(2) 知識 と論証 体 系 につ いて
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(2) 知識 と論証 体 系 につ いて. 知 識 と論証 体系 につ い て ア リス トテ レス の 「論 証 知 」論 とゲ ー デ ル の 証 明 に 即 して. 田. 畑. 博. 敏. 確 実 な 知 識 を 得 よ う とす る わ れ わ れ の 要 求 は 、 す で に ア リス トテ レ ス を して 知 識 の 論 証 体 系 化 の 方 向 へ 向 か わ し め た 。 しか し、 体 系 そ の もの に は あ る種 の 不 完 全 さ が 常 に 伴 う こ と を ゲ ー デ ル は 示 した 。 そ れ が ど の よ う な もの で あ るか を 考 察 す る こ と に よ っ て 、 知 識 を 体 系 と し て観 る観 方 が 何 で あ り、 そ こ に残 され る 問 題 が ど の よ うな もの で あ るか を 明 らか に し て み た い 。. 1. わ れ わ れ が 何 事 か を知 っ て い る ・何 事 か の 知 識 を持 っ て い る と主 張 す る と き、 そ れ は ど の よ う な条 件 の 下 で 主 張 で き るの で あ ろ うか 。 ま た 、 知 って い る事 柄 を ど の よ う な形 に ま と め 一 ヒげ れ ば 「知 識 」 が 成 立 した と い え るの で あ ろ うか 。 ア リス トテ レ スの 『分 析 論 後 書 』(以 下An.Po.と. 略記)は. 、 知 識(̀π στ伽 η)が い か な る条 件. の ドで成 立 し、 どの よ うな 形 に 仕 上 げ られ るか 、 と い う 花題 を め ぐ っ て展 開 し て い る。 ア リス トテ レ スに と写て 、提 出 され た 問 題(πp6β λημa)が 探 究 され て(ζητ ε〜 レ)得 られ た 事 柄 が 「 知 識 」 とな る に は 、 論 証 体 系 と い う形 を取 る こ と が 必 須 条 件 で あ っ た 。 そ こ には 、 「知 識 」 は個 々 に 孤 立 して あ るの で は な く何 らか の 組 織 だ っ た 全 体 的 な もの の 中 に位 置 づ け られ て 、 そ の 「 知 識 」 と して の 確 か さが 保 証 され る 、 とい う 観 点 が あ っ た 。 そ こで 、 ア リス トテ レス の 「論 証 知 」 に関 す る理 論 が どの よ うな 内 容 を持 ち 、 ど の よ うな 問 題 を 含 む か を 見 る こ とに よ っ て 、"「知 識 」 が 体 系 とい う形.
(3) に ま とめ 上 げ られ る"と. い う こ と の 意 味 を 見 出 す た め の 、 一 つ の 基 本 的 足 場 を明 ら. か に して い こ う。 An.Po.A巻1章. の 冒 頭 で 、 ア リス トテ レス は 「思 考 の は た ち き に よ る 、 す べ て の. 教 授 、 す べ て の 学 習 は 、 どれ もみ な 、予 め存 す る認 識 か ら生 ず る」 と言 っ て い る 。(1) この 「予 め の 知 」 とは 、 〔1〕名 の 意 味(τiσ η μaんὲ)と 〔2〕名 に よ っ て 名 指 され て い る もの の 存 在 、 及 び名 指 さ れ て い る もの の 問 に 成 り ウ1つ一 定 の あ り 方 の 存 在 (b'τ̀dστ̀リ)との 認 識 で あ る。 例 え ば 、:1角 形 に つ い て 何 事 か を学 び知 る た め に は 「一己角 形 」 と い う名 が 何 を意 味 す る か を予 め 知 っ て い な けれ ば な ら な い し 、 ま た 算 術 の 知 識 を 得 る に は 算 術 が 扱 う 「一」(ぎソ)が 在 る こ と が 予 め容 認 され て い な くて は な らな い 。 しか し この 、 「予め の 知 」 が学 知 の 前 提 条 件 で あ る と い う こ と を 直 ち に 、 "人 は 結 局 の と こ ろ 知. って い る こ と を学 び 知 る に す ぎな い"と. い う議 論 に短 絡 させ. て は な らな い と ア リス トテ レ ス は 言 う。 『メ ノ ン』の デ ィ レ ン マ の 一 方 の 角 で あ る こ く. の 帰 結 は 、 「fめ の 知 」 の 意 味 の ソ フ ィス ト流 の 論 法 に よ る歪 曲 か ら生 じた もの で あ る と 、ア リス トテ レス は批 評 す る 。 つ ま り限 定 つ きで知 っ て い る@δ 尾 πぎ στaσ τà)と く. い う こ と と 、 限 定 ぬ きで 端 的 に知 っ て い る(6rrrλcbs翫あτaσ τà)と い う こ と と は 区 別 さ れ ね ば な らず 、 「予 め の 知 」 と は あ くま で あ る論 証 知 の 成 立 に関 して の 限 定 つ きの 知 の. 一 つ で あ る。 ま た 、 「r/めの 知 」 は学 的 認 識 が 成 立 す る た め の 前 提 条 件 で あ る. と と もに 、論 理 的 前 提 で もあ る。 実 際 、 以 後(An.Po.A.2章. 以 下)ア. リス トテ レス. が 知 識 の論 証 化 の理 論 を展 開 して い くと き、論 証 の 論 理 的 前 提 た る諸 原 理(如 γaの は ?め 知 られ て い な け れ ば な らな い 、 と され る。 従 っ て 、「r!め の知 」 と い う もの は、 知 識 が 論 証 化 ・演 繹 化 さ れ て 知 識 体 系 とな っ た と き の 、 そ の 体 系 の 論 理 的 前 提 と な る。 た だ し 、「チめ 」 認 め られ ・知 られ て い る限 りで の 論 理 的 前 提 た る原 理 だ け を 所 有 して い て も、未 だ 端 的 な(ゆ えに 十 全 な)知 識 体 系 を所 有 して い る訳 で は な く、 演 繹 体 系 全 般 に 旺 る知 を得 て 初 め て そ の こ とが 実 現 され る の で あ る 。 そ れ で は 、「予 め の 知 」が 以 上 の よ うに 規 定 され る とす る と 、あ る事 柄 を 端 的 に知 っ て い る ・知 識 し て い る と い え る の は い か な る と きで あ るか 。 さ し あ た っ て は、 (1)その 事 柄 の 成 立 の原 因 ・根 拠(aEria)を. 把 握 して お り、(2)そ の 事 柄 が 別 の あ り方. で は あ り え な い こ と(事 態 の 必 然 性)を 知 っ て い る と考 え る と きで あ る、 とア リス ト.
(4) テ レ ス は答 え る 。 即 ち、 知 識 と は 、 あ る事 柄 を必 然 な ら しめ る原 因 の 把 握 で あ る 。 (6). H. と こ ろ で 、 誰 か が 、 あ る 事物 に つ い て 何 事 か を 知 っ て い る ・知 識 し て い る と主 張 す る と き、 わ れ わ れ は どの よ うに して そ の こ と を 確 か め う る の か 。 お そ ら くわ れ わ れ は 、 そ の 人 が そ の 事 柄 の 成 り 立つ 十分 な理 由 を 説 明 で き る と き、 そ の 人 のll張 を 認 め る だ ろ う。 即 ち、 「何 故 そ うな る の か 」 「何 故 そ う い う こ とが あ る の か 」 と い う 問 い に答 え る こ とが で きた とき、わ れ わ れ は 何 事 か を知 識 して い る と考 え る だ ろ う。 ア リ ス トテ レス が 、 知 識 を必 然 な 事 態 の 原 因 の 把 握 と考 え る と き、 そ の 把 握 され た 原 因 が ま さ し く、「何 故 そ うな るの か 」の 問 い の 答 え と な る の で あ る 。 そ して 、そ の 答 え は論 証 と い う形 で 示 され る 。 論 証 は … 種 の 推 論 で あ る が 、 知 識 を 生 み 出 す 推 論. つ ま り原 因 を示 し う る正 し い推 論 で あ る必 要 が あ る。 そ こで 、例 え ば 、「す べ くの. て の 三 角 形 の 内 角 の 和 は 二[自:角で あ る」 とい う事 柄 を 、知 識 と して 持 っ て い る と主 張 で き る た め に は 、 こ の こ と を論 証 に よ っ て 証 明 しな け れ ば な らな い 。 そ れ が 、 こ の 事 柄 の必 然 性 の原 因 を 説 明 す る と い う こ と で あ る 。 従 って 、 知 識 は 論 証 体 系 の 中 に組 み 込 まれ た 一 つ の 論 証 と い う形 態 を と りな が ら、 事 柄 の 原 因 ・根 拠 を 示 す こ と にな る。 さて 、 こ の 、 問 い → 原 因 の 発 見 → 論 証 の構 成 と い う過 程 は大 略 次 の よ うな 構 造 を と る 。 ま ず 、論 証 の 基 本 単 位 と して の 命 題 は 、 ア リス トテ レ ス の場 合 、 項(term)と 項(即. ち1三語 項 と述 語 項)と. の項 連 関(項 の 結 び つ き)と 考 え られ る。 そ して 原 因 ・. 根 拠 を示 す とい う こ とは 、 主 語 ・述 語 と い う二 つ の 項 の 間 に あ っ て これ らの 項 を結 び つ け る第 三 の 項 、 即 ち甲 項 を示 す こ と に ほ か な らな い 。 な ぜ な ら 、 こ の 中 項 が 、 主 語 ・述 語 両 項 の項 連 関 の原 因 で あ る と 同 時 に 、 一 セ語 ・述 語 両 項 の 結 合 に よ っ て 表 わ され る事 柄 その ものの 原 因 で もあ るか らで あ る。 そ こで 、「何 故 にSはPで と い う問 い が 発 せ られ た と し よ う。 「S‑P」. と い う項 連 関 の 原 因 、 即 ち 巾 項Mを. 求 め る探 究 が 分 析(ん6λ ひσ̀s)で あ る 。 そ してMが 関 の 媒 介 と な る か と い うこ と は 、 三 段 論 法:. あるか」. どの よ う に して 「S‑P」. の項 連.
(5) の 構 成 に よ っ て 示 され る。 最 初 の 問 い ・問 題(叩6β λ伽a)と. な るFS‑P」. の項連. 関 は 、三 段 論 法 が 構 成 され る と きは 結 論 の位 置 を 占 め る。 つ ま り、分 析 に よ る 申 項M の 探 究 と発 見 は 、 三 段 論 法 構 成 以 前 に 行 な わ れ 、実 質 上 、三 段 論 法 の 前 提 を つ く る 〈8} こ とで あ る 。 その 前 提 か ら、 「S‑pjの 項 連 関 が 中項Mの 媒 介 に よ って 導 出 され る。 そ して この 三 段 論 法 全 体 が 一一つ の 論 証(ltrr6δecξes)であ る 。 論 証 は 形 式 的 に は、 三 段 論 法 な い し そ れ の 積 み 重 ね に よ る推 論 で あ る 。 従 っ て 、 論 証 的 知 識 の 体 系 は 三 段 論 法 の 体 系 で あ る 。 そ こで 三 段 論 法 体 系 が 論 証 的 知 識 の体 系 の 紐 織 の 道 具 に な る こ と に よ っ て 、 三 段 論 法 に 伴 う制 約 や 条 件 が 、 知 識 の 論 証 化( 9) に お い て もそ の ま ま課 せ られ る こ と に な る 。 ア リス トテ レ ス 自 身 は 、 この こ と は し ご く 当然 の こ と と考 えて い る よ うに思 わ れ る 。 む し ろ 、 知 識 が単 な る臆 見(δ6ξa)と 異 って 、 確 実 な もの で あ り信 をお くに 十分 で あ るた め に 備 え る べ き条 件 と み て い る ㈱ と思 わ れ る。 し か も、 三 段 論 法 体 系 が 知 識 の 論 証 化 の遵 具 と して 十 全 ・完 全 な もの で あ る か ど うか と い う考 察 は 、 ア リ ス トテ レ ス 白 身 に よ っ て は な され て い な い 。彼 は 、 数 学 を含 め て あ らゆ る学 が 、 三 段 論 法 体 系 に よ っ て 記 述 ・構 成 で き る こ と を 暗 黙 の う ち に前 提 して い る か の 如 くで あ る。 さて 、 知 識 の 論 証 化 に 伴 う制 約 ・条 件 と 考 え られ る もの を い くつ か あ げ て み よ う。 ほぼ ず 、 項 連 関 と い う形 式 に あ て は ま ら な い 事 柄 は 、 論 証 的 知 識 と は な り え な い 。 例 え ば 、楽 器 屋 で 子 供 に ク ラ リネ ッ トが ど の 楽 器 か を 指 さ し て 教 え る こ と は ア リ ス トテ レ ス の い う論 証 で は な い 。 つ ま り、 名 とそ の 名 が 適 用 され る もの の結 び つ きの 把 握 は 、「知 識 」 とは い いが た い 。(む し ろ これ は 「 知 識 」 が成a?二す る た め 予め 知 られ て い な くて は な ら な い 必 須 条 件 で あ る。 〉 「この 楽 器 は何 故 鳴 るの か」 と い う よ う に 、 項 連 関 の 形 に し て 示 し う る 事 柄 の み 論 証 的 知 識 に な り う る。 ② ま た 、 項 連 関 と い う形 に書 き うる 事 柄 も、 串 項 に よ っ て媒 介 され て い な い 場 合 、論 証 的 知 識 の 対 象 と は な らな い 。 そ の例 と して ア リス トテ レ ス は 、 帰 納 く欲aγωγあ を通 じて 直 知 され る 事柄 を 、 申 項 を 持 た な い とい う意 味 で 無 中 項 の 項 連 関 と し て あ げ る。 無 中 項 の 項 連 関 は 、 中 項 が 存 在 し な い た め に論 証 が で き 曲.
(6) な い 。 従 って"知. 識 の 所 有"を. 論 証 に よ っ て 示 す こ とが で きな い か ら、 論 誕 的 知 識. と は な り え な い 。 〈3>さら に ま た 、「S‑pjの. 項 連 関 は、そ の 申項 が真 の 、直 接の. 原 因 で あ る よ う に 三 段 論 法 が 構 成 さ れ る と き、 δε6τ̀の知 識("何. 故 か"の. 問 い. =:δg6τ̀に 答 え る意 味 で 根 拠 の 知 識 〉 と呼 ば れ 、 そ うで な い仕 方 で 三 段 論 法 が 構 成 され る と き、6'τtの知 識("何 事 実 の 知 識)と. 故 か"の. 問 い に 答 えて お らず 、 単 に事 実 の 窪 在 を示 す. 呼 ば れ 、 爾 者 は 区 別 され る 。 ア リス トテ レ ス に と っ て 、 「何 故 に そ の (1M. 事 柄 が成 立 して い るか」 とい う、事 柄 成 立の原 因 ・根 拠 を説 明 す る推 論 一. 即 ち δε 諏. の 知 識 以 外 に真 の論 証 知 は あ り え な い の で あ る 。14巖 後 に も う一つ 加 え る と、 推 論 が 論 証 的 知 識 と な る に は 、 推 論 形 式 は 第 一 格 のBarbaraで. な くて は な ら な い 。 な ぜ (13) な ら、 論 証 の 結 論 と な る命 題 は全 称 肯 定 で な け れ ば な らな い が 、 これ はBarbaraに よ っての み 再能 で あ る 。(第 二 格 は 否 定 結 論 、第 三 格 は特 称 結 論 しか 導 出 で き な い 。) し か も、 知 識 は 必 然 な事 柄 を 内 容 とす る ゆ え に 、 結 論 の 項 連 関 は必 然 な 結 びつ き で な くて はな らず 、 それ ゆ え 、 二 つ の 前 提 も結 論 も と もに 必 然 様 相 の 三 段 論 法 と して 、 (14) 論 証 は与 え られ ね ば な ら な い 。 か く して 、 知 識 が 論 証 体 系 と して 与 え られ 、論 証 が 三 段 論 法 とい う道 具 を使 用 す る限 り、 以 上 に 述 べ られ た制 約 が 伴 う。 さて 、 この 三 段 論 法 が 道 具 と し て 使 用 さ れ る と こ ろ の 、 論 証 の 内 容 的 な 構 造 は侮 か 。 ア リス トテ レ ス は論 証 の 三 要 素 と して 、 三 段 論 法 が 適 用 され る姻 別 的 知 識 領 域 が 予 め 確 保 され る こ とを 示 し て い る 。 論 証 の ㈱ 三 要 素 とは 、 第 一 に 、 論 証 の}題 と な る類(γ6レoの で あ る。 これ は 一 つ の学 く 例 え ば 幾/鯉 学 と か 算 術 と い っ た 学)の. 領 域 で あ り、 そ こ に 含 ま れ るprimitiveな. (第 … の もの 、 例 え ば 幾 飼 学 で の 点 、 算 術 で の 一)と (例 え ば線 の 合 成 体 と して の 三 角 形)が. もの. そ れ か ら 合 成 さ れ た もの. 論 誕 の}三語 と な る。 類 は い わ ば 論 証 の 対 象. ぎ. 領 域 で あ り、 これ に よ っ て 据 の 論 証 で あ る か が決 定 され る。 第 二に 論 証 の結 論 、 特 に繍. の述 謝 ・る、類 舶. 自体 的属撫. 溜. 卿. 体 的 に あ る もの くbx6PX・・…ae・crδ ・・A・・.P・ 。A.10.76b4X. 澱 θ・蜘. 同76b6‑7)で. あ る.例. え ば 、π 論. タ 陳. つ い て 語 られ. る 「内 角 の 和 と し て コニ直 角 を もつ 」 とか 、 数 に っ い て 語 られ る 「 奇 又 は 偶 で あ る」 な ど の 述 語 が これ に あ た る。 第 三 に公 理 伝 ξ如 μの。 これ は 論 証 の 原 理 で あ り、 出 発 点 で あ る。(公 理 の 意 味 につ い て は 、盟 で 詳 述 す る)一一 一これ ら論 証 の 三 要 素 、 即 ち.
(7) 論 証 の 主 題 ・論 証 の 結 論 ・論 証 の 原 理 が 論 証 の 内 容 的 構 成 要 素 で あ る 。 論 証 の道 具 た る三 段 論 法 は この よ う に 、 そ れ の 扱 う対 象 領 域 、 そ の 領 域 に固 有 な性 質 ・関 係 ・ 属 性 及 び 、 そ の 領 域 の 対 象 に つ い て 予 め正 しい と認 め られ る 命 題 と い う 三つ の 内 容 的 観 点 か ら規 定 を う け て い る。. 皿. さて 、 以 上 、 わ れ わ れ は 「知 識 」 を 論 証 の 体 系 とみ る 一 つ の 古 典 的 例 を ア リス ト テ レ ス の 「論 証 知 」 の 理 論 の 中 に 見 出 し、 ア リス トテ レス の い う 「論 証 」 の 成 立 条 件 とそ の 構造 を概 観 した 。 とこ ろで 、 「知 識 」 を論 証 の 体 系 と み る場 合 、 必 然 に 「体 系 」(system)そ. の もの に つ い て の 考 察 が 要 求 され て くる で あ ろ う。 あ る領 域 の 知 識. を 組 織 さ れ た 体 系 と し て ま と め上 げ る と き、 で き れ ば そ の 領 域 に 関 わ るす べ て の 知 識 を含 む体 系 を つ く る こ と が 望 まれ よ う し、 論 証 に 電 複 や 循 環 や 矛 盾 は 避 け られ ね ば な らな い 。 この よ うな 体 系 をつ く り上 げ る に は ど う した らよ い か 、 ま た 更 に 、 体 系 自身 に関 す る知 識 一 含 み う る(つ. 例 え ば 休 系 自身 に 矛 盾 が 無 い こ と等. ま りそ の 体 系 で 論 証 ・証 明 で き る)よ. を、体系 の 中 に. う な体 系 は つ くれ るか 、 と い っ. た 問 題 が 生 じ る で あ ろ う。 ア リス トテ レ ス の 場 合 、 そ れ ほ ど 明 瞭 で 組 織 だ っ た 「体 系 論 」の 考 察 は な い 。 しか し、An.Po.を. 通 じ て 断 片 的 な が ら ア リス トテ レ ス の 論 証. 「体 系 」 論 の 、 い くつ か の 観 点 が読 み取 れ る。 そ こ で わ れ わ れ は 、 今 日の 所 謂"形 式 的 体 系"の. 残 す問題. ゲ ーデ ル が提 出 し た 問 題. を 、体 系 その もの に 関 わ る. 問 題 とみ な して 考 察 す る 前 に 、 ア リス トテ レ ス の 「論 証 知 」 論 の 根 底 に 流 れ る体 系f に か か わ る観 点 を 探 り出 し て み よ う。 そ の こ と に よ って 、 わ れ わ れ は 「体 系 論 」 の "原 型"に. 触 れ る こ とが で き る. 。 今 日 の 形 式 的 体 系 は 、"原 型"が. 自 らの 内 に伴 う体. 系 に つ い て の 観 点 を一 定 方 向 に 先 鋭 化 して で き上 が っ た もの とい え よ うが 、 そ こ に は い くつ かの 間 題 が残 され た の で あ った 。"原 型"に. 触 れ る こ とに よ り、 わ れ わ れ は. 論 証 の 「体 系 」 が ど の よ う な動 機 で 何 を め ざ し て 考 え られ た か を も う一 一度 確 か め る 機 会 を得 る 。 そ れ に よ っ て 、 今 日 の 形 式 的 体 系 の残 した 問 題 に新 た な 意 味 づ け を 与 え る 口J能性 が 期 待 で き よ う,。.
(8) ア リス トテ レ ス の 「論 証 知 」 論 の 伏 線 と して 指 摘 で き る 「体 剰. に 関 わ る観 点 は. 以 ドの 三 点 で あ る 。 第 一 に 、 ア リス トテ レ スが す で に 、 論 証 体 系 と い う もの を公 理 化 され た 体 系 と し て 観 て い た こ とは 確 か で あ る。 彼 は 「公 理 」(凌ξど ωμa)と 呼 ば れ る原 理(dpxai)を は じ め と し て い くつ か の 論 証 の 原 礫 を 詳 し く分 類 して い る。 ま ず 彼 は 、 あ らゆ る学 (16) の類 に 共 通 な 原 理(τδxàv6,κoε ソa〜dt)zai)と個 々 の学 に固 有 な原 理(滅ltSca,翫à ltpzai>と に 大 別 す る。 共 通 な 原 理 が 「公 理 」(凌ξん輿a)と. 呼 ば れ 、 排 中 律 やr等. し. い もの ど もか ら等 しい もの が 差 引 か れ る と残 り も等 し い」 と い う量 に共 通 な 原 理 等 が あ る 。 これ らのr公. 理 」 は侮 らか の 学 を 学 ぶ 者 が す べ て 予 め 知 って い るべ き事 柄. で あ り、 論 証 に お い て も正 しい 論 証 の 一 つ の シ ェ ー マ と し て機 能 す る 。 固 有 な原 理 と は 、 定 立(麗 σ紛 primitiveな. もの)や. と も 呼 ば れ 、 個 々 の 学 の 第 一 の もの(滅 、 定 義 、 基 礎 定 立(学. に 固 有 な 仮 定)等. や6鞍:点. や 一一 等の. で あ る 。 原 琿(広. 義. の 公 理)は. 論 証 の 出 発 点(藁 伽 〉と誘 わ れ る よ うに 、 組 織 化 され た 命 題 の ネ ッ トワ ㈱ 〜 ク の 頂 点 に位 す る もの で あ っ た と思 わ れ る 。 個 々 の 命 題 が 駈 しい と認 め られ るの は 、 証 明 無 し で 正 しい と され る少 数 の 命 題 群 即 ち(広 義 の)公. 理 群 か ら出 発 して 三. 段 論 法 に よ っ て 演 繹 ・導 出 され る とい う こ とに 依 る と考 え られ て い る 。 そ の 場 合 、 論 証 の 出 発 点 で あ る と い わ れ る、 原 理(妙x殉. と して の(広 義 の)公. 理 が きわめて. 重 要 な 地 位 を 占 め る 。 即 ち、 演 繹 体 系 の 頂 点 に 位 す る公 理 一 原 耀 は そ れ 自 身 、 知 識 と し て も最 も信 頼 度 が 高 い 。 従 っ て 知 識 体 系 と して の 論 証 体 系 は 、 知 識 と し て の 信 頼 度 に よ っ て 、 論 証 され な い原 理 か ら始 ま る被 論 舐 命 題 群 の ヒエ ラ ル キ ー を つ く る こ と に な る 。 実 際 、 ヒ エ ラル キ ー の 頂 点 に あ る原 理 は 、 そ れ 自身 真 で あ り、 第 一 の もの で あ り、 無 中 項 で あ り、 結 論 の 原 因 ・根 拠 と して 知 識 論 的 に 先 行 し 、結 論 よ り ぎ. 本 性 的 に 一・ 層 知 られ う る もの と され る.こ の 点 が 、 今 臼 考 え られ る通 常 の 意 味 で の (18) 公 理 系 の 公 理 と、 ア ジス トテ レ スの 原 理 と して の. く 広 義 の)公. 理 との、体 系内 での. 役 割 に お け る相 異 点 で あ ろ う。 しか し少 な く と も、 ア リ ス トテ レ ス の 「論 証 知 」 論 (19} に お い て も、 公 理 な る正 しい 命 題 か ら三 段 論 法 と い う推 論 に よ っ て 導 出 され た こ と を もっ て 、 そ の命 題 の 正 し さを 保 証 し よ う とす る考 え方 が 在 る こ と は 、 否 め な い事 実 で あ る。.
(9) 以 上 の 、 知 識 を公 理 化 され た 論 証 体 系 と観 る観 方 に 伴 って 、 第 二 に指 摘 で き る こ と は、 知 識 体 系 が 、 感 覚 的 ・個 別 的 な もの で は な くあ る種 の 抽 象 物 を扱 う と い う こ とで あ る。 例 を一 つ あ げ る。 「幾 何 学 者 は 一 ブ ー ス(πo∂s)に満 た な い 線 分 を 引 きな が ら、 これ を 一 ブ ー ス と仮 定 して 証 明 す る点 で 虚 偽 を仮 定 す る」 と あ る 人 々 は 非 難 す るが 、 こ れ は非 難 す る方 が 誤 ま っ て い る と ア リス トテ レス は言 う。 即 ち、 描 か れ ⑳ た 眼 に見 え る線 を で は な く、 そ れ が 表 わ す もの の 性 質 を幾 何 学 者 は証 明 す る と い う ユ. 訳 で あ る 。 この 現 実 の 感 覚 的 ・個 別 的 な もの の 表 わ す もの と は 、 あ る種 の 抽 象 的 模 ●. ●. 型 で あ ろ う。"三 角 形 の 内 角 の和 は 二 直 角 で あ る"と. ●. ●. ●. い う命 題 が 正 し い の は 、 描 か. れ た 図 形 を実 測 した 結 果 だ か らで は な い 。 あ る模 型(三. 角 形 の 模 型 ・理 想 的 範 型). で 正 し い の で あ る 。 しか も、 これ は 、 点 や 線 の 模 型 に 関 して 正 し い と され る公 理 か ら演 繹 され た命 題 で あ る ゆ え に 、 三 角 形 の 模 型 に お い て 正 し い の で あ る。 第 三 に 、 学 の 類 の 確 定 とい う こ とで あ る。 これ は 、 あ る一 定 の学 の 領 域 に使 う言 語 は そ の 学 に 固 有 な もの で あ り、 レベ ル あ る い は類 を異 にす る言 語 を使 っ て は な ら な い と い う 要請 で あ る 。 ア リス トテ レ ス に と っ て 、 学 が 成 立 す る条 件 と し て 、 「 何の 学 か 」 と い う学 が 対 象 とす る領 域 が確 定 して い る こ と が 要 求 され た の で あ る。 一 っ の 論 証 は 、 … つ の 領 域 で 存 在 を 認 め られ た 対 象 に つ い て 、 そ の 領 域 で の 固 有 の 性 質 や 関 係 を 、 そ の領 域 に固 有 な 原 理 に基 づ い て 証 明 しな くて は な らな い 。 従 っ て 例 え ば 、 幾 何 学 の 論 証 は 、 幾 何 学 的 対 象 に 関 して 幾 何 学 固 有 の 原 理 に基 づ い て 行 な わ れ て 初 め て 幾 何 学 の 論 証 知 と な る。 そ して 、 幾 何 学 的 対 象 に つ い て は幾 何 学 的 な 問 い が 問 わ れ ね ば な らず 、メ タ幾 何 学 的 問 い 、例 え ば 「幾 何 学 の 原 理 は正 しい か」 と か 、 「線 の うちで は 直線 が最 も美iしい か」 と か 、 「直 線 は 曲 線 と 相 反 す る もの で あ るか 」 と い っ た 問 い は問 わ れ て は な ら な い 。 か く して 、 幾 何 学:者は 幾 何 学 固 有 の 言語 の み く を使 用 し、 幾 何 学 的 対 象 に つ い て 幾 何 学 の 領 域 外 の 、1ノ 場 に 立 っ て 語 りつ け る メ タ 幾 何 学 の 言 語 を使 用 して は な ら な い と い う訳 で あ る。 以 上 、 ア リ ス トテ レ スの 「論 証 知 」 論 の 底 に 流 れ る 「体 系 」 そ の もの に つ い て の 考 え方 は 、① 知 識 体 系 を 公 理 化 され た 体 系 と観 る点 、② 知 識 体 系 の 対 象 は あ る抽 象 物 だ と い う点 、③ 知 識 体 系 の 対 象 領 域 と 言 語 レベ ル が 一淀 に定 め られ る点 、の ・ 三つ に 集 約 され ② た 。 これ らの 観 点 を 、体 系 そ の もの に つ い て の 一 般 的 議 論 2). 体 系論 一 一.
(10) の 中 で 把 え、 そ こ で生 ず る諸 問 題 を 追 究 す るた め に、 わ れ わ れ は 以 後 ひ と ま ず ア リ ス トテ レ ス の 考 え る論 証 体 系 を離 れ 、 今 日 の 所 謂"形. 式 的 体 系"を. 考 察 す る 。 とい. う の も、 知 識 を 論 証 体 系 と して 考 え る と き、 必 然 に体 系 そ の もの の もつ 条 件 ・性 格 が 問 題 と され ね ば な ら な い 。 そ の た め に は 、 体 系 そ の もの につ い て の 考 察 が よ り進 化 ・発 展 させ られ て い る今 日 の 形 式 的 体 系 を 考 察 の 素 材 に選 ぶ の が便 利 で あ る か ら で あ る。. さて 、 所 謂"形. 式 的 体 系"な. と して 考 え る 。"形 式 的"と. る もの を 、体 系 そ の もの の 持 つ 問 題 の 考 察 の 手 掛 り. い う言 葉 で 意 味 され る こ との う ち特 に 二 つ の 要 因 に 注 目. し よ う。 … つ は 、 厳 密 な 公 理 化 と い う こ と と、 も う一 一つ は 、 体 系 の 言 語 を 、 そ れ が ㈱ 持 つ 意 味 内 容 か ら 一旦 切 離 して 、 あ た か も意 味 の な い 記 号 列 で あ る か の 如 くみ な す 観 点 の 導 人 と い う こ とで あ る。 後 者 の特 徴 は 、古典 的 な ア リス トテ レ スの 体 系 論 と 比 較 して 著 しい 。 ア リス トテ レ ス の 場 合 、体 系 の 言語 は そ れ が 適 用 され る学 の 領 域 と不 可 分 に結 びつ い て お り、 言 語 を そ れ が持 っ て い る意 味 内容 か ら一 目切 離 して 考 え て み る と い う観 点 は無 い 。 しか し、 形 式 化 され た公 理 論 的 幾 何 学 に お いて 、「三 角 形 の 内角 の 和 は二 直 角 で あ る」 と い う命 題 の 正 し さ は 、 公 理 か ら、 認 め られ た 推 論 規 則 に よ っ て 導 出 され うる と い う、 そ の 証 明 可 能 性 に よ っ て の み 保 証 さ れ る。 し か も、 「三角 形 」 や 「内 角 」 とい う上 の 命 題 中 の 術 語 は 、 い くつ か の 無 定 義 語 に よ っ て 定 義 され る が 、 そ れ ら無 定 義 語 の 意 味 内 容 は問 わ れ る こ と な く、 せ い ぜ い 公 理 の 中 に現 わ れ る こ と に よ っ て そ の 使 用 法 が 定 ま り意 味 が 陰 伏 的 に(implicitly)定 義 され る ロ. に す ぎな い 。 そ の 観 点 が 一 度 確 保 され る と、 わ れ わ れ は 言語 の 意 味 内 容 の 曖 昧 さか ら解 放 され て 、 純 粋 に 記 号 の 演 繹 体 系 と し て の 幾 何 学 の 体 系 を考 え う る 。 そ して 例 え ば 、 ユ ー ク リ ッ ドの 平行 線 に 関 す る第 五 公 準 が 、 他 公 理 か ら演 繹 で きず 、 第 五 公 準 の 否 定 と他 公 理 と が 矛 盾 し な い こ と. 即 ちこれの独 立 性. の 認 識 が 得 ら れ(24). る 素 地 を つ く る こ と に な る。 勿 論 わ れ わ れ は 、 「 三 角 形 の 内 角 の 和 は=二直 角 で あ る」 とい う 言明 を 、 意 味 の な い 記 号 列 と観 る と 同 時 に 、 そ の 意 味 内 容 を イ メ ー ジす る こ.
(11) とが で き る 。「三 角 形 」 と い う語 に よ って わ れ わ れ は あ る凸 形 平 面 図 形 を考 え る し、 「内 角 」 とい う語 に つ いて も、 図 形 内 の あ る定 義 され た 角 を 考 え う る。 この 意 味 内 容 が 、 体 系 の 解 釈(model)で. あ り、 体 系 で 証 明 可 能 な式 が この モ デ ル を満 た す よ う. に通 常 の 体 系 は組 織 され る。 上 の 三 角 形 に つ い て の 言 明 は 、 通 常 の ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の モ デ ル(平. 行 線 公 準 を満 た す われ わ れ の 直 観 的 な 三 次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間)で. 正 し い 。(そ こ で 、 モデ ル との 関 連 に お い て 、 あ るモ デ ル で 正 しい す べ て の 命 題 が そ ユ. の体 系 で組 織 で き るか と い う問 題. 意 味 論 的 完 全 性 の 問 題 が 生 じ る。)しか し、 ㈱ あ る体 系 に対 して そ の 意 味 内 容 と して の モ デ ル を つ く り ヒげ る こ とは 、 あ る 意 味 で 理 想 的 模 型 の 世 界(言. え ば 、 お 伽 の 国)を. こ し ら え上 げ る こ とで あ り、 現 実 の 世 界. との 関 わ りの 問 題 が 残 され る。 これ に 対 して 、「証 明 可 能 」 と い う概 念 は 、 命 題 の 正 し さ を、 体 系 の 意 味 内容 と し て の 体 系 外 の モ デ ル 世 界 に 依 存 させ な い 。 即 ち、 こ の 概 念 は規 則 に従 って 有 限 的 手 続 き に よ っ て 、 前 提 され た 式 か ら当 の 式 を導 出 で き る とい う、 その 有 限 時 間 内 で 実 行 され うる記 号変 形 の 可 能 性 を、 保 証 す る の で あ る 。 ●. い わ ば 人 間 の 立 場 か ら、 当 の 式(命. 題)の. ●. ○. ●. 確 実 さ を保 証 し よ う と す る概 念 で あ る 。. 「証 明 可 能 」 と異 な り 「真 」 「す べ て の モ デ ル で1}iし い」 と い う概 念 は 、 お そ ら く万26) 物 を総 覧 す る神 の み が 使 用 で き る概 念 で あ ろ う。 そ こ で 、 形 式 的 な 体 系 は 、 純 構 文 論 的 に 見 て 、 整 合 的 な もの で あ れ ば. 即 ちあ る 式 とその 否 定 式 とを 同 時 に導 出 す. る とい う形 式 的 矛 盾 が 無 い と い うこ と を も っ て 、 体 系 そ の もの の確 実 さ の証 左 に す る とい う観 点 が 開 け る 。 つ ま り、「真 な る」 命 題 を どれ だ け組 織 し うる か とい う こ と で は な くて 、 そ れ 自身 無 矛 盾 で あ る と い う こ と に よ っ て 体 系 と して の 確 実 さ を ま ず もっ て 得 させ よ う、 とい う観 点 が 開 け る 。 しか し、 無 矛 盾 性 は体 系 に と っ て の最 低 の 必 要 条 件 で あ る 。(無 矛 盾 性 は体 系 の表 現 能 力. つ ま り体 系 の 言 語 の 意 味 内 容. (結 局 はモ デ ル)を 表 現 す る 能 力. が小 さ け れ ば 容 易 に確 保 で き る。)無矛 盾 性 と. 同 時 に 、体 系 は 包 括 的 で あ る こ と. つ ま り様 々 な 複 雑 な知 識 内 容 を 表 現 し う る ほ. どに 表 現 能 力 が 大 で あ り、 しか も表 現 し うる 内 容 の 範 囲 で 、 任 意 の 命 題 の 肯 定 ま た は 否 定 形 が 証 明 可 能 と な る こ と(構 文 論 的 完 全 性)が. 期 待 され る。 この 、 無 矛. 盾 で あ る と同 時 に 包 括 的 で あ る とい う こ と 、 こ の 両 方 の 性 格 を備 え た 体 系 が可 能 で あ ろ うか?.
(12) ホ ワ イ トヘ ッ ドと ラ ッ セ ル は 、 『 数 学 原 理 』 〈PrincipiaMaimmatiea>に. お いて 、論理. ・自然 数 論 ・実 数 論 ・解 析 とい っ た 古 典 数 学 の 大 部 分 を タ イ プ理 論 に 基 づ く苔 語 体 系 で 形 式 化 しよ う と し た 。 こ の 体 系 は きわ め て 強 力 で 包 括 的 で あ る。 即 ち、古典 数 学 の複 雑 な 内 容 を表 現 し うる道 具 と して の 記 号 言 語 の 体 系 が 完 備 され 、 数 学 で 用 い られ る公 理 と推 論 規 則 とが そ の 記 号 言語 で 与 え られ て い る 。 そ こで 、 こ の 記 号 言語 で 表 現 され た 任 意 の 表 現 式. 内 容 的 に は数 学 の 命 題. が この 体 系 で 決 定 さ れ. る、 即 ち任 意 の式 の 肯 定 ま た は 否 定 が この 体 系 か ら導 出 さ れ は し ま い か とい う期 待 〈 構 文 論 的 完 全 性 の期 待)が. もた れ る。 と こ ろ が ゲ ー デ ル は 、 『 数 学 原理』のみな ら. ず 一 般 に 、 数 論 を展 開 で き る ほ どに 句 括 的 で か つ 無 矛 盾(ゲ い ω一無 矛 盾 とい う仮 定 を用 い た が 後 、J.B,Rosserが. ー デ ル 自 身 は も っ と強. ゆ る め た)で. あ る体 系 は 、 常. に 決 定 不 能 命 題 を含 む とい う意 味 で 本 質 的 に不 完 全 で あ る こ と を 示 した(第. 一 不完. 全 性定 理〉 。の み な らず 、 彼 は ま た そ の よ う な体 系 の 無 矛 盾 性 の 体 系 内 証 明 は で き な い こ と を も示 した(第. 二 不 完 全 性 定 理)。そ こ で 、 わ れ わ れ もゲ ー デ ル の 証 明 に 焦 点. を 絞 り、 体 系 内 に と り込 め な い 知 識 の 存 在 の 問 題 の 考 察 に 向 か お う。. V. ゲ ーデ ルは、 『 数 学 原 理 』 の 論 理 の 公 理 に ペ ア ノ の 自然 数 論 の 公 理 を加 え た 体 系 くPと 名 づ け る)に お い て 、一 っ の 決 定 不 能 命 題 一 一 そ れ の 肯 定 も否 定 も こ の 体 系 Pで 証 明 で きな い 命 題. を実 際 につ くっ て み せ た 。 ゲ ー デ ル の つ く っ た こ の 決 定. 不 能 命 題 は 、 内 容 的 に は 「自分 自身 は 証 明 で き な い」 と い う こ と を主 張 して い る 。 わ れ わ れ は 、 い か な る種 類 の 知 識 が 体 系 内 に取 り込 め な い の か 、 ま た なぜ そ の よ う な こ とが 生 ず る の か を 理 鯉 す る こ とに よっ て 、"体 系 鰺 そ の もの に つ い て の 考 察 を深 め る こ とが で きよ う。 そ こで 、特 に ゲ ー デ ル の 証 明 の 方 法 に 注 目 し な が ら、 そ の 方 ●. ●. ■. 法 が 体 系 の もつ どの よ うな 性 格 を反 駿 す る か を 考 え た い 。 ○. まず 、 ゲ ー デ ル は大 略 以 下 の 議 論 に よ っ て決 定 不 能 命 題 を つ く った 。 〔 以 下はゲー デ ル の論 文 の 第 一 章 か らの 、 少 々 の変 形 を伴 う引 用 で あ る 。 〕.
(13) 自然 数 を 領 域 と して 走 る一一つ の 個 体 自 由変 項 を持 つ 式 は 、 ク ラ ス 記 号 と 呼 ば れ る。 す べ て の ク ラ ス 記 号 は 一 列 に 並 べ ら れ うる く 例 え ば クラ ス記 塔 を 表 現 す る 文 字 の 数 の 大 き さ の 願 に 、 そ し て 岡 数 の 場 合 は 辞 書 引 順 に)。そ の ク ラ ス 記 号列 の π番 目 の も の をR(n)と. 表 わ す 。aを. ク ラ ス 記 弩 とす る と き、. 毎;箆] に よ って 、aの. 中 に 含 ま れ て い る個 体 自 由 変 項 が 自然 数 π を表 わ す 数 詞 〈Rllmeral>. で置 きかえられて得 ら編 式厳 わす・頭 関係 尉 さ れ て い る。 さ て 、 自 然 数 の ク ラ スKが nffK≡B。w[R〈 (Bewxは. 、xが. も体系 嘱. で議. 以 下 の 如 く定 義 され る:. 箆);n]ω. 証 明 鰐 能 な 式 で あ る 、 を 意 味 す る 〉(1)の右 辺 は す べ てPMで. 定 義 され る。 従 っ て ク ラ スKの がPMの. ツ潮. 概 念 もPMで. 定 義 さ れ る 。 つ ま り、 式IS;n]. タ ー ム の 解 釈 に よ れ ば 、 露然 数 箆 はKに 属 す る と い う こ と を述 べ て い る と. こ ろ の ク ラ ス 記 号Sが ク ラ ス 記 号R(q>と. 存 雀 す る 。 さてSは. ク ラ ス 記 壕 で あ る か ら、 こ れ を ￠番 欝 の. す る。 即 ち:. S・R(q)。 そ こ でR〈q>の. 偲 体 自 由i変項 に 数 ￠の 数 詞eq'を. こ の 式 がPMで. 代 入 し た 式[R(q);q}が. 決 定 で きな い 式 とな る 。 な ぜ な ら 命 題[R〈q);q]が. ら ば それ は 真 で あ る(但. あ る。 証 明 可 能 な'. し、 議 論 を 容 易 に す る た め に 、 証 明 可 能 な 式 はす べ て 真 で. あ る と仮 定 す る)。この と きqはKに ￠9). の 意 味 内 容 が こ の こ と だ っ た!)か. 属 す る(Sの. 定 義 か ら[R(q>;q]即. ら 、 〈1>SりBew!R〈g);q]。. ち{S;屑 即 ちIR(q>;qi. は 証 明 不 醇 能 。 こ れ は 最 初 の 仮 定 一 一 即 ち ギR(q>;qlが. 証 明 轡 能 とい う こ と に. 矛 盾 す る 。 ま た[R(q>;￠}の. 証 明 さ れ る な ら ば 、q. はKに. 否 定 命 題. 属 さ な い 、 つ ま り 響eK。. [R(q>;q'1も[R(q>;q]も. 〔R(q>;qiが. そ こ で11)よ. り[R(q>;q]は. 証 明可 能 。従 って. 証 ㎎ 可 能 と な っ て 矛 盾 す る。. ヒの 議 論 は ゲ ー デ ル も 指 摘 す る 如 く リ シ ャ ー ル の パ ラ ド ク ㈱ ス に 類 似 し、 嘘 つ きの. パ ラ ド ク ス に も闘 連 す る。 決 定 不 能 命 題[R毎. 〉;q]は. 自 分 自 身 につ い て 、 自 分 自. (31) 自 が 証 明 で き な い こ と を 語 っ て い る 。 な ぜ な ら 、[R(q>;q]は"qはKに. 属 す る".
(14) と述 べ る が 、(1)に よ る と こ れ は"[R(q);q]は. 証 明 で き な い"と. い う こ と を意 味. す るか らであ る。 さて そ れ で は 、 以 上 の 議 論 が ど う い う方 法 で 遂 行 され るか を 、 特 に 自 分 自身 が 証 明 で きな い と い う こ と を述 べ る述 語 が い か に構 成 さ れ る か と い う点 に 注 意 して 、 ゲ ー デ ル の 証 明 の 方 法 を 詳 細 に見 て い く こ と に す る た体系 は 『 数 学 原 理 』 の 論 理 学+ペ (否定)、"V"(選 (か っ こ)と. 。 既 述 の 如 く、 ゲ ー デ ル の 採 用 し. ァ ノの 公 理 で 得 られ る 体 系 で あ る。 ま ず 、"〜". 言)、"fl"(す べ て の)、"0"(ゼ. ロ)、"f"(後. 続 者 関 数)、"("")". い う七 つ の 定 項 と、 タ イ フ。 別 の可 算 個 の 変 項 が 用 意 され る 。 タ イ プ1(32). の 変 項 は 、 個 体 と し て の 自然 数(0を. 含 む)を. 値 と して 取 り、 タ イ プ2の 変 項 は個. 体 の ク ラ ス を 値 と し 、 以 下 同 様 。 タ イ フ。1の 記 号 は 、a,fa,∬a,… (但 し,aは. タ イ プ1の 変 項 。aが0の. ηの 変 項 に等 し い 。 式 はa(b)の 0)記 号)を. と き数 詞 と な る)、タ イ プnの 記 号 は タ イ プ. 記 号結 合(但. 基 本 式 と し、 三 つ の 論 理 演 算 〜 、V、. る 。 推 論 規 則 はmodusponensと. の形 の記 号. しbは タ イプnの. 、aは. タ イ プn+1. ∬ に 関 して 閉 じ て い る 記 号 列 で あ. 全 称 化 の 二 つ で あ り、 公 理 は 数 学 的 帰 納 法 を 含 む. ペ ア ノ の 公 理 と 、 命 題 ・述 語 論 理 の 公 理 、 及 び 集 合 論 の 内包 ・外 延 性 の 公 理 の 五 つ の公 理群 で あ る。 数 学 の形 式 的 体 系 は 、 そ れ の 持 つ 意 味 内 容 か ら切 離 して 記 号 の 列(無. 論 、 この 記. 号 列 は 数 学 の 複 雑 な 内 容 を 表 現 し う る言 語 と して の 十 分 な 表 現 能 力 を 持 って い る) と み な され る と き、 超 数 学 の 対 象 とな る 。"Aは. 公 理 で あ る"と. か"Al,A,,…A。. は. メタ. Anの. 証 明 で あ る"と 語 られ る と き、 こ れ らの 叙 述 内 容 は 形 式 的 体 系 の 持 っ 意 味 内. 容 と し て の 算 術 の 内 容 で は な くて 、体 系 に 登 場 す る 記 号 列 自体 の 体 系 内 で の 論 理 的 身 分 で あ り、 記 号 列 相 互 の 論 理 的 関 係 で あ る。 ゲ ー デ ル の 方 法 は 、 これ ら、 形 式 的 ロ. 体 系 に つ い て 外 か ら語 りつ けて 成 立 す る理 論 で あ る 超 数 学 を 、 そ の ま ま算 術 化 す る メタ. もの で あ る。 即 ち 、 記 号 及 び 記 号 列 に 一 つ の 自然 数(ゲ 応 させ て(所. ー デ ル 数 と 呼 ば れ る)を 対. 像 の 応 用)、記 号 間 の 関 係 の 考 察 を 、 自然 数 (33) の 間 の 関 係 の 考 察 へ と も た らす の で あ る 。 例 えば 、"κ は η タイ プの 変 項 で あ る"及 び"κ. 謂G6delnumbering:写. と ッ と を 結 合 さ せ る"と. い う超 数 学 的 述 語 及 び 操 作 を 考 え る。 こ こ で 、 超 数 メタ. 学 で はCκ'やty,は. メタ. 記 号 な い し記 号 列 を指 す もの と し て 考 え ら れ た 。 ゲ ー デ ル 数 の.
(15) 数学 内容 億 味の世界〉. 形式的体系 く 詑号岡 の慰界). 〔図1〕. 付 与 に よ っ て 、 今 度 は これ ら は 自然 数 を表 わ す と 考 え られ る。 す る と"記 号 κ は 箆 タ イ プ の 変 項 で あ る"と. い う超 数 学 の 述 語 は 、 こ れ が 写 像 され た 先 の 算 術 の 世 界 で メ誓. は 、"数 κ は 、あ る 数 考 が 存 在 し て 、zは13よ. り大 でx以. が κ に 等 しい ・ と こ ろ の 数 で あ り、 し か もnは0で &Prim(2)&x;Z"]&箆. キo)"と. 下 の 素 数 で あ りそ れ のn乗. な い(記 号 で は(Mz)[13<z≦x. い う、 数 κの 性 質 を 述 べ る述 語 に 翻 訳 さ れ る 。. しか も 「… は … よ り大 」 とか 「… は 素 数 で あ る 」 と い っ た よ り単純 な 算 術 の 述 語 か ら こ の 述 語 が 構 成 され て い る こ とが わ か る 。 ま た"記. 号 列 謬 と記 号 列 ッ とを 結 合 す. る"と い う超 数 学 的 操 作 は 、 鱒二 術 の 世 界 で は 数 κ と数 ッ に 関 わ る と こ ろ の 、"(…) メタ. 竈. を 満 た す 最 小 数 を と る操 作"と な る。 と こ ろ で 、 この よ うな 超 数 学 の 述 語 ・操 作 に 〈341・" 対 応 す る算 術 の 述 語 ・操 作 は 、算 術 の 観 点 か ら見 て 、原 始 帰 納 的(primitiverecursive) 関 係 ・関 数 とい う あ る特 定 の 範 囲 の 数 論 的 関 係 ・関数 で あ る 。 例 え ば 、 関 係 κ講 ッ、 (35> x≦y,x<yや 関 数x十y,xy,ガ,x!な ど(自 然 数O,1,2,… で定義 され て い る と し て)が. 原 始 帰 納 的 関 係 及 び 関 数 で あ る。 ゲ ー デ ル は こ れ らの よ り単 純 な. 原 始 帰 納 的 関 係 ・関 数 を用 い て 、 超 数 学 の 述 語 ・操 作 に対 応 す る算 術 上 の よ り複 雑 メタ.
(16) な 原 始 帰 納 的 関 係 ・関 数 を 一 つ ず つ 定 義 して い っ た 。 最 初 に 定 義 され るの は,"κ は ッで 割 り切 れ る"と. い う関 係 で あ り,二 番 目 に は これ を 用 い て"κ. は 素 数 で あ る". が 定 義 さ れ る 。 か く して 、 先 行 す る定 義 を 用 い な が ら45個 の 算 術 上 の 原 始 帰 納 的 関 鱒 係 ・関 数 が 定 義 され る 。 そ して 最 後 に(45番. 目 に)定. 義 され た 関 係xByは. 、超数 メク. 学 の 述 語 と して 解 す れ ば"式. の 有 限 列 κ は 式 ッの 証 明 で あ る"を 意 味 す る もの で あ. る。 と こ ろ で 、 原 始 帰 納 的 関 係 は 「 数 値 別 に 表 現 可能 」(numeralwiseexpressible> と い う性 質 一. 即 ち、 自然 数 の 間 の あ る関 係 が 実 際 に 成 立 し て い れ ば 、 そ の 関 係 を. 表 現 す る 式 が 体 系 の 中 に あ っ て しか もそ の 式 が 体 系 で 証 閣 可 能 で あ り,そ の 関 係 が 不 成 立 な ら ば そ の 関 係 を 表 現 す る 式 の 否 定 形 が 体 系 の 中 に あ って そ の 否 定 形 が 体 系 で 証 明 可 能 で あ る 、 とい う性 質 を 持 っ て い る。 ま さ し く この 性 質 に よ っ て 、 算 術 化 ㈱ され た 超 数 学 の 述 語 と操 作 とが 再 び 形 式 的 体 系 の 中 に 定 理 と して 取 り込 ま れ るの で メタ. ■. あ る 。 例 え ば 、 式 の 有 限 列A、,A,,…,AnがA〈A・ 「式 の 有 限 列A,,A,,i・t,AnはAの. 「2、B之誌 数)と. い う関 係(こ. 算 術 的 関 係 で あ る)に. ゲ ー デ ル数)と. れ は く,=,×,+等. ・. ●. 証 明 で あ る とす る。. 数 ろ(Aの. ゲーデ ル. の 組 み 合 せ か ら成 る原 始 帰 納 的 な. あ る」 と い う正 し い算 術 の 言 明 に 対 応 す る。 この 言 明 が 、 数. 値 別 表 現 可 能 性 に よ っ て,こ 定 理 とな る。 〔以 上 図1参. れ を 表 現 す る式 が 証 明 可 能 とな る と い う形 で 、 体 系 の. 照〕. と こ ろ で こ こで 、(3y)(yBx)と 明 可 能"〈Bew〈x)と. ●. 証 明 で あ る」 とい う正 しい 超 数学 の言 賜は 、 メタ. つま り 「 数z、 〈A、,A,,…,Anの. はBと. ●. ・An>の. い う算 術 上 の 性 質 を考 え よ う。 これ は"xは. 書 く)と い う超 数 学 の 述 語 に 対 応 す る 。 こ の 算 術 上 の 性 質 メタ. (ヨy)(yBx)を. 証. ●o. 表 現 す る形 式 的 体 系 の 式. ヨy(yBx)は,45番. 目 の 関 係yBxを. 表. o癖.. 現 す る 形 式 的 体 系 の 式yBxを ● の 述 語"κ. 存 在 凡 化 して で き る式 で あ る。 そ の 意 味 で,超 メタ 数 学. は 証 明 可 能 で あ る"は 体 系 の 中 に形 式 化 され う る。 しか し、 この 述 語 は ●oo. 数 別 に表 とい う性 質 を 持 っ て い な い 。 実 際 、式Aが 証 明 で きな い とい う事 実 ・値 ●.・ ●現●可 ●能 ○(38)oo が あ りな が ら、 これ を形 式 的 体 系 内 で 表 現 す る式 〜Bew(llA』)が で きな い 一. その体系 で証明. こ の こ とが 、 ゲ ー デ ル の 第 一 不 完 全 性 定 理 で示 され た の で あ っ た 。. ゲ ー デ ル の つ くっ た 決 定 不 能 命 題 は 、 自分 自身 が 証 明 で き な い とい う こ と を 述 べ て い る 。 そ して ま た彼 の 写 像 の 方 法 は 、 あ る 意 味 で 自 分 自 身 を 自分 の 一 部 分 に写 し ㈱.
(17) 出 す 方 法 で あ る 。 とい うの も、 形 式 的 体 系 に つ い て の メ タ理 論 はG6delnumbering に よ っ て 算 術 化 され るが 、 これ が 再 び形 式 化 に よ っ て 形 式 的 体 系 の 言 語 で 表 現 で き る か らで あ る。(図1参. 照)た. だ 、 自 分 自身 に つ い て 自 分 自 身 が 証 明 で きな い とい. う こ と を 述 べ て い る 式 は 、 真 な る 意 味 内 容 を もつ 式(な. ぜ な ら こ の 式 は 実 際 に証 明. で きな い 決 定 不 能 命 題 で あ る か ら)で あ り、 しか も形 式 的 体 系 の 言 語 で 表 現 され な が ら、 体 系 内 で 証 明 は で き な い 。 これ は 考 えて み る と奇 妙 な事 態 で あ る。. ゲ ー デ ル の 証 明 に よ れ ば 、 形 式 的 体 系Kに. は そ の 中 に定 理 と し て組 み 込 め な い種. 類 の 式 が 常 に 存 在 す る。 な ぜ な ら、 仮 にKで. 肯 定 も否 定 も証 明 で きな いKの 決 定 不. 能 命 題Aを. 新 た にKに. つ け 加 えてK'=KUIAIと. い う新 体 系K'を つ く っ て も、再 び. 同 様 な 議 論 に よ っ てK'で 決 定 で きな い決 定 不 能 命 題A'がK'に. おい て出現 す るか らで. あ る 。 ゲ ー デ ル の つ く っ た 決 定 不 能 命 題 は 、"自 分 自 身 は 証 明 で きな い"こ. と を主. 張 す る もの で あ り、 この 命 題 は あ る 算 術 上 の 真 理 で あ り、 ま た そ の 通 り証 明 で き な い と い う超 数 学 上 の 意 味 で も真 理 で あ る 。 こ の こ と は 、 包 括 的 な 形 式 的 体 系 に は 常 メタ. に 、 そ の 中 に組 み込 め な い 知 識 が 存 在 す る と い う こ と を 意 味 す る。 知 識 を 論 証 の 体 系 と み な して 、 あ ら ゆ る知 識 を そ の 体 系 か ら引 き出 せ る よ うな 体 系 を っ く る とい う ア リス トテ レ ス 以 来 の 夢 は 、 本 質 的 に 困 難 な 実 現 で きそ うに な い 夢 で あ る こ とに な る。 と こ ろ で 、 体 系 そ の もの が 無 矛 盾 で あ れ ば 、 不 完 全 な 体 系 で 満 足 す べ し と い う考 え 方 も一 方 に あ ろ う。 しか し、 体 系 の 無 矛 盾 性 の 、 そ の 体 系 自身 に よ る証 明 は不 可 能 で あ る こ と を ゲ ー デ ル は証 明 した(第 「体 系Pが い う式(両. 無 矛 盾 →Aは 式 のAは. も し 「体 系Pが. 二 不 完 全 性 定 理)。即 ち 、 ま ず ゲ ー デ ル は. 証 明 で きな い 」 とい う式 と、 「A…≡Aは 証 明 で きな い 」 と. 決 定 不 能 命 題)と. がPで. 証 明 で き る こ と を示 した 。 こ れ ら よ り、. 無 矛 盾 」 と い う式 が 証 明 で き る と仮 定 す れ ば 、Aが. に な っ て 第 一 不 完 全 性 定 理 に 反 す る。 ゆ え に 式 「体 系Pは 証 明 で きな い 。. 証 明で きるこ と. 無 矛 盾 」 は 当 体 系Pで. は.
(18) 体 系 そ の もの に と って 、 無 矛 盾 性 が 確 保 され る と い う こ と は決 定 的 な 必 須 条 件 で あ る。 しか し、 無 矛 盾 性 の 証 明 は そ の 体 系 自 身 に よ っ て は で きな い 。 そ の 証 明 は 、 そ れ 自 身 矛 盾 を導 か な い保 証 は ど こに もな い 新 た な 原 理 を 援 用 す る こ と に よ って の み 、 遂 行 され る 。. 知 識 を論 証 体 系 と し て構 成 し よ う と い う試 み は 、 ア リス トテ レ ス の 「論 証 知 」 論 以 来 、 わ れ わ れ の 確 実 な 知 識 を得 よ う とす る 要 求 に 支 え られ て き た と い え よ う。 ア リス トテ レ ス に お い て 、 知 識 は 、 「何 故 に」 と い う原 因 ・根 拠 を求 め て の 問 い の 答 えで あ り、 三 段 論 法 体 系 に よ っ て組 織 され た 論 証 体 系 に(三 段 論 法 の 中 項 と し て) 組 込 ま れ て そ の 確 実 さが 保 証 さ れ る。 この 知 識 の 体 系 化 の 傾 向 は 、 予 め 認 め ら れ た 前 提 の み か ら、 認 め られ た 手段 に よ っ て 演 繹 され る命 題 の み を 正 し い ・確 実 な 命 題 とす る 、知 識 体 系 の 公 理 化 の 考 え 方 に 連 な る。 この 考 え方 は 、 確 実 な知 識 の … つ の あ り方 を示 す もの で あ る。 しか し、 豊 か な 内 容. そ の 中 に は 、 自 分 自 身 が 証 明 で きな い 式 で あ る こ とを 語. る命 題 や 、 体 系 の 無 矛 盾 性 を主 張 す る命 題 が 含 まれ て い る. を表 現 し う る包 括的 o● ■ ● ●o● ●. な体 系 は、決 定不能 命 題 を含 む とい う不 完全 さを持 ち、 そ して体 系 の最 小の必須 条 ●. ●o. 件 た る体 系 自 身 の 無 矛 盾 性 も、 体 系 そ れ 自 身 に よ って は 証 明 で きな い の で あ る 。 知 識 の 確 実 さ の 保 証 を体 系 化 に 求 め て も、 そ の 体 系 自身 の 確 実 さ(無 矛 盾 性)は 自身 に よ っ て は 保 証 で きな い 、一. 体系. この パ ラ ド クス は 知 識 の 体 系 化 と い う課 題 に 常. に残 さ れ る永 遠 の 問 題 で あ る。 同 時 に こ の こ と は 、 知 識 の 体 系 を 「 知 る」 と い う働 きの 一 つ の 表 現 形 態 と 考 え る と きの 、 「知 る 」 こ との い わ ば 宿 命 を 表 わ す もの で あ ろ う。 即 ち 、 「知 るjと. い う 働 き は 常 に 自 身 の 自 己 同 一一 性 を 、"r知 る]{動 きそ の も. の を 知 る"と い う形 で 自己 証 明 し よ う とす る く 体 系 は 体 系 自身 の 無 矛 盾 性 を 自 ら証 明 す る こ と が 期 待 さ れ る)。し か し 、 そ の 「 知 る」 働 き そ の もの の 同 … 性(確. 実 性). は 、 外 に 表 現 され え な い もの と し て 常 に 「 知 る」 働 き そ の もの に 即 し て 内 在 化 さ れ てあ る、. こ の こ と を 、 上 の パ ラ ド ク ス は 意 味 す るの で は あ る ま い か 。 一 一.
(19) 註 〈1>A義.Po.A,1.71al‑2.π. δ碗 と δtδaσxaλi{¥xa≧. ノ. rroob'rrapxobaηSγ̀VεratγvdiσGtUS (2)前. 者の. πaσaμ68η. 醒3δ̀avegτ̀xij叡. ノ. 「名 の 意 味jの. .. 認 識 と は 、Rossに. よ れ ば 所 謂nominaldefinitionの. りIW.}).1"・ss:Aアislvtie'sPj・ifnanClPosterio?t、4'〜 小∫ 爵.Oxfor(1.董937.P,5o4)、 termの (3)ア¥ス. 認識 で あ 後者 は. 指 示 対 象 の 存 在 及 び 命 題 の 真 な る こ と の 認 識 と考 え ら れ る 。 トテ レス の定 式 化 に よれ ば 、. メ ノン」 の アポ リア は. 人 は 何 事 も学 び知 る. こ と は な い か 、 ま た は 人 は 彼 が す で に 学 び 知 っ て い る こ と を 学 び 知 る」 と い う形 で デ ィ レ ン マ の 両 角 と して 表 現 され る(An.Po.A.1.71a30>。 ぐ4)An.Po.A.1.71a29‑71b8 (5)Barnesは. 、"予. め 存 す る 知 識Pか. らQが. 論 理 的 で あ り、 知 識 論 的 で あ り 、 原 因(説. 生 じ る"と. 萌)を. い う と き、PとQの. 関係 は、. 与 え る もの で あ っ て 、 こ れ ら の 性 格. が 共 存 して い る と 指 摘 し て い る(J.Barnes:.・Arist・tle'sP・steriorAnalytics.ClarendonAristQtle Ser墨es.Clauendon・(1)xforcl.1975PP.89‑‑90). (6)An.Po.A.2.71b9‑12 (7>ソ. フ ィス ト流 の 所 謂 偽 推 論 と区 別 し て 、 正 し い 推 論 、 知 識 を 生 む 推 論 と い う意 味 で. 論 証(凌 π6δὲξ億)が 語 られ る(A熱.Pe.A.2.7鉾17‑19、23‑25)。 (8)原. 因 の 発 見 と は 、 中 項 の 発 見 に ほ か な らな い(An,P。.B.2.)。. は 主 と し てAll.Pe.B巻 (9)An.Po.が. 三 段 論 法 の 論 理 学 に 基 礎 を お い て い る と い う こ とが 、An.Pa自. な 成 功 と 失 敗 と の 両 者 を 生 み 出 し て い る と 、Barnesは 1鱒. 申 項 の探 究 の過 程 全般. の 主題 であ る。 身 の偉 大. い う(Barnes:op.cit.p.xiv>。. 「知 識 を 持 っ て い る 」 と い う こ と に よ っ て 、 そ の 事 柄 を. 「信 じ る」 と い う こ と が 生. じ て く る(An.Po.A.2.72a25ff.)。 ⑳. 無 中 項 命 題 は 、 通 常 公 礫 く轟 ど ωμの な ど証明 で きな い 原 理 が そ の 実 例 で あ り くe.g. An.Po.A.2.72a7‑8etc.)、An.P。.B.19で. 詳 述 され るvoOs(直. 知)が. これ を把 握 す る。. ま た 、 原 理 以 外 に も、臨aγ ωγ〃 に よ っ て 把 握 さ れ る 無 中 項 命 題 と し て 「ま た た か な い 星 は 近 い 」 な どの 例 もあ る(An.Po.A.13.78a33‑5)。 (12)δe6τe(=thereasonwhy)の の 知 識)と. の 区別 は 、An.Po.で. 15、16章etc.)。. と く にA.13で. 知 識(根. 拠 の 知 識)と6'τ̀(瓢that)の. 頻 出 す る(A.13、24、27、33章 は. 知 識(事. 実. 、B.1、2、7、8、14、. 「す べ て ま た た か な い 星 は 近 い 、 す べ て の 惑 星 は ま. た た か な い 、 ゆ え に す べ て の 惑 星 は 近 い 」 な る 推 論 を 写τ̀の 知 識 の 実 例 と し て あ げ 、 「す べ て 近 い 星 は ま た た か な い 、 す べ て の 惑 星 は 近 い 、 ゆ え に す べ て の 惑 星 は ま た た か な い 」 な る 推 論 を δe6τeの 知 識 の そ れ と し て あ げ て い る 。.
(20) (13)An.Po.A.14。Barbaraと え に す べ て のSはPで. は 、 「す べ て のMはPで. あ る 、 す べ て のSはMで. あ る、 ゆ. あ る 」 と い う形 式 の 三 段 論 法 で あ る 。. (14)cf.Barnes:op.cit.p.xvi。 (15)An.Po.A.7.75a39‑75b2;10.76bll‑22 ⑯. 原 理(&PXai)の. 分 類 は 主 と し てAn.Po.A.2、10章. で な さ れ る が 、 そ の 語 義 は2章. と. 10章 で 少 し く異 な る 。 こ れ は 、 こ の 語 の 使 用 法 や 意 味 が 未 だ 固 定 せ ず 流 動 的 で あ っ た こ と を 物 語 る も の で あ ろ うが 、 あ え て 両 章 を 統 一 し て 図 式 化 す れ ば 、 以 下 の 如 く に な ろ う。. (17)An.Po.A.7.75"42:6ξ̀あ. μaτaδ'9σ τiy,1ξ あv;A.10.76b2:1ξ. あンpμ≧vobvii,6π6一. δaξ̀s.etc.公 理 が 論 証 の 出 発 点 とは い う もの の 、た とえ ば矛 盾律 のeと 定 の 学 の 論 証 の 前 提 と は な ら な い(An.Po.A.11)。. き公 理 は一 般 に は 特. 従 っ て こ こ で い う公 理=原. 理 は 、い. わ ゆ る共 通 原 理 と し て の 公 理 で は な く、 固 有 原 理 即 ち 学 に 固 有 な 第 一 の 原 理 と して の 基 礎 定 立(An.Po.A.2で. の 意 味 の)や. 、 要 請 ・基 礎 定 立(い. られ る 、 証 明 無 し で 認 め ら れ る 論 証 の 前 提)を の (18)論. ず れ もAn.Po.A.10で. 語. も含 意 す る も の と 解 せ られ る 。 本 文 中. 「広 義 の 公 理 」 は そ の 意 味 で 用 い た 。cf.Barnes:op.cit.p.103。 証 の 原 理 は 、 ① 単 な る 推 論 と 異 な り存 在 す る もの を 扱 う ゆ え に 真 で あ り、 ② もは. や 論 証 の 証 明 系 列 を さか の ぼ れ な い 原 始 的 な(primitive,Barnes:op.cit.p.gg)命 の 意 味 で 第 一 の も の で あ り、 ③ 中 項 を 持 た な い 直 接 の 項 連 関(無. 中 項 命 題)で. 題 と あ る。. さ らに ④ 論 証 の 原 理 は 論 証 され る 結 論 の 説 明 を 含 む と い う意 味 で 、 結 論 の 原 因 ・根 拠 ロ. で あ り、⑤ 結 論 の知 識 は 原理 の 知 識 を要 求 す る が その逆 は成 り立 た な い とい う意 味 で 知 識 論 的 に先 行 し、⑥ よ り普 遍 的 に知 られ うる とい う意 味 で本 性 的 に知 られ る もの で あ る。(cf.Barnes:op.cit.pp.98‑100) (19)た とえ ば、 今 日の 命 題 論理 の 公理 系 を 考 え る。 い くつ か在 る公理 系 は、 いず れ もあ る共通 の 性質(っ. ま り恒真 とい う性 質)を. もつ す べ て の論 理 式 を導 出 可能 とい う意味. で 、す べ て 同値 な公 理系 で あ る。従 って 公理 として ど うい う論 理 式 を選 ぶ か は、 それ の もつ 真 理性 の高 さに よ って 決 ま る訳 で は な い。 実 際 、公 理 も恒真 式 の… つ で あ って 、.
(21) 他 の 恒 真 式(公. 理 か ら導 出 され る定 理 で あ る 恒 真 式)と. 、 何 ら知 識 論 的 ・本 性 的 区 別. は な い 。 あ る とす れ ば 、 わ れ わ れ に と っ て わ か りや す い か'否か の 区 別 で あ る。 と こ ろ が 、 ア リス トテ レ ス の 場 合 、 原 理 と して の 公 理 は 、 註(18)の④ ⑤ ⑥ に よ っ て 、本 性 的 に 知 識 と し て の 確 実 さ が 大 き い と さ れ て い る よ う に 思 え る 。 即 ち 、 ア リ ス トテ レ ス の 場 合 、 公 理 系 は 言 語 構 造 な い し記号 体 系 と し て の ヒ エ ラ ル キ ー(こ 系 も持 っ て い る と い え る)の. れ は命 題 諭理 の公理. み な ら ず 、 言 語 が 適 用 され る モ デ ル(意. 味 内 容)上. の知. 識 論 的 ヒ エ ラ ル キ ー を も 伴 っ て い る と思 わ れ る 。 (20)An.Po.A.10.76b40‑77a3 (21)An.Po.A.7 ⑳. こ れ ら三 つ の 観 点 は そ れ ぞ れ 、 ① 形 式 化 され た 公 理 体 系 の 限 界 に つ い て の 問 題 ② 言 ,語と そ れ が 意 味 す る 内 容(解. 釈 ・モ デ ル)と. の 関 連 の 問 題 ③ 対 象 言 語 と メ 鶴 言語 と い. う、 言 語 の レ ベ ル 差 が 導 人 され ざ る を え な い 事 態 に か か わ る 問 題 、 と い う体 系 論 に か か わ る一 三つ の 現 代 的 問 題 に 接 続 し 発 展 す る も の と 思 わ れ る 。 (23)形. 式 化 され た体 系 で は 、 ま ず アル フ ァベ ッ トとして の原 始 記 号が与 え られ、 これ に. よ っ て つ く ら れ る 式 の 形 成 規 則 が 定 め られ 、 演 繹 の 出 発 点 と な る 式 、 即 ち 公 理 と 、 そ れ か ら定 理 を 紡 ぎ 出 す 紡 垂 の 役 を す る 推 論 規 則 と が 与 え ら れ て い る 。 ⑳. 公 理aが 鳥,…,艦}が. 他 公 理 β、B,…Bnか. ら 独 、kで あ る と は 、{a,β,,β2,…,B。1及. 無 矛 盾 で あ る こ と を い う。 モ デ ル に よ るaの. び1瓦. β,,. 独 立 性 の 証 明 は 、aの. み. 満 た さず 他 公 理 β,β 〜… β.す べ て が そ れ に お い て 正 し い モ デ ル を つ く る こ と に よ っ て な され る。 ⑳. 体 系 に 対 し て あ る モ デ ル を 考 え た 場 合 、 そ の モ デ ル で 真 な る す べ て の 式(命. 題)が. 証 明 可 能 で あ る と き、 そ の モ デ ル に つ い て そ の 体 系 は 完 全 で あ る と い わ れ る 。 ㈱. 形 式 化 され た …n)が. 「証 明 」 と は:式. の 有 限 列A1,A2,…,Anに. お い て 各À(i=L2,. 、(1)公理 で あ る か(2洗 行 す るい く つ か の 式Aノ,A,,…A,(j,il,Z<i)か. ら. 認 め ら れ た 推 論 規 則 に よ っ て 導 出 され た も の 、 と い う条 件 の い ず れ か を満 た す と き、 この 式 の 有 限 列A,,A2,…,Aη ⑳. を 馬 の 「証 明 」 と い う。. ゲ ー デ ル の 原 論 文 は 次 の もの で あ る 。KultGodel.U)crformalunentscheidbareSatze derPrincipiaMad【dnaticaundverw三 Pysik,38(1931),PP.173‑198。. 之lldterS..vsしelllI,MonatsheftefUrMathematikund 筆 者 はHeijenoortの. 英 訳 を 用 い た ・J.v.Heijenoort:. FronlFregetoG6de1,ASourceBookinMathematicalLogic,1879‑1931.Harvard.U. press.1967.pp.592‑617.ま ②S)こ ⑳. た 前 原 昭 二:数. こ で ゲ ー デ ル が 考 察 し て い る 体 系PMと. 学 基 礎 論 入 門.朝. 倉 書 店.1977を. は 、PrincipiaMathematicaの. 参 照 した 。. 体 系 で あ る。. 「証 明 可 能 な 式 は す べ て 真 」 と い う仮 定 は 、 後 に 展 開 す る厳 密 な 証 明 で は ゲ ー デ ル.
(22) は 削除 して い る。 (3C)リ. シ ャ ー ル の パ ラ ド ク ス と は 以 下 の もの で あ る:自. 然 数(1,2,…)に. 関 す る一 変 項. 述 語 は 順 番 に 並 べ う る 。(使 わ れ る 文 宇 の 個 数 の 小 さ い 順 に 。 同 数 の 場 合 辞 書 引 順 に) そ こ で 各 述 語 に は 順 番 を 示 す 番 弩 、 即 ち 自然 数 〈1,2,… 「xは2で. 割 り切 れ る」 に 数2ooが. れ た とす る 。 こ の と き 、 数200は. 、述 語. ㍑. 〉が ふ り あ て ら れ る 。 今 述 語. は 素 数 で あ る 」 に 数1o0が. ふ りあて ら. 対 応 す る述 語 が 述 べ る性 質 を 持 っ て い る が 、 数100. は 持 っ て い な い 。 そ こ で 、 「κ は 対 応 す る 述 語 の 述 べ る 性 質 を 持 っ て い な い 数 で あ 司 と い う数 に つ い て の 述 語 が 考 え ら れ る 。 こ の 述 語 をfxl&サ. シャー ル 数 で あ る 」 と略. 記 表 現 す る 。 す べ て の 自然 数 は リ シ ャ ー ル 数 で あ る か な い か の い ず れ か で あ る 。 と こ ろで 、述 語 て こ こで. 「κ は リ シ ャ ー ル 数 で あ る」 に も あ る 数 、 例 え ば ηが ふ り あ て ら れ る 。 さ. 「nは. 婆 シ ャ ー ル 数 で あ るjと. い う命 題 ぽ 正 し い か?難. が ジシ ャー ル数 で あ. れ ば 、 定 義 よ り 箆 は リ シ ャ ー ル 数 で は な く、 箆 が リ シ ャ 〜 ル 数 で な け れ ば π は リ シ ャ ー ル数 で あ る。 (錨. こ れ は 不 合 理 で あ る。. 嘘 つ き の パ ラ ド ク ス は 、f私. が 今 壽 う こ と は 偽 で あ る 」 と い う文 申 に お け るr今. 言. う こ と 」 と い う ξ潔iの 指 示 す る もの を こ の 文 全 体 と と る こ と か ら生 じ る 。 こ の 嘘 つ き の パ ラ ドクス を 「A=Aは. 「AEiiAは. 偽 で あ る」 とパ ラ フ レー ズす れ ば 、 ゲ ー デル のつ くった 式. 証 明 で き な い 」 と の 関 連 が 明 らか と な ろ う。 な お 、 「xは 証 明 で き な い 」. と い う一 変 項 述 語 で な く と も、 一般}C‑一 変 項 述 語F〈x>が な る命 題Aが. 存 在 す る(『A』. とはAの. ゲ ー デ ル 数 詞)こ. 角 化 定 理 〉 こ れ に つ い て は 前 原:op.cit.pp,130‑133参 ㈱. 定 項 の う ち"〜""V""R"は /0,ffO,…. 論 理 定 項 。"o"は. 与 え られ た と きA≡F〈. 『A』). と が い え る 。(ゲ ー デ ル の 対 照。. 対 象 定 項 で あ り、̀̀f"と. と い う数 詞 を つ く る(/0を1、ffOを2、. と も に0,. … と 略 記)。個 体 は0を. 含. む 白 然 数 と し て 解 釈 され る 。 ⑬. ま ず 原 始 記 号"O"も. プ""〜""V""fff""(""〉"iこ. 13と い う13以 下 の 奇 数 が ふ り あ て ら れ 、nタ 数)が. そ れ ぞ れ1、3、5、7、9、U、 イ プ の 変 項 に はpn(PはP>13な. あ て られ る 。 記 号 の 有 限 列 と し て の 式 に は 、2に. 即 ち 磐 ×3n2× … ×P籍(各. 君iは 記 号 の ゲ ー デ ル 数 、Pmi37?IL番 日 の 素 数 〉 の 形 の 数 が 与. え られ る 。 こ の 例 は 魏 個 の 記 号 が 窺,砺,…. の順 に並 ん だ式 で あ る。 また記 号の有 限. 列 の 有 限 列 と し て の 証 明 に も一 意 に 一 一 一 ・ つ の 数 が ふ り あ て ら れ る 。m個 … ,Amの. る素. 始 ま る連 続 素数 の べ キ の積 、. ゲ ー一デ ル 数 は こ う な る:. の 式 の 列A,,A,,.
(23) (た だ し各 式Aiの. ゲ ー デ ル 数ZiはZ̀欝2期. ・3nt2・…P酬. で あ る 。)か く し て 記 号. の 列 に は 一一意 に ゲ ー デ ル 数 が ふ りあ て られ る が 、 逆 に 与 え られ た 自 然 数 が ゲ 〜 デ ル 数 で あ るか 否 か は、 素 因数 分 解 の. 一 ・ 意性 等 を川 い て、 有 限 団 の 手続 きで決 定 で きる。 こ. れ の 計 算 法 に つ い て は 例 え ばJ,N.クvス 共 立 出 版 。1977.第5章 (34)εzF(z)でF(2r)を. リー 他 著 田 中 尚 夫 訳:現. 代 数 理 論 琿 学 入 門.. 参照 。 満 た す 最 小 数 、 そ の よ う な 数 が な け れ ば0を. 作 は 、 ε2穏 ≦ipγ(1(x)÷1(ツ))jx+・v&(Vn)in≦1(x)陣 9(y>→ 〈n十9〈x>>Gl2・nGlylと 数 、Pr(n)はn番. ηG麓=ηG伽&(Vn)[0〈n≦. な る 。 催 し 、9〈x)はMの. 卜二1の素 数 、 πG伽. は 数xのnal'l!の. 以 ドの 性 質 を もつ 関 数 ダijgbi,φt,. よ っ て 定 義 され る 関 数 で あ る 。 性 質 と は 、 亟 が/i沁. と い う後 続 者 関 数)で. 三. 長 さ 、つ ま り 素 囚 数 の 描. 素 囚数 の指 数 。. (35)原 始 帰 納 的 関 数 φと は 、 各 φti(i=1,2,…,n)が … ,A(A=φ)に. 表 わ す と、 こ の 操. ま た は/〈x‑1‑1. あ る か ま た は ㈲ 先 行 す る 関 数 か ら代 入 に よ っ て 結 果 す る か ま た. は ㈹ 先 行 す る二 つ の 関 数 φノ,φ ん(ブ,ん く の か ら以 ドの 仕 方 で. 「帰 納 的 に 定 義 され. る」 か で あ る: φど〈0,x2.…,Xn>=φ. ブ(為,…,Xn>. φi(ん 十1,x2,…,Xn)=φh(h,φ(1il,x2,…,Xn),x2,…,Xn) 自然 数 の 悶 の 関 係R〈Xi,…,Xn)が. 原 始 帰 納 的 で あ る の は 、 あ ら ゆ るXl,…,x.に. 対 し てR(xl,…,x窪)i‑i:tφ(Xi,…,Xn>==o1で. あ る凍 始帰 納 的 関 数. φ(x},…,x霧). が存 在 す る と きで あ る。 (36)"xはyで. 割 り切 れ る"をx/)iと. と 定 義 され 、"xは. [2≦x&zキ1&2・tx&x/211&x>1と lal.のx/yが ㈱. 表 現 す る と、1.x/y≡. 素 数 で あ る"をPrim(x>と. 侶2)陵. 麟 κ〉… ≡(翫. 定 義 さ れ る 。2.のPrim(x)の. 〉. 定義 の 中. 用 い ら れ て い る こ とが わ か る 。. ゲ ー デ ル の 記 号 で 書 く と 、R緩,…,Xn>→B副Sδ(7搬. 諮z噸. R(Xl,…,Xn)→Bew[Neg(Sb(τ 劔(Hy)あ. ≦x&x=・y・z]. 表 現 す る と、2.Pr圭. る い は 〈Vy)で. 始 ま る 関 係(ヨy)R(y,x),(Vy)Q(y,x)は. (y≦ ψ(x>&R〈s,sc}〉,(Vy)〈y≦. 刃. 濃yl禦 頑κ箆、・1{. φ(想 →Q(:)S,κbと. 、(ヨbl). い う彩 で束縛 変 項 の 束縛 領 域. を 弄め ψ(κ〉や φ(κ)と い う κ の 関 数 で 制 限 し て い な い と原 始 帰 納 的 に な ら な い 。(ゲ ー 一 一 一デ ル の 定 理Wに 鱒. よ る 。Heijenoort;⑪p.cit.p.602). 二 項 関 係Q(x,y>がQ(x,y>難 はyの. 体 系Kで. の ゲ ー デ ル 数 詞2(y)を x、. κB凝Sδ. の 証 明 で あ る"と. 〈yi?yMと. い う 関 係 、Sδ(y瓢. 定 義 さ れ る 。 κB栂. 〉 はyな. 代 入 し て で き る 式 と い う関 数 で あ る 。 ま た17、19を. ッの ゲ ー デ ル 数 と す る 。 こ の と きP欝17Geng(17Genqは. は"x. る 式 の 自 由 変 項19にy. 式qを17で. それ ぞ れ 全称化 し.
(24) た 式 ・qはQ〈x,ツ)の は17を自由 17Geitrと. 関 係 記 号 でPは19を. 変 項 に もつ 〉 、 と お い てSb(p謝 お く と、17GenTが. な ぜ な らrはSb(q遠1p}〉 (即 ち17Gefiq)の の 証 明 で は な い"と つ ま りcを. 変 項19にpの. 月. と主 張 す る 、 一. ゲ ー デル数 詞 を代 入 してで きる式. 主 張 す る式 で あ る 。 し か も、17Genrは. ち17Genr:自. 淋. 決 定 不 能 命 題 で あ り、 自分 自 身 が 証 明 不 可 能 と語 る 。. だ か ら 、 κB観S駅p轟. 全 称 化 す る か ら 、 結局 、17Genrは"pの. 入 し て で き る 式(即 で あ る。. 自 由 変 項 に も つ)、 ま たr==Sb(q>",p,)(r 篇Sあ 〈〔17Ge曜1瓢};17G・nSb(σ}1。. 即 ち"xは 〈即 ち17GenO. κB厨Sb(p轟. 変 項19にpの. 分自 身 〉 は証明 で き な い"と. 、p. ,)]の17. ゲーデル数 調 を代 語 っ て い る、 か ら.
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