「順序の理論」の数学的な基礎（その

構造の数理

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「順序の理論」の数学的な基礎（その

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渕野 昌

神戸大学大学院 システム情報学研究科

神戸大学年度後期の講義

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数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

数の大小関係 ^{構造の数理}

を， のどれかとする． ^解説 このとき 上の（通常の）大小関係 は次の性質を満たす

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成

り立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

任意の集合 上の二項関係 が上のの性質に相当する性質 を満たすとき， は 上の 線型順序であるという．

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線形順序 ^{構造の数理} を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を 満たすとき， は 上の 線形順序 あるいは，全 順序 であるという

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

すべての に対し， または の少なくとも片

方は成り立つ 比較可能性

線型順序の例 ^{構造の数理}

を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を満たすとき，

は 上の線形順序 ^#%&あるいは，全順序 ^#%&で あるという

すべての^¾ に対し， 反射律

すべての ^¾ に対し，かつなら^' 反対称律

すべての ^¾ に対し，かつ なら， 推移律

すべての ^¾ に対し， またはの少なくとも片方は成り

立つ 比較可能性

を のどれかとするとき， 上の通常の大小関係

は 上の線形順序である．

ぐー ちょき ぱーとする． 上の二項関係 を，

となる の組は， ぐー ぐー ちょき ちょき ぱー ぱー ちょき ぐー ぐー ぱー ぱー ちょき であるとして定義する．つ まり はじゃんけんで，あいこになるか， が に勝つこと，

として定義する．このとき は 上の線型順序か は線形順 序の性質のうちどれを満たすか

線型順序の例 ^{構造の数理}

を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を満たすとき，

は 上の線形順序 ^#%&あるいは，全順序 ^#%&で あるという

すべての^¾ に対し， 反射律

すべての ^¾ に対し，かつなら^' 反対称律

すべての ^¾ に対し，かつ なら， 推移律

すべての ^¾ に対し， またはの少なくとも片方は成り

立つ 比較可能性

を のどれかとするとき， 上の通常の大小関係

は 上の線形順序である．

ぐー ちょき ぱーとする． 上の二項関係 を，

となる の組は， ぐー ぐー ちょき ちょき ぱー ぱー ちょき ぐー ぐー ぱー ぱー ちょき であるとして定義する．つ まり はじゃんけんで，あいこになるか， が に勝つこと，

として定義する．このとき は 上の線型順序か は線形順 序の性質のうちどれを満たすか

線型順序の例 ^{構造の数理}

を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を満たすとき，

は 上の線形順序 ^#%&あるいは，全順序 ^#%&で あるという

すべての^¾ に対し， 反射律

すべての ^¾ に対し，かつなら^' 反対称律

すべての ^¾ に対し，かつ なら， 推移律

すべての ^¾ に対し， またはの少なくとも片方は成り

立つ 比較可能性

を のどれかとするとき， 上の通常の大小関係

は 上の線形順序である．

ぐー ちょき ぱーとする． 上の二項関係 を，

となる の組は， ぐー ぐー ちょき ちょき ぱー ぱー ちょき ぐー ぐー ぱー ぱー ちょき であるとして定義する．つ まり はじゃんけんで，あいこになるか， が に勝つこと，

として定義する．このとき は 上の線型順序か は線形順 序の性質のうちどれを満たすか

線型順序の例 ^{構造の数理}

を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を満たすとき，

は 上の線形順序 ^#%&あるいは，全順序 ^#%&で あるという

すべての^¾ に対し， 反射律

すべての ^¾ に対し，かつなら^' 反対称律

すべての ^¾ に対し，かつ なら， 推移律

すべての ^¾ に対し， またはの少なくとも片方は成り

立つ 比較可能性

を のどれかとするとき， 上の通常の大小関係

は 上の線形順序である．

ぐー ちょき ぱーとする． 上の二項関係 を，

となる の組は， ぐー ぐー ちょき ちょき ぱー ぱー ちょき ぐー ぐー ぱー ぱー ちょき であるとして定義する．つ まり はじゃんけんで，あいこになるか， が に勝つこと，

として定義する．このとき は 上の線型順序か は線形順 序の性質のうちどれを満たすか

線型順序の例 ^{構造の数理}

を任意の集合とするとき， 上の二項関係 が次の性質を満たすとき，

は 上の線形順序 ^#%&あるいは，全順序 ^#%&で あるという

すべての^¾ に対し， 反射律

すべての ^¾ に対し，かつなら^' 反対称律

すべての ^¾ に対し，かつ なら， 推移律

すべての ^¾ に対し， またはの少なくとも片方は成り

立つ 比較可能性

を のどれかとするとき， 上の通常の大小関係

は 上の線形順序である．

ぐー ちょき ぱーとする． 上の二項関係 を，

となる の組は， ぐー ぐー ちょき ちょき ぱー ぱー ちょき ぐー ぐー ぱー ぱー ちょき であるとして定義する．つ まり はじゃんけんで，あいこになるか， が に勝つこと，

として定義する．このとき は 上の線型順序か は線形順 序の性質のうちどれを満たすか

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

線形順序の例その ^{構造の数理}

とするとき， 上の二項関係 を， に 対し， ^¼¼ とするとき（ただし，^¼

¼

で ^¼ とする），

または ^¼ かつ ^¼ または ^¼ と定義する． ^¼ は前回の記号を使うと とも書 ける， ^¼ を と書くことにすると，

かつ または

ともあらわせる． は 上の線形順序となる（演習）． を に関して小さい順に並べると，

となる． のときには，上の順序は通常の と一致する．

のときには，上の順序で の部分（無限に続くプロセス）

が 個あらわれる．

半順序 ^{構造の数理} 集合 上の二項関係 が線形順序の性質のうち，比較可能性 以外の性質を満たすとき（比較可能性は成り立っていても成り 立っていなくてもどちらでもよい）， は半順序

であるという．つまり

が 上の半順序であるとは， が次のつの性質を満たすこ とである

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

半順序 ^{構造の数理} 集合 上の二項関係 が線形順序の性質のうち，比較可能性 以外の性質を満たすとき（比較可能性は成り立っていても成り 立っていなくてもどちらでもよい）， は半順序

であるという．つまり

が 上の半順序であるとは， が次のつの性質を満たすこ とである

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律

半順序 ^{構造の数理} 集合 上の二項関係 が線形順序の性質のうち，比較可能性 以外の性質を満たすとき（比較可能性は成り立っていても成り 立っていなくてもどちらでもよい）， は半順序

であるという．つまり

が 上の半順序であるとは， が次のつの性質を満たすこ とである

すべての に対し， 反射律

すべての に対し， かつ なら が成り

立つ 反対称律

すべての に対し， かつ なら， が

成り立つ 推移律