1
論 文】 UDC ；624．
014．
2：691．
714 ：62−
462 日本 建 築 学会構 遣 系 論文 報告 集 第 408 号・
1990 年Z 月曲 げ
と
圧
縮
を
受
け る
冷 間 成 形 円形 鋼 管 部 材
の
終 局 耐 力
の
統 計 的評 価
正 会員 正 会’
員越
黒
智
羽
健
啓
之＊ 明＊ ＊1．
は じめ に 限 界 状 態 設 計で は部 材の耐 力や変形 能 力に影 響 す る 数々 の因子を統 計 的に扱い， 総 合 的に部 材あ るい は構造 物の安全 性を論じ る必 要がある。 こ の問 題につ いて は多 くの研究成果が あり，
それら に基づい て限 界状 態 設 計は すで に実用 段 階にあ る。
し か し，
それら の研 究は主にH’
形 鋼 部 材につ いて考 察さ れてお り1，『
3，，
円 形 鋼 管 部 材の 耐 力 問 題 を設 計 段階まで論じ た研究は少ない。 部 材 耐 力の統 計 的な評 価に は数々 の方 法が ある が，
現 在の ところ設 計に生かせるの は，LRFDi
）に 代 表され る 実 験 値 と解 析 値に基づい た1次 近 似の 2次モー
メ ン ト法 で あ る。
ま た， 曲 げと 圧縮 を受ける部 材は，
荷 重 状 態に よ り耐 力が変化す る た め に， 厳密な安全性の評 価は 困難 であり，
耐 力の評 価 方 法の統一
が 必要であ る。
こ の耐 力 評 価の 問題につ いて も，LRFD
で な され た方 法は有 効 である と考え ら れ る。
しか し， 曲 げ と 圧 縮 を 受ける部 材の 耐 力に対するLRFD
の統 計 的な評 価 方 法は，
実 験 変 数に か か わ り な く耐 力の変 動 係 数は一
定 として，
設 計 値に対 する実 験 値 の平 均 値と変 動 係 数を求 めて いる。 部 材 耐 力の変動 係 数 は，
実験変数，
た と えば細長 比により変化 す るの で，
こ の方 法で は合 理 的な評 価と な ら ない 。 この欠点を解消で き るものζして，
確 率変数の分布形を質点モ デル で表現 し た数値解 析で耐力 問題 を考 察し た研究4 〕が あ る 。 曲 げと圧 縮 を受 ける冷 間成 形 鋼 管 部 材の耐 力は簡 単な 解 析 値5｝とよく一
致 する6｝・
η 。 ま た，
実 験 資 料の数は限ら れ て い る6
つ まり，
実 験 値 を評 価するだ けで は，
安 全 性 の論 議 ができない の で， 数 値 解 析で基 本 的 な考 察 を行 う 必 要が あ る。 そ の場 合に，
塑 性 加工後の素 材の応 か ひ ずみ関 係の特性や複雑な残 留応力の評価が問 題と な る。’
ま た，
冷 間成形に よ り素材は高い 降伏応 力と な るの で，
部 材の変形 能 力が小さ く な ること が報 告され て いるS）。
これ ら は設計に関連す るの で，
統 計 的に応 用 が 可 能な形 で の応カー
ひずみ関係の評 価が 必要である とい え る。
著 者らは文 献9 ）に おい て冷 間 成 形 円 形 鋼 管 材の応 カー
ひずみ関 係の一
般 化を試みて お り，
その結 果か ら局 部 座屈耐 力と中心 圧 縮柱の耐力につ い て考 察し た。
た だ し， 応 カー
ひずみ関係の一
般化に も数 値 演 算が必 要であ り，
物 理 的な意 味が不明確で あ る。
こ こ では，
まず応 カー
ひずみ関 係に お け る硬 化 指数の簡 便 な 近 似式 を提 案す る。 そ の結 果 を 用いて， 曲 げと圧縮を受け る部 材の耐 力 問題の統 計 的 考 察 を行う。
2
，
冷 間 成 形 完 成品 の み か け の 応カー
びずみ関 係 2．
1 硬 化 指 数の近似 値 応 カー
ひずみ関係をRamberg−Osgood
式で近 似 する た めに は 応 カー
ひずみ曲線上の 1 点 （応 力，
ひずみ ）の値 ある条 件 を満足 す る応 力，
あ るいはひず みの値 が最 低 必 要で あ る。
み か け の降 伏 応 力σy （O．
2％ 残留ひずみ値 ）が明 ら かであ れ ば の条 件が与え られ る の で，
・
一
＆
・・・
…（
£
）
M （・ ・ 箪・
1参 照 ） た だ し，
E ：ヤング係 数 （2 100 t／cmZ ）の条 件に引 張 強さ時の対 数ひずみ ε， を用い て硬 化 指 数 m を 求める方 法はすで に導か れて い る】ω
。
しか し，
21
．
0 本 論 文の一
部は，
文献2の に発表し た も の で あ る。
＊ 熊 本 大 学 助 手 ＃ 熊 本 大 学 教 授・
工 博 （19S9年8月10日原 稿 受理，
1989年 12月コ9日採 用 決 定 ｝ O Oゆ
2 0ゆ
4 0¶
6 0．
8 1．
0 δ lx）Fig
．
1 Stress・
stram models showing effect of hardening ex．
PQnent3e m 20 10 O O
．
6 0．
7 0．
8 0，
9 1，
0 σh！σ囗Fig
．
2 Relations between hardening exponent and yield ratio ay と引 張 強さ σ uに は統計量が ある が， ε e に は統 計 量が ない。
そこで，
引 張 強さσu 時の真 応 力 σ。 と ε。との 関 係に注目 すると恥一
詈
＋ ・… 2（
σe σ y）
m…・
・
…・
・
…・
…・
……・
・
…
〔1 ＞ ε。＝1n
〔σ。／σ。）・
…・
………一 ……・
一 …
（2）詈
＋ ・… 2頭 舞）
m −1・
……・
…………一 ・
（3 ）σ y と au の値をこれら の条件式に代入 し
，
収 束 計算で m を求め た9｝。
しか し，
こ れらの条 件 式は複雑な非線形 式で あり，
m を 求 める収 束 計 算 も複 雑であ る。 そこで，
近 似解を求める た め に （1 ），
（3 ＞式の弾性部分の 項を 無 視し，
σ e と εe を消 去す る と 璽n （ay／σ u）＝1
／m ｛1− ln
（500
／m ）｝……
…・
・
…
（4 ） この （4 ）式で注目 すべ きことは，
硬 化 指 数が降 伏 比 のみの関 数と な ることで ある。Fig．
2に （4）式を実 線 で示す。
し か し， （4
）式で は数 値 的に m を 求 めな く ては な ら ない。
そこ で，
（4）式を適 当な関 数に置き換 え ることによっ て m の解を求め る。3
次ま でのTaylo
［展 開 式 ある い は対 数 式の級 数 解で （4 ）式 を近似す ると誤 差が大 きく，
次 数を増や し て も 解が複雑と な り実用に な ら ない。
そ こ で， （4）式 右 辺 のlnx
を下 式で近似す る。 y＝ an ＋bx
°’
5＋ C こ の関 数に は3
つ の 未定 係 数 （a， b， c）が ある か ら，
ln
x の あ る点に お け る接 線こ う配と曲 率こ う配を合わ せ る。
m の平 均 値は都 合 よく10程 度であ る か ら，
m ＝＝ 10の点まわ りで各こ う配を一
致さ せ た。
その結果 か ら （4＞式は璽n （σy／σ
＝
）＝
Ci・
m−
t 十C2・
M−
o’
5十C3…・
………
（
5
）2C
，S
十Ci−
2CiC3−
C2
4CiS−
4CIC3 十C2
m ＝
！
2（
S − C3
）2
…………・
…・
…・
……・
…・
・
…
（6 ）ただし
，S ・
＝C3
のと き m＝
（Ci
／C2
｝1一
56
一
S ＝
1n
（σuノσu｝，Ci
＝−
5．
91，
C2＝
L26，
Ci．
；− O．
1
こ の （6） 式で与 え られ る m と降 伏比 との 関 係 を Fig
．
zに破 線で示 す。
実 線の （4）式 と ほ ぼ一
致し てい る。 降 伏 比の統 計 量が明ら か に な れば， （6
）式 を 用い て応 カー
ひずみ関 係の統 計的な一
般 化が可 能で ある。
2．
2 降 伏比の 統計 量 残 留 応 力な ど の影響を含ん だ み か けの応 カー
ひずみ関 係を近似す る た めに，
降伏応 力 ay は短 柱の圧 縮 試 験か ら得ら れ る値と して い る。
し た がっ て，
（6
）式の降 伏 比 も圧 縮 試 験の降 伏 応 力を使 用し な け ればな ら ない。
降 伏 応 力 σ。
や引 張 強さ au と同様に降伏比の実 験 値 を回帰 すれば必 要な統 計量 を得るこ と がで き る。
し か し，
引 張 試 験 と 圧 縮 試 験のそ ろっ た資 料は少な く， 両 者の そ ろっ た資 料を回 帰し て も，
統 計量 と して の 信 頼 性は σy，
σ u の統 計量 よりも 低 く な る。
そこで， Cy と σu の統 計 量か ら降伏比の統 計量 を誘導す る。
ロー
ル成 形されたSTK 41 材の統 計 量は lnay＝−
O．
0803・
1n（DIt ）十1n4．
56十lnM
，COV ＝0．
121 サンプル数 ：68・
・
…・
…・
…
（7
｝ln
σ。＝−
o．
0034・
ln
（D
／t＞＋ln
4．
78＋ln
M
，COV
＝・O．
078 サ ンプル数 ：320…・
…・
…
（8 ｝ p＝・O．
576
（lnM
，とln
M2
の相 関 係 数 ） であ る か ら9）葺
一
・・
954・
Ms
（
？
）
，
°’
°’6e・
…・
・
……・
・
……・
…
（・） た だ し，ln
M3
＝
ln
Mi
− ln
M2
し た がっ て，1n
M3
の標準偏 差す な わ ち降 伏 比の変 動 係 数 はVar （lnM ，）
＝
Var （lnM ，）十Var （1nM
，）−
2ρ・Var
lnM
匸・
》气煎 翩 か らCOV
（Ms
｝＝ arln
M
，＝O．
099
ただし，COV
：変 動 係 数，
Var ：分 散 降伏比の実験資 料をFig．
3に示す。
た だ し，
図中の 実線は （9
）式の確 率変数 餓 を1．0
と し た平 均値で あ り，
破線は平均 値か ら変 動 係 数の2
倍分 は な れ た95
％ 1．
0 76 「 U OOD6
丶 δ 4，
0 0．
3・
0．
2 10 20 30 4050 100 D！t信頼限 界で あ る
。
そ れ らの誘導さ れ た値は実験資料を よ く表し てい る とい え る。
3．
統 計 的 評 価 方 法 LRFD 方 式に必 要な耐 力の統計量は平 均 値と変動係 数で ある。 近 似 的に，
耐 力の対 数 値の標 準 偏 差が耐 力の変動 係 数 と等しい とす る。
耐 力の対 数 値y
が各 確率 変数の関 数 となること を前 提 としてy＝ 9（x ，，
x
・，・
・
：，xn
各 確 率変数の平均 値 μx、
，μx、
，…，
Uxn の ま わ りで 1次 近 似のy
の平 均 値はE
（Y
）＝ 9（ μx且
，
μXt，
…，
μxπ
）…・
………・
…
（10） ま た， 各確率 変数 間の相関を考慮してy
の分 散はVar （・）・
類象
（
暴
職
）
・・v （X
・，
・X
・）………・
……・
…・
…………
（11） た だ し，Cov
：共 分 散 こ の近似はgが陽 関 数で ない場 合に は直接 使 用する こと がで き ない 。 し か し，
部 材 耐 力が数 式の形ではな く， 数値解析の結果と し て求め ら れ る と す る と，
各 確 率 変 数 の平均 値 を用い て数 値解 析を行うことに より，
（10） 式 の値を求め るこ と がで き る。 ま たtg を多 項 式で補間 する数 値 微 分 法 ］1）に よ っ て （11 ）式の係数を与え るこ とに より，
耐 力の分 散 を求め る こと がで きる。 そ の場 合に問 題 とな るの は刻み点を ど の よ うに取る かであ る。 そ こ で，
接 線 剛 性 理 論に こ の方 法 を用い て，
中心 圧縮 柱の耐 力の平 均 値と変 動 係 数 を求 める。 そ れ らの数 値 と 確率 論 的に厳密な値であ る確 率 密 度 関 数の数 値 積 分の結 果 を比 較す る。
その ことで，
1次近似の平 均 値の妥 当 性 と数値微分に お け る関数 g の刻み点の検 討 を する。 なお， 計 算する点に高 次モー
メン トを考 慮して確率の 重みをか け，
演 算 結 果か ら統計量 を 得る と小 野ら4， が用 い た 3point 法の概 念と同じで あ る。
こ こ で は，
（ll
）’
式に基づい て分 散 を求め る た め にの み耐力の関数 g を 離 散 化してお り，確 率の分 布 形などの考慮は して いない。 ま た， こ こ で の方法は （11
）式の 1次 近 似 式に基づい て い る た め に，
各確率変数間の相関を考慮す ること がで き る。
（7 ），
（8
）式にお け る降 伏 応 力に関 する確 率 変tw
M， と引 張 強さの確 率 変 数M
，が耐 力に関 係す る と してXi＝
ln
Mh
X2
＝ln
M2
と す る。X
，とXz
の相 関を考 慮し た 2次 元の確 率 密 度 関 数 を与 え，
そ の確 率密 度関 数に基づいた応 カー
ひずみ関 係の モ デルか ら得た 接線剛性理論 値の確 率 分 布を数 値 積 分し て 平 均値と変動 係 数を求め た9♪ 。 そ の平 均 値 をFig．
4に， 変動係数をFig．
5
に そ れ ぞ れ実 線で示 す。 な お，
Fig，
4 2．
0 5 0＝
．
2
丶■
．
コ
Z 0．
5 O O．
2 0．
4 0．
6 0．
8 1．
0 1．
2 1．
4 1，
6 XnFig
．
4 Comparison between apProximate mean and exact mean values of column strengths （P〃＝
30）COVO
．
15 0，
10 0．
05 0 0．
20。
40甼
60。
8 1・
0 1．
2 1．
4 1．
6 XnFig
，
5 COV of column strengths （P／t＝
30） の たて軸は公称の降伏 軸力Ny．
n で無 次 元化 し て い る。
前 述の よ うに，1
次 近 似の平均 値は， 各 確 率 変 数の平 均 値 を 用い た 接 線 剛 性 理 論の値と なる。
すな わ ち，
σs と atC の平均 値は （7 ），
（8 ）式か らa。
，
・一
… 6（
♀
）
＋
… （・／・m ・）・
…………一
（・2＞・
．
，
・一
・・
7・（
♀）
一
゜’
°°3‘ （・／・ ）……・
・
…・
…・
・
（13） この2
つ の式を （6 ）式に代入 すると m の 1次 近 似 の平均 値が得られ る。 その m の平 均 値と σy の平 均 値を 用いてRamberg −Osgood
式を与え る。
そ の応 カー
ひずみ 曲線を用い て求めた接 線 剛 性 理 論 値を Fig．
4に破 線で 示す。
（12
）， （13 ）・
式 を 用い るこ とで，
μx、，
μx、を用い た こ とにな り， こ の値は 1次 近 似の平 均 値と な る。Fig，
4
に おい て， 破線と実 線に若 干の差を生 じ て いる の は，
耐力の確 率の分 布 形 がいびつ に な る細 長 比の領 域 であり，
これ は1次近似によ る誤 差 と考え ら れる。
し か し，
非 常に小さ な差であ り， 平均 値は 1次 近 似で十 分な 精 度が あ ること と， （6）式の近 似 式が妥 当で あ るこ と が分か る。
次に， 分 散につ い て考え て み る。
（11 ）式に必要な 1 次 微 分の値は Lagrange の方 法に基づい た数 値 微 分111で 求め る。変
動 係 数を基 準に して多 項 式に当て は め る刻み 点 を下 記の よ うに設 定 し た。
Case 1 5点 （−
2，−
1，0、1，2
）Case
2 3，
点 （−
1，
0，
1）一
57
一
Case
3
5点 （−
1，−
0．
5，
0，0．
5，
1
）Case
4 3点 （−
0．
5，
0，
0．
5 ）Case
5 3点 （−
2，
0，
2｝ かっ こ の中の数 字 ）fiは標 準 偏 差の倍率で あ り， そ れ ぞ れ の確 率 変 数の 平 均 値か ら標 準偏 差の rs倍 分 離れ た数 値で演 算を行い耐力 を求め る。
その耐 力の対 数 値を通る 多 項 式 を 求め，
その多 項式を微分 し て （11
＞式の係 数 を 求め る。
確 率 変 数 XI を例に説 明す る。
gの偏 微 分 項 を求める 場 合には， 普 通の変 数と確 率変数を区別す る必要は ない の で，
説明の便 宜上，
関 数g にお け るXi
を x と す る。
μx、
か ら9
，の7
，倍 離れた降 伏 応 力の値をσ y，
rt で表 し， その降 伏 応 力 と 変 数x の値 Xi との関 係はln a。
．
，t＝
1n a、，
m ＋ x、＝−
O．
0803・
ln
（D／t｝ 十ln
4．
56十 溢・
ζ， ただし，
ζ，は確 率変数Xi
の標 準偏差 （0．121
）である。
a。，
v、
と引 張 強さの平 均 値 （13 ）式 を （6＞ 式に代 入 し て m を 算 定し，
7，に対 応し たRamberg−
Osgood
式を求 め る。
そ れら3組ない し5組の応 カー
ひずみ曲 線に対し て接 線 剛 性 理 論 値 を 求 める。 そ れ らの理 論 値の対 数 値 y‘か らg
をLagrange の 2次な い し4次の 多 項 式 In−
1 で表すと 9（Xi，
μXi）＝ln−
1（二じ） 一加
（籍講
≡
謬
；
；
；
籌
寰
i
猛
課
ii
；
；
緊臻
こ の 多項式を x で微分 す るこ とで，
（11 ）式中の 偏 導 関 数 ∂g／∂Xi
の μx、
，
XIK、
にお け る値を求め ること がで き る。
同 様に ∂g
／∂x，の値を求めて変 動 係 数 を 算 定し た。
Fig．
5に 演 算 結 果を示す。
脇（1／π・
2．
4／2100・
λ）が0．
8 以 下の領 域で は，Case
5を 除い て数 値 積 分の値 と1次 近 似の値は よ く一
致して いる。 そ れ以 外の領 域で は，
そ れ ぞ れ若 干の差は あるが，
よ く傾向が表さ れ て い る。
こ こ で生 じ た差は，
耐 力の確 率 分 布の形がい びつ に な るた め と考えられ る。 これ は，
接 線 剛 性 理 論に上 限 値 （オ イ ラー
荷 重 ）が存 在する ためである か ら，
こ の上 限 値の影 響をあ ま り受け ない曲 げ と圧 縮 を受け る部材耐力につ い ては，
こ こ での方 法で十 分な精 度がある もの と考え ら れ る。
4．
部 柑の終 局 耐 力の統 計 量 4．
1 部 材 耐 力の数 値 解 析 法 面 内に の み変形を生じる部 材の最大 耐力を解 析 的に求 める方 法には数々 の提案が あ る。 精度の高い厳密な解 析 方法 も あ る が， 耐 力の一
般化 に は多く の数値演 算が 必要 であ るの で， た わみ形 を正 弦 波で仮 定し た近 似 解 5）一
’
7） の 妥 当性を既往の実験資 料6〕・
T｝，
IZ）−
IT］ を用い て検討す る。 た だ し， 断面を 周方 向に40
分割し た数値 積分 法で断面 力 を求め ること と す る。一
58
一
N
）
、1
，N
Ne
司
・削
↑
N
e ）・
CN （ 階 1 ）−
OH （ 盖 岡Fig
．
6 Test collditions forbearn
．
columnsMu
．
e〔±・
cml 1000 100 10 3 3 黜0 100 1000 凹”．
o 随・
oolFig
．
7 Test results and predictions of ultimate strength of beam．
columns 既往の 実験に はFig．6
の よ う に3
種 類の載 荷 方 法が あ る。 こ の 近似解で 求めた最 大 耐 力はFig．
6 （a），（c） の タイ プの実 験 値 と よく一
致 する こと が明らか になっ て い る6）・
7）。
（6 ）式で m を算 定する た め に は素 材の 引 張 強さと 短 柱の圧 縮 試 験の 降伏 応 力が必 要である。 実 験 資 料にお い て両 者が公 表さ れて い る場 合に は （6 ）式を用い て応 カー
ひずみ関 係 を 近 似し た。 短柱 圧 縮 試 験の応 カー
ひずみ 関係のみが 公 表 さ れて い る場 合に は，0．
4％ の残 留ひず み に対 応す る応 力 σ。t
、を用い て m を求め た。
す な わ ち1n
2
m
＝
ln
（。。．
、／。 y） 短 柱の圧縮 試 験の結果が 公表さ れて いない実 験 資 料と 熱 間圧 延の材 料 あるい は焼 鈍 材の 実 験 資 料は扱っ てい な い。
Fig．
6の すべ て の載 荷 方 法で は，
曲 げモー
メ⊃・ トが変 化 するの で，
最 大 曲げモー
メ ン トの実 験 値乢，
，と計 算 値 職 cとの関係 をFig．
7に示 す。 Fig．
6（a）タイ プでは，
一
部の実 験 値が計 算 値を下 回っ て いる。
これ は文献7
） の資 料であり，
そ の文 献に述べ ら れて い る よ う に局部座 屈の影 響 と 考えられ る。 また （b）タイ プで は，
実 験 値 は計 算 値 よりも若 干 高い こと が分か る。（c）タイ プでは，
（
ご Z b1 ／ ／ ／ ／ ／ ／ （卜
1u
．
附，
Nu
．
畍） ／θ
（
M
凵・
d・Nu，
d）M
〔t・
cm ）Fig
．
8 Definition of resistance of beam．
columns 耐 力に摩 擦 力の影 響が報 告 されている曲 げ耐 力の小さい 小 径の実 験 を 除い て，
計 算 値は実 験 値と よく一
致して い る。 総 じて実 験 値 と計 算 値の相 関は良好である。
Fig．
6（b
）の載 荷 方 法で は曲 げモー
メ ン トに こ う配が ある た めに等 価 曲 げモー
メ ン ト係 数Cm
を 考え な けれ ば なら ない。
しか し，実 験資料の細長 比 λが 小さい た め に， 塑 性 設 計 指 針13 ，の算 定 式で はCm
がほぼ 1．
0とな りCm
を考え ても設 計 値は変わ ら ない。
ま た，
こヒで行っ た解 析 方 法ではCm
の違い による耐 力の変 化 を表 現で き ない の で，
Fig，
6（b
）タイ プの λが大き な領 域における部 材 耐 力は考 察の対 象 外とす る。 4．
2 平 均 値と変 動 係 数 前述の部 材耐 力の数値解析 法か ら得た最大耐力を前述 の統 計 的 評 価 方 法に適用 して部 材 耐 力の 統計量 を求め る。
この場 合に，耐 力の変 動 を評 価す る方 法が問題と な る。
つ ま り，
荷 重の経 路が 明 ら かでな け れば，
耐 力の分散が 求め ら れ ない。 こ の問 題には多くの議 論が あ る が，
こ こ で はLRFD
］） と同様に，
Fig，
8
に示す よ う に荷重は M−
N 相関 図の原 点か ら直線で変化す ること と す る。 す な わちM ＝
＝
N ・
e と して，
偏心量 e は確 定量 と して変 動は ない もの と考 え る。
ま た，
こ の直線上で部材 耐 力が変動する こ とにな るの で， 部 材の最 大 耐 力の統 計量 を偏 心 圧 縮 柱の軸 方 向 耐 力Nu を用いてR
＝
ハlu・
V〆i
：F
−
≡葬F・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（14） の値で評 価 する。 ま た
，
Fig．
8の よ うに曲 げモー
メ ン ト を横 軸と し，
圧 縮 力を たて軸と し た と きの直線の角 度θ に対する R の変 動 係 数の 変 化を調べ る。 直 線の角 度 θ と荷 重 状 態にはN
1セm θ
＝
7
＝
万 の関 係 が ある。
こ こで，
θは荷 重 状 態 を表す変 数 とな り， 偏心 量の みで変化 す る確 定量であ る。
解 析の 変 数は細 長 比 λ＝
20，
40，
60，
80，
120と し，
2．
O 5 0＝
．
2
丶暉
．
コ
Z 0．
5 0 1．
5 0匸
．
、
Z 丶一
．
コ
Z 0．
5 0 1．
5 0【
．
2
丶．
．
コ
Z 0。
5 o1．
5 0【
．
2
丶・
．
2Z O．
5 01．
0 5 翫己
．
2
丶・
．
・
Z O。
50
｝．
0 1．
5 鬥・．
・！M卩．
・ 2．
0 0．
50
1．
0 1．
fi Mu．
■！Mp．
n 2．
0 0．
50
1．
0 1．
5 Mu．
購／門P，
n 2．
O 0．
50
1．
0 1．
5 門凵．
・！凹P．
n D！t±10馬
100 2．
0 ｛e 〕λ＝120
0 0．
5 1．
0 1．
5 2・
O Mu，
・！凹卩．
nFig
，
9 Mean Ψa 且ues Qf ultLrnate strengths of beam−
columns一
59
一
COVO
．
15 0。
10 0．
05 CNS＃5 Cese卜4 0 0 0．
1π D．
2π 0．
3π 0．
4π 0．
5π θ ‘陥 d〕Fig
．
10 Effect of dlfferences in several discreteヒechniques onvalue Qf COV 〔D／t
＝
30＞ M−
N 相 関 線が 90分 割する よ うに偏心 量 を 設定し， 径 厚 比D
／tは10か ら100 まで 10おきと し た。
なお， 外 径は165．
2mm
と した。最大 耐力の 1次 近 似の平 均 値を公 称の 降 伏 応 力 σy
．
n （2．
4t／cmZ ）で計 算 し た公 称の降 伏 軸 力Ny，
n と 全 塑 性 モー
メ ン トM
．，で無 次 元 化してFig．
9に示 す。
平 均 値 は公称の耐力に比べ て か な り高く な る。
また， 径 厚 比に よ り降 伏 応 力と引 張 強さ が変 化 する た めに， 最 大 耐 力の 平 均値も1
径厚比で変化して い る。 分 散につ いて は，
まず 前 述の数値微分におけ る刻み点 の違い によっ て どの程度の差が分散に現れ る かを検 討し た。 刻み の点によっ て分 散の差が顕 著な λ己120
の演 算 結 果をFig．
10に示 す。
Case
5の θが大きい場 合，
す な わ ち高 軸 力の場 合を除い て，
すべ て の演 算 結 果に大し た 差は ない 。 これ は，
中 心 圧 縮 柱と違っ て耐 力の確率密度 の分布形がいびつ で は ない こと を示 して い る。Case
5 を除け ば どの演 算 結 果 も大し た差がな い の で，Case
2
の演 算結果 を用いて以 下の考 察 をする。
演 算 結 果をFig，
11に示 す。
径 厚 比に よ る変動係 数の 変 化は λ＝
120の場 合に顕 著である。
ほ か の細長 比では，
径 厚 比に よる変 化は ほとんどない。
ま た，
θ に対す る変 動 係 数の変化は細 長 比によ り異な る。
変 動 係 数と平均 値の変 化は複雑で あ り，LRFD
方 式 の設 計におい て必 要な低 減 係 数と平 均 値 を 簡 単な 形で表 すこと はで き ない もの と考え ら れ る。
5．
設計耐力 の 考察 5．
1 全 塑性限界耐力 冷 間 成 形 材の よ うに降伏 棚が現れ ない材料で は，
全 塑 性モー
メ ン トの評価自体に問 題 が あ る。
現 在の耐 力 設 計 で は， ひずみ硬 化による耐 力の上 昇を見 込んで い ない の で， 全 塑 性モー
メ ン トが設計に使用す る部材耐 力の最 大 値であると考え ら れ る。
し か し，
明 瞭な降 伏 棚が現れ な い 場合に は徐々 に応カー
ひずみ関 係の剛 性が変 化す る た め に，
全 塑性モー
メン トを設 計の最 大 値と して良いのか ど う か不 明であ る。
本 論で は， 0．
2％の残留ひずみ に対 応 する応 力 を降 伏 応 力 としてい る が， この値を用い て算 定し た 全 塑性モー
メ ン トと部 材 耐 力との関 係 も定か でな い。
一一
60
一
COVD，
15 0．
10 0．
05 D／t＝
10贈
1DO 000
．
1π O．
2π O．
3π 0．
4π 0．
5π θ 1「Ed 〕 〔a
〕λ＝20
COVO．
15 O．
10 0。
05 0 〔b
D／t＝
10閹
100 COVO。
15 0．
10 0．
05 O O．
1n O．
2π O．
3K O．
4rt O．
5π 0 〔C θ tred） λ＝40
D！t言
10嘲
100 COVO．
15 0．
10 0．
05 0 0．
1π 0．
2π 0・
3π 0．
4疋 0。
5rt θ tred ） λ＝60
D！t≡
10−
100 0 。 0．
1． 02 。 0．
3。 0．
4rt 。．
：i． θ lredl ［d
｝λ＝80
COVO．
15 0．
10 O，
05 D／t＝
10陶
100 O O O．
1π 0．
2π O．
3π 0．
4π O．
！iπ θlraの 【e
〕 λ＝120
Fig
．
11 COV of ultimate strengths Qf beam．
columnsそ こで
，
短柱 （λ一
20 ）の最大 耐 力が全 塑性 状態の限 界 耐力であ る と して， これ を 全 塑性モー
メン トの計 算 値 と 比 較して み る。
6 54 β 321 0 0 0
．
1π 0．
2π O．
3n O．
4π 0．
5π θ lred ）Fig
．
12
Safety index for full plastic limit state計値
1V
喇 と曲げに対す る設計値Mzad
との関 係は鴛
一
・ ・s（
π Nv，
d2Ns．
d）
…・
……・
・
…・
……一 ・
（15） ただしMp，
d＝
Zp
・
ay，
el：設 計 用 全 塑 性モー
メ ン ト Nyri＝
A・
σs，
dl
設 計 用 降 伏 軸 力 σ。，
d ：設 計 用 降 伏 応 力，
Z ． ：塑 性 断 面 係 数A
：断 面 積 Fig．
8に示す よ うに 廻嘸 と1V昭 は MKd＝
Nzaa・
e を満足 す る と し てR
，＝N
、、d’
s／i
’
IF5T と したRd
を設計用 限 界 耐 力と す る。 た だ し，
（15） 式 で は数 式の形でR
．を与ネること ができな い の で，
2分 法で上記の条件を満足する （ユ5 ＞式の根を求める。
また，
Fig，
11に示 し たR
の 変 動 係 数 ζ。 を考 慮し て R．と R の平 均 値Rm
との関 係を調べ る。 その た めの指 標とし て ln（Rth／Rd）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（16） β’
＝
ζ， β’
はLRFD
方式 の安全指 標 βに分 離 定 数a を か け た もの と等 しい。
ま た，
荷 重の 変 動を考えない 場合に は，
設 計 変 数に よっ て β’
が変 化し な けれ ば安 全 性が一
定で ある といえ る。 （15） 式の設 計 用 降 伏 応 力 ay，
d に公 称の降 伏 応 力σy．
n （2．
4t／cmZ ）を用い た β’
をFig，
12に示 す。
β’
は径 厚 比で大き く変化 して いる。 し か し，
θに対しては あ まり 変 化し ていない。
これ は， （15
）式 は妥 当で あ り，
公称 の降 伏 応 力 とした設 計 用 降 伏 応 力に問題が あ ること を示 してい る。
そこで， （7 ）式の圧縮試 験の降伏応 力の統 計量 に基 づい て設 計 用 降 伏 応 力 を与え る。
す な わ ち，LRFD
方 式と同様に σ y．
d＝＝ ay，
パ exp （−
fla
・
ζ1）Z
ρ と A を確 定量 とし て い る た め に，
こ の式 中の β。
はMp
とN
。の 安 全 指 標と考えること ができ る。 しか し，
降 伏 応 力 ay は0．2
％の残留ひずみに対応 す る 応力であ 65 4 β 3 2 コ 0 0 0．
1π 0，
2；匸 0・
3π Og4π O．
57匸 θ Cred】Fig
．
13Safety
index controlLed by statistical data of compress．
ed yield stresses （β巳
＝
3．
0） り， その ay で与え たMp
とNy の計
算 値が部 材の曲 げ耐 力 と圧 縮 耐 力 を 表し てい るとはい え ない。
そのた めに， β。
を与えた設 計 用 降 伏 応 力 を 用い て 求め たR
αと 曲 げ と 圧 縮を受け る短 柱の 限 界耐 力の平 均 値Rm
とを 比 較 し て， β’
と βa が等しい かどう か検討す る必要が ある。
βα と β’
が等 し けれ ば， その設 計 用 降 伏 応 力は部 材 耐 力の 評 価に適切で ある とい え る。
β。
＝
3．
0と し た設 計 用 降 伏 応 力 を 用い て （15） 式 に基づい てR4
を 算 定 し た。
Fig．
13に計 算 結 果 を 示 す。 径 厚 比の変 化に伴 う降 伏 応 力の 変化 と部材 耐力の 変化は一
致 し な い た め に，
Fjg．13
の よ うに径 厚 比に よっ て β’
は変化す る。 ま た，
β。とβ’
は か な り異な る値で あ る。
これ は， 部材耐 力の 統 計 量が素 材の応 カー
ひずみ関 係に お け る降 伏 応 力の統 計 量ほど 径厚比の影 響を受け ない た め で あ る。
す な わ ち， 降 伏 応 力が高い場 合に は， 降 伏 比が萵く な り硬 化 指 数m は大き く な る。
し たがっ て， 降 伏 応 力 近 傍での応 力上 昇率は小さ く な り，
ほぼ降伏応力で部材の 最大 耐力が決ま る。 逆に降伏応力が低いと m が小さ く な り，
応 力の上 昇率は大き く な り，
ひずみの増 加が小さ く て も応 力はか な り上 昇す るの で，
部材の最大耐力は全 塑 性モー
メ ン トよ り も高 く な る。
つ ま り， 降 伏 応 力と m の変 化が部 材 耐 力に与える影 響は相 殺される ので，
降 伏 応 力の統 計 量に お ける径 厚 比の影 響がそ のま ま部 材 耐 力には現れ ない。 こ れ は，O．
2
％の残 留ひずみ よ り も若 干 大き なひずみ 領 域の応 力の統 計 量を部 材 耐 力の設 計に使 用すれば良い ことを示してい る。 し か し，
その よ う な応 力の統 計 量 を 求め るの は困 難であ るの で，
引張 試 験の降 伏 応 力 を使 用 し て み る。 引 張 試 験の 降 伏 応 力tay は， 圧縮の降 伏 応 力 に比 較して分 散は小 さく，
平 均 値は若 干 高く な り径 厚 比 の影 響が小 さい9 ）。
tay
−
・．
・畷
乎
）
… （・／・m・）一 ・
……・
・
（17
）COV
＝ o．
109 こ の統 計 量 を用い て設 計 用 降 伏 応 力 を与え る と一
61
一
6FO4 β 3 21 0 0 0
．
1π 0．
2π 0．
3π 0．
4π 0．
5π θ〔r 巳のFig
．
14 Safety index controHed by stat 正sticai data of tensi【e yie皇d stresses （β。
＝
3．
0） σ y，
d＝
t σy，
m・
exp （一
βa・
ζ4）……・
…・
・
・
・
……・
・
…
（18
）Fig，
14 にβ。＝3．
0
と し た 場合の β’
を 示 す。
β’
は径 厚 比にか か わ り な く ほ ぼ3．
0
であ る。 つま り，
安 全 性 を一
定に す る た め に は （18
）式を用いて （15
）式の 肱d と 凡 d を 与 え れ ば よい といえ る。
た だ し， この 結果は λ＝ 20の部 材の最 大 耐 力と比 較 し た場 合であり，
細 長 比の値 が 変わ れば （18
）式との関 係も変 化するもの と考え られ る。
5．
2 曲げ圧 縮 限 界 耐 力 曲 げと圧 縮 を 受 ける部 材の設 計には，
圧 縮 を受け る部 材の設計耐 力 1V。r を用いた相関 式が一
般に下 式で与え ら れて いる。
壘
＋晦
Nc
＝
1．
0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
（19） 「（
−
Nzad1
N，）
脇 ただし， N， ：オイラー
座 屈 強 度 圧縮を受ける冷間成 形 部 材の耐 力の平 均 値や分 散は熱 間圧延材と異なっ てい る。
また， N，．
の既 往の設 計 式 を 冷間 成 形部材に適 応し た場 合に は， 短 柱の領 域 （λ＜30 ） を 除 く と，
設計 式と部 材 耐 力と の不一
致よりも径 厚 比で 安 全 性が変 化する割 合の方が大きい9）。 こ れ ら は，
圧 延 材とは別の設 計 式が冷 間 成 形 材に必要なこと を示 して い る。 し か し，
そ れ らの こ とを設 計に反 映す る た めの考 察 は不 十 分で あ る。
ま た，一
般に短柱領域でのN 。
r の低 減 係 数とMp
の低 減 係 数は 同 じ値が与え ら れ るこ と が多い の で，
これ らの低 減 係 数の値につ い て は考 察し ない。
設計 変 数 θ に対して一
定の安 全 性 を 確 保で きる方 法 につ い て考察す る。
その た めに， 細 長 比に よ る耐 力の平 均値の変化と低減係数の変化 が 含 まれ た表 現で ある塑 性 設 計 指 針ls）o
設 計 式をN
，r と し て 用い る。 す な わ ち，
STK
41材で は Ncr O≦λ≦30の場 合＝
1．
O
Ns・・〈 ・≦・2・ の場 合
旛
一
1・
・一
・… 6（・一
・・）一 62 一
87 65 β 43 21 0 0 0●
1π O．
2π O．
3
π 0．
4π D．
5π θ lrad ）Fig
．
15Safety
index usi ロg linear interaction equatio ロs （D／t＝
30）
・＞
12
・ の駘 晦鶚
…・
……・
………・
…・
………・
（20） ま た， （19
）式のMp
と （20 ）式のNy
の計 算に は公 称 の降 伏応 力 σ。．
n を使用 する。
公 称の降 伏 応 力 を 用いるこ とで，
そ れぞれ に低 減 係 数を含んで お り， （19），（20 ） 式は設 計 耐 力 を与え ること とする。
以上の ことに基づい て，
曲げ圧 縮 限 界 状 態の β’
を 求 め た。
β’
の変 化は 径 厚 比 が異なる場 合に もθ に対し て は よ く似た傾向と な る ので，
こ こ で は一
例と して D／t ；30
の演 算結果 をFig．
15に示す。
文 献1）で はfl
の 値を1．
65 （α＝0。55，
β＝3．
O
）とし て い る ことか ら判 断 す る と，
（19） 式に基づけば全 体 的に安 金 側の評 価 とな る こと がFig
．
15か ら分か る。
し か し，
λ＝
120 を除い て θが大きくなる とβ’
が小さくな る傾 向が あ る。
こ の傾 向は，H
形 鋼 部 材 を対 象に設 定さ れ た （19 ）式 が円形 断 面の部 材 耐 力を表せ な い た め に生じ たもの と考え られ る。
前 項で示 し た よ う に，
円形 断 面の全 塑 性 状態の設 計 式 （15）式とλ＝
20の限 界 耐 力 を比 較し た場 合には，
θに 対して β’
は変化 し ない。
ま た，Fig．
15
中の λ＝’
40，60，
80の β’
の変 化は λ＝
20の変 化と同じ傾 向 が ある か ら， （15） 式に基づい た相 関 式 を 曲 げ圧 縮 限 界 状 態の設 計に 用い る こ と が必 要で ある と考え られ る。
（15＞ 式に基づ い て，Sherman
は（
1
弌
識藷
一
・・S（
πN
”d2 ハ1cr
）
一 ・
……
（21 ） の相 関 式を使 用 し て い る17 ）。 この 相 関 式を用い て β’
を 求めるとFig、
16と なり，
短 柱の領 域 （λ＝
20，
40 ）で は，
θ に対してほ ぼ一
定の β’
と な る。 し か し，
λが60以上 で はθが 小 さ く な る と β’
は 低下し て い る。
また，
細長 比が大き く な るにつ れ てその傾向は著しい。
これは，
冷654 β 321 D O O
．
1π 0。
2π 0。
3π 0。
4π O，
5n θ Cred ｝Flg
．
16 Safety index using interaction curves of CHS （D／t＝
30） 65 4 β 3 21 0 0 0
．
lrt O．
2π 0．
3π 0．
4π 0．
5π θCred）Fig
．
17 Safety lndex using factored inte［action curves 〔D／t＝
30） 間成 形 材では かな り小さ なひずみ の領域で非 弾 性 挙 動が み ら れ ること が，
部 材 耐 力に影 響す る た めと考え ら れ る。
こ の現 象は評 価し て お く必 要がある。
低 減 係 数 ψ を用 い た相 関 式とし て〔、
．
、．
翫
調舞
一
・ ・s（
晋
籍
）
……・
・
（22） を想 定し，di
＝・
1．
3と す る と θに対して β’
は ほ ぼ一
定の 値で あっ た。 そ の演 算結果をFig．
17
に示す。
径 厚 比が 30の場合には，
λ＝ 20，
120 を除い て β’は ほぼ2．
0 とな る。
λ＝120
で は， θに対して β「
は大 き く変 化 してお り，
その最 低 値は ほ か の細 長 比の値と お お む ね等しい。
ま た，
λ＝
・
20で は，
β’
は ほ か の細 長比の結 果と 比較して格 段に 大き な値であ る。．
これ らの結果は，
安全性の評価に既往 の設計式 （20
）式 を使用 し たこと に起因 し て お り，N
。。
の設 計 値には再考の余地があるとい え る。
図示し てい ない が， 径
原
比が変 化するとB
’
の値 自体 は変化す る が，
θに対し て は変 化し な くて ほぼ一
定の値 であっ た。
実験 資料の 限 界耐 力Re
と （22 ）式 を用い て求め た設 計用 限 界耐力R
，をFig
」8
に比 較す る。
こ の図に単 位 を示して い ない の は，
偏心 量 e に よっ てRe
とRd
の単Re100D
10D 10 RdF◎
．
18 Test results compared wiしh factored resistances位が変 化 する ためであ る。
Re
とRd
の値は e （cm ），
N
（t）と し て算 定 し て い る。 また，
実 験 資 料に はSTK
50
相当の材 料 が あるの で，
その実 験 資 料につ いて は σy．
n＝
3．
3t／cmZ とし て R， を 計 算 して いる。 実 験 資 料の数 が限 られ て い る上に，
実 験変数に偏 りが あり，
同一
素材 の実 験 が 多い。
こ の よ う な実 験 資 料 との比 較では，
前 述 のNc
。の問 題 や径 厚 比に よる安 全性の変 化を明ら かに で き な い が，
Fig．
18に よ れ ば （22 ）式を用い た設計値は 存 在 軸 力や曲 げモー
メ ン トに関係な く お お む ね一
定の安 全 性を与えて いる といえ る。6．
ま と め 曲げ と 圧縮を受け る部材耐力につ いて の統 計 的な評価 の結果を ま と め る。
（1
）加 工 後の応 カー
ひずみ関 係 を与える モ デル の係「
数につ い て， 統計 的に応 用が可 能な形で簡 便な近 似 式を 得た。
（2 ） 十 分な精 度の ある部 材 耐 力の近 似 解に応 カー
ひ ずみ関係の モデル を用い てその妥当性を確 認した。
（3 ）1
次近似の平 均値と 分散を数 値 的に求め た。
そ の結果，
曲げ と 圧縮 を受け る部 材の最 大 耐 力の統 計 量は 径 厚比，
軸力比， 細 長 比に よ り変 化し た。
（4
） 素材の降 伏 応 力の統 計 量 を用い た低 減 係 数 を 降 伏 軸 力 と全 塑 性モー
メ ン トに与え ること が，
全 塑 性 限 界 状 態の設 計に有 効である こ と が分か っ た。 （5） 現 在の設 計に使 用さ れ てい る曲げ 圧縮 耐力の相 関 式は，
円形 鋼 管 部 材に対し て適切 な 設計 耐 力を与え な くて，
荷 重 状 態によ．
り安 全 性が変化 した。
円 形断面の全 塑性状態にお け る相関 式に基づい た曲 げ圧 縮 耐 力の相 関 式では，
細長 比 が大き く な る と危 険 側の評価と なっ た。
特 殊な低減係数 を その相関 式に与える と， ほ ぼ一
定の安 全 性が確 保で き た。 これ らの こと か ら，
曲げ と 圧縮を受け る冷間 成形 円形 鋼 管 部材の耐 力を統 計 的に評 価でき た といえ る。し か し，
一 63 一
初 期 不 整な どの幾 何 学 的な不 整 を考 慮し て い ない
。
ま た，
具 体 的な低 減 係 数の表 現 を避けて， 既 往の設計式を基準 に して安 全 性の評 価 を して いる。 初 期 不 整の問題は実際 の構 造 物の施工程 度 を考 慮 し た上で考え るべ き問題で あ り， ほ か の形 鋼と統一
され る必 要 が ある。
ま た ， 低減係 数 を与え る ために必 要 な安 全 指 標 と分 離 定 数の値も荷重 状 態などを考 慮し た上で統一
され るべ き で あ る。
これ ら の ことが成され た後に， よ り合 理 的な評 価 を行う予 定で あ る。 謝 辞 本 研 究は文 部 省 科 学 研 究 費 （総 合 A No．
63302052 代表 者五 十嵐 定 義）お よ び東レ科 学 振 興 会の援 助 を 受け た。
記して感 謝し ま す。
参 考 文 献1）
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3SYNOPSIS
UDC:624.014.2:691.714:62-462
STATISTICAL
EVALUATION
OF
ULTIMATE
CAPACITIES
OF
COLD-FORMED
CIRCVLAR
TUBULAR
BEAM-COLUMNS
'
by,KENSHI
OCHI,
ResearchAssistant,Kurnamoto'
sity, and Dr.\OSHIAKI KUROBANE, Professer,
mote University,Members of A.I.
J.
This
paper presents results ofqn
analysis of ultimatebehavior
of tubularbeam-columns
based
on.statisticaldata
for
cold-formed circular tubesunder combihedbending
and axialloads.
The
conclusionsdrawn
are summarized asfollows
:(1)
The
hardening
exponent includedin
a stress-strain model fortubular sections after cold-formiqg wasfound
tobe
representedby
a simplefunctien
of yield ratio.Statistics
of theyield Tatio weredetermi"ed
by
using statistical dataon compressive yield stresses and ultimate tensile strengths.
(
2)
Mean
values and'coefficients
of variation of the column buckling strengths were obtainedby
using asemi-probabilistic numerical approach. These values were
found
toagree well with exactyalues.
(
3)
A simple theoretical approachbased
on a proposed stress-straininodel
wasfound
tobe
capable ofpreting ultimate strengths of tubular
beam-columns
inthe existingdata
base,
Numerical
analysis accordingtothe
first
order prebabilisticapproximation was carried ouf todetermine
mean values and coefficients ofvariation of resistances.ef tubular
