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早稲田大学大学院情報生産システム研究科
博士論文審査結果報告書
論 文 題 目
S t u d y o n H o m o t o p y M e t h o d s f o r M O S N o n l i n e a r C i r c u i t D C
A n a l y s i s
申 請 者 Dan NIU
情報生産システム工学専攻 回路検証技術研究
２ ０ １ ３ 年 ９ 月
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集 積 回 路 の 設 計 で は コ ン ピ ュ ー タ 援 用 設 計 技 術 が 重 要 な 役 割 を 担 っ て お り ， そ こ で は S P I C E 系 の 回 路 シ ミ ュ レ ー タ が 広 く 用 い ら れ て い る ．集 積 回 路 の 設 計 に 関 す る 要 素 技 術 の 一 つ で あ る 回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の た め の 数 値 解 析 技 法 を 開 発 ・ 発 展 さ せ る こ と は 重 要 な 課 題 と な っ て い る ． 電 子 回 路 の 数 値 解 析 技 法 に 関 す る 研 究 は ， こ れ ま で 様 々 な 方 面 で 盛 ん に 行 わ れ て き た が ， 現 在 で も 未 解 決 な 問 題 が 多 く ， な か で も 集 積 回 路 網 の 数 値 解 析 技 法 の 収 束 性 に 関 す る 問 題 と そ の 実 用 化 に 関 す る 問 題 は 特 に 重 要 な 問 題 と さ れ て き た ．
回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 中 で ， 最 も 基 本 的 か つ 重 要 で 困 難 な 問 題 は ， 非 線 形 回 路 の 直 流 （ 動 作 点 ） 解 析 で あ る ． 集 積 回 路 な ど の 非 線 形 回 路 で は ， 直 流 解 析 が 収 束 し な い と 他 の 解 析 （ 交 流 解 析 ， 過 渡 解 析 ） が 実 行 で き な い ． 回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お い て ， 直 流 解 析 は 回 路 を 記 述 す る 非 線 形 （ 代 数 ） 方 程 式 系 を 適 当 な 数 値 解 析 技 法 を 用 い て 解 く こ と に よ り 行 わ れ る ． 非 線 形 方 程 式 系 に 対 す る 数 値 解 析 技 法 で 最 も 代 表 的 な 反 復 解 法 は N e w t o n 法 で あ る ．
N e w t o n 法 は 問 題 の 性 質 が よ け れ ば 収 束 は 速 い が ，実 際 の 多 く の 場 合 ，良 い 初
期 近 似 解 を 与 え な い と 解 へ 収 束 し な い と い う 欠 陥 を も つ ． 一 般 に 良 い 初 期 推 量 が 行 わ れ る ま で に 相 当 の 量 の 試 行 錯 誤 が 必 要 と な る 場 合 が 多 く ， 集 積 回 路 で は そ の よ う な 初 期 推 量 を 得 る こ と は 実 用 的 に 困 難 で あ る ．
こ の よ う な 非 収 束 問 題 に 対 し て ， こ れ ま で に 回 路 シ ミ ュ レ ー タ に 採 用 さ れ て き た 実 用 的 な 手 法 と し て ， 修 正 N e w t o n 法 ， 連 続 N e w t o n 法 ， 更 に ， 擬 似 過 渡 解 析 法 な ど が 知 ら れ て い る ． こ れ ら の 手 法 は い ず れ も 複 雑 な 集 積 回 路 に 対 す る 非 収 束 問 題 を 解 決 す る に は 至 っ て い な い ． こ れ ら の 実 用 的 な 手 法 と 並 ん で ，近 年 ，理 論 的 立 場 か ら の 非 線 形 方 程 式 系 の 求 解 の た め の 大 域 的 収 束 性（ 任 意 の 初 期 近 似 解 か ら 出 発 し て 収 束 す る ） の あ る ア ル ゴ リ ズ ム に 関 す る 研 究 が 大 き な 進 展 を 遂 げ て い る ． こ れ ら の ア ル ゴ リ ズ ム は ， 前 述 の 連 続 N e w t o n 法 と そ の 基 本 概 念 を 共 有 す る も の で ， 一 般 に ， 連 続 法 ， ホ モ ト ピ ー 法 等 の 名 前 で 総 称 さ れ て い る ． ホ モ ト ピ ー 法 の 基 本 概 念 は ， い わ ゆ る 関 数 の 連 続 変 形 で あ る ． す な わ ち ， 元 の 方 程 式 系 を そ の ま ま の 形 で 解 く の で は な く ， 既 知 な 解 を も つ 補 助 方 程 式 系 を 用 意 し ， そ れ を 元 の 方 程 式 系 ま で 連 続 的 に 変 形 し ， 既 知 な 解 を 出 発 点 と し て 変 形 さ れ た 方 程 式 系 の 解 を 追 跡 し て ， 元 の 方 程 式 系 の 解 に 到 達 す る も の で あ る ．
こ の よ う な ホ モ ト ピ ー 法 の 基 本 概 念 を も と に ， 非 線 形 回 路 の 直 流 解 析 の 非 収 束 問 題 に 対 し て ， こ れ ま で に 多 数 の 解 法 ア ル ゴ リ ズ ム が 提 案 さ れ て い る ． し か し ， 従 来 の 研 究 は 主 と し て B I P ト ラ ン ジ ス タ 回 路 に 焦 点 を 当 て た も の で あ る ．M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 に 対 す る ホ モ ト ピ ー 法 と し て 知 ら れ て い る ATA N - S H 法 （R o y c h o w d h u r y, 2 0 0 6） は ， 計 算 効 率 が 良 く な い な ど の 難 点 が あ る ．ま た ，M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 に 対 す る ホ モ ト ピ ー 法 の 大 域 的 収 束 性 の 証 明 は 未 解 決 の 問 題 で あ る ．最 近 の ア ナ ロ グ 回 路 設 計 で は M O S / B i - M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 が 広 く 用 い ら れ る こ と を 考 慮 す る と ， ホ モ ト ピ ー 法 を M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 に 拡 張 す る こ と は 重 要 で 緊 急 の 課 題 と な っ て い る ．
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本 論 文 は ， 前 述 の 課 題 に 対 し て ， 著 者 が こ れ ま で に 行 っ て き た 研 究 の 成 果 を 纏 め た も の で あ る ． 本 論 文 の 目 的 は ， 非 線 形 回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の た め の 数 値 解 析 技 法 に お け る M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 に 対 す る ホ モ ト ピ ー 法 の 課 題 に 対 し て ， 理 論 実 用 両 面 か ら 解 決 を 与 え る た め に ， 収 束 性 能 と 計 算 効 率 に 優 れ た M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 の 数 値 解 析 技 法 を 開 発 す る こ と に お か れ て い る ． す な わ ち ， 本 論 文 で は ，M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 の た め の ホ モ ト ピ ー 法 を 提 案 し ， 更 に ， 提 案 手 法 が 理 論 的 に 大 域 的 収 束 性 を 保 証 で き る こ と を 示 し ， 実 際 に S P I C E 系 の 回 路 シ ミ ュ レ ー タ に 実 装 し て 実 用 M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 に 適 用 し ， そ の 実 用 的 有 効 性 を 確 認 し て い る ．
本 論 文 は ５ 章 か ら 構 成 さ れ て い る ． 以 下 ， 各 章 ご と に そ の 内 容 の 概 略 を 述 べ ， 評 価 を 加 え る こ と に す る ．
第 １ 章 「I n t r o d u c t i o n」 で は ， 本 研 究 の 背 景 と な っ て い る 集 積 回 路 の 設 計 に お け る 回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に 対 す る 数 値 解 析 技 法 の 重 要 性 と 問 題 点 ， 非 線 形 回 路 の 数 値 解 析 技 法 に 関 す る 従 来 の 研 究 状 況 と 課 題 に つ い て 概 観 す る と 共 に ， 本 研 究 の 位 置 付 け と 目 的 を 明 確 に し て い る ．
第 ２ 章 「P r e l i m i n a r i e s」 で は ， 本 論 文 の 準 備 と し て 後 章 の 議 論 の た め に ， 本 研 究 に 関 連 す る 非 線 形 回 路 の 直 流 解 析 に 用 い ら れ る 数 値 解 析 技 法 に つ い て 概 観 す る と 共 に ， ホ モ ト ピ ー 法 に 関 す る 従 来 の 研 究 結 果 を 要 約 し て い る ． す な わ ち ， 回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 用 い ら れ る 回 路 方 程 式 （ 修 正 節 点 方 程 式 ），
デ バ イ ス モ デ ル （E K V M O S ト ラ ン ジ ス タ モ デ ル ）， 従 来 の ホ モ ト ピ ー 法 の 概 要 と 大 域 的 収 束 に 関 す る 重 要 定 理 に つ い て 要 約 し ， 後 章 の 理 論 的 議 論 に 備 え る と 同 時 に ， 本 研 究 の 位 置 付 け を よ り 明 確 な も の に し て い る ．
第 ３ 章 「 A G l o b a l l y C o n v e r g e n t N o n l i n e a r H o m o t o p y M e t h o d f o r M O S Tr a n s i s t o r C i r c u i t s」 で は ，M O S 非 線 形 ホ モ ト ピ ー 法 （N L H 法 ） を 提 案 し て い る ． 提 案 手 法 の 補 助 方 程 式 は ， こ れ を 回 路 的 に 解 釈 す る と ， 元 の 回 路 の M O S ト ラ ン ジ ス タ の ゲ ー ト ・ ソ ー ス 間 と ゲ ー ト ・ ド レ イ ン 間 に M O S ダ イ オ ー ド を 並 列 接 続 す る 提 案 手 法 Ｉ （ 補 助 関 数 Ｉ 方 式 ） と ， 提 案 手 法 Ｉ の M O S ダ イ オ ー ド の 基 板 接 続 を 変 更 し ， 更 に ， ゲ ー ト ・ 基 板 間 に コ ン ダ ク タ ン ス を 追 加 接 続 す る 提 案 手 法 Ⅱ （ 補 助 関 数 Ⅱ 方 式 ） と か ら 成 る ．
M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 を 対 象 と す る 提 案 手 法 の 大 域 的 収 束 性 を 明 ら か に
す る た め に ， 理 論 的 な 検 討 を 行 い ， 提 案 手 法 Ⅱ に 対 す る 大 域 的 収 束 定 理 を 証 明 し て い る ． す な わ ち ， ま ず ， 単 一 M O S ト ラ ン ジ ス タ （E K V モ デ ル ） の 受 動 性 に 関 す る 議 論 を 行 い ， 次 に ， 提 案 手 法 Ⅱ が 大 域 的 収 束 条 件 を 満 足 す る こ と を 示 す 2 つ の 補 助 定 理 を 証 明 し ， 最 後 に ， こ れ ら の 結 果 を 用 い て 提 案 手 法
Ⅱ が 大 域 的 収 束 性 を 持 つ こ と を 証 明 し て い る ．
提 案 手 法 の 有 効 性 を 検 証 す る た め に ，提 案 手 法 を 回 路 シ ミ ュ レ ー タ S P I C E 3 に 実 装 し て ， 実 用 M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 を テ ス ト し て い る ． そ の 結 果 ， 提 案 手 法 は ，従 来 の ATA N - S H 法 に 対 し て よ り 効 率 的（ 総 反 復 回 数 が 3 9 %～6 3 %
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低 減 ） で あ る こ と を 実 証 し て い る ． 更 に ， 提 案 手 法 Ⅱ を 用 い て 大 規 模 M O S ア ナ ロ グ 回 路 （ ト ラ ン ジ ス タ 数 1 0 0 0 以 上 ， 従 来 の 回 路 シ ミ ュ レ ー タ S P I C E 3 と 業 界 標 準 回 路 シ ミ ュ レ ー タ H S P I C E で は 共 に 非 収 束 ） の 直 流 動 作 点 の 求 解 に 成 功 し て い る ．
第 4 章 「A n E f f e c t i v e a n d G l o b a l l y C o n v e rg e n t N e w t o n F i x e d - P o i n t H o m o t o p y M e t h o d f o r M O S Tr a n s i s t o r C i r c u i t s」 で は ， 求 解 効 率 を 更 に 改 良 す る た め の
M O S 回 路 用 N e w t o n 不 動 点 ホ モ ト ピ ー 法 （N F P H 法 ） を 提 案 し て い る ． そ の
補 助 方 程 式 は ， 元 の 回 路 の M O S ト ラ ン ジ ス タ に ３ つ の コ ン ダ ク タ ン ス を 並 列 接 続 す る も の で ， 元 の 回 路 の M O S ト ラ ン ジ ス タ の ゲ ー ト を 共 通 節 点 に し て コ ン ダ ク タ ン ス を 接 続 す る 提 案 手 法 Ｉ （b a s e G 埋 込 方 式 ） と ， ド レ イ ン を 共 通 節 点 に し て コ ン ダ ク タ ン ス を 接 続 す る 提 案 手 法 Ⅱ （b a s e D 埋 込 方 式 ） と か ら 成 る ． 本 章 の 提 案 手 法 Ｉ と Ⅱ に 対 し て も ， 前 章 と 同 様 な 手 法 で 理 論 的 な 議 論 を 行 い ， 大 域 的 収 束 性 が 保 証 さ れ る こ と を 証 明 し て い る ．
提 案 手 法 の 有 効 性 を 検 証 す る た め に ，提 案 手 法 を 回 路 シ ミ ュ レ ー タ S P I C E 3 に 実 装 し て ， 実 用 大 規 模 M O S ア ナ ロ グ 回 路 を テ ス ト し て い る ． そ の 結 果 ， 提 案 手 法 は ，前 章 提 案 の M O S N L H 法 に 対 し て 更 に 効 率 的（ 総 反 復 回 数 が 5 0 % 以 上 低 減 ）で あ る こ と を 実 証 し て い る ．加 え て ，提 案 手 法 は S P I C E 3 や H S P I C E が 収 束 に 失 敗 す る 大 規 模 回 路 の 求 解 に 成 功 し て い る ． ま た ，b a s e D 埋 込 方 式
は b a s e G 埋 込 方 式 に 比 較 し て ， あ る M O S ア ナ ロ グ 回 路 に 対 し て 効 率 的 で あ
る こ と ， 更 に ， 提 案 手 法 ， 特 に b a s e D 埋 込 方 式 は ， 大 規 模 デ ジ タ ル 回 路 （1
万 M O S ト ラ ン ジ ス タ 以 上 ） に 対 し て も 有 効 で あ る こ と を 示 し て い る ．
第 ５ 章 「C o n c l u s i o n s」 で は ， 本 研 究 に よ り 得 ら れ た 成 果 を 総 括 し て い る ．
以 上 が 本 研 究 の 成 果 で ， こ れ を 要 す る に ， 本 研 究 は 集 積 回 路 の 設 計 ・ 検 証 に 関 す る 重 要 課 題 で あ る 回 路 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の た め の 数 値 解 析 技 法 の 非 収 束 問 題 に 対 し て ，M O S ト ラ ン ジ ス タ 回 路 の た め の ホ モ ト ピ ー 法 を 提 案 し ，理 論 的 に そ の 大 域 的 収 束 性 定 理 を 証 明 し ， そ れ を 回 路 シ ミ ュ レ ー タ S P I C E 3 に 実 装 し て 実 用 的 有 効 性 を 検 証 し た も の で あ る ．こ れ ら の 成 果 は ，M O S 集 積 回 路 設 計 に 対 し て 有 効 な 方 法 論 を 与 え ， 集 積 回 路 設 計 ・ 検 証 技 術 の 発 展 に 貢 献 し た も の と い う こ と が で き る ． よ っ て 本 論 文 は 博 士 （ 工 学 ） の 学 位 論 文 と し て 価 値 あ る も の と 認 め る ．
２ ０ １ ３ 年 ８ 月 ２ ２ 日
審 査 員
主 査 早 稲 田 大 学 教 授 博 士(工 学)（ 早 稲 田 大 学 ） 井 上 靖 秋 早 稲 田 大 学 教 授 工 学 博 士 （ 大 阪 大 学 ） 吉 原 務 早 稲 田 大 学 教 授 博 士(学 術)（ 神 戸 大 学 ） 吉 増 敏 彦 早 稲 田 大 学 教 授 工 学 博 士 （ 京 都 大 学 ） 木 村 晋 二
