一端数期間に於ける複利利息ビ畢利利息
利息計算忙於て一定の尭金に封し利息が単に親閲に比例するものとして算出する箪別法と、叫定期制の利息を
前期の兎金に繰入れて其元利を元金として英明の利息を罫出する複利法とあるは吾人の既に知れる虚にして、此
爾払は財産評償金錦貸借其他種々利点計算に於ける基礎問題なるに是に就て詳細に其関係を論じたるもの少きを
以て聯か吾人の研究せる虎を記述せんとす。
期間が五年、拾年等の整数年間の長期の場合に於で利息計算期︵利息堅先金に繰入れる畢位期間︶年年或竺年毎に生する利子は投下資本と岡這看倣し得ペきを以つて是を元金に加算したる党利を兎金として利息を算出
する複利法には理論上及驚際上諸聾者之に何等異議なきものなれ共叫年未満の端数期間に於ける利息計算に就て
商工経済研究 弟七巻止第二携︵㌍㌘抽費桝︶
複利法より観たる温別法複利法より観圭る畢利法
條 時 重
︵八草︶＋﹂第七巻 第 二 渋 ︵八四︶ こ は理論上聾者の確たる軸足の詮無きもの1如し。端数期間に勤しても侍複利法を採用して可なりと云ふ詮には何 等蔽密なる理論的根接なきものなり。此柾の論者は単位元金に勤し・もを年利率としユノ年の利息をぞこすもとき 8年中エ‘年がそ簡ある故に ︵︼ 十且∼＝︵︼ ＋エ叱⋮⋮⋮⋮︵−︶ 8“＝︵−＋量芸−∴丁⋮・⋮︰⋮・︵M︶ 因つて端数期間に於ても複利法を採用して可なりとせり。然れ共此詮明には端数期間にも復利迭の合理性を前以 って認め常に比例的に斯くなると云ふに過ぎすして、毎年宋或は毎年年末利息を尭金に繰入れると云ふ嘗際の場 合には、叫年末或は牛年末に於て始めて利息を生じそれが元金と同二慣値を有する苺になり、其期間の中途に於 ては嘗質的に利息が生じっ1あるも驚際的表面に現れるものと云ふを縛ず、此意味に於て上述の如く端歌期間の 利息ガが資金と同二槻され元金に繰込み次偶の元利を計算すると云ふM式の成立に暫際的に明瞭を快ぐ難鮎あり 更に復利法採用論者は若し端数期間に畢利法を採用するときはそれは一年末に於て大に過ぎ誤算を生ゃると云ふ 即1芯年の利息をユmとするとき
︵1・中︶㌦︸1︰∴軋≠†⋮︰＞＝丸
然れ共罪刑法の場合にはあくまで利息は期間に正比例すると云ふ原則にして上式の如くならす仙年末の元利は︼．＋ 巨×彗＝i十申 ごー とすべきなり。唯単利法は端数期間に於て複利法に比較して大なりと云ひ得るに過きす。然し他方端数期間に単 利法を採用する方がより合理的なりど云ふ理論的根操もなし。以上の所論に依りて吾人は端数期間に就ては単利 複利開法とも何れが理論上正確であると断富するを得す、然れ英語単著の意見を結合するに利息は毎年或は毎学 年等の利息計算期宋に外聞に現れて中途の期間忙は現れなく共時の経過と共に嘗質的に増加し其利子も資金と同 一性質を有するものと看倣し得ペく、此見地より端数期間にも複利法を掟用する方が畢利法を採用するよりも幾 分理論的に近きものと云ふを得ペし。然し理論上の計算に複利法が便宜なる事あらんも茸際計算には煩雑にして 端数期間には単利法が多く採用せらる1のである。 〓 叫般期間に於ける複利法より観たる峯刑法 単位元金に封するれ年間の元利合計を見るに
此式の右蓮の級数第三項以下を切持つ名寄に依りて単利法の元利金を得べく切開少なる時は弼艶α去少なりと云
ひ得べし。簡単複繭元利金の差額を求むれぼ 複利洩より親たる単利法 h＝︵︼ ＋￡ヾ−−1−十已＋ 足首−い︶ −．柏 忠十 串︵声−−︶へき一帖︶ ー．M．餌 ℃十⋮ン・︰・︵∽︶ ︵八五︶ 三ー．匝 右の開式伸何より次の結果を得ペし ○∧−十獣110十音＜はハ恒㌦ ︵P︶ 期間が二筒年を超ゆる場合︵茅＞︼︶ 伺 飽が正巻数なるとき 夢七巻 発二戟 ︵イ︶ 期間が〓園年末浦なる場合︵串∧C
∵十数−○†萱・・鵡弔÷
此場合には上述桝式の右近各項は正数にして即 ︵ト十軋︶さ＝−十数十レE陛爵㊦痢 ︵︻＋軋し亭＞−＋き軋⋮︰・︰︰⋮︰︵J 拘 期間が一騎年を超へ且璃敬期間の附せる場合 さ＝匡 ℃＞q なるとき 喧︵ニ首‖＝官十掴弔‡
3︵↓−さ︶ ︰∴、︶÷ 苧○−ヰX由1凰 忠⋮⋮⋮︰⋮⋮八e ︼． ド 餌 叉㌢⊥×す⊥︶ ︼． 柏． ∽ 諺○−さ︶︵柏−ヾ㌣︶︵∽−ヾじヱ丁描エ！⋮⋮・⋮⋮：︵8
︼．ド ㌢ 中 ︵γ贈軋︶十⋮：︵e ︵八六︶ 四‖＝‡︵丁叫︶飛＋︵丁叫︶︵丁叫︶飛＋⋮⋮・︵∞︶
之と同棲にして
︵＝叫︶心＝＝：︵丁叫︶璃エT叫︶︵丁函︶飛†・⋮︵￠︶
此勒朽網式に於て
セ＞エ丁叫︶＞︵丁喝1︼︶ゝl叫＞︵丁叫︶．故に桝式の右撃二項目以下の各項は㈱式の右遜三項目以下の各項より大にして従って
○＋号＞︵；叫エ。 ○十号、〇＞︼十匝∵⋮⋮⋮00︶鴫
因つて期間が二筒年を超ゆる婁合には複利法の元利金は単利法の元利金より大にして年数の増大と共に其差額益
々大となるべし。之に反して期間が二蘭年未満のときは複利法の元利金は単利法の元利金より小にして其差額も
僅少なり。
三一定利率に於ける畢複繭元利金差額が
一萬分切2より小なる期間 複利法はり観たる翠剣法 ︵八七︶ 五吾人は題意の性質上期間が少なる制限の方を求め居る故に上述曲式の後者を採用し其pを1・2︰ヱ等と筐く事に 依り各一定利率に於ける畢複南利息差額が二等二苧三毛等より小なる期間を求め得べく之を資際に計算する事 により次の表が得られたり。 第七∴令 弟こ廟 期間を側箇年末満として蘭蓮㈲式より
＝串γ︵︰号＜怪肌恒霊
因って題意によりh 区廿伍定 ＜車 持 分母を彿ひ移項する事により も軋ご○︻−も︼○−＋ぜ∨○ 之を因数に分解する事により ・さ＞中十︵㌦描射度鮎洋ス
ュOJ＋＼司りd ＼恵J割﹁〓J ご岩−Ⅰ．伽で 矧轟曳Ⅵ−−︰⋮⋮⋮・︵ご︶ ︵八八︶ 六右の表の詮明の鶉め例示すれば年利率五分にては七拾蓼日以内なるとき軍使元金に勤して畢利複利爾利息差額は 高々萬分の二即百囲に付僅かに就餞なりと云ふが如し。本表は㈹式により求めたるも本例に於て賛際計算すれぼ
梢−ヱ＝姦×綽一︵；・。蔓ユ‖璃b−澄
因つて㈹式は可なり精確なる啓を知り得たり。 四一定利率に於ける軍制徴利再刊息差額の分布状態 詮明の便宜上苦例として元金千固より生する年五分の単利複利丙利息差額の虞倍を示せば 複利法より棚たる翠刑法鶴 1 勤
︵八九︶ 七右表に依りて畢利複利粥利息差額を見るに二筒月と十︼筒月とに於ける差額は殆んど相等しく、二節月と十箇月 との差とは約相等しく、以下同様にして即六筒月を基準として両側に差額は均等に分布せられ居る状態なり。次 に之を叫般理論的に澄明すれば 呼声＝︼ ＋已−︵−＋丸︶革 と磋き此式に ヾ㌣＝ヂさ＝−−βを代入すれぼ
二 三l−−二 こ−■・二■
二∵■−−∴
＝︵丁哲︶㌣−人︺⊥・むよ︵︼−T料1︵−＋蔓︶ 第 二 表 温習忍l容 ＿ ﹁J 2 3 4 5 ス︼−己︵︼−哲︶ ニ ∼“＋聖 ︺蝉叶㊦慮⋮⋮︰⋮⋮・︵一帖︶ 6 7 8 9 10 ︵九〇︶ 入此式の右遼第二項以下を切持てたる恰は戎m帥なる政忙正にして且非常に小なる値にして之を嘗例によりて見る 忙元金千固より生する年利率五分の九箇月に於ける単複弼利息差額を此胆式によりて求むれば祝＝帥即ち × 峨−・害×車A−“×車×中×・。。。−璧サ‖り戒・。。N 備前表による虞の単複雨利息斉額は 哺．柏“○− 概．柏謎 ‖ 峨．〇〇相 国って前述の如く革夜雨利息差額は約六倍月を基準として均等に分布せられ居ると思考して可なるべし。 五一定利率に於て最大畢複爾利息差額を生ずる期間 畢複爾利息差額は約午年日に於て最大となることは前の第二表に於て見る如くなれ共英一般理論的精密なる期間 を求めんに 璧11 ︻十計−︵︻十軋︶事 柄退を欒敏昭につき微分して零と患く事により其雨利息差額を最大ならしむる期間を得べし︵此設明暑︶即 ○＼十サY−＝や盲昏︵−＋丸︶ 右連を展開する寄に依り 態 ○十寺＝．十両！墾！：⋮⋮⋮ 毯利法より観たる単利法 合 計 11㌣1︵−＋軋︶ェ童鴫︵−十軋︶＝○ ︵九こ 九
串 ︼﹂、 ‖＝∴∴∴±一∵ご 柏帖A ∴∵︰・二・﹁∵ ︷、こ二÷∴∵つ 因って液大軍複繭利息美顔を生する期間は ＋
言⋮⋮：・︵︼∽︶
此式の倍を驚例に就て見るに年利率五分とするとき○、露〇二叫年約百八十二言Hに於て最大差額を採る事となり 牛年に非常に近き値を有す。 六一定利率に於ける最大単複南利息差額 求むる最大軍役雨利息差額を扁とすれぽ前述の故大差覇を生する期間の㈹式を用ひる事に依り 苧‖→∵十︵車＋撃−︵∵十音ミき哀 此式の右遼を展開する寄によりて 丸山 叫︰い ぎU＝−叫−− Jの−＋聖泣ト8慮 葦七舎 弟二番 爾遼の封数を探る事に依り ︵九ニ︶ 血○・・tざ‖車︵I車︶⋮⋮⋮⋮︵忘︶
