現代数学への流れ

現代数学への流れ

浪川 幸彦 June 20, 2007

2 関数の近似

2.2 多項式による関数の近似

 前回はテイラー展開として，ある１点の近くで関数を近似する方法について学んだ。しか し実用的にはある範囲の中で関数を近似することが多い。これからそのための方法を学ぼう。

2.2.1 一般論

 まず一般論として多項式による一様な近似は可能である。次の定理がそれを保証する：

Theorem 2.2.1 (Weierstrassの近似定理). f(x)を a ≤ x ≤ b で連続な関数とするとき，任 意に与えられた ε > 0に対して，多項式 P(x)で，a ≤ x ≤ b であるすべての xについて

|f(x)−P(x)|< εとなるものが存在する。

Idea of proof. 適当に定数倍することにより，a = 0, b = 1,|f(x)| ≤ 1と仮定して一般性を失 わない。そこでBernsteinの多項式

n

X

p=0

n p

f(p

n)x^p(1−x)^n−p

が[0, 1]でf(x)に(一様)収束することを示す。

 この定理は強力であるが，あまり実用的ではない。すなわちこの証明が「よい」近似多項 式を求める効果的な手段を与えていない。したがって実用的な近似多項式を求めるのには別 の考察を必要とする。また冒頭にも述べたように，関数の「近さ」をここにあるように「(一 様に)近い」という意味に取るべきかどうかは必ずしも明らかではない。

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IM07s-11 2 2.2.2 補間法

 様々の近似を考える準備として，ある関数と有限個の点で値が一致するような多項式を求 めることから話を始める。この方法は近似ではなく，「補間法」という名前で呼ばれる。

 その基本は次の存在定理である：

Theorem 2.2.2. x₀, x₁, x₂, . . . , x_nを相異なるn+ 1個の点,b₀, b₁, b₂, . . . , b_nを任意のn+ 1個 の値とするとき，f(xi) = b_i, i= 0,1,2, . . . , n となるn次多項式y =f(x)が一意的に存在 する。この多項式を（n次の）補間多項式と呼ぶ。

Proof. 多項式を具体的に

y=f(x) =a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+ · · · +a_n−1x+a_n

と書こう。

 a_i を「未知数」として条件を書けば











xⁿ₀a₀+xⁿ⁻₀ ¹a₁+· · ·+x₀a_n−1+a_n = b₀ xⁿ₁a₀+xⁿ⁻¹₁ a₁+· · ·+x₁a_n−1+a_n = b₁

· · · · · · ...

xⁿ_na₀+xⁿ⁻¹_n a₁+· · ·+x_na_n−1+a_n = b_n

これは連立一次方程式である。ところでその係数行列の行列式は

xⁿ₀ xⁿ⁻¹₀ · · · x₀ 1 xⁿ₁ xⁿ⁻¹₁ · · · x₁ 1 ... ... . .. ... ...

xⁿ_n xⁿ⁻¹_n · · · x_n 1

= Y

0≤i<j≤n

(x_i−x_j)6= 0

（Vandermondeの行列式）

この多項式を具体的に書くこともできる：

Theorem 2.2.3 (Lagrange).

f(x) =

n

X

i=0

f(x_i)I_i(x)

ただし

I_i(x) = P(x)

(x−x_i)P⁰(x_i), P(x) =

n

Y

i=0

(x−x_i)

Idea of proof. I_i(x)はI_i(xj) = δ_ij（Kroneckerのδ） の条件で（一意的に）定まるn次多項 式。

Remark. この方法は，原理的に逆行列を求めて連立一次方程式を解くことと同じである：

Ax=a⇒x=A⁻¹a.

IM07s-11 3 Example. n= 2

I₀ = (x−x₁)(x−x₂)

(x₀ −x₁)(x₀−x₂), I₁ = (x−x₀)(x−x₂)

(x₁−x₀)(x₁ −x₂), I₂ = (x−x₀)(x−x₁) (x₂−x₀)(x₂−x₁).

Exercise 1. f(x) = log₁₀x, x₀ = 6, x₁ = 8.x₂ = 9とする。log₁₀2 = 0.3010,log₁₀3 = 0.4771 を用いて，f(x)の補間多項式を求め，log₁₀7の近似値を計算し，真の値0.8451と比較せよ。

2.2.3 Chebyshev多項式

 多項式で関数を近似しようとするときの困難さは，これが有界でないという事実にある。

このために様々の「特別な」多項式が用いられる。その例としてChebyshev多項式について 簡単に学ぼう。

Proposition 2.2.4. 次数n次およびn−1次の多項式T_n(x), U_n(x)で条件 cosnθ=T_n(cosθ), sinnθ=U_n(cosθ) sinθ

をみたすものが存在する。

 これはさらに次の漸化式をみたす：

T_n+1(x) = xT_n(x) + (x²−1)Un(x) U_n+1(x) = T_n(x) + xU_n(x)

Definition 2.2.5. このT_n(x)を第一種Chebyshev 多項式，U_n(x)を第二種Chebyshev多項式 とよぶ。

Examples：

T₁(x) =x, U₁(x) = 1, T₂(x) = 2x²−1, U₂(x) = 2x, T₃(x) = 4x³−3x, U₃(x) = 4x² −1.

Corollary 2.2.6. １）T2n(x), U2n+1(x)は偶関数，T2n+1(x), U2n(x)は奇関数である。

２）最高次の係数は2ⁿ⁻¹ であり，他の係数もすべて整数である。

Proposition 2.2.7. T_n(x)は[−1,1]の中を振動する。すなわち １）T_n(cos^2kπ_n ) = 1 (0≤k ≤_n

2

) ２）Tn(cos^(2k+1)π_n ) = −1 (0≤k≤_n−1

2

) ３）Tn(cos^(2k+1)π_2n ) = 0 (0≤k≤n−1) Remark. [−1,1]の外では急激に増大する。

IM07s-11 4 Theorem 2.2.8. n次のモニックな多項式P(x) = xⁿ+· · · の中で，−1≤x≤1で

|P(x)| ≤ 1 2ⁿ⁻¹ をみたすものは 1

2ⁿ⁻¹T_n(x)に限る。

Definition 2.2.9. I = [−1, 1] = {x;−1 ≤ x≤ 1}とする。I 上の関数f, gに対し，両者間の 距離を次で定義する：

kf −gk^I_∞= sup

x∈I

|f(x)−g(x)|.

Remark. Iで0との距離が最も小さいモニック多項式は 1

2ⁿ⁻¹T_n(x)である。

Exercise 2 (母関数表示). 次の等式が成り立つ：

1−tx 1−2tx+t² =

∞

X

n=0

T_n(x)tⁿ.

Hint. 漸化式を用いる。

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次週は浪川が海外出張のため休講とします。

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