解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

[\平面の放物線_{\ [上の点345が次の条件を満たしている。}

△345は辺の長さDの正三角形であり点3 4を通る直線の傾きは である。

2004 東京大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ

D を正の実数とする。次の つの不等式を同時に満たす点[ \全体からなる領

域を'とする。

[

\≧ _{\≦[ D[D}

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３ 解答解説のページへ 関数I[ J[ K[を次で定める。

[ [

[

I J[

^

`

^

`

このとき以下の問いに答えよ。

Dを実数とする。I[ Dを満たす実数[の個数を求めよ。

J[ を満たす実数[の個数を求めよ。

2004 東京大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ

片面を白色にもう片面を黒色に塗った正方形の板が枚ある。この枚の板を机

の上に横に並べ次の操作をくり返し行う。

さいころを振り出た目が であれば左端の板を裏返し であればまん中の

板を裏返しであれば右端の板を裏返す。

たとえば最初板の表の色の並び方が「白白白」であったとし 回目の操作で出

たさいころの目がであれば色の並び方は「黒白白」となる。さらに回目の操作

を行って出たさいころの目がであれば色の並び方は「黒白黒」となる。

「白白白」から始めて 回の操作の結果色の並び方が「黒白白」となる確率

を求めよ。

「白白白」から始めてQ 回の操作の結果色の並び方が「黒白白」または「白

黒白」または「白白黒」となる確率をSQとする。SN（Nは自然数）を求めよ。

注意 さいころはからまでの目が等確率で出るものとする。

‹電送数学舎 2004

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１ 問題のページへ S＜Tとして3_{S S4T Tとおく。}

直線34の傾きが より S T S

T _{TS ………①}

また 34 Dより _{TST S D}

TS TS TS D ①より_{TS D}

D S

T ………②

さて線分34の中点を0とすると

0 ST ST

①②より

D T

S なので

_{T S T ST} D D

S ˜

よって 0

ここで△345は辺の長さDの正三角形より 34

50 A 50 D

さて直線 34 の方向ベクトルはその成分を とすることができるので

それに垂直な単位ベクトルは

H である。以下複号同順として

H D 20 05 20

25 r

˜ r D D

5は放物線_{\ [上にあるので}

D _rD _{# D}

D _rD _{# DD}

まとめると_{D #D となりD＞から}

D である。

［解 説］

まず複素数平面上での回転を用いて考えました。しかし計算がかなり複雑にな

ってしまい方向転換をした結果が上の解です。

2004 東京大学（文系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

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２ 問題のページへ 領域_{' \≧[ \≦[ D[Dの境界を表す}

つの放物線_{\ [……① \ [ D[D……②の} 交点は_{[ [D[Dより [D[D}

[D [ D [ D D

また [\ Nとおくと \ [N……③となり傾

きの直線を表す。

まず直線③が領域 ' と共有点をもつNの最大値を求

める。放物線②の接線の傾きがとなるのは②より\c [Dなので

[ D [ D

L D≦D

接点

D D _D˜ D _{D でNは最大となり最大値は}

D D _D D _D

N ˜ _{D D} LL D＞D

①と②の交点_{D DでNは最大となり最大値はN DDである。}

次に直線③が領域'と共有点をもつNの最小値を求める。放物線①の接線の傾き

がとなるのは①より\c [なので

[ [ LLL D≦

接点

でNは最小となり最小値は

N である。 LY D＞

①と②の交点_{D DでNは最小となり最小値はN DDである。} 以上より最大値 0最小値 P は＜D＜のとき_{0 DD P DD} ま た

_{≦D＜ の と き}

_{D D}

0 _{P DD さ ら に}

≧

D の と き

_{D D}

0 P である。

［解 説］

最大値最小値をとる[ \が接点か交点かで場合分けをします。注意力と計算

力が要求されます。

2 D [

\

D

‹電送数学舎 2004

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３ 問題のページへ _I[ [ [_{より Ic[ [ [[}

D [

I を満たす異なる実数 [ の個数は

[

\ I と\ Dのグラフの共有点の個数に

等しいので右表よりD＜ ＜Dのとき 個 D rのとき 個 ＜D＜のとき

個である。

I[ Dとおくと J[ は

_D

D D r

L D のとき I[ より[ r LL D のとき

[

I となりこれを満たす実数 [ は

より個存在し [ D E Jとおく。 LLLD のとき

[

I となりこれを満たす実数 [ は

より個存在し [ Dc Ec Jcとおく。

すると ＜Dc＜ ＜D＜E＜＜Ec＜Jc＜ ＜J＜……＊が成立するので

[

J を満たす実数[は合計個存在する。

K[ より

^

`

[

J のときD r でありより実数[は個存在する。

[

J のとき D D よりD D E J となりそれぞれの D の値に

対しより実数[は個ずつ合計個存在する。

同様に J[ のとき D D よりD Dc Ec Jcとなりそれぞ

れのDの値に対しより実数[は個ずつ合計個存在する。

さらに＊からDの値に重複は存在しないので[の値も重複はない。

よって K[ を満たす実数[は合計個存在する。

［解 説］

実数解の個数を調べる頻出問題ですがひねりが加わっているために表現方法に難

しさが感じられます。図をたくさん書いて思考過程を述べた方が明快です。

[ … … …

[

Ic _{＋ − ＋}

[ I 2 [ \ α β γ D c

E c J c

2004 東京大学（文系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

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４ 問題のページへ 正方形の枚の板を左から$ % &とする。回の操作の結果色の並び方が

「黒白白」となるのはつの場合があり確率はそれぞれ次のようになる。

L $を回裏返す場合 LL $を回裏返し%を回裏返す場合

&

LLL $を回裏返し&を回裏返す場合 & LLLLLLより求める確率は である。

Q回の操作の結果黒の板が枚である確率がSQでありまた枚 枚 枚で

ある確率をそれぞれTQ UQ VQとおくと

Q Q

Q V T

S ………① TQ SQ UQ………②

Q

Q T

U ………③ VQ SQ

………④

①②に③④を代入するとQ≧として

Q Q

Q S T

S ………⑤ TQ SQ TQ………⑥ ⑤より TQ

⑥に代入するとQ≧として

_{SQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ}

ここで Q NN≧とおくと

S N S N S N SN SN SN………⑦

さて S でよりS u から⑦を変形すると

N N

N N

N

N S S S S S

S ………⑧

S S S S S

S N N N N ………⑨

⑨×−⑧より SN N SN N

N をあてはめると

˜

S となりこのときも満たされている。

［解 説］

奇数回だけに限定せずに一般的に漸化式を立てて解きました。なお理系に類題