カルツァ・クライン理論
カルツァが指摘し、クラインによって整理されたカルツァ・クライン理論について見ていきます。これは
5
次元時 空において重力と電磁場を統一させる理論です。ギリシャ文字の添え字は
0, 1, 2, 3、大文字のローマ文字の添え字は 0, 1, 2, 3, 5
とします。計量、リッチテンソル、リッチスカラーでのハット付きは
5
次元、ハットなしは4
次元としています。先に言っておくと、カルツァ・クライン理論は現在でも不完全な理論です。理由は簡単で実験値を再現できない
からです
(再現できない例として電子の質量がありますが、対処法はあり、例えば自発的対称性の破れを利用しま
す)。しかし、カルツァ・クライン理論の発想は弦理論に引き継がれています。
最初に記号の定義を書いておきます。
第一種クリストッフェル記号
[ab, c] = 1
2 (∂ a g bc + ∂ b g ac − ∂ c g ab )
第二種クリストッフェル記号Γ c ab = g cd [ab, d] = 1 2 g cd (
∂ a g bd + ∂ b g ad − ∂ d g ab
)
リッチテンソルR ab = ∂ c Γ c ab − ∂ b Γ c ac − Γ c ad Γ d bc + Γ c ab Γ d cd リッチスカラー
R = g ab R ab
電磁場テンソル
F µνはベクトルポテンシャルA µによって
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ = A ν | µ − A µ | ν = A ν || µ − A µ || ν
と与えます。回転なので偏微分、共変微分のどちらでも書けます(「共変微分」参照)。
1921
年にカルツァ(Kalzua)が示した話から見ていきます。目的はベクトルポテンシャルをどうにかして重力(幾何学)
の記述の中に含めることです。つまり、計量の中に入れたいです。しかし、計量は重力を記述するものとして与えられています。なので、次元を
1
つ上げて5
次元にし、そこにベクトルポテンシャルが入るようにしま す。この新しく加えられた次元は余剰次元(extra dimension)
と呼ばれます(より一般的には 5
次元以上の次元を 指す)。ここからギリシャ文字の添え字は0 ∼ 3、大文字のローマ文字の添え字は 0 ∼ 3, 5
だとします。4を飛ばす のは、5次元目だとはっきりさせたかったのと、個人的に4
はユークリッド化したときの時間成分だと思ってしま うからです。カルツァは
5
次元空間に持っていくときに2
つの仮定をしました。まず、5次元時空においてアインシュタイン 方程式R ˆ AB − 1
2 ˆ g AB R ˆ = 8πκ c 2
T ˆ AB = κ ′ T ˆ AB (1)
が成立しているとします。ハット付は
5
次元空間でのものです(κ
は重力定数)。リッチテンソルR ˆ ABとリッチス
カラーR、クリストッフェル記号 ˆ Γ ˆ C ABも
R ˆ AB = ∂ C Γ ˆ C AB − ∂ B Γ ˆ C AC − Γ ˆ C AD Γ ˆ D BC + ˆ Γ C AB Γ ˆ D CD R ˆ = ˆ g AB R ˆ AB
Γ ˆ C AB = 1 2 ˆ g CD (
∂ B ˆ g DA + ∂ A g ˆ DB − ∂ D ˆ g AB
)
として、添え字が
5
次元になっているだけの同じ形にします。このように、5次元空間において通常の相対論と同 じ構造をしていると仮定します(添え字の範囲を 0 ∼ 3, 5
にしただけ)。もう
1
つの仮定は、5次元目の変化は物理に影響を与えないというものです。これは∂ 5の微分は消えるという
ことで(x 5の変化を受けない)、計量に対して
∂ 5 ˆ g AB = 0
とします。この条件はcylinder condition
と呼ばれます。
cylinder condition
のもとでクリストッフェル記号がどうなるかを計算します。微分部分を見るために第一種ク リストッフェル記号[AB, C] = 1
2 (∂ A ˆ g BC + ∂ B ˆ g AC − ∂ C g ˆ AB )
を使うことにします。そうすると、成分は[µν, α] = 1
2 (∂ µ g ˆ να + ∂ ν g ˆ µα − ∂ α ˆ g µν ) [5ν, α] = 1
2 (∂ 5 g ˆ να + ∂ ν g ˆ 5α − ∂ α g ˆ 5ν ) = 1
2 (∂ ν ˆ g 5α − ∂ α g ˆ 5ν ) [µν, 5] = 1
2 (∂ µ ˆ g ν5 + ∂ ν g ˆ µ5 − ∂ 5 g ˆ µν ) = 1
2 (∂ µ g ˆ ν5 + ∂ ν ˆ g µ5 ) [55, α] = 1
2 (∂ 5 g ˆ 5α + ∂ 5 ˆ g 5α − ∂ α ˆ g 55 ) = − 1 2 ∂ α ˆ g 55
[5ν, 5] = 1
2 (∂ 5 g ˆ ν5 + ∂ ν g ˆ 55 − ∂ 5 ˆ g 5ν ) = 1 2 ∂ ν ˆ g 55
[55, 5] = 1
2 (∂ 5 g ˆ 55 + ∂ 5 ˆ g 55 − ∂ 5 g ˆ 55 ) = 0
となります
(cylinder condition
から∂ 5の項は0)。そうすると [5ν, α]
は電磁場テンソルと同じ形になっているの
が分かります。なので、計量の5
次元部分を
ˆ
g 5α = 2λA α , g ˆ 55 = 2ϕ
とすれば
(ϕ
はスカラー関数、λは定数)、5
次元で新しく出てきた成分は[5ν, α] = λ(∂ ν A α − ∂ α A ν ) = λF να
[µν, 5] = λ(∂ µ A ν + ∂ ν A µ ) = λΣ µν
[55, α] = − ∂ α ϕ [5ν, 5] = ∂ ν ϕ
という電磁場らしきものとスカラー場の式を含みます。さらに第一種クリストッフェル記号には
∂ D [AB, C] + ∂ D [CA, B] + ∂ D [BC, A]
= 1
2 ∂ D (∂ A g ˆ BC + ∂ B g ˆ AC − ∂ C ˆ g AB ) + 1
2 ∂ D (∂ C ˆ g AB + ∂ A g ˆ CB − ∂ B g ˆ CA ) + 1
2 ∂ D (∂ B g ˆ CA + ∂ C g ˆ BA − ∂ A ˆ g BC )
= 1
2 ∂ A ∂ D g ˆ BC + 1
2 ∂ C ∂ D g ˆ AB + 1
2 ∂ B ∂ D ˆ g CA
= 1
2 ∂ A (∂ D g ˆ BC + ∂ B g ˆ DC − ∂ B g ˆ DC − ∂ C ˆ g DB + ∂ C g ˆ DB ) + 1
2 ∂ C ∂ D ˆ g AB + 1
2 ∂ B ∂ D ˆ g CA
= 1
2 ∂ A (∂ D g ˆ BC + ∂ B g ˆ DC − ∂ C ˆ g DB ) + 1
2 ∂ C (∂ D ˆ g AB + ∂ A g ˆ DB ) + 1
2 ∂ B (∂ D ˆ g CA − ∂ A ˆ g DC )
= 1
2 ∂ A (∂ D g ˆ BC + ∂ B g ˆ DC − ∂ C ˆ g DB ) + 1
2 ∂ C (∂ D ˆ g AB + ∂ A g ˆ DB − ∂ B g ˆ DA ) + 1
2 ∂ C ∂ B g ˆ DA + 1
2 ∂ B (∂ D g ˆ CA − ∂ A ˆ g DC )
= 1
2 ∂ A (∂ D g ˆ BC + ∂ B g ˆ DC − ∂ C ˆ g DB ) + 1
2 ∂ C (∂ D g ˆ AB + ∂ A g ˆ DB − ∂ B g ˆ DA ) + 1
2 ∂ B (∂ D g ˆ CA + ∂ C g ˆ DA − ∂ A g ˆ DC )
= ∂ A [DB, C] + ∂ B [DC, A] + ∂ C [DA, B]
という関係があることから、D
= 5
とすると0 = ∂ 5 [αβ, ν] + ∂ 5 [να, β] + ∂ 5 [βν, α]
= ∂ α [5β, ν] + ∂ β [5ν, α] + ∂ ν [5α, β]
= λ∂ α F βν + λ∂ β F να + λ∂ ν F αβ
= ∂ α F βν + ∂ β F να + ∂ ν F αβ
このように電磁場テンソルの関係と同じものが出てきます。
これで計量に電磁場らしきものが組み込まれました。しかし、まだ
F µνがマクスウェル方程式に従うのか分か
らないので、それを確かめます。今は重力の記述の中に取り込むことを考えているので、使える方程式はアイン
シュタイン方程式(1)
のみです。なので、リッチテンソルを求めます。そのためには計量の形が必要になりますが、
具体的な空間で行っていないので、計量の形は分かりません
(アインシュタイン方程式が解けない)。なので、
「ア インシュタイン方程式の線形化」のようにミンコフスキー計量η ˆ ABに微小な寄与h ˆ ABをつけた
ˆ
g AB = ˆ η AB + ˆ h AB (2)
という形を考え、計量の行列式
ˆ g
は| g ˆ | = 1
と近似します。このとき第一種と第二種のクリストッフェル記号はΓ ˆ C AB = 1 2 ˆ g CD (
∂ A ˆ g BD + ∂ B ˆ g AD − ∂ D ˆ g AB
) = ˆ g CD [AB, D] ≃ η ˆ CD [AB, D]
と近似されます。なので、
Γ ˆ ν 5µは
Γ ˆ ν 5µ ≃ η ˆ νD [5µ, D] = ˆ η να [5µ, α] + ˆ η ν5 [5µ, 5] = λˆ η να F µα
Γ ˆ α 55は[55, 5]
は0
なので
Γ ˆ α 55 ≃ η ˆ αD [55, D] = ˆ η αβ [55, β] = − η ˆ αβ ∂ β ϕ
リーマンテンソルの構造は
4
次元と同じなので、「アインシュタイン方程式の線形化〜重力波〜」で出したように、ˆ h ABの1
次までで
R ˆ A BCD ≃ ∂ C ˆ Γ A BD − ∂ D Γ ˆ A BC
となっています。
よって、リッチテンソルは
R ˆ BD = ˆ R A BAD ≃ ∂ A Γ ˆ A BD − ∂ D Γ ˆ A BA
今は
| ˆ g | = 1
とするので、クリストッフェル記号の関係∂ C Γ ˆ A BA = 1
2 ∂ B ∂ C log | ˆ g | = 0
から、4次元成分はR ˆ αβ ≃ ∂ C Γ ˆ C αβ − ∂ β Γ ˆ C αC = ∂ C ˆ Γ C αβ = ∂ µ Γ ˆ µ αβ + ∂ 5 Γ ˆ 5 αβ = ∂ µ Γ ˆ µ αβ (3a)
という
10
個の式になります。これは(2)
の近似を4
次元で行ったものと同じです。R ˆ 5µは
R ˆ 5µ ≃ ∂ C Γ ˆ C 5µ − ∂ µ Γ ˆ C 5C
= ∂ ν Γ ˆ ν 5µ + ∂ 5 Γ ˆ 5 5µ − ∂ µ ˆ Γ ν 5ν − ∂ µ Γ ˆ 5 55
= ∂ ν Γ ˆ ν 5µ − ∂ µ Γ ˆ ν 5ν
= λˆ η να ∂ ν F µα − λˆ η να ∂ µ F να
= λˆ η να ∂ ν F µα (3b)
という
4
個の式です。下から2
行目の第二項は、ˆη ναは対角成分しかなく、Fνα
は反対称テンソルなので消えま
す。R ˆ 55は
R ˆ 55 ≃ ∂ C Γ ˆ C 55 = ∂ α Γ ˆ α 55 = − η ˆ αβ ∂ α ∂ β ϕ (3c)
このようにリッチテンソルの中にF µνとスカラーϕ
が入ってくるので、5次元のアインシュタイン方程式にF µν
と
ϕ
の式がいることになります。後はエネルギー・運動量テンソルを求めればいいです。エネルギー・運動量テンソルを含めたアインシュタイン 方程式
(1)
はR ˆ AB = κ ′ ( ˆ T AB − 1 2 g ˆ AB T) ˆ
と変形できます。成分を分けて書けば(全部で 10 + 4 + 1 =15
個)R ˆ αβ = κ ′ ( ˆ T αβ − 1
2 g ˆ αβ T ˆ ) (4a)
R ˆ 5µ = κ ′ ( ˆ T 5µ − 1
2 ˆ g 5µ T ˆ ) (4b)
R ˆ 55 = κ ′ ( ˆ T 55 − 1
2 g ˆ 55 T ˆ ) (4c)
左辺は
(3a)〜(3c)
で与えられています。(4a)はそのまま4
次元の重力を表していると考えられます。今はほぼ平坦空間としているので、エネルギー・運動量テンソルとして流体を使うことにし、5次元にした
T ˆ AB = ρˆ u A u ˆ B
で近似できるとします。ρは静止質量、ˆ
u Aは5
元速度です。このとき、(4b)
の右辺においてg ˆ 5µをミンコフスキー
計量に近似してしまえば
λˆ η να ∂ ν F ˆ µα = ˆ R 5µ
= κ ′ T ˆ 5µ
= κ ′ ρˆ u 5 u ˆ µ
ˆ
η να ∂ ν F ˆ µα = κ ′ ρ
λ u ˆ 5 u ˆ µ
左辺の添え字の上げ下げが
η ˆ ναで出来るとして
∂ α F µα = κ ′ ρ λ u ˆ 5 u ˆ µ
これとマクスウェル方程式
∂ α F µα = σv µ
を比べれば
(σ
は電荷密度、vµ
は4
元速度)
σv µ = κ ′ ρ λ u ˆ µ u ˆ 5
5
次元でのu ˆ 5を電荷に対応させることで(4b)
はマクスウェル方程式となります。ˆu A ˆ u Bから、エネルギー・運動
量テンソルの5
次元成分はこの電荷を含むことになります。
5
次元成分はこの電荷を含むことになります。さらに
5
元速度をu ˆ 0 ≃ 1, u ˆ i , u ˆ 5 ≪ 1
と近似します(5
元速度は無次元に定義している)。そうするとエネルギー・運動量テンソルは
T ˆ 00 ≃ ρ , T ˆ 11 , T ˆ 22 , T ˆ 33 , T ˆ 55 ≃ 0
と近似されるので
T ˆ = ˆ g AB T ˆ AB ≃ g ˆ 00 T ˆ 00 ≃ η ˆ 00 ρ = ρ
よって、ˆ
g 55 ≃ η ˆ 55として
R ˆ 55 = κ ′ ( ˆ T 55 − 1
2 g ˆ 55 T ˆ ) ≃ κ ′ 1 2 ρ
なので、スカラー場ϕ
に対してはˆ
η αβ ∂ α ∂ β ϕ = − κ ′ 1 2 ρ
というポアソン方程式の形になります。また、同様の近似において
R ˆ 00は
R ˆ 00 = κ ′ ( ˆ T 00 − 1
2 g ˆ 00 T ˆ ) ≃ κ ′ 1 2 ρ
となりますが、これは「アインシュタイン方程式」において係数を決めるために今の近似を行ったときと同じ形 です。なので
R ˆ 00は重力部分を再現出来ています。
これがカルツァが示した方法で、重力、電磁場、スカラー場が
5
次元の幾何学の中で統一されています。しか し、今見てきて分かるように、この話は見通しよく作られていませんし、余剰次元が4
次元に影響しない(実験結
果に寄与しない)理由が不明です。これを1926
年にクライン(Klein)
が改善し、4次元に寄与しないように余剰次 元の構造を与えました。現在、カルツァ・クライン理論と言ったときはこちらを指します。というわけで、クラインによる再定式化を見ます。今の話を変換性の視点から見直します。まず、5次元線素は
ds 2 = ˆ g AB dx A dx B
とします。ここでも
cylinder condition
は仮定し、計量のx 5微分は消えるとします。この仮定のため、5次元部分
は分離させて座標変換する必要が出てきます。これは座標変換後も計量がx 5に独立であるためには
ˆ
g AB ′ = ∂x C
∂x ′ A
∂x D
∂x ′ B g ˆ CD
において、右辺に
x 5が出てこないようにする必要があるからです。そのためには、4次元成分の座標変換では
x µ = f µ (x ′ 0 , x ′ 1 , x ′ 2 , x ′ 3 )
という通常通りの変換をさせ、5次元部分はx 5 = ax ′ 5 + f (x ′ 0 , x ′ 1 , x ′ 2 , x ′ 3 )
という変換にする必要があります
(f µ , f
は変換に対応する任意の関数)。aは任意定数ですが、害がないのでa = 1
にします。この変換ではˆ
g ′ AB = ∂x C
∂x ′ A
∂x D
∂x ′ B ˆ g CD = ∂x α
∂x ′ A
∂x β
∂x ′ B ˆ g αβ + ∂x 5
∂x ′ A
∂x β
∂x ′ B ˆ g 5β + ∂x α
∂x ′ A
∂x 5
∂x ′ B ˆ g α5 + ∂x 5
∂x ′ A
∂x 5
∂x ′ B g ˆ 55
から、A, B
= 5
のときˆ
g ′ 55 = ˆ g 55
となるので不変です。なので
ˆ g 55は定数ψ
とします。
線素は
dθ 2 = 1 ˆ g 55
(ˆ g α5 dx α + ˆ g 55 dx 5 ) 2 = 1 ˆ g 55
(ˆ g α5 g ˆ β5 dx α dx β + ˆ g 2 55 (dx 5 ) 2 + 2ˆ g α5 g ˆ 55 dx α dx 5 )
と
dσ 2 = (ˆ g αβ − ˆ g α5 g ˆ β5 ˆ g 55
)dx α dx β
の
2
つに分離できます。実際に足せばdθ 2 + dσ 2 = 1 ˆ g 55
(ˆ g α5 g ˆ β5 dx α dx β + ˆ g 55 2 (dx 5 ) 2 + 2ˆ g α5 ˆ g 55 dx α dx 5 ) + (ˆ g αβ − g ˆ α5 ˆ g β5 ˆ g 55
)dx α dx β
= ˆ g αβ dx α dx β + 2ˆ g α5 dx α dx 5 + ˆ g 55 (dx 5 ) 2
= ˆ g αβ dx α dx β + ˆ g α5 dx α dx 5 + ˆ g 5α dx 5 dx α + ˆ g 55 (dx 5 ) 2
= ˆ g AB dx A dx B
となります。
変換性を見ます。ˆ
g 5αは
ˆ
g ′ 5α = ∂x C
∂x ′ 5
∂x D
∂x ′ α ˆ g CD
= ∂x µ
∂x ′ 5
∂x ν
∂x ′ α ˆ g µν + ∂x 5
∂x ′ 5
∂x ν
∂x ′ α ˆ g 5ν + ∂x µ
∂x ′ 5
∂x 5
∂x ′ α g ˆ µ5 + ∂x 5
∂x ′ 5
∂x 5
∂x ′ α ˆ g 55
= ∂x ν
∂x ′ α ˆ g 5ν + ∂x 5
∂x ′ α g ˆ 55
これと、dx
′ α
はx ′ αはx 5に依存しないために
dx ′ α = ∂x ′ α
∂x B dx B = ∂x ′ α
∂x β dx β となることを合わせれば
ˆ
g 5α ′ dx ′ α = ( ∂x ν
∂x ′ α g ˆ 5ν + ∂x 5
∂x ′ α g ˆ 55 ) ∂x ′ α
∂x β dx β
= ( ∂x ν
∂x ′ α
∂x ′ α
∂x β g ˆ 5ν + ∂x 5
∂x ′ α
∂x ′ α
∂x β ˆ g 55 )dx β
= (δ β ν g ˆ 5ν + δ 5 β ˆ g 55 )dx β
= ˆ g 5β dx β
となって、不変なのが分かります。このため、dσ
2
は座標変換に対して不変です。また、5次元空間においてg ˆ 5α
は4
元ベクトルと同じ性質を持っていることも分かるので、ˆg 5αには4
次元のベクトルを対応させられます。
4
次元のベクトルを対応させられます。
ˆ g 5A dx Aも見ておくと
ˆ
g ′ 5A dx ′ A = ∂x C
∂x ′ 5
∂x D
∂x ′ A
∂x ′ A
∂x E ˆ g CD dx E = ˆ g 5A dx A
そして、ˆg 55は不変なので、dθ2
も不変になっています。
2
も不変になっています。
ˆ g 5αの変換
ˆ
g ′ 5α = ∂x ν
∂x ′ α ˆ g 5ν + ∂x 5
∂x ′ α ˆ g 55
に対して、具体的な座標変換として
(ϵ
はスカラー関数)
x µ = x ′ µ , x 5 = x ′ 5 + ϵ(x ′ µ ) (5)
という5
次元成分のみの座標変換を与えてみるとˆ
g ′ 5α = ˆ g 5α + ˆ g 55
∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ α (6a)
となります。これはベクトルポテンシャルのゲージ変換
A µ ⇒ A µ + ∂
∂x µ Λ(x α ) (6b)
と同じ形になっています。そして、ˆ
g 55は定数ψ
で、ˆg 5αは4
元ベクトルと同じ変換をするので、ˆg 5αはベクトル
ポテンシャルを含んでいると考えて
4
元ベクトルと同じ変換をするので、ˆg 5αはベクトル ポテンシャルを含んでいると考えて
ˆ
g 5α = χψA α
とします
(変換の対応からベクトルポテンシャルと呼んだだけで、まだマクスウェル方程式に従っているのかは分
からない)。χは後で決める定数です。
この座標変換で不変な量を作ることで、計量の
4
次元部分の形を決めます。dσ2
の不変性から分かることです が、具体的に見ておきます。ˆg αβの変換をϵ
の1
次まで拾うと
ˆ
g αβ ′ = ∂x C
∂x ′ α
∂x D
∂x ′ β g ˆ CD
= ∂x µ
∂x ′ α
∂x ν
∂x ′ β g ˆ µν + ∂x 5
∂x ′ α
∂x ν
∂x ′ β g ˆ 5ν + ∂x µ
∂x ′ α
∂x 5
∂x ′ β g ˆ µ5 + ∂x 5
∂x ′ α
∂x 5
∂x ′ β g ˆ 55
= ˆ g αβ + ∂ϵ
∂x ′ α ˆ g 5β + ∂ϵ
∂x ′ β ˆ g α5 + ∂ϵ
∂x ′ α
∂ϵ
∂x ′ β ˆ g 55
≃ ˆ g αβ + ∂ϵ
∂x ′ α ˆ g 5β + ∂ϵ
∂x ′ β ˆ g α5 そして、これと
ˆ
g 5α ′ ˆ g 5β ′ ≃ ˆ g 5α ˆ g 5β + ∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ β ˆ g 5α ˆ g 55 + ∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ α ˆ g 5β ˆ g 55
から
ˆ g αβ ′ − 1
ˆ
g 55 ˆ g 5α ′ ˆ g ′ 5β
= ˆ g αβ + ∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ α ˆ g 5β + ∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ β ˆ g 5α − 1 ˆ g 55
(ˆ g 5α ˆ g 5β + ∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ α g ˆ 5β g ˆ 55 + ∂ϵ(x ′ µ )
∂x ′ β g ˆ 5α ˆ g 55 )
= ˆ g αβ − 1 ˆ
g 55 ˆ g 5α g ˆ 5β (7)
というように変換に対して不変なものを作れます
(dσ 2の不変性からも分かる)。ˆg ABの4
次元部分を
4
次元部分をˆ
g αβ = g αβ + 1 g 55
g 5α g 5β = g αβ + χ 2 ψA α A β
とすれば、(7)の左辺は
ˆ g ′ αβ − 1
g 55 g 5α ′ g ′ 5β = g ′ αβ + 1
g ′ 55 g 5α ′ g 5β ′ − 1
g 55 g ′ 5α g 5β ′ = g ′ αβ 右辺は
ˆ g αβ − 1
g 55 g 5α g 5β = g αβ + 1
g 55 g 5α g 5β − 1
g 55 g 5α g 5β = g αβ
となるので、A
µ
のゲージ変換を作る座標変換に対して不変な4
次元の量g αβが作れたことになります。ここで、
4
次元時空の計量はA µのゲージ変換で不変と考えて、gαβ
を4
次元空間の計量とします。ˆg 5αは4
元ベクトルと
見なせるので、Aα
の添え字はg αβで上げ下げ出来るとします。
4
元ベクトルと 見なせるので、Aα
の添え字はg αβで上げ下げ出来るとします。
というわけで、5次元の計量
ˆ g ABは
ˆ g AB =
(
g αβ + χ 2 ψA α A β χψA α
χψA β ψ
)
=
g 00 + χ 2 ψA 0 A 0 g 01 + χ 2 ψA 0 A 1 g 02 + χ 2 ψA 0 A 2 g 03 + χ 2 ψA 0 A 3 χψA 0
g 10 + χ 2 ψA 1 A 0 g 11 + χ 2 ψA 1 A 1 g 12 + χ 2 ψA 1 A 2 g 13 + χ 2 ψA 1 A 3 χψA 1 g 20 + χ 2 ψA 2 A 0 g 21 + χ 2 ψA 2 A 1 g 22 + χ 2 ψA 2 A 2 g 23 + χ 2 ψA 2 A 3 χψA 2
g 30 + χ 2 ψA 3 A 0 g 31 + χ 2 ψA 3 A 1 g 32 + χ 2 ψA 3 A 2 g 33 + χ 2 ψA 3 A 3 χψA 3
χψA 0 χψA 1 χψA 2 χψA 2 ψ
(8)
となります。5次元目はカルツァが示したものと同じです。逆は
ˆ g AB g ˆ BC = δ C Aになるようにすればいいので
ˆ g AB =
(
g αβ − χA β
− χA α ψ − 1 (1 + χ 2 ψA µ A µ ) )
となります。実際に、ˆ
g αA ˆ g Aβは
ˆ
g αA g ˆ Aβ = ˆ g αµ ˆ g µβ + ˆ g α5 g ˆ 5β = (g αµ + χ 2 ψA α A µ )g µβ + ˆ g α5 ˆ g 5β
= (δ α β + χ 2 ψA α A β ) − χ 2 ψA α A β
= δ α β
ˆ
g 5A ˆ g A5は
ˆ
g 5A g ˆ A5 = ˆ g 5µ ˆ g µ5 + ˆ g 55 g ˆ 55 = χψA µ g ˆ µ5 + ψˆ g 55 = − χ 2 ψA µ A µ + 1 + χ 2 ψA α A α = 1
ˆ
g αA ˆ g A5は
ˆ
g αA g ˆ A5 = ˆ g αµ g ˆ µ5 + ˆ g α5 ˆ g 55
= (g αµ + χ 2 ψA α A µ )ˆ g µ5 + χψA α ˆ g 55
= − χ(g αµ + χ 2 ψA α A µ )A µ + χψA α ˆ g 55
= − χA α (1 + χ 2 ψA µ A µ ) + χψA α g ˆ 55
= 0
となっています。
問題はこの計量から
4
次元での重力と電磁場が出てくるかです。というわけで、リッチテンソルR ˆ ABを計算し
ます。単純で面倒な計算を行っていくだけなので(9)
に飛んでいいです。cylinder conditionから∂ 5の項は落ちる
ので、R ˆ ABは
R ˆ ABは
R ˆ AB = ∂ C Γ ˆ C AB − ∂ B Γ ˆ C AC − Γ ˆ C AD Γ ˆ D BC + ˆ Γ C AB Γ ˆ D CD
= ∂ µ Γ ˆ µ AB − ∂ B Γ ˆ µ Aµ − ∂ B Γ ˆ 5 A5
− Γ ˆ µ Aν Γ ˆ ν Bµ − Γ ˆ µ A5 ˆ Γ 5 Bµ − Γ ˆ 5 Aν Γ ˆ ν B5 − Γ ˆ 5 A5 Γ ˆ 5 B5 + ˆ Γ µ AB Γ ˆ ν µν + ˆ Γ µ AB Γ ˆ 5 µ5 + ˆ Γ 5 AB Γ ˆ ν 5ν + ˆ Γ 5 AB Γ ˆ 5 55
これから必要となるクリストッフェル記号は
Γ ˆ µ αβ , Γ ˆ µ αµ , Γ ˆ µ α5 , Γ ˆ µ 55 , Γ ˆ ν 5ν , ˆ Γ 5 α5 , Γ ˆ 5 αν , Γ ˆ 5 55
これらを求めます。計量
g αβによるクリストッフェル記号はΓ µ αβと書くことにします。
• Γ ˆ µ αβ
Γ ˆ µ αβ = 1 2 ˆ g µA (
∂ β g ˆ Aα + ∂ α ˆ g βA − ∂ A ˆ g αβ )
= 1 2 ˆ g µν (
∂ β g ˆ να + ∂ α g ˆ βν − ∂ ν ˆ g αβ
) + 1 2 ˆ g µ5 (
∂ β g ˆ 5α + ∂ α ˆ g β5 − ∂ 5 ˆ g αβ
)
= 1 2 ˆ g µν (
∂ β g ˆ να + ∂ α g ˆ βν − ∂ ν ˆ g αβ
) + 1 2 ˆ g µ5 (
∂ β g ˆ 5α + ∂ α ˆ g β5
)
= 1
2 g µν (∂ β (g να + χ 2 ψA ν A α ) + ∂ α (g βν + χ 2 ψA β A ν ) − ∂ ν (g αβ + χ 2 ψA α A β ))
− 1
2 χ 2 ψA µ (∂ β A α + ∂ α A β )
= 1 2 g µν (
∂ α g βν + ∂ β g να − ∂ ν g αβ
+ χ 2 ψ(∂ β A ν )A α + χ 2 ψA ν (∂ β A α ) + χ 2 ψ(∂ α A β )A ν + χ 2 ψA β (∂ α A ν )
− χ 2 ψ(∂ ν A α )A β − χ 2 ψA α (∂ ν A β ) )
− 1
2 χ 2 ψA µ Σ αβ
= Γ µ αβ + 1 2 g µν (
χ 2 ψA α (∂ β A ν − ∂ ν A β ) + χ 2 ψA β (∂ α A ν − ∂ ν A α ) + χ 2 ψA ν (∂ β A α + ∂ α A β ) )
− 1
2 χ 2 ψA µ Σ αβ
= Γ µ αβ + 1
2 g µν (χ 2 ψA α F βν + χ 2 ψA β F αν + χ 2 ψA ν Σ αβ ) − 1
2 χ 2 ψA µ Σ αβ
= Γ µ αβ + 1
2 χ 2 ψg µν (A α F βν + A β F αν )
• Γ ˆ µ αµ
Γ ˆ µ αµ = Γ µ αµ + 1
2 χ 2 ψg µν (A α F µν + A µ F αν ) = Γ µ αµ + 1
2 χ 2 ψA ν F αν
• Γ ˆ µ α5
Γ ˆ µ α5 = 1 2 g ˆ µA (
∂ 5 g ˆ Aα + ∂ α ˆ g 5A − ∂ A g ˆ α5 )
= 1 2 g ˆ µν (
∂ α ˆ g 5ν − ∂ ν ˆ g α5 ) + 1
2 ˆ g µ5 (
∂ α ˆ g 55 − ∂ 5 g ˆ α5 )
= 1
2 χψg µν (
∂ α A ν − ∂ ν A α ) + 1
2 ˆ g µ5 ∂ α ψ
= 1
2 χψg µν F αν
• Γ ˆ µ 55
Γ ˆ µ 55 = 1 2 g ˆ µA (
∂ 5 g ˆ A5 + ∂ 5 g ˆ 5A − ∂ A ˆ g 55
) = 0
• Γ ˆ ν 5ν
Γ ˆ ν 5ν = 1 2 g ˆ νA (
∂ ν ˆ g A5 + ∂ 5 g ˆ νA − ∂ A ˆ g 5ν )
= 1 2 g ˆ νµ (
∂ ν g ˆ µ5 − ∂ µ g ˆ 5ν ) + 1
2 g ˆ ν5 (
∂ ν g ˆ 55 − ∂ 5 ˆ g 5ν )
= 1 2 g µν (
∂ ν g ˆ µ5 − ∂ µ g ˆ 5ν
)
= 0
• Γ ˆ 5 α5
Γ ˆ 5 α5 = 1 2 ˆ g 5A (
∂ 5 g ˆ Aα + ∂ α ˆ g 5A − ∂ A g ˆ α5
)
= 1 2 ˆ g 5µ (
∂ α g ˆ 5µ − ∂ µ ˆ g α5
) + 1 2 ˆ g 55 (
∂ α g ˆ 55 − ∂ 5 ˆ g α5
)
= 1
2 χψˆ g 5µ (
∂ α A µ − ∂ µ A α
)
= − 1
2 χ 2 ψA µ F αµ
• Γ ˆ 5 αβ
Γ ˆ 5 αβ = 1 2 ˆ g 5A (
∂ β ˆ g Aα + ∂ α g ˆ βA − ∂ A g ˆ αβ )
= 1 2 ˆ g 5ν (
∂ β g ˆ να + ∂ α ˆ g βν − ∂ ν g ˆ αβ ) + 1
2 g ˆ 55 (
∂ β g ˆ 5α + ∂ α ˆ g β5 )
= − 1
2 χA ν (∂ α g βν + ∂ β g να − ∂ ν g αβ )
− 1
2 χA ν (χ 2 ψA α F βν + χ 2 ψA β F αν + χ 2 ψA ν Σ αβ ) + 1
2 χ(1 + χ 2 ψA ν A ν )(∂ β A α + ∂ α A β )
= − χA ν [αβ, ν] − 1
2 χA ν (χ 2 ψA α F βν + χ 2 ψA β F αν + χ 2 ψA ν Σ αβ ) + 1
2 χΣ αβ + 1
2 χ 3 ψA ν A ν Σ αβ
= − χA ν [αβ, ν] − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) + 1 2 χΣ αβ
= − χA ν [αβ, ν] − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) + 1 2 χΣ αβ
= − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) + 1
2 χ(∂ β A α + ∂ α A β − 2A ν [αβ, ν])
= − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) + 1
2 χ(∂ β A α + ∂ α A β − 2A ν g νµ Γ µ αβ )
= − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) + 1
2 χ(∂ β A α + ∂ α A β − 2A µ Γ µ αβ )
= − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) + 1
2 χ(A α || β + A β || α )
途中でクリストッフェル記号の関係Γ µ αβ = g µλ [αβ, λ]
g νµ Γ µ αβ = g νµ g µλ [αβ, λ]
= [αβ, ν]
を使っています。
• Γ ˆ 5 55
Γ ˆ 5 55 = 1 2 ˆ g 5A (
∂ 5 ˆ g A5 + ∂ 5 g ˆ 5A − ∂ A g ˆ 55 )
= 0
まとめると
ˆ Γ µ αβ = Γ µ αβ + 1
2 χ 2 ψg µν (A α F βν + A β F αν ) = Γ µ αβ + 1
2 χ 2 ψ(A α F β µ + A β F α µ ) = Γ µ αβ + 1 2 L µ αβ ˆ Γ µ αµ = Γ µ αµ + 1
2 χ 2 ψA µ F αµ ˆ Γ µ α5 = 1
2 χψg µν F αν = 1 2 χψF α µ ˆ Γ 5 α5 = − 1
2 χ 2 ψA µ F αµ = − 1
2 χ 2 ψA µ F α µ ˆ Γ 5 αβ = 1
2 χ(A α || β + A β || α ) − 1
2 χ 3 ψA ν (A α F βν + A β F αν ) = 1
2 χ(A α || β + A β || α ) − 1
2 χA ν L ν αβ ˆ Γ ν 5ν = 0 , Γ ˆ µ 55 = 0 , Γ ˆ 5 55 = 0
これらからリッチテンソルの成分を求めます。
リッチテンソルの
4
次元成分R ˆ αβは
R ˆ αβ = ∂ µ Γ ˆ µ αβ − ∂ β Γ ˆ µ αµ − ∂ β Γ ˆ 5 α5
− Γ ˆ µ αν Γ ˆ ν βµ − Γ ˆ µ α5 Γ ˆ 5 βµ − Γ ˆ 5 αν ˆ Γ ν β5 − Γ ˆ 5 α5 Γ ˆ 5 β5 + ˆ Γ µ αβ Γ ˆ ν µν + ˆ Γ µ αβ Γ ˆ 5 µ5 + ˆ Γ 5 αβ Γ ˆ ν 5ν + ˆ Γ 5 αβ Γ ˆ 5 55
これの各項は
∂ µ Γ ˆ µ αβ = Γ µ αβ | µ + 1 2 L µ αβ | µ
∂ β Γ ˆ µ αµ = Γ µ αµ | β + 1
2 χ 2 ψ(A ν F αν ) | β
∂ β Γ ˆ 5 α5 = − 1
2 χ 2 ψ(A ν F αν ) | β Γ ˆ µ αν Γ ˆ ν βµ = (Γ µ αν + 1
2 L µ αν )(Γ ν βµ + 1 2 L ν βµ ) Γ ˆ µ α5 Γ ˆ 5 βµ = 1
2 χψF α µ ( 1
2 χ(A β || µ + A µ || β ) − 1
2 χA ν L ν βµ ) Γ ˆ 5 αν Γ ˆ ν β5 = 1
4 χ 2 ψ(A α || ν + A ν || α − A ρ L ρ αν )F β ν Γ ˆ 5 α5 Γ ˆ 5 β5 = 1
4 χ 4 ψ 2 A µ A ν F αµ F βν
Γ ˆ µ αβ Γ ˆ ν µν = (Γ µ αβ + 1
2 L µ αβ )(Γ ν µν + 1
2 χ 2 ψA ν F µν ) Γ ˆ µ αβ Γ ˆ 5 µ5 = − 1
2 χ 2 ψ(Γ µ αβ + 1
2 L µ αβ )A ρ F µρ Γ ˆ 5 αβ Γ ˆ ν 5ν = 0
Γ ˆ 5 αβ Γ ˆ 5 55 = 0
これらによって
