を Ⅹiについて最適にすることと等価である｡

Ho,Chuは, 目的関数fが凸関数であるときJの局所最適解が全体的最適解であることを示している⁴⁾｡いまfが次のような2次関数であるとする｡

f(y,Ⅹ1,‑‑,ⅩN)‑y2ⅩTQx+ⅩTRy+cTx (55) ここゼ Ⅹ‑(Ⅹ1,･‑･･,ⅩN)T,Q,R,Cは適当な次元の行列とベクトルである.

HoとCht=こよって与えられた必要条件は,すべてのiに対して

∂Ji (56)

∂Ⅹi

が成り立っことである. これよりすべての ui,i‑1,‑‑,Nについて

Qiiγi+ ∑ 丁=lQijE(γjlui)+RiE(ylui)+ci‑0 (57)

j≒i

を得る｡ yと uiの確率分布が正規分布であれば,意思決定関数は次の線形関数になることが知られている12)0

Ⅹi‑ γ(ui)‑Aiui+bi (58)

(14)

Aiとbiは式(58)を式(57)に代入することによって得ることができる｡

3.4.動的チーム決定問題

動的チームは,静的チームに時間要素を考慮にいれ動的な場合に拡張したものである｡ Ho,Chuは時刻k,k‑1,･‑‑,Kにおいて意思決定する意思決定者iを意思決定者ikとし,意思決定者数NKを改めてNとして, その意思決定者間に意思決定の先行関係と包含関係を導入している｡Ⅹjがuiに影響をおよぼすとき,意思決定者jは意思決定者 iよりもさきに意思決定することを意味する｡この意思決定の先行関係を半順序関係 (く) を用いてjくiのように表す｡一方,意思決定者iが自分の情報uiを通じて意思決定者 ]'の情報ujを知ることができるならば,uiはujを包含するという.j<iなるすべてのi,jに対してuiがujを包含すれば,情報構造 77はpartiallynested(PN)という｡ PN 情報構造を持っ動的チームでは, その情報構造は次のような線形関数として与えることができる｡

ui‑Hiy+ ∑ :･‑=11DijXj (59)

ここでHiとDiiは適当な次元の行列ですべての意思決定者に対して既知である｡行列Dⁱ^j≒0であれば,意思決定者jの決定は意思決定者iの情報に影響を与え,j<i,Dji‑0を意味する｡静的チームの場合,情報構造はui‑Hiyで

ある｡

いま次のようなLQG問題,すなわちシステムの状態方程式が線形関数,冒的関数が2次関数,外乱が正規分布に従う場合の問題を取り上げる｡

MAX.J‑E[%yNT^.ISyN^{. 1}+y2∑^{ご =}¹⁽^yT^BT^Byⁱ+ⅩTRxi)] ⁽⁶⁰⁾

S.T. yi+1‑Fyi+Gxi+wi (61) さらに意思決定者iの観測は

‑zi‑Cyi+vi であり,その情報構造は

ui‑Hit+ ∑ ji=‑1lDijXj

(62)

(63)

(15)

チーム決定問題について 75 であるとする. ここでE‑(yl,W1,‑‑,WN,V1,‑‑,VN)T,F,G,Cは通当な次元の行列,^ylは初期状態,wi, viは外乱である｡

式(61)をyiについて解き,yl,Wi,Ⅹiの関数として表すと

yi‑Fトlyl+∑ji=‑¹^l^Fi^‑1j(^Gxj+wj⁾ ⁽⁶⁴⁾

となる｡これを式(62)に代入すると

zi‑CF卜lyl+C ∑ ji=‑1lFi‑1‑j (Gxjlwj)+vi (65)

となる｡式(64),(65)はともにⅩi,Wi,Viの線形関数であ冬｡これらと式(63) を式(60)に代入すると

J‑E(%xTQx+XTSE) (66) を得る｡ここでⅩ‑(Ⅹ1,‑‑･,ⅩN)Tである｡また Ⅹに関係しない項は省略してある｡これは先の静的チーム決定問題での目的関数式(55)と基本的に同じである｡

PN情報構造の場合,ある意思決定者は先行する意思決定者を知っており, またその決定規則についての知識もある. そこでチームに属するN人の意思決定者をその先行関係を考慮して次のようなnグループに分割する｡

Nl^‑ti:jくiなるjが存在しない) N2‑(i:jくi,j∈Nl)

N3‑●ti:j<i,j∈N2)

●●

Nn=(i:j<i,jENn̲i)

Nlに属する意思決定者は先行する意思決定者が存在しないので式(63)はui‑ HiEとなる｡これはuiが過去の情報 Eにのみ従っていることを示している｡

N2に属する意思決定者は先行する意思決定者の決定 Ⅹjとその情報 uj,j∈Nl がわかっているので,式(63)は

,i∈N2 (67)

(16)

76 _商学討究第41巻第4号となる｡すべてのi∈N2,j∈Nlに対して

^ui‑ui‑ ∑ ji=^‑1^l^Di^j^Xj

とおくと,

(68)

Qi‑H iE (69)

を得る｡したがって,情報構造が式(63)^{のような線形の}PN^{情報構造であり,}

任意の決定関数 γ i,i‑1,‑‑,Nに関する動的チームは,情報構造が式(70) で与えられる情報構造の静的チ丁ムと等価になる｡このことから式(60)〜(63)

で与えられるLQGタイプの動的チーム決定問題の最適な意思決定関数は静的チーム決定問題の場合と同様に式(58)と同型の線形関数として与えられる｡

Ho,Chuは上記のようにPN情報構造を持つ動的チーム決定問題を等価な静的チーム決定問題に置き換えて線形の意思決定関数を導いた｡そこではNiに属する意思決定者は先行する意思決定者の情報を同じように持っている｡このような情報構造は一般に古典的情報構造と呼ばれ,そうやない情報構造は非古典的情報構造と呼ばれている｡この非古典的情報構造を持っ動的チーム決定問題では,意思決定関数は先のような線形関数にはならない｡Cole,Sage12) はこのようなPN情報構造でない動的チーム決定問題に対して,.PN情報構造を持っ補助問題を作成しその意思決定関数を求めることによって元の問題の意思決定関数を求めている｡非古典的情報構造に関して森,示村13)は情報交換価値と情報伝達価値について考察し,最適制御,最適な情報伝達と交換時点の決定などを導いている｡

4. 生産計画問題への応用

ここではシステムの状態観測や情報交換に外乱が存在しない確定的な問題を対象にする｡制約条件式g(Ⅹ)をシステムの状態方程式として次のように書き改める｡

y‑g(Ⅹ) (70)

ここでy‑(y1,‑‑,yN)で,Ⅹ‑(Ⅹ1,‑‑,ⅩN)Tである｡目的関数f(y,Ⅹ)は Ⅹ, yに関して微分可能な凹関数であるとする｡情報構造は,

チーム決定 問題 につ いて