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数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
第１節 複素数と２次方程式の解 １限目 Ｐ３６～Ｐ４０ 複素数とその計算 ２限目 Ｐ４１～Ｐ４４ ２次方程式の解
３限目 Ｐ４５～Ｐ４７ 解と係数の関係（１）
４限目 Ｐ４８～Ｐ４９ 解と係数の関係（２）
５限目 Ｐ５０ 補充問題
第２節 高次方程式
１限目 Ｐ５１～Ｐ５２ 剰余の定理 ２限目 Ｐ５３～Ｐ５４ 因数定理 ３限目 Ｐ５５～Ｐ５６ 高次方程式
４限目 Ｐ５７ 高次方程式と虚数解 ５限目 Ｐ５８ 補充問題
６限目 Ｐ５９ 章末問題Ａ ７限目 Ｐ６０ 章末問題Ｂ
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第１節 複素数と２次方程式の解 練習問題 解答
練習１
（１）−3+5i 実部は－３，虚部は５
（２）
2 3 1− i
− 実部は
2
−1，虚部は 2
− 3
（３）１ 実部は１，虚部は０
（４）−i 実部は０，虚部は－１
練習２
（１）(x−3)+(x+y)i＝０
x−3＝０，x+y＝０ を解いて，x＝３，y＝－３
（２）(x−2y)+(2x−3y)i＝4+7i
x−2y＝４，2x−3y＝７ を解いて，x＝２，y＝－１
練習３
（１）(2+3i)+(4+i)＝6+4i
（２）(−1+2i)+(3−4i)＝2−2i
（３）(6+4i)−(3+2i)＝3+2i
（４）(2−3i)−(4−2i)＝−2−i
練習４
（１）(1+2i)(4+3i)＝4+3i+8i−6＝−2+11i
（２）(2−i)(3+4i)＝6+8i−3i+4＝10+5i
（３）(3+4i)(3−4i)＝9−16i2＝9+16＝２５
（４）(2+3i)2＝4+12i+9i2＝4+12i−9＝−5+12i
練習５
（１）2+3i と共役な複素数は 2−3i
（２）1−i と共役な複素数は 1+i
（３） 3i と共役な複素数は − 3i
（４） 2 3 1+ i
− と共役な複素数は 2
3 1− i
−
練習６
（１） i i 3 2
2 1
+
+ ＝
) 3 2 )(
3 2 (
) 3 2 )(
2 1 (
i i
i i
− +
−
+ ＝
9 4
6 4 3 2
+ + +
− i i
＝ 13 8+i
（２） i i +
− 1
1 ＝
) 1 )(
1 (
) 1
( 2
i i
i
− +
− ＝
1 1
2
1 2
+ +
− i i
＝ 2 1 2 1− i−
＝−i
（３）
i i
− 2
5 ＝
) 2 )(
2 (
) 2 ( 5
i i
i i
+
−
+ ＝
1 4
5 10
+
−
i ＝
5 10 5+ i
− ＝−1+2i
（４）
i 1＝
i2
i ＝−i
- 3 - 練習７
（１） −5＝ 5i
（２） −9＝ 9i＝3i
（３）－２７の平方根は −27＝ 27i＝3 3i
練習８
（１） −2 −6＝ 2i 6i＝2 3i2＝−2 3
（２） −6 3＝ 6i 3＝3 2i
（３）
2
−8
＝ 2 8i
＝ 4i＝2i
（４）
2 3
−
− ＝ i i 2 3 ＝
2 3 ＝
2 6
練習９
（１）x2＝－４ より，x＝ −4＝ 4i＝2i
（２）x2+1＝０ より，x2＝－１ x＝ −1＝i
（３）4x2 +1＝０ より，x2＝ 4
−1 x＝
4
−1
＝ i
4
1 ＝ i 2
1
練習１０
（１）x2+3x+4＝０ を解くと，x＝
2 16 9 3 −
− ＝
2 7 3 −
− ＝
2 7 3 i
−
（２）x2−4x+12＝０ を解くと，x＝2 4−12＝2 −8＝22 2i
（３）2x2 +5x+5＝０ を解くと，x＝
4 40 25
5 −
− ＝
4 15 5 −
− ＝
4 15 5 i
−
（４）x2−2 3x+4＝０ を解くと，x＝ 3 3−4＝ 3i
練習１１
（１）x2+5x+5＝０ を解くと，x＝
2 20 25
5 −
− ＝
2 5 5
−
（２）2x2 +4x+3＝０ を解くと，x＝
2 6 4 2 −
− ＝
2 2 2 −
− ＝
2 2 2 i
−
（３）−4x2 +x−1＝０ を解くと，4x2 −x+1＝０ より，x＝ 8
16 1 1 −
＝ 8
15 1 −
＝ 8
15 1 i
（４）x2−2 3x+3＝０ を解くと，(x− 3)2＝０ より，x＝ 3
練習１２ ２次方程式 x2 +2mx+m＝０ について，
判別式Ｄ’＝m2−m＝m(m−1) より，
（１）実数解をもつとき，Ｄ’≧０ であるから，m≦０，m≧１
（２）異なる２つの虚数解をもつとき，Ｄ’＜０ であるから，０＜m＜１
- 4 - 練習１３
（１）x2+4x+m＝０
判別式Ｄ’＝4−m より，
Ｄ’＞０ つまり m＜４ のとき 異なる２つの実数解 Ｄ’＝０ つまり m＝４ のとき 重解
Ｄ’＜０ つまり m＞４ のとき 異なる２つの虚数解
（２）x2+mx+4＝０
判別式Ｄ＝m2−16＝(m+4)(m−4) より，
Ｄ＞０ つまり m＜－４，m＞４ のとき 異なる２つの実数解 Ｄ＝０ つまり m＝±４ のとき 重解
Ｄ＜０ つまり －４＜m＜４ のとき 異なる２つの虚数解
練習１４
（１）3x2+4x+2＝０ の２つの解をα，βとすると，
+＝ 3
−4， ＝ 3 2
（２）x2−6x−4＝０ の２つの解をα，βとすると，
+＝６， ＝－４
練習１５
x2+3x−1＝０ の２つの解をα，βとすると，+＝－３， ＝－１ であるから，
（１）2+2＝(+)2−2＝(−3)2−2(−1)＝１１
（２）3+3＝(+)3−3(+)＝(−3)3−3(−1)(−3)＝－２７－９＝－３６
（３）(−)2＝(+)2−4＝(−3)2−4(−1)＝１３
練習１６
２次方程式 x2+5x+m＝０ について，
（１）１つの解が他の解の４倍であるとき，２つの解を ，4 とおくと，
+4＝5＝－５，4＝42＝m より，
＝－１，m＝４
（２）１つの解の２倍が他の解の３倍であるとき，２つの解をα，β とおくと，
2＝3 より，β＝ 3
2 であるから，
3
+2 ＝ 3
5 ＝－５，
3
2 ＝ 2
3
2 ＝m より，
＝－３，m＝６ 練習１７
（１）２次方程式 x2−3x−2＝０ の解は，x＝ 2
8 9 3 +
＝ 2 17 3
より，
x2−3x−2＝
− −
− +
2 17 3 2
17
3 x
x
- 5 -
（２）２次方程式 2x2−2x−3＝０ の解は，x＝ 2
6 1 1 +
＝ 2 1 7
より，
2x2−2x−3＝
− −
− +
2 7 1 2
7
2 x 1 x
（３）２次方程式 x2+4x+6＝０ の解は，x＝−2 4−6＝−2 2i より，
x2+4x+6＝{x−(−2+ 2i)}{x−(−2− 2i)}＝(x+2− 2i)(x+2+ 2i)
練習１８
（１）２数２，－１を解とする２次方程式 解の和は １，解の積は －２
よって，求める２次方程式は x2−x−2＝０
（２）２数2+ 3，2− 3を解とする２次方程式 解の和は (2+ 3)＋(2− 3)＝４
解の積は (2+ 3)(2− 3)＝４－３＝１ よって，求める２次方程式は x2−4x+1＝０
（３）２数1+2i，1−2iを解とする２次方程式 解の和は (1+2i)＋(1−2i)＝２
解の積は (1+2i)(1−2i)＝１＋４＝５
よって，求める２次方程式は x2−2x+5＝０
研究 練習１
２次方程式 x2+2(m−3)x+4m＝０ が異なる２つの正の解をもつとき，
判別式Ｄ’＝(m−3)2 −4m＝m2−10m+9＝(m−1)(m−9) であり，
２つの解をα，βとおくと，条件は，
・Ｄ’＞０ より，m＜１，m＞９ ……… ①
・+＝−2(m−3)＞０ より，m＜３ ……… ②
・＝4m＞０ より，m＞０ ……… ③ ①～③ より，０＜m＜１
研究 練習１ 別解
２次方程式 x2+2(m−3)x+4m＝０ が異なる２つの正の解をもつとき，
判別式Ｄ’＝(m−3)2 −4m＝m2−10m+9＝(m−1)(m−9) であり，
f(x)＝x2+2(m−3)x+4m とおくと，条件は，
・Ｄ’＞０ より，m＜１，m＞９ ……… ①
・放物線の軸 x＝−(m−3)＞０ より，m＜３ ……… ②
・ f(0)＝4m＞０ より，m＞０ ……… ③ ①～③ より，０＜m＜１
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第１節 複素数と２次方程式の解 補充問題 解答
１．
（１）
2
2 3
1
− + i
＝ ( 1 3 )2 4
1 − + i ＝ (1 2 3 3 ) 4
1 2
i i+
− ＝ (1 2 3 3) 4
1 − i− ＝ ( 2 2 3 ) 4
1 − − i ＝
2 3 1+ i
−
（２）
i+1i ＝ 2 i
i+ i ＝i−i＝０
（３）i+i2 +i3+i4＝i−1−i+(−1)2＝i−1−i+1＝０
２．
２数をα，βとすると，+＝３， ＝３ であるから，
２数α，βを解とする２次方程式は，x2 −3x+3＝０ これを解いて，x＝
2 12 9 3 −
＝ 2 3 3 i
であるから，２数は 2
3 3− i
， 2 3 3+ i
３．
２次方程式 x2+2x+4＝０ の２つの解をα，βとすると，
+ ＝－２， ＝４ である。このとき，
) 1 ( ) 1
(− + − ＝(+)−2＝－２－２＝－４ )
1 )(
1
(− − ＝−(+)+1＝４＋２＋１＝７ であるから，
α－１，β－１を解とする２次方程式は，x2+4x+7＝０
第２節 高次方程式 練習問題 解答
練習１９ P(x)＝x3+x2−3x−2 のとき，
（１）P(x) をx−1 で割った余りは，P(1)＝１＋１－３－２＝－３
（２）P(x) をx−2 で割った余りは，P(2)＝８＋４－６－２＝４
（３）P(x) をx+1 で割った余りは，P(−1)＝－１＋１＋３－２＝１
（４）P(x) をx+2 で割った余りは，P(−2)＝－８＋４＋６－２＝０
練習２０
P(x)＝2x3+5ax2+ax+1 をx+1 で割った余りが－５ であるから，
P(−1)＝−2+5a−a+1＝4a−1＝－５ よって，a＝－１
練習２１
P(x) を(x−3)(x+1) で割った商をQ(x)，余りをax+b とおくと，
P(x)＝(x−3)(x+1)Q(x)+ax+b である。
P(x) をx−3 で割った余りが１，x+1 で割った余りが５ であるから，
P(3)＝3a+b＝１ P(−1)＝−a+b＝５
これを解いて，a＝－１，b＝４ よって，求める余りは −x+4
- 7 - 練習２２
P(x)＝x3+2x2−5x−6 とおくと，
（１）P(1)＝１＋２－５－６＝－８ より，x−1 はP(x) の因数ではない。
（２）P(−1)＝－１＋２＋５－６＝０ より，x+1 はP(x) の因数である。
（３）P(2)＝８＋８－１０－６＝０ より，x−2 はP(x) の因数である。
（４）P(−2)＝－８＋８＋１０－６＝４ より，x+2 はP(x) の因数ではない。
練習２３
（１）P(x)＝x3−3x2−6x+8 とおくと，P(1)＝１－３－６＋８＝０ より，
P(x)＝(x−1)(x2 −2x−8)＝(x−1)(x+2)(x−4)
（２）P(x)＝x3−5x2+3x+9 とおくと，P(−1)＝－１－５－３＋９＝０ より，
P(x)＝(x+1)(x2−6x+9)＝(x+1)(x−3)2
（３）P(x)＝2x3+3x2 −11x−6 とおくと，P(2)＝１６＋１２－２２－６＝０ より，
P(x)＝(x−2)(2x2+7x+3)＝(x−2)(2x+1)(x+3)
練習２４
（１）x3−8＝０
(x−2)(x2+2x+4)＝０ より，
x＝２，−1 3i
（２）x3+1＝０
(x+1)(x2−x+1)＝０ より，
x＝－１，
2 3 1 i
練習２５
（１）x3＝２７ とおくと，x3−27＝０ (x−3)(x2+3x+9)＝０ より，
x＝３，
2 3 3 3 i
−
（２）x3＝－８ とおくと，x3+8＝０ (x+2)(x2 −2x+4)＝０ より，
x＝－２，1 3i x2−2x−8
−1
x ）x3−3x2 −6x+8 x3−x2
−2x2 −6x −2x2+2x −8x+8 −8x+8 ０
x2 −6x+9 +1
x ）x3−5x2+3x+9 x3+x2
−6x2+3x −6x2 −6x 9x+9 9x+9 ０
2x2 +7x+3
−2
x ）2x3+3x2−11x−6 2x3−4x2
7x2 −11x 7x2 −14x 3x−6 3x−6 ０
- 8 - 練習２６
（１）x4+x2−12＝０
(x2+4)(x2−3)＝０ より，x2＝－４，３ したがって，x＝2i， 3
（２）x4−1＝０
(x2 +1)(x2−1)＝０ より，x2＝±１ したがって，x＝±１，i
練習２７
（１）x3+4x2 +x−6＝０
P(x)＝x3+4x2+x−6 とおくと，
P(1)＝１＋４＋１－６＝０ より，
P(x)＝(x−1)(x2+5x+6)＝(x−1)(x+2)(x+3) P(x)＝０ より，x＝１，－２，－３
（２）x3+4x2+5x+2＝０
P(x)＝x3+4x2+5x+2 とおくと，
P(−1)＝－１＋４－５＋２＝０ より，
P(x)＝(x+1)(x2+3x+2)＝(x+1)2(x+2) P(x)＝０ より，x＝－１，－２
（３）x3−3x2+2＝０
P(x)＝x3−3x2+2 とおくと，P(1)＝１－３＋２＝０ より，
P(x)＝(x−1)(x2−2x−2) P(x)＝０ より，x＝１，1 3
（４）2x3−3x2 −4＝０
P(x)＝2x3−3x2−4 とおくと，P(2)＝１６－１２－４＝０ より，
P(x)＝(x−2)(2x2+x+2) P(x)＝０ より，x＝２，
4 15 1 i
−
練習２８
３次方程式 x3+x2+ax+b＝０ が x＝1+i を解にもつから，
(1+i)3+(1+i)2+a(1+i)+b＝０
(1+3i−3−i)+(1+2i−1)+a(1+i)+b＝０ (a+b−2)+(a+4)i＝０
x2+3x+2 +1
x ）x3+4x2+5x+2 x3 +x2
3x2+5x 3x2+3x 2x+2 2x+2 ０
x2 −2x−2
−1
x ）x3−3x2 +2 x3−x2
−2x2 −2x2+2x −2x+2 −2x+2 ０
2x2 +x+2
−2
x ）2x3−3x2 −4 2x3−4x2
x2 x2−2x 2x−4 2x−4 ０ x2+5x+6
−1
x ）x3+4x2+x−6 x3−x2
5x2+ x 5x2−5x 6x−6 6x−6 ０
