∑∑ 差分を通して再構成した数列の和

平 成 ２ ０ 年 度   理 数 教 育 ス テ ッ プ ア ッ プ 研 修   実 践 記 録 

差 分 を 通 し て 再 構 成 し た 数 列 の 和 

− 数 学 B「 数 列 」 の ま と め と し て −    

（ 実 践 者   新 潟 県 立 新 発 田 高 等 学 校   瀧 澤   博 信 ）    

数 列 の 学 習 を 進 め て い く と 、自 分 自 身 も そ う で あ っ た よ う に 、生 徒 が 何 回 も 大 き な 山 に 突 き 当 た る の を い つ も 感 じ る 。 そ の １ つ が さ ま ざ ま な 数 列 の 和 を 求 め る 問 題 で あ る 。 等 差 、 等 比 数 列 の 和 に 始 ま り 、 Σ 計 算 を 経 て 、 和 の 和 、 部 分 分 数 分 解 、 (等 差 )×(等 比 ) 数 列 の 和 、多 種 多 様 な パ タ ー ン が 次 か ら 次 へ と 現 れ る た め 、す べ て の 方 法 が 身 に つ く よ う に な る ま で に 指 導 上 相 当 な 手 間 と 時 間 が か か る 上 に 、そ れ ら が 手 法 と し て 別 個 に 存 在 す る 印 象 を 与 え る 結 果 に な っ て い る 。  

そ こ で こ れ ら 一 連 の 数 列 の 和 の 学 習 の 後 に 、数 列 の 和 の 式 に 対 し て 全 体 的 な 見 直 し と 統 合 的 な 解 釈 を 図 れ る よ う に 、今 回 の テ ー マ を 考 え た 。一 般 項 が 、あ る 式 のk+1番 目 と k番 目 の 差 、 つ ま り そ の 式 の 差 分 で あ る こ と を 利 用 し た 、 い ろ い ろ な 数 列 の 和 の 式 の 作 り 方 と 、そ れ を 更 に 応 用 し た 新 た な 数 列 の 和 の 求 め 方 の 習 得 で あ る 。数 列 の 和 の 式 の 作 り 方 に つ い て は 、生 徒 自 身 に よ る 問 題 作 成 の 手 法 を 取 り 入 れ て み た 。こ れ ら の 活 動 を 通 し て 、 生 徒 は 数 列 と い う 概 念 の 奥 深 さ や 多 面 性 に 気 付 く こ と が で き た 。  

１   「 理 数 の 面 白 さ や 深 く 追 究 す る 楽 し さ な ど を 味 わ わ せ る 」 た め の 構 想     

整 数 kの 関 数 f(k)が あ る と き 、a_k = f(k+1)− f(k)と な る a_kを 、f(k)の 差 分 と い う 。差 分 akか ら f(k)が 見 つ か っ た 場 合 、 数 列 の 和 に つ い て 、 以 下 の 求 め 方 が 成 立 す る 。  

    [差 分 を 用 い た 数 列 の 和 の 求 め 方 ]      a_k = f(k+1)− f(k)と 変 形 で き る と き 、  

)}

( ) 1 ( { )}

2 ( ) 3 ( { )}

1 ( ) 2 ( { )}

( ) 1 ( {

1 1

n f n f f

f f f k f k f a

S

n

k n

k k

n =

∑

∑

=

=

L  

＝{f(n+1)+ f(n)+Lf(2)}−{f(n)+ f(n−1)+L+ f(1)} 

＝ f(n+1)−f(1) 

      し た が っ て   Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an= f(n+1)− f(1) 

  こ れ が ど ん な a_kに つ い て も 可 能 で あ れ ば 、非 常 に ミ ス の 少 な い 数 列 の 和 の 計 算 が 可 能 に な る 。高 校 の 教 科 書 に 記 載 さ れ て い る 数 列 は 、ほ ぼ こ の 方 法 で 和 を 取 り 直 す こ と が で き る の で 、こ れ ま で 別 々 に 存 在 し て い た 和 の 求 め 方 を 、統 合 的 に 解 釈 す る こ と も 可 能 に な る 。  

一 見 便 利 に 見 え る こ の 方 法 の 問 題 点 は 、 a_k = f(k+1)− f(k)の 変 形 、 つ ま り 差 分a_kか ら 元 の 関 数 f(k)を 求 め る 手 順 で あ る 「 差 分 方 程 式 を 解 く 」 こ と に 対 し て 、 一 般 的 な 解 法 が 存 在 し な い と い う こ と で あ る 。微 分 は 常 に で き る が 、元 に 戻 る た め の 積 分 に 制 約 が あ る た め に 、解 け な い 場 合 が あ る 微 分 方 程 式 と 同 じ で あ る 。し か し 微 分 と 積 分 の 関 係 と 同 じ よ う に 、 ど ん な 関 数 f(k)か ら で も 差 分a_kは あ る 程 度 計 算 可 能 な の で 、 い ろ い ろ な 関 数 f(k)の 差 分 a_kを 求 め な が ら 、そ れ を 整 理・手 法 化 し て い く こ と に よ っ て 、a_kか ら f(k)

の 類 推 が 可 能 に な る 。 こ の 考 え 方 を 実 現 す る た め に 必 要 な 「 い ろ い ろ な 関 数 f(k)の 差 分a_kを 求 め る 」 た め に 、 以 下 の よ う な 例 題 を 考 え た 。  

  [元 問 題 ] 

      _f(k)=(k−1)²  と す る と 、   1 2 ) 1 ( ) ( ) 1

( + − = ²− − ² = −

= f k f k k k k

a_k  

        こ の と き 、S_n= a1+a2+L+a_n＝_{1+3+L+(2n−1)}･･･①         ま た 、S_n= f(n+1)− f(1)=n²−0² =n²･･･②  

① ＝ ② よ り    _{1+3+5+L+(2n−1)=n}²  )

(k

f か ら 差 分a_kを 計 算 し 、更 にa_kを 1,2,3,･･･,nと 並 べ て 作 っ た 和 と 、f(n+1)− f(1)の 計 算 結 果 を 合 わ せ 、 和 の 式 が 完 成 す る 。 こ の 例 題 １ つ で f(k)と a_k の 関 係 の 蓄 積

（ _f(k)=(k−1)²の 差 分 は ak =2k−1） が で き る の と 同 時 に 、 関 数 f(k)か ら 、 そ れ が 表 に 出 な い 数 列 の 和 の 式 を 作 る こ と が で き る 。こ の 問 題 の f(k)を 生 徒 に 新 た に 考 え さ せ る こ と に よ っ て 、f(k)とa_kの 関 係 の 蓄 積 を 進 め る と 共 に 、生 徒 に よ る い ろ い ろ な 和 の 式 の 作 成 を 目 指 し た 。  

以 上 に 基 づ き 、以 下 の ２ つ の 点 を こ の 場 面 に お け る 、理 数 の 面 白 さ 、深 く 追 求 す る ポ イ ン ト と し た 。  

(1) 生 徒 自 ら が 考 え た f(k)に よ る 、 和 の 式 の 作 成 と そ の 統 合   [問 題 作 成 ]   

= ) (k

f       と す る と 、  

=

− +

= f(k 1) f(k)

a_k               こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝       ･･･①         ま た 、 ₌

Sn f(n+1)−f(1)=       ･･･②  

① ＝ ② よ り       ＝       問 題 作 成 の 手 法 を 使 い 、元 問 題 の f(k)を 消 去 し た 状 態 か ら 、生 徒 に 新 た な f(k)を 考 え さ せ 、和 の 式 を 作 成 さ せ る 。今 ま で 学 習 し て き た さ ま ざ ま な 和 の 式 が こ の よ う な プ ロ セ ス か ら も 作 ら れ る こ と を 確 認 す る と と も に 、作 成 さ れ た 和 の 式 を 通 常 の 計 算 で 示 す こ と に よ っ て 、こ こ ま で の 学 習 の 復 習 に な る と 考 え た 。ま た 、数 列 の 和 の 式 を 自 分 で 作 る 経 験 そ の も の が 貴 重 で あ り 、実 際 の 数 学 の 問 題 の 作 り 方 に ま で 生 徒 の 興 味 関 心 に つ な げ た い と 考 え た 。  

(2)  a_kか ら f(k)を 類 推 で き る 力 を 身 に つ け 、 そ れ を 活 か す 数 列 の 和 の 求 め 方 の 確 立         [a_k→ f(k)の 応 用 場 面 ] 

    ₌

Sn 1⋅1+4⋅2+7⋅2²+L+(3n−2)2ⁿ⁻¹  を 求 め よ   (解 答 )_{ak =(3k−2)2}^k−1  と す る 。  

仮 に _f(k)=(bk+c)2^k−1と 考 え て み る 。  

こ の と き 、 _{f(k+1)− f(k)={b(k+1)+c}2}^k_−(bk+c)2^k−1_=(bk+2b+c)2^k−1 

    こ れ が_{ak =(3k−2)2}^k−1と (恒 等 式 と し て )等 し い と き 、_b=3、_2b+c=−2      こ れ を 解 い て 、b=3、c=−8と な る 。 つ ま り _{f(k)=(3k−8)2}^k−1 

    こ の と き ₌

Sn f(n+1)− f(1)=(3n−5)2ⁿ+5で あ る か ら 、         _{Sn =1⋅1+4⋅2+7⋅2}²_+L+(3n−2)2ⁿ⁻¹_=(3n−5)2ⁿ₊₅ 

) (k

f を (等 差 数 列 )×(等 比 数 列 )の 形 に 設 定 す る と 、 a_kも 同 じ よ う な 形 に な る こ と が 、 問 題 作 成 の 過 程 か ら 確 認 で き る 。 こ れ を 応 用 し て a_kか ら f(k)を 類 推 し て 、 ( 等 差 数 列 )

×(等 比 数 列 )の 和 が 求 め ら れ る こ と を 示 し て み る 。こ の タ イ プ の 和 が 教 科 書 に 示 さ れ て い る S_n −rS_nの 方 法 だ け で な い こ と を 考 え さ せ る と 共 に 、数 列 の 和 と い う 問 題 全 体 が 、a_k と f(k)の 関 係 に よ っ て 再 構 成 さ れ る こ と を 、数 列 の 和 の 奥 深 さ と し て 伝 え る こ と が で き れ ば と 考 え た 。  

２   授 業 の 実 際     

  １ ０ 月 中 旬 の 数 列 の 学 習 終 了 後 、３ 時 間 を 使 っ て 実 践 を 行 っ た 。対 象 は 普 通 科 の 理 系 ク ラ ス で あ る 。  

(1) １ 時 間 目 (準 備 と 、 生 徒 に よ る 和 の 式 の 作 成 )   

  Ⅰ   差 分 の 考 え 方 を 用 い た 例 題 の 提 示        

) 1 (

1 3

2 1 2 1

1

+ +

⋅ +

⋅ +

= nn

S_n L   を 求 め よ        

1 1 1 ) 1 (

1

− + + =k k k

k

と 変 形 で き る の で 、  

) 1 (

1 3

2 1 2 1

1

+ +

⋅ +

⋅ +

= nn

S_n L

1 1 1 1 1 1 1 1 4

1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1

= +

− +

=



 





− + +

+



 

 −

+



 

 −

+



 

 −

= n

n n

n

L n  

  Ⅱ   [差 分 を 用 い た 数 列 の 和 の 求 め 方 ]の 提 示  

Ⅲ   [元 問 題 ]の 提 示  

Ⅳ   [問 題 作 成 ]の 提 示 と 、 生 徒 に よ る 作 成    

※ こ の 段 階 で は 生 徒 に よ る 「 自 ら f(k)を 選 び 、 そ こ か ら 考 え ら れ る 和 の 式 の 作 成 」 を   さ せ る つ も り で あ っ た が 、 時 間 不 足 と 説 明 不 足 の た め 、 和 の 式 の 作 成 ま で は 無 理 と 判   断 、 f(k)の ア イ デ ィ ア の み を 積 極 的 に 募 る こ と と な っ た 。  

(2) ２ 時 間 目 (生 徒 の 考 え た f(k)か ら 、 新 し い 和 の 作 成 と 、 f(k)とa_kと 関 係 の 整 理 )   

公 開 授 業 当 日 。 前 時 の 結 果 か ら 、 生 徒 が 考 え た f(k)に 従 っ て 授 業 者 が 計 算 し 、 そ こ か ら 得 ら れ る 和 の 考 え 方 を 説 明 す る 時 間 と な っ た 。 以 下 そ れ を 示 す 。  

①   f(k)： 1 次 式 k

k

f( )=2   と す る と  _{a = f(k+1)− f(k)=2(k+1)−2k=2}

k  

      こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝2+2+L+2･･･①         ま た 、 ₌

Sn f(n+1)− f(1)=2(n+1)−2⋅1=2n･･･②  

① ＝ ② よ り    _2+2+2+L+2=2n      ※ 類 題 他 に １ 人     ※ kの 整 式 で 1 つ の 流 れ を 作 る た め に 採 用 し た 。  

②   f(k)： ２ 次 式 で 、 式 を 複 雑 に   )

1 )(

1 ( )

(k = k+ k−

f   と す る と_{a = f(k+1)− f(k)=(k+2)k−(k+1)(k−1)=k}² _+2k−(k²_−1)=2k+1

k  

        こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝_{3+5+7+L+(2n+1)}･･･①         ま た 、 ₌

Sn f(n+1)− f(1)=(n+2)n−2⋅0=n(n+2)･･･②  

① ＝ ② よ り    _{3+5+7+L+(2n+1)=n(n+2)}      ※ 類 題 他 に ２ ４ 人  

※ 和 の 確 認 は _{( 1) ( 2)}

2 2 1 2

) 1 2 (

1 1

+

= + +

⋅

= +

=

+

∑

∑

n n n n n n k k

n

k n

k

。 結 果 的 に こ の パ タ ー ン が 最 も 多 か っ た 。 「 式 を 変 え る 」 ＝ 「 (k−1)²に 似 て い る も の 」 と い う 発 想 の 結 果 で あ ろ う か 。   

③   f(k)： ３ 次 式   )3

1 ( ) (k = k−

f   と す る と  _{a = f(k+1)− f(k)=k}³_−(k−1)³_=3k²_−3k+1

k  

こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝₃₍₁²₊₂²_+L+n²_{)−3(1+2+L+n)+n}･･･①   ま た 、 ₌

Sn f(n+1)− f(1)=n³･･･②  

      ① ＝ ② よ り  ₃₍₁²₊₂²_+L+n²_{)−3(1+2+L+n)+n=n}³        ※ 類 題 他 に １ ０ 人  

  ※ こ の 結 果 よ り 、   _{( 1)(2 1)}

6 1 3

) 1 2 ( 3 2

1

3 2 2

2 + + − = + +

= + +

+ nn n

n n n n

L n   が 得 ら れ る こ と を  

    説 明 し た 。こ こ ま で の f(k)の 次 数 を 上 げ て い く グ ル ー プ は 、和 の 式 を 作 っ て か ら 、   よ り 上 位 の Σ 公 式 を 確 認 す る た め に 使 う こ と と し た 。 f(k)が ３ 次 式 な ら ２ 乗 の Σ 公 式 が 導 け 、 以 下 f(k)の 次 数 を ４ 次 、 ５ 次 と 上 げ て い く と ３ 乗 、 ４ 乗 の Σ 公 式 が 導 け る 。 f(k)の ４ 次 式 は 生 徒 か ら も 出 て い た の だ が 、 時 間 の 都 合 で こ の 日 の 授 業 か ら 割 愛 し 、 次 の 時 間 で の 補 足 に ま わ し た 。  

④   対 数 関 数  

  ²

102 log )

(k k

f = と す る と 、 _{( 1) ( ) log 2( 1) log 2 2log} ¹ _{2log (1} ¹₎

10 10

2 10 2

10 k k

k k k

k f k f

a_k = + − = + − = + = +  

こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝ _{) 2log (1} ¹₎

2 1 1 ( log 2 ) 1 1 ( log

2 _{10 10 10}

+n +

+ + +

+ L ･･･①  

ま た 、 ₌

Sn f(n+1)− f(1)=log₁₀2(n+1)²−log₁₀2=2log₁₀(n+1)･･･②           ① ＝ ② よ り   _{) 2log (1} ¹_{) 2log ( 1)}

2 1 1 ( log 2 ) 1 1 ( log

2 ₁₀ + + ₁₀ + + + ₁₀ + = ₁₀ n+

L n  

  ※ _{) (1} ¹_{) log ( 1)} 2

1 1 )(

1 1 (

log₁₀ + + + = ₁₀ n+

L n よ り _{) (1} ¹_{) ( 1)} 2

1 1 )(

1 1

( + + + = n+

L n   で あ る 。a_kや 数 列 の 和   が 、対 数 の 性 質 か ら 面 白 い 変 化 を す る 関 数 な の で 採 用 し た 。実 は 和 の 式 と し て の 証   明 や 計 算 は 非 常 に 簡 単 で あ る 。  

    こ の 後 に 分 数 関 数 の 例 も 一 つ 用 意 し て い た の だ が 、こ れ も 次 の 時 間 の 補 足 に ま わ し   た 。  

  ⑤   指 数 関 数 （ 等 比 数 列 ）  

  _f(k)=2^k  と す る と   ^{k k k k}

k f k f k

a = ( +1)− ( )=2 ⁺¹−2 =2 (2−1)=2           こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝2+2²+2³+L+2ⁿ･･･①   ま た 、 ₌

Sn f(n+1)− f(1)=2ⁿ⁺¹−2･･･②         ① ＝ ② よ り  2+2² +2³+L+2ⁿ =2ⁿ⁺¹−2 

        整 理 す る と  ₁+₂+₂² +₂³+L+₂ⁿ⁻¹ =₂ⁿ −₁      ※ 類 題 他 に ８ 人     ※ 和 は 普 通 に 等 比 数 列 の 和 の 公 式 で 確 認 で き る 。 f(k)が 等 比 数 列 の と き 、a_kも 同 じ  

公 比 の 等 比 数 列 で あ る こ と を ま と め た 。    

⑥   (等 差 数 列 )×(等 比 数 列 )の 形   )

3 3 ( 3 )

(k = k+

f ^k と す る と   _{ak = f(k+1)−f(k)=3}^k+1_(3k+6)−3^k_(3k+3)=3^k+1_{(3k+6−k−1)=3}^k+1_(2k+5)  こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝₃²_⋅7+3³_⋅9+3⁴_⋅11+L+3ⁿ⁺¹_(2n+5)･･･①   ま た 、 ₌

Sn f(n+1)−f(1)=3ⁿ⁺¹(3n+6)−3¹⋅6=3ⁿ⁺²(n+2)−18･･･②           ① ＝ ② よ り  ₃²_⋅7+3³_⋅9+3⁴_⋅11+L+3ⁿ⁺¹_(2n+5)=3ⁿ⁺²_(n+2)−18 

  整 理 し て  _{7+9⋅3+11⋅3}²_{⋅11+L+(2n+5)3}ⁿ⁻¹₌₃ⁿ_(n+2)−2 

※ 和 は S_n −3S_nで 確 認 で き る 。 f(k)  が (等 差 数 列 )×(等 比 数 列 )の 形 の と き 、差 分 は 公   比 が 共 通 で 等 差 部 分 が 変 化 し た 形 に な る こ と を 確 認 。 指 導 案 上 は こ の 先 に a_k→

) (k

f の パ タ ー ン も 予 定 し て い た が 、 こ れ を 説 明 し た と こ ろ で 本 時 は 終 了 、 次 の 時 間 に ま と め と し て 行 う こ と に な っ た 。  

(3) ３ 時 間 目 (補 足 と ま と め ) 

  ２ 時 間 目 に 説 明 で き な か っ た 作 成 例 の 説 明 と 、ま と め と し て (等 差 数 列 )×(等 比 数 列 ) の 形 の 和 に つ い て 説 明 を 行 っ た  

  ①   補 足 １ ： f(k)が ４ 次 式  

      _f(k)=(k² ₋₁₎²  と す る と  _{ak = f(k+1)− f(k)={(k+1)}²_−1}²_−(k²₋₁₎² _=(k²_+2k)²_−(k² ₋₁₎² 

1 6 4 ) 1 2 ( ) 4 4

( ⁴+ ³+ ² − ⁴− ²+ = ³+ ²−

= k k k k k k k  

こ の と き 、 ₌

Sn a1+a2+L+a_n＝₄₍₁³ ₊₂³_+L+n³₎₊₆₍₁² ₊₂² _+L+n²_)−n･･･①   ま た 、 ₌

Sn f(n+1)−f(1)={(n+1)²−1}²−(1²−1)²=(n²+2n)²=n⁴+4n³+4n²･･･②  

① ＝ ② よ り   ₄₍₁³₊₂³_+L+n³₎₊₆₍₁²₊₂²_+L+n²_)−n=n⁴_+4n³ _+4n² 

※ こ の 結 果 は 生 徒 の 考 え た f(k)か ら 計 算 し た も の で 、 き れ い な 和 の 式 が 導 け る 。  

こ れ よ り   ^{2 2}

2 3 4 3 3

3 ( 1)

4 1 4

) 1 2 )(

1 6 ( 6 1 4

4 2

1 + + + − ⋅ + + = +

= + +

+ n n

n n n n n n n

L n   が 得 ら れ る 。  

そ の 延 長 に   ₁⁴₊₂⁴_+L+n⁴  が あ る こ と を 示 唆 し て 整 式 の グ ル ー プ を 終 了 し た 。   ((4)① を 参 照 )