曲線と曲面の幾何学

(1)

曲線と曲面の幾何学

第 6 回追加資料 (11 月 11 日 )

曲線と曲面の幾何学第６回ですどうぞよろしくお願い致します

(2)

弧長パラメーター表示された空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

速度ベクトル＝単位接ベクトル

今回は３次元空間の中の曲線の曲率について考えます今回も弧長パラメーターで表示しておきます

(3)

弧長パラメーター表示された平面曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

進行方向左側の単位法ベクト

ル

表

� ′ ′ ( � )

法ベクトルの一つ＝加速度ベクトル

弧長パラメーター表示された平面曲線では加速度ベクトルが速度ベクトルと直交するので法ベクトルとは平行になり

(4)

弧長パラメーター表示された平面曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

進行方向左側の単位法ベクト

ル

表

σ ( � ) � ( � )= � ′ ′ ( � )

: 曲率は正

加速度ベクトルが進行方向左側の単位法ベクトルの何倍になるかで曲率が得られました

(5)

弧長パラメーター表示された平面曲線

� ( � )

� ′ (� )

� ( � )

進行方向左側の単位法ベクトル

裏

� ′ ′ ( � )

この定義では進行方向右側に曲がるときは加速度ベクトルは左側の法ベクトルとは平行と言っても逆を向くので

(6)

弧長パラメーター表示された平面曲線

� ( � )

� ′ (� )

� ( � )

進行方向左側の単位法ベクトル

裏

: 曲率は負

σ ( � ) � ( � )= � ′ ′ ( � )

曲率はマイナスになりますがそもそも進行方向の左とか右とか言うのは平面のどちらが表かどちらが上かと言ってもよいのですがその向きがわかって初めて判断できるものです

(7)

弧長パラメーター表示された空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� ′ ′ ( � )

３次元空間の中でも弧長パラメーターなら加速度ベクトルはやはり速度ベクトルと直交します

(8)

弧長パラメーター表示された空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� ′ ′ ( � )

表も裏も無い！

ところが３次元空間これは地表近くとかではなくて宇宙空間の真っただ中を思い浮かべてほしいのですがその中では表も裏も上も下もありませんからもちろん左も右もありません

(9)

主法線単位ベクトル

� ( � )

� ′ (� )

� ′ ′ ( � )

� ( � )= � ′ ′ ( � )

¿ ∨ �

^′′

(� )∨¿

主法線単位ベクトル

そこでとりあえず加速度ベクトル側の単位法ベクトルを主法線単位ベクトルと呼ぶことにします

(10)

� ( � )

� ′ (� )

� ′ ′ ( � )

� ( � )= � ′ ′ ( � )

¿ ∨ �

^′′

(� )∨¿

主法線単位ベクトルこちら側を左と見なす！

いっそこの加速度ベクトルの方向を左と思うことにしてしまおうと言うのが基本的な考え方です加速度ベクトルが０だとこの左が決められないので０でないと始めから仮定しておきます

主法線単位ベクトル

(11)

空間曲線の曲率

� ( � )

� ′ (� )

σ ( � ) � ( � )= � ′ ′ ( � )

: 曲率

� (� )

これで曲率も平面曲線同様に定義できますが

(12)

� ( � )

� ′ (� )

σ ( � ) � ( � )= � ′ ′ ( � )

: 曲率

� (� )

曲率はいつでも正！

この定義から曲率はいつでも正と言うことになりますとりあえずこれで曲率は定義されましたが３次元空間内での曲がり具合はもちろんこの曲率一つでは表しきれません

空間曲線の曲率

(13)

接触平面

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

さて速度ベクトルと主法線単位ベクトルが張る平面のことを接触平面と呼びます

(14)

従法線単位ベクトル

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � ) = � ′ (� ) × � ( � )

従法線単位ベクトル

ここで速度ベクトルと主法線単位ベクトルの外積をとればこれは接触平面に垂直な単位ベクトルとなりますがこれを従法線単位ベクトルと呼びます

(15)

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � ) = � ′ (� ) × � ( � )

こちら側を上と見なす！

この従法線単位ベクトルの方向を上と見なします速度ベクトル・主法線単位ベクトル・従法線単位ベクトルは曲線上の各点ごとにその点を原点とする右手系の正規直交基をなしますこれをフルネ・セレ枠と呼びます

従法線単位ベクトル

(16)

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

法平面

主法線単位ベクトルと従法線単位ベクトルが張る平面のことを法平面と呼びます

法平面

(17)

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

法平面

展直平面

また速度ベクトルと従法線単位ベクトルが張る平面のことを展直平面と呼びます

展直平面

(18)

主法線単位ベクトルの微分

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

展直平面

� ′ ( � )

今主法線単位ベクトルは常に長さ１ですからその微分は主法線単位ベクトル自身と直交しますつまり展直平面に含まれるので

(19)

空間曲線の捩率

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

展直平面

� ′ ( � )

−σ ( � ) � ′ ( � )

τ ( � ) � ( � )

: 捩率

: 曲率

速度ベクトルと従法線単位ベクトルの一次結合で表されますその従法線単位ベクトル方向の成分をれいりつまたはねじれりつと呼びます一方速度ベクトル方向の成分は曲率のマイナス１倍になっています

ちなみに捩率の捩はねじれるではなくよじれるという漢字です

(20)

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

�

^′

( � )

一方従法線単位ベクトルも常に長さ１ですからその微分は従法線単位ベクトル自身と直交しますつまり接触平面に含まれますが

従法線単位ベクトル

の微分

(21)

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

�

^′

( � ) =− τ ( � ) � ( � )

: 捩率

実は速度ベクトルとも直交して結局主法線単位ベクトルと平行になりその方向の成分は捩率のマイナス１倍になっていますこの関係式と２頁前の関係式それに曲率の定義とを併せてフルネ・セレの公式と呼びます

空間曲線の捩率

ふたたび

(22)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

�

^′

( � ) =− τ ( � ) � ( � )

: 捩率が０

捩率は曲芸飛行をする飛行機の曲がり具合と言うよりは錐もみ具合を表しているのですがそれでは捩率が常に０になるような曲線とはどんな曲線になのでしょうか？講義ノートでは次回予定の課題ですがちょっとだけ予習しておきましょう

(23)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

　 ←

:

捩率が０

捩率が０ならフルネ・セレの公式から従法線単位ベクトルの微分が０になりますから

(24)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

一定

　 ←

:

捩率が０

従法線単位ベクトルは一定です

(25)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面が平行

一定

　 ←

:

捩率が０

と言うことは従法線単位ベクトルと直交する接触平面が全て互いに平行になるのですが

(26)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

展直平面

� ′ ( � )

−σ ( � ) � ′ ( � )

τ ( � ) � ( � )

: 捩率が０

: 曲率

一方捩率が０ならやはりフルネ・セレの公式から　　

(27)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

展直平面

→

¿ − σ ( � ) � ′ ( � )

: 捩率が０

: 曲率

主法線単位ベクトルの微分が速度ベクトルと平行になるので　　

(28)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

→

¿ − σ ( � ) � ′ ( � )

: 捩率が０

: 曲率

結局接触平面が動かないことも示せて

接触平面が一定

(29)

弧長パラメーター表示された平面曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面が一定

一定

　 ←

表

: 捩率が０

実はこの曲線はその平面から出られないつまり平面曲線だと言うことがわかります

(30)

弧長パラメーター表示された曲率・捩率一定の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

�

^′

( � ) =− τ ( � ) � ( � )

σ ( � ) � ( � )= � ′ ′ ( � )

: 曲率が一定

: 捩率が一定

それでは今度は捩率が０ではないけれども一定でさらに曲率も０ではないけれども一定と言うような条件をみたす空間曲線とは一体どのような曲線でしょうか？

(31)

弧長パラメーター表示された曲率・捩率一定の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

　 ←

: 捩率が一定

→

: 曲率が一定

この問題が次回の本題です

曲線と曲面の幾何学