sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

(1)

数学序論追加説明 ♯8

•

三角関数の加法定理から導かれる諸公式について説明する。

•

高校時代は加法定理としてとらえる他なかったが，オイラーの公式を学んだので，そちらの立場から求めることもできる。

解説には両方のせてあるので，そちらも参考に。

•

加法定理は以下の式である。

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

これをオイラーの公式を用いて表すと

e

^i(α+β)

= e

^iα

e

^iβ

となる。オイラーの式の方が簡単に見える。実際証明も簡単な場合がある。ここではオイラーの公式と指数法則を用いた証明を紹介する。

•

練習問題

4.4 (1)

をオイラーを用いて示してみる。(1)は以下

の式である。

sin (

x + π 2

)

= cos x, sin (

x − π 2

)

= − cos x cos

( x + π

2 )

= − sin x, cos (

x − π 2

)

= sin x

• exp (

i π 2

)

= i

であることに注意すると

cos (

x + π 2

)

+ i sin (

x + π 2

)

= exp (

i (

x + π 2

))

= exp (

ix + i π 2

)

= exp (ix) exp (

i π 2

)

= (cos x + i sin x) i

= − sin x + i cos x

両辺を比較して

cos

( x + π

2 )

= − sin x， sin (

x + π 2

)

= cos x

が得られる。

(2)

• exp ( − i π

2 )

= − i

であることに注意すると

cos

( x − π

2 )

+ i sin (

x − π 2

)

= exp (

i (

x − π 2

))

= exp (

ix − i π 2

)

= exp (ix) exp ( − i π

2 )

= (cos x + i sin x) ( − i)

= sin x − i cos x

両辺を比較して

cos

( x − π

2 )

= sin x， sin (

x − π 2

)

= − cos x

が得られる。

• (1)

について証明ではないが，グラフで考えることで成立が直感的に理解できるかもしれない。

y=f(x)

y=f(x−a) y−b=f(x−a)

y = f (x)

のグラフを

x

方向に

a

平行移動したグラフ

(青色の

グラフ) を表す式は

y = f (x − a)

である。y

= f (x)

のグラフを

x

方向に

a， y

方向に

b

平行移動したグラフ

(赤色のグラ

フ)を表す式は

y − b = f (x − a)

である。

y=sinx y=cosx y=sin

( x−

π

2

)

y=cos (

x+

π 2

)

(3)

y = sin (

x − π 2

)

は

y = sin x

を

x

方向に

π

2

平行移動したグラフを表すので，y

= cos x

を

y

軸に関して折り返したものなので，y

= − cos x

である。y

= sin

( x + π

2 )

は

y = sin x

を

x

方向に

− π

2 = cos x

となっている。

y = cos (

x − π 2

)

は

y = cos x

を

x

方向に

π

2 = sin x y = − cos x

である。y

= cos

( x + π

2 )

は

y = cos x

を

x

方向に

− π

2 = sin x

を

y

軸に関して折り返したものなので，y

= − sin x

である。

• (5)3

倍角の公式を示そう。

cos 3θ + i sin 3θ = e

^i3θ

= ( e

^iθ

)

3

= (cos θ + i sin θ)

³

= cos

³

θ + 3 cos

²

θi sin θ + 3 cos θi

²

sin

²

θ + i

³

sin

³

θ

= cos

³

θ − 3 cos θ sin

²

θ + i (

3 cos

²

θ sin θ − sin

³

θ )

このままでもよいが，cos²

θ + sin

²

θ = 1

を用いて変形すると

cos 3θ = cos

³

θ − 3 cos θ sin

²

θ = cos

³

θ − 3 cos θ(1 − cos

²

θ)

= 4 cos

³

θ − 3 cos θ

sin 3θ = 3 cos

²

θ sin θ − sin

³

θ = 3 (

1 − sin

²

θ )

sin θ − sin

³

θ

= − 4 sin

³

θ + 3 sin θ

• (7)

和積公式を

1

つ示そう。

cos( − x) = cos x, sin( − x) = − sin x

より

e

⁻^ix

= e

ⁱ⁽⁻^x)

= cos( − x) + i sin( − x) = cos x − i sin x e

^ix

+ e

⁻^ix

= cos x + i sin x + cos x − i sin x = 2 cos x e

^ix

− e

⁻^ix

= cos x + i sin x − cos x + i sin x = 2i sin x

よって

cos x = e

^ix

+ e

^−ix

2 , sin x = e

^ix

− e

^−ix

2i

が成立している。

(4)

•

これを用いて計算を実行する。

2 sin

( α + β 2

) cos

( α − β 2

)

=2 1 2i

( exp

(

i α + β 2

)

− exp (

− i α + β 2

)) 1 2

( exp

(

i α − β 2

) + exp

(

− i α − β 2

))

= 1 2i

( exp

( i α

2 )

exp (

i β 2

)

− exp ( − i α

2 )

exp (

− i β 2

))

× (

exp (

i α 2

) exp

(

− i β 2

) + exp

( − i α 2

) exp

( i β

2 ))

= 1

2i (exp (iα) − exp ( − iβ) + exp (iβ) − exp ( − iα))

= 1

2i (exp (iα) − exp ( − iα) + exp (iβ) − exp ( − iβ))

= sin α + sin β