２００６年度 幾何学 III 　　　　 演習問題　　　　１０月３１日

２００６年度 幾何学 III      演習問題    １０月３１日

復習問題１．n 次元

級多様体の定義を述べよ。

復習問題２．n 次元

級多様体

のコンパクト部分集合

とそれを含む開集合

が与えられているとする。U 上の

級関数

に対し、M 上の

級関数

で

となるものが存在することを示せ。

問題１．m 次元ユークリッド空間の開集合

から

次元ユークリッド空間の開集合

への

級写像

と

上の微分

形式

に対し、ϕ

を示せ。

定義．n^{次元ユークリッド空間}R^{nの開集合}U^に対し、[0,1]×U ⊂R^{n+1を考える。}[0,1]×U のC^∞級微分p^形式とは[0,1]×U の近傍で定義されているC^∞級微分p^形式の[0,1]×U への制限であると考える。[0,1]×U ^のC^∞級微分p^{形式全体を}Ω^p([0,1]×U)^と書く。

[0,X1] × U ^の座標を (x0, x1,· · · , xn) ^とする。p > 0 ^{に対して、}α ∈ Ω^p([0,1] ×U) ^が

i1<···<ip

fi1i2···ipdxi1 ∧ · · · ∧dxip で与えられているとする。a∈[0,1]^に対し、

Ia(α) = X

0<i₂<···<i_p

„ Z _x0

a f0i₂···i_pdx0

«

dxi₂ ∧ · · · ∧dxi_p

と定義する。

問題２．写像

を

で定義し、a

に対し、写 像

を

と定義する。上の

について次が得られ ることを示せ。

d(I_a(α)) +I_a(dα) =α−π^∗(ι_a^∗α)

定義．n^{次元多様体}M ^の点x^{において、}M ^上の関数f1, f2が同値であることを、x^のまわ りの座標近傍(U, ϕ)^{を用いて、}

f1∼f2⇐⇒d(f1◦ϕ⁻¹)(ϕ(x)) = d(f2◦ϕ⁻¹)(ϕ(x))

により定義する。d(fk◦ϕ⁻¹)(ϕ(x)) (k= 1, 2)^はϕ(x)における全微分の値である。

同値類C^∞(M)/∼^をTx^∗M ^と書き、x^におけるM ^{の余接空間と呼ぶ。}

問題３．

(0)

上の同値関係

は、x のまわりの座標近傍のとりかたによらないことを示せ。

(1) n

次元多様体

の点

における余接空間

は

の実ベクトル空間の 構造から定まる

次元ベクトル空間の構造を持つことを示せ。

(2) F :M −→N

を

級写像とする。N 上の

級写像

に対し、F

を対応させる写像は準同型写像

を引き起こすことを示せ。