確率紙の考え方

(1)

確率紙の考え方

酒井信介

(2)

確率システム 2

母集団の推定

確率変数のサンプル値

x1,x2,……,xn

が、ある分布

(

例えば正規分布

)

に従っているかどうかを調べたい。

PDF

や

CDF

と直接比較しても、適合性は直ちには判定できず、また母数の決定も簡単ではない

確率紙

(Probability paper)

(3)

確率紙とは何か

• グラフ上で (xi,Fi) をある特定の確率紙上にプロットしたときに、直線性の成立をもってその分布への適合性を判断する

• 幾何的手続きで、母数の評価を可能とする

(4)

正規確率紙の例

累積確率

µ µ +σ 確率変数

直線性

幾何的手続き

(5)

手順

• 累積確率 F(x) 、確率変数 x に対して式を変形し G(F)=aH(x)+b となるよう誘導する

• 縦軸に G(F) 目盛りを、横軸に H(x) 目盛りを付けたものが、この分布形状に対する確率紙となる

• この分布形に適合する場合 (xi,Fi) をプロットし

たものは、直線に適合する

(6)

例 : 正規分布の場合







 −

−

= ₂ ²

2

) exp (

2 ) 1

(

x x x

x x

f σ

µ σ

π

) 2 (

2 exp ) 1

( )

(

2

u u du

dx x f x

F ^x ^u  = Φ



 



−

=

∫

−∞

∫

−∞ π

x

x x

u σ

µ

= −

変形すると

)

1( F u = Φ⁻

つまり

x

x x

F σ

µ

= − Φ⁻¹( )

縦軸:正規確率目盛り横軸:線形目盛り

(7)

例：ワイブル分布















 



−

−

=

α

β t t

F( ) 1 exp α :

形状母数，

β :

尺度母数

第3種極小値分布，故障関数 Weakest link model

確率紙の考え方















 



−

=

−

α

β F exp t

1

α

β ^_

 



= 

−

t F

1 log 1

) log 1 (log

log 1

log =α − β

− t

F

縦軸：確率目盛り横軸：対数目盛り

勾配

1 α :

(8)

母数の読み取り

α 99.99

99.9 99 9590 8070 6050 4030 20 10 5

1

0.1

0.01 0.1 1 10 100

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 3 4

Cumulative probability F(x)(%) ln(ln(1/(1-F)))

x ln(x)

β











 



 



− 

−

=

1

exp 2 1

)

( t

t F

α

(9)

データのプロット法

i i n i i

i i

i n

i C C F F dF

F

g( ) = ⋅ ₁ ⋅ ⁻¹(1− ) ⁻

N個のデータが得られ、小さいほうから順番に並べてx1,x2,…..xnであるとする。

このとき(x1,F1),(x2,F2),(x3,F3)……(xn,Fn)を確率紙にプロットするが、Fi をどのように考えたらよいか。

Fi=i/n? → よくやる間違え

順序統計学によるとFiはばらつきを持つ。その確率密度関数は

従って、Fiとして割り当てるのは、このばらつきの代表値とすべき

(10)

確率紙例題

正規分布 6.1 4.1 7.6 2.5 6.3 3.1 4.5 5.3 5.0

ワイブル分布 9.6

4.2 11.9 6.5 16.7 8.1 7.0 11.2 9.2

4.2 0.1 6.5 0.2 7.0 0.3 8.1 0.4 9.2 0.5 9.6 0.6 11.2 0.7 11.9 0.8 16.7 0.9 2.5 0.1

3.1 0.2 4.1 0.3 4.5 0.4 5.0 0.5 5.3 0.6 6.1 0.7 6.3 0.8 7.6 0.9

(11)

99.99 99.9 99 9590 8070 6050 4030 20 10 5

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 3 4

Cumulative probability F(x)(%) ln(ln(1/(1-F)))

ln(x)

ワイブル確率紙例題











 



 



−

−

=

3

exp 10 1

)

( t

t F

α

(12)

正規確率紙例題

99.99 99.9

99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1

0.1

0.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cumulative probability F(x)(%)

x µ σ

(13)

R による確率紙の利用法

>library(devtools)

>install_github(“ShinsukeSakai0321/ProbPaper”)

確率紙サポートバッケージ

以後は使う度ごとに

>library(ProbPaper)

>help(package=ProbPaper)

Libraryに登録されている全コ

マンドを見ることができる

Pnormをクリックすると説明を

見ることができる

(14)

14

ExampleをConsoleにコピペすると直ちに実行できる。学習しながら

学べる！

(15)

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