うなり + 物体 3 個の連成振動

(1)

. .

. . .

.

うなり

+

物体

3

個の連成振動

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学

B L08(2011-11-22 Tue)

今日の目標

.

1 うなりのグラフを描けるようになろう

.

2 うなりの周波数を求められるようになろう

.

3

物体の連成振動の固有周波数

,

^{固有モードを求}

められるようになろう http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L08うなり+物体3個の連成振動現象の数学B(2011) 1 / 16

(2)

うなり

p.12

和積公式により

x(t) = 2 cos 8t cos t.

p.14

和積公式により

x(t) = 4 cos 7t cos t.

(3)

うなり

アンケート プチテスト前にどんな勉強

?

.

^. ¹ ^ノート

^,

^{プリントを見直す}

.

2

TA,

チューターに質問する

.

3

Quiz

^{を解き直す}

.

4

Quiz

の解答を読む

.

5 模範解答を作ろうプロジェクトの問題を解く

.

6 模範解答を作ろうプロジェクトに投稿された解答を読む

.

7 過去のプチテストの問題を解く

.

8 過去のプチテストの問題の解答を読む

(4)

うなり

アンケート

プチテスト

10

問のうち何問くらいが想定内でしたか

?

.

^. ¹

¹

^問または

⁰

^問

.

2

問

.

3

.. .

.

4

.

5

.

6

.

7

.

8

.

9

問

.

10

^問

(5)

うなり

うなりのまとめ

固有周波数

ω

₁

=

√k+2K m

, ω

₂

=

√k m

.

固有モードu⁽¹⁾

(t) =

(₊₁

−1

)

cos(ω

₁

t),

u⁽²⁾

(t) = (

¹₁

) cos(ω

2

t)

2

物体の連成振動のシミュレーションある初期条件では

,

x

1

(t) = cos ω

1

t + cos ω

2

t

=2 cos ω

1

+ ω

2

2 t

×

cos ω

1−

ω

2

2 t

=2 cos ω

_av

t

×

cos

¹₂

ω

_beat

t

=

^{速い単振動}×^{遅い単振動} ^-4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 (1/2) (3/2) 2

x(t)

t

4cos(t) -4cos(t) x(t)

(6)

うなり

固有周波数の差

/2

¹₂

ω

_beat

=

¹₂|

ω

₁−

ω

₂| 固有周波数の平均

ω

av

=

¹₂

(ω

1

+ ω

2

)

'√

k/m K

が小さいÃ

ω

₁'

ω

₂'

ω

_av

.

速い

単振動

ω

_avÀ ¹₂

ω

_beat

遅い

単振動

.

うなり

.

. . .

.

2

つの物体をつなぐばね

K

が弱いとき

(=2

つの固有周波数

ω

₁

, ω

₂の差が小さいとき

)

^に起きる

.

うなりの周波数

= ω

_beat

=

|

ω

1−

ω

2|

.

うなりの周期

=

音が大きくなる時間間隔

=

速い周期の振幅が最大になる時間間隔

=

遅い単振動の周期の¹₂倍

= 2π/ω

_beat うなりのシミュレーション

(7)

うなり

.

問題

(和積公式とうなり)

.

. . .

.

x(t) = cos 9t + cos 7t

の

,

区間

0

≤

t

≤

2π

でのグラフを描こう

.

(8)

うなり

2

物体の連成振動のシミュレーション

(nbp)

http://www.a.math.ryukoku.ac.jp/

^∼

hig/course/mathphb 2010/

coupled2.html

うなりのシミュレーション

(CDF)

http://www.a.math.ryukoku.ac.jp/

^∼

hig/course/mathphb 2011/

beat.cdf

うなりのサウンドファイル

http:

//homepage3.nifty.com/kuebiko/science/freestdy/NouUnari.htm

音叉によるうなりの動画

http://www.youtube.com/watch?v=BsG6zbdJbpA

(9)

うなり

.

問題

(うなり)

.

. . .

.

x(t) = 2 cos 6t + 2 cos 8t

のグラフを

,

三角関数の和積公式を利用して

0

5

t

5

2π

^{の範囲で描こう}

. x,t

軸の目盛を忘れずに記そう

.

^描くのに使った補助線を残そう

.

(10)

3物体の連成振動

3

物体の連成振動 平衡点からの変位の記号をさりげ

なく変更

: x

₁

, x

₂

, x

₃ Ã

u

₁

, u

₂

, u

₃

. mu

⁰⁰₁

=

−

k(u

1−

u

2

)

mu

⁰⁰₂

=+k(u

1−

u

2

)−k(u

2−

u

3

) mu

⁰⁰₃

= +k(u

₂−

u

₃

) 3

物体の連成振動のシミュレーション固有モードを使って解こう

!

(11)

固有モードは何個出てくるはず

?

.

1

^個

.

_.

2

個

.

^. ³

³

^個

.

4

^個

.

5

^個

.

6

個

(12)

(13)

(14)

重心座標 X

=

PN i=1mixi

PN

i=1mi

.

外力がなければ重心は等速直線運動力学

u

⁰⁰

= 0

·

u

^{の一般解は特別で}

, u(t) = at + b.

基準座標を使って解こう ⇒ 模範解答を作ろうプロジェクト

(15)

3物体の連成振動 Quiz

Quiz:

図のように

4

^つのばね

(

^ばね定数

K = k = 1)

^{で結ばれた質量}

m = 1

^の

3

物体が

,

一直線上で運動している

.

時刻

t

における位置

u

₁

(t), u

₂

(t), u

₃

(t)

は

,

それぞれの質点のつりあいの位置

(

ばねがともに自然長になる位置

)

からはかった変位である

.

1

u

₁

, u

₂

, u

₃ について運動方程式をたてよう

.

2 固有周波数を求めよう

.

3 固有モードを求めよう

.

(16)

3物体の連成振動 Quiz

連絡今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題

¨

§

¥

小形p.18-38¦ うなり^¨

§

¥

小形2章演習問題[5](p.39)¦ うなり^¨_§小形2章演習問題[6](p.39)^¥_¦

うなり^¨_§小形2章演習問題[7](p.39)^¥_¦

¨

§

¥

小形p.42-47¦

3

物体の連成振動^¨

§

¥

小形3章演習問題[1](p.57)¦

, 3

物体の連成振動^¨_§小形3章演習問題[2](p.57)^¥_¦

次回の予習ポイント

やったことのあるひとは

Fourier

^級数変換

予習復習問題水曜日の昼から月曜夜までに

e

ラーニングシステムでやってね〜