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統合自然科学科

量子力学

_I

－まとめと図表－

教養学部

統合自然科学科

（物質基礎科学コース）

前田 京剛

（

_{MAEDA, Atsutaka）}

科目番号：

08E1015/1109/1234 2014年冬学期月曜３限 109教室

前田研究室

HP： http://maeda3.c.u-tokyo.ac.jp

電子の世界－荷電粒子としての電子－

Sir Joseph John Thomson (England) (1856.12.18-1940.8.30)

Robert Millikan (America) (1868.3.22-1953.12.19)

電子の発見

電場・磁場によって曲げられる →エーテルではない

比電荷がわかる

電気素量の決定

→電荷は不連続 (Photo: Wikipedia) (Photo: Wikipedia) (Photo: Wikipedia) (Picture: Wikipedia)

(R. Millikan: Phys. Rev. 2 (1913) 109, ibid., ser. 1 32 (1911) 349.) C/kg 10 76 . 1 _ 11  m e

C

10

602

.

1

_

19





e

kg

10

1084

.

9

_

31



m

光の世界－電磁波としての光－

Thomas Young (England) (1773.6.13-1829.5.10)

James Clerk Maxwell (Scotland) (1831.6.13-1879.11.5) （Cambridge Univ, 初代実験物理学教授） (Photo: Wikipedia)

光は干渉する

(1805頃)

光は電磁波である →光は波動である 1864 Maxwellが予言 1888 Herzが実験で確認

Heinrich Rudolf Herz (Gernmany) (1857.2.22-1894.1.1)

黒体放射

http://www.thermo-lab.com/first/emittance/

http://www.vision-sensing.jp/technology_1_temperature.html

Wikipedia：「プランクの法則」

黒体放射の解釈をめぐって

John William Strutt, Lord Layleigh (England) (1842.11.12-1919.6.30)

Wilhelm Carl Werter Otto Fritz Franz Wien (Germany) (1846.1.13-1928.8.30)

Max Karl Ernst Ludwig Planck (Germany) (1858.4.23-1947.10.4) Sir James Hopwood Jeans (England)

(1877.9.11-1946.9.16) (Photo: Wikipedia) http://homepage2.nifty.com/ashiharatoshio/formula.htm

 











, d 8 ₃ d 2 T k c T  _B

 











d 1 8 d , _{3 /} 2   _{hv k T} B e hv c T

 

      _{, d} 8 / _d 3 3 T B e k c T   純粋に波 純粋に粒子 波と粒子の“折衷” エネルギー量子の発見







h

Js 10 558 . 6 _ 34  h

光電効果と光量子仮説

Albert Einstein

(1879.3.14 -1955.4.18) Philipp Eduard Anton von Lenard

(1862.6.7 -1947.5.20)（Hungary-Germany） Lenard 詳細な実験研究 Einstein 光量子仮説(1905)

P

h

E







Millikan １０年に及ぶ光量子仮説の検証実験→プランク定数の決定（1916）

h



6

.

56



10

34

Js

光の粒子性が直接示された

R. Millikan: Phys. Rev. 7 (1916) 18, ibid. 355.

コンプトン効果

Arthur Holly Compton (America)

(1892.9.10-1962.3.15)

A. H. Compton: Phys. Rev. 21 (1923) 483.

c

E

p



光はこの運動量を持つことを実証

光の粒子性を確固たるものにした

0

























1



cos



_c wavelength Compton : A 024 . 0   mc h c



(Photo: Wikipedia)

物質（粒子）の波動性

Louis-Victor Pierre Raymond, 7e duc de Broglie (France) (1892.8.15-1987.3.19)

Lester Halbert Germer

(America) (1896.10.10-1971.10.3) Clinton Joseph Davisson

(America) (1881.10.22-1958.2.1)

George Paget Thomson (England) (1892.5.3-1975.9.10) 菊池正士(日本) (1902.8.25-1974.11.12)

de Broglie の予言 (1924)

p

h





p





k







E

 2 / h     1 2  k   2

粒子

波

菊池正士

（

1928） 雲母

電子線の回折現象の発見

G. P. Thomson （1928） 多結晶

C. Davisson and L. Germer （1927） Ni 単結晶

C. Davisson and L. H. Germer: Phys. Rev. 30 (1927) 705.

菊池パターン

原子のスペクトル

http://rikanet2.jst.go.jp/contents/cp0030/part2/chap02/page2_4.html

Line spectra of hydrogen

A 6 . 3645 , 32 36 , 21 25 , 12 16 , 5 9 _ f f f f f f n n 4 2 2    6 , 5 , 4 , 3  n

Visible: Balmer series (1885)

Johann Jakob Balmer (Switzerland)

(1825.5.1-1898.3.12) (Photo: Wikipedia)

原子のスペクトルと前期量子論

Rydberg-Ritz combination rule (1890)

Interpretation by Old quantum theory (N. Bohr) (1913)

Johannes Rydberg (Sweden)(1854.11.8-1919.12.28)













_



1

₂

1

₂

1

n

m

R



Niels Henrik David Bohr (Denmark) (1885.10.7-1962.11.18) 定常波が生き残る条件



p

 

q

d

q



nh

m n

W

W

E

h











 

1

₂

n

R

hc

W

_n





n:量子数 A 528 . 0 4 2 2 2   me h a_H  ボーア半径 (Photo: Wikipedia)

波動性と粒子性・不確定性と相補性

k

p











E

 2 / h     1 2  k   2

粒子

波

(Photo: Wikipedia)

Uncertainty principle (W. Heisenberg) (1927)

正準共役な物理量の両方の値を，正確かつ同時に決定する事は不可能である。

Einstein – de Broglie relation











x

p

_x













J

_x











t

E

位置と運動量 角度と角運動量 時間エネルギー

Werner Karl Heisenberg (Germany)

(1901.12.5-1976.2.1)

(ex) 二重スリットの実験

Complementary principle (N. Bohr) (192８)

原子スケールの現象は古典力学で要求される 完全さで記述することはできない。

(Photo: Tonomura Group)

波束

(wave packet)

現実の波：時間的，空間的な広がりは有限 波束は，無限個の正弦波（三角関数）の重ね合わせで表現できる（Fourier積分）

り

実空間での波束の拡が

:

x



波数空間での拡がり

:

k



2

1







x・

k

り

実時間での波束の拡が

:

t



周波数空間での拡がり

:





2

1







t

・



（（古典的）不確定性）

波束は，群速度で伝わる（情報も然り）

k

v

_g

d

d





群速度：

dk

e

k

c

x

u



 ikx  



(

)

)

(

c

k





u

x

e

ikx

dx

  



(

)

2

1

)

(



（Fourier級数の，非周期関数への拡張）

k

v

_





位相速度：

量子論の不確定性関係 をかければ 両辺にプランク定数  ( ) ( ) 0) ) (x u  u   u 十分滑らかな関数 “振動と波動”（吉岡大二郎）（東大出版会 ） ) (x u x 

Schroedinger方程式

k

p 









E

(Photo: Wikipedia) 要請：線型，係数には普遍定数のみを含む Erwin Schroedinger (Austria) (1887.8.12-1961.1.4) 規格化 波動関数の解釈 （M. Born） (1926)

 

r

,

t

の満たすべき微分方程

式



 

_r, i(k r t) e t if



       t i k r     i

 

t

V

m

E

r

,

2

p

2





 

t

V

m

H

,

2

2 2

r







 

 

 

t

t

i

t

H



r

,



r

,





 

 

_,

_t





*







2

_:

確率密度

P r

Max Born (Germany - UK) (1882.12.11-1970.1.5)

 

,

2

d

3



1





r t

r

ハミルトニアン （時間に依存する） Schroedinger 方程式

E. Schroedinger: Ann. Physik 79 (1926) 361, 489, 81 (1926) 109.

定常状態

ポテンシャルが時間に依らなければ

   

_,

iEt/

e

t

 r



r





 

r

V

m

H







2



2

2



 

t

E

 

t

t

i



r

,





r

,







 

r



 

r



E

H



（時間に依存しない）_{Schroedinger 方程式} で表わされる状態：定常状態 （確率密度が時間に依らない）

E

エネルギー固有値

)

(r



エネルギー固有関数





を求める　：　固有値

問題

に対して

与えられた

H



,

E

定常状態の簡単な例（１）： 剛体壁ではさまれた電子（壁の間隔 a） 定常状態の簡単な例（２）： 自由電子

  



x a n a x          2/ 1/2sin 2 2 2 2m a n E_n         

n

k

 

ikx

Ne

x





 

2 2 2mk k E   量子数 量子数 固有関数 エネルギー固有値 固有関数 エネルギー固有値 連続的 進行波型 離散的 定在波型

量子力学の基本的前提

前提 Ｉ 微視的実体の状態は，一般に，複素の波動関数で完全に記述される 前提 ＩＩ 前提 ＩＩＩ 定理 ＩＩ 定理 Ｉ 微視的実体が時刻ｔに空間の点ｒの近傍の体積要素dV中に粒子を見出す 確率をＰｄＶとすると，

 



*  *



2     im  S 確率流密度：　

 

, div

 

, 0   t t P t r S r 連続の式：　

 

_* 2 ,t    P r 粒子的記述での力学量Ｆが特定の値 a をとりうるような状態にあるとき， この力学量の期待値は a と一致する 力学量には演算子が対応し，それは線型演算子である 測定結果は一般には確率的であるため，期待値で表わされる 前提 V 前提 ＩV

 

r ^

 

r 3r * _{, ,} d t F t F 



  波動関数で記述される状態にある微視的実体について，力学量 Ｆ が特定の値 a を とりうるとき， ある力学量が特定の値aをとるような状態にあるとき，その波動関数は上記の 偏微分方程式の，a を固有値とする固有関数である

 

t

a

 

t

F

,

,

^

r

r







Ehrenfest の定理：ポテンシャルが波束の拡がり程度ではほとんど変化しない場合， 波束の運動は対応する古典的粒子の運動と一致する 可能な状態：固有状態のどれか，もしくは，その重ね合わせの状態と考えられる 要請 Ｉ 力学量Ｆに対する演算子の固有値は全て実数でなければならない。 従って，演算子はエルミート演算子でなければならない。

r

r

3 * ^ 3 ^ *



_d





_d



_

















F

F

* ^ 3 * 3 ^ *

_d

_d





















F



r



F



r

エルミート演算子の固有値は実数である 定理 ＩＩＩ

規格化直交関数系・完全性



_,



*

   

_,

_,

_d

3

r

t

r

t

r













関数の内積：　



_

_,

_



_

₀

_:

_

_と

_

_{は直交している}

エルミート演算子の固有関数系は直交系をなす 完全性：任意の状態関数を固有関数の重ねあわせで表現することができる

 

t

c

t

_i

 

t

i i

(

)

,

,

r

r









 

,

t





c

_s

(

t

)

_s

 

,

t

d

s



r



r

離散固有値 連続固有値





2 , 



 i i c 完全性の別の表現





*

    

_r

_'



_r





_r



_r

_'



i i i 物理量の期待値 i i i

a

c

F





2 i i i

c









i i i

a

F







^

が実現する確率

固有値

_i i

a

c

2

:

直交関数系と線型ベクトル空間

ヒルベルト空間：無限次元の関数ベクトル空間 i i i

c









特定の

_



_i

_

の組：の基底





の組：

の表現

対応する

_c

_i





 



  , ノルム： vector ket a :  _  vector bra a :





_     _{ } 



 r d3    _{ }  F d r F F 



 3  ^











1

(Photo: Wikipedia)

David Hilbert (Germany) (1862.1.23-1943.2.14)

Paul Adrien Maurice Dirac (UK) (1902.8.8-1984.10.20)

基底の変換が自由にできる

行列形式（行列力学）

W. Heisenberg: Z. Physik 33 (1925) 879.

M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan: Z. Physik 35 (1925) 557. E. Schroedinger: Ann. Physik 79 (1926) 734.

i i i

c









l kl l k k

A

c

c

A

A

















_

_



, * ^

,

_













_k, ^ _l kl

A

A





 

A

_kl

A

行列

演算子

^







 































c

k

A

kl

c

l

A





 a

A

^











_l



0

l kl kl

a

c

A









0



























l kl kl

a

c

A



lj l l j







T



_{ }

matrix

unitary

:

kl

T

AT

T

A

'



1

Schroedinger 方程式の固有値問題⇔行列の固有値問題（基底の変換による対角化）

基底の変換行列はユニタリー行列 内包する情報は完全に同じ j i







'

A

A



行列力学と波動力学は全く等価

交換関係と不確定性原理

^ ^ ^ ^ ^ ^

]

,

[

A

B



A

B



B

A

交換子（commutator)

うる

は同時に確定値を取り

が可換

^ ^ ^ ^

,

,

B

A

B

A



 

A

 

B

C

C

i

B

A

2

]

,

[

^ ^



_

^





2



2









A

^

A







B^ B 

A

A

A







^

B

B

B







^

)

(

行列力学の言葉では，

「同時対角化可能」

交換関係（commutation relation)

量子力学系の時間発展

Schrodinger 表示 演算子：時間変化しない 波動関数：時間変化する 両表示間の変換 Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｔ 表示 演算子：時間変化する 波動関数：時間変化しない

)

(

,

^

t

A

S



_S H H

t

A

(

),



^ 波動関数：Schrodinger 方程式に従う (これまでやってきた表現方法)          ^ ^ ^ ), ( 1 ) ( H t A i dt t A d H H  Heisenberg の運動方程式 保存系では

_H

^

_H

^

_H

^ H S





期待値は表示によらない ハミルトニアンと可換な演算子の期待値は時間的に不変

)

,

(

)

,

(

^

t

e

t

Ht _H i S

r





r



 ^ ^ ^ ^

)

(

Ht i S Ht i H

t

e

A

e

A



 

x

a/2

-a/2

0

-V

₀

V

一次元井戸型ポテンシャル中の電子

(定常状態)

ではやらない）

散乱問題（量子力学Ｉ

:

0



E

束縛状態

:

0



E

_{(V0  E  0)} のパリティーを持つ または のとき，波動関数はeven odd ) ( ) (x V x V   エネルギーはとびとびの値をとる 最低エネルギー状態は偶パリティー 波動関数は遠方で指数関数的にゼロに減少 ポテンシャルバリア内にも波動関数の染み出しがある：トンネル効果 エネルギーは連続的に分布する ポテンシャルを感じて，波動関数の位相がずれる

分子

波動関数の重なりにより，エネルギーが分裂（結合性軌道，反結合性軌道）

結晶

エネルギーはバンド構造をとる（F. Bloch）⇒物性物理学Ｉ，ＩＩ (Photos: Wikipedia) Felix Bloch (1905.10.23 -1983.9.10) 物質の電気的性質を見事にシンプルに説明：量子力学の大きな成果

一次元の分子と結晶

ポテンシャルが深くなると状態の数も増加

一次元調和振動子

エネルギーはとびとび （基底状態以外は等間隔） ゼロ点エネルギー⇔不確定性原理







x

4 / 1 2        mK    / 1   (大高一雄 : “基礎量子力学” （丸善, 2002）)

調和振動子のエネルギー準位と波動関数

基底状態

：最もエネルギーの低い状態

励起状態

：基底状態以外の状態

3 2









b

エネルギー

の量子を一個消滅させる

エネルギー

エネルギー





₀

の量子を一個生成させる

0





(大高一雄 : “基礎量子力学” （丸善, 2002）) 2 :消滅演算子 1           d d b 生成演算子 : 2 1      _{ }   _  d d b

 

b

,

b





1



 

x

,

p



i

_

1 2







b

オプション：一次元井戸型ポテンシャルによる散乱問題

散乱問題：与えられたＥに対して，どのような解があるかを求める 束縛状態：与えられたハミルトニアンに対して，エネルギー固有関数，エネルギー固有値を求める 入射波 反射波 透過波 x 0 a 0 V

_x



0

a

x



ikx ikx

Are

Ae

x

)







(



ikx

Ate

x

)



(



入射波 反射波 透過波 反射係数 : r 透過係数 : t 境界条件から，r, t を求める 任意のEに対して反射，透過ともに有限（トンネル効果） ポテンシャルのために波動関数の位相がシフト

進行波の場合

時間に依存する