解答速報ご利用にあたっての注意事項解答速報のご利用につきましては以下の内容をご確認ご了承のうえご利用ください解答速報はハピスマ大学独自の見解に基づきサービスとして情報を提供するものであり公益社団法人日本アクチュアリー会による本試験の結果 ( 合格基準点合否など ) について保証するもの

(1)

解答速報ご利用にあたっての注意事項解答速報のご利用につきましては、以下の内容をご確認・ご了承のうえご利用ください。解答速報はハピスマ大学独自の見解に基づき、サービスとして情報を提供するものであり、公益社団法人日本アクチュアリー会による本試験の結果（合格基準点・合否など）について保証するものではございません。試験の詳細につきましては、公益社団法人日本アクチュアリー会にお問合せください。解答速報の内容につきましては将来予告なく変更する場合がございます。予めご了承ください。解答速報は、ハピスマ大学の予想解答です。解答に関するご質問はお受けしておりませんので、予めご了承ください。解答速報の著作権はハピスマ大学に帰属します。許可無く一切の転用・転載を禁じます。

(2)

平成26 年度日本アクチュアリー会資格試験（生保数理）解答案問題１（１）元金を

S

、返済期間を

n

、年間の返済回数を

k

、金利を

i

とする。まず、元利均等返済の毎年の返済額を

R

とすると、教科書（上巻）28 ページ(1.11.1)より、  k n

a

S

R

|



となるので、総返済額は、 _{ }_k n

a

S

n

R

n

|







・・・ ① 次に、元金均等返済について、1 回目の返済額は、「元金部分」＋「利息部分」と分解でき、このうち、「元金部分」は、

n

S

となり、「利息部分」は元金

S

に対応する利息となるため、

i

S



となるので、1 回目の返済額は、

S

i

n

S

_

_

となる。 2 回目の返済額は、「元金部分」は 1 回目と同額であるが、「利息部分」は元金

S

から1 回目の返済額

n

S

を控除した金額に対応する利息となり、

i

n

S

i

n

S













 

















 

1

となるため、

i

n

S

n

S

_











 





1

となる。同様に、３回目以降の返済額も「利息部分」だけが減少していくため、総返済額は、













_



_

















_













_











i

n

S

i

n

t

S

n

S

n t

2

1

1 ・・・ ② ①②より、求める値は、    

≒

9986

.

24

35

02 .

0

2

1

35

1

2

1

2

1

| |



























_



_



k n k n

a

n

i

n

a

S

n

i

n

S

0.971 解答：（C）（注）元利均等返済に比べて元金均等返済の方が元本を早期に返済できるため、返済総額は元金均等返済の方が小さくなり、選択肢は（A）～（E）に限定される。（２）2 重脱退表における

A

脱退者の脱退時平均年齢は、教科書に公式等が明示されていないため、単生命表および多重脱退表の結果を組み合わせて考える。まず、脱退時平均年齢とは、単生命表の脱退（＝死亡）時の平均年齢と考えられるため、平均余命に相当し、教科書（上巻）60 ページの下から５行目に“生存年数の和

tl

xt



xt

dt

” という表現がある。したがって、

A

脱退を考えた場合、脱退までの年数の和は、

tl

_x__t



_xA__t

dt

となり、それに対応する分母は（40 歳以上での）

A

脱退者の総数となるので、教科書（上

(3)

巻）60 ページ(2.5.3)等を参考にすれば、

A

脱退者の平均脱退年数は、



                       



_x A t x t x t x _A t x t x t x A t x x t x x A t x x t x x A t x t x x _A t x t x x x x A t x t x x _A t x t x

dt

p

dt

p

t

dt

l

dt

l

t

dt

l

dt

tl

l

dt

l

dt

tl

       



0 0 0 0 0 0 0 0

1

・・・ ① 一方、教科書（上巻）57 ページ(2.4.12)より、



n xtdt x n

p

e

0 ・・・ ② また、教科書（上巻）92 ページ(3.2.17)より、 B x A x x







・・・ ③ ①②③および与えられた条件から、まず、①の分子は、



           







40 100 0 05 . 0 40 100 1 0 05 . 0 100 1

40

100

1

100

1

0 0

dt

t

te

dt

t

x

te

t t _dt t x dt t x     





_





 _ 60    0 05 . 0 60 log 60 0 05 . 0 60 1

60

1

60

1

₀ 0

dt

t

te

dt

t

te

t t t t dt t



 

_









60 0 05 . 0 60 0 05 . 0 60 0 05 . 0 60 60 log

60

1

60

1

60

1 dt

te

dt

t

e

t

dt

t

te

t t t t

































































 



60  0 05 . 0 60 0 05 . 0 60 0 05 . 0

05 .

0

1

05 .

0

1

60

1

05 .

0

1

60

1 dt

e

t

dt

e

dt

d

t

t t t 60 0 05 . 0 3 60 0 05 . 0 60 05 . 0

05 .

0

1

3

1

05 .

0

1

05 .

0

1

05 .

0

1

60

1 



























_

















    



t t

e

dt

e

₂ 5 3 3 3

05 .

0

1

3

4

15 .

0

1

05 .

0

1

3

4

15 .

0

1

05 .

0

1

05 .

0

1

3

1

05 .

0

1

    

_

_

_

_

_

_

_











_









e

3461444

.

5 1353

.

0 0067

.

0

05 .

0

1

3

4

15 .

0

1 ≒







・・・ ④ 同様に、①の分母は、









          60 0 05 . 0 60 1 0 05 . 0 100 1

60

1

100

1

0 0

dt

t

e

dt

t

x

e

t t _dt t x dt t x     





_





   60  0 05 . 0 60 60 log 60 0 05 . 0 60 log

60

1

60

1

0

_dt

t

e

dt

t

e

t t t t t





_





60 0 05 . 0 60 0 05 . 0

60

1

60

1

60

60 dt

e

dt

t

e

t

t t 60 0 05 . 0

05 .

0

1

60

1 











 t

e













_





3

05 .

0

1

05 .

0

1

60

1 e

3 1353

.

0 0067

.

0

1

3

1

3

1

2 5 3













  

e

3168268

.

0 ≒

・・・ ⑤

(4)

①④⑤より、

A

脱退者の平均脱退年数は、

16 .

874 3168268

.

0 3461444

.

5 ≒

となるので、求める平均年齢は

40 

16 .

874 

56 .

874

歳となる。解答：（E）（３）（A）について、教科書（上巻）16 ページ(1.6.3)より誤り。（B）について、教科書（上巻）106 ページ(4.3.10)より誤り。（C）について、教科書（上巻）42 ページ(2.1.1)および教科書（上巻）129 ページ(4.10.3)より誤り。（D）について、教科書（上巻）126 ページ(4.8.8)より誤り。（E）について、教科書（上巻）136 ページ(4.11.5)より誤り。解答：（F）（４）与えられた条件から、  

_{ }

 

x n n x n n x x n x

v

q

v

q

v

q

v

p

A

2_：_|



2



2 2₁







2 _₁



2 ・・・ ①  

_{ }

_

_









x n n x n n x x n x

q

v

q

v

q

v

p

a



2 _|



1

2



1 

2₁







1 







1 2 _₁



1 







1 2



_： … ② ここで、

n



1

とすれば、①②より、  2

_{ }

2

_{ }

2 2 |

v

q

v

p

v

A

_x_：_n



_x



_x



・・・ ③  

_{ }

1

2 2 2 |



x



x



n x

q

p

a



_：・・・ ④ ③④より、

A

_x： 2_n_|



v

2





1 

d



2



1 

2 d



d

2



1 

2 

d



1 

 

d

2



1

と変形できるので、 ① ～ ③ を含む算式との対応を考えれば、 ① ＝

d

、 ② ＝ ③ ＝

1

となり、選択肢は（C）（E）（G）に限定される。次に、

n



2

とすれば、①②より、  

_{ }

 

x x x x

v

q

v

q

v

p

A

2 2 2 1 2 2 2 2 | 2





：・・・ ⑤  

_{ }

_

_

_

_

x x x x

q

v

q

v

p

a



2_：₂_|



1

2



1 

2₁



1 

2₂ ・・・ ⑥ 以下、選択肢（C）（E）（G）について、  2



| 2 ： x

A

1 

2 

①



②



① 2



③ が成

(5)

り立つかどうかを検証する。なお、

1 

q

_x



1

q

_x



2

p

_xが成り立つことを用いる。（C）について、

1 

2 

①



②



① 2



③



1 

2 d



a



_x 2_：₂_|



d

2



a



_x_：₂_| となり、 ⑥を用いて、   | 2 2 2 | 2

2

1 

d





a



_x_：



d



a



_x_：

 











q

x

v

q

x

v

p

x



d



  

q

x

v



q

x



v



p

x



d

1

2

1

2₁

1

2₂ 2

1

₁

1

₂

2

1 





















q

x

v

q

x

v

p

x



d



q

x



v



q

x



v



p

x



d

1

2₁

1

2₂ 2

1

₁

1

₂

2

1 













q

x

q

x

p

x





d



q

x



d



v



d



v





q

x



d



v



d



v





2

p

x 2 2 1 2 2 2 2 1





2 





2 

1 





1 





2 

1 





1 







d



q

x



d



v



d



v





1

q

x 2 2 2

1

2

1

2

1 

























d

v

d

v



2

p

x 2 2

1

2

1 









・・・ ⑦ ここで、 2





2 2

1

2

1 

d



d





d



v

となるものの、

1 

2 d





1 

v



2



d

2





1 

v







v

 





v

 





v

 





v











v

 





v













v

 





v









1

2

1

2

1

2

1

2

1

1 

2







3 2 4

2

3

1

1 



v





v



v



v



v





v



となる。したがって、⑤⑦より、  2



| 2 ： x

A

1 

2 

①



②



① 2



③ は成り立たない。（E）について、

1 

2 

①



②



① 2



③



1 

2 d





a



 _x2_：₂_|



d

2



 

a



_x_：₂_| 2

 















  







2 2 1 2 2 2 1 2 2

1

2

1 

d



q

_x



v

q

_x



v

p

_x



d



q

_x



v

q

_x



v

p

_x



となるが、最後の項が

q

_x

,

1

q

_x

,

2

p

_xのうち（同じものを含めて）２つの積となってしまうため、⑤の形にならず、  2



| 2 ： x

A

1 

2 

①



②



① 2



③ は成り立たない。（以上の結果から消去法で、（G）が正解となるが、念のため検証を続ける。）（G）について、

1 

2 

①



②



① 2



_③  2 | 2 2 | 2

2

1 

d





a



_x_：



d



a



_x_：



(6)

  









q

x

v

q

x

v

p

x



d



 

q

x



v



q

x



v



p

x



d

1

₁

1

₂ 2

1

2

1

2₁

1

2₂

2

1 





















q

x

v

q

x

v

p

x



d



q

x



v



q

x



v



p

x



d

1

₁

1

₂ 2

1

2₁

1

2₂

2

1 













qx qx px





d d



qx



d



v



d



v





qx



d



v



d



v





2px 2 2 1 2 2 2 2 1   2  2 1  1 2 1  1  



d



q

x



d



v



d



v





1

q

x 2 2 2

1

2

1

2

1 

























d

v

d

v



2

p

x 2 2

1

2

1 









・・・ ⑧ ここで、 2





2 2

1

2

1 

d



d





d



v

となり、





2





2

1

2

1 

d





v



d





v



 

2



2





 





2

 

2 2 4

1

2

1 



v





v





v





v





v





v



v



v



となる。したがって、⑤⑧より、  2



| 2 ： x

A

1 

2 

①



②



① 2



③ が成り立つ。解答：（G）（５）問題文からThiele の微分方程式が成り立つので、  





    t t x t t t t x t

S

E

P

V

dt

V

d

    













・・・ ① 与えられた条件から、

P

_t 



E

_t



S

_t



_t

V

 

2

1 ,

0

であるから、①に代入すると、  





           













_









V

dt

V

d

t t x t t x t t x t









2

1

2

1

となるので、変形すると、    









_   x t t t

dt

V

d

V

2

1

となり、



 

















_



_  n t x n t

V

0 ₀

dt

2

1 log





・・・ ② ここで、0

V

  が一時払純保険料、  

1 



V

n 、 n x n t x

dt

log

p

0









 であるので、②より、  

_

_

x n

p

n

V

log

2

1 log



0









_

_{となり、整理すると、}  

 

n x n

e

p

V

_ 2 1 0

log





より、  

 

n x n

e

p

V

_ 2 1 0



 _{・・・ ③} 教科書（上巻）7 ページ(1.3.2)より、

e





1 

i

・・・ ④

(7)

④を③に代入すると、  

 

1  

0 .

88277

0 .

90250

0 .

8386

2 1 2 1 0





≒





 x n n n x n

_v

_p

i

p

V

解答：（I）（６）払済保険金額が0.7567 であるので、教科書（下巻）36 ページ(9.3.1)より、 | 5 55 | 5 55 15

002 .

0 7567

.

0

：：

a

A

W









・・・ ① 求める生存保険金額を

S

とすると、教科書（下巻）37 ページ(9.4.2)より、





| 5 55 1 | 5 55 | 5 55 1 | 5 55 15

001 .

0

001 .

0

：：：：

a

A

a

A

W

S















・・・ ② 教科書（上巻）127 ページ(4.9.4)より、

A

_x_：_n_|



1 

d



a



_x_：_n_| ・・・ ③ 教科書（上巻）178 ページ(5.3.7)より、 | | |

1

n x t n t x n x t

a

V

：：：

_



_ _





・・・ ④ 与えられた条件から、 | n x t t

W



V

：・・・ ⑤ ①③④⑤より、 | 5 55 | 5 55 | 20 40 | 5 55 | 5 55 | 5 55 15

002 .

0

1

002 .

0 7567

.

0

：：：：：：

d

a

A

W

























₅₅₅_| ₅₅₅_| | 5 55

002 .

0

99 .

0

1

1 7601

.

17

1

：：：

a













となるので、整理すると、

84156

.

4

008 .

0 7567

.

0 7601

.

17

1 7567

.

0

1

| 5 55：

≒







a



・・・ ⑥ ④⑤⑥より、

0 .

72739

7601

.

17 84156

.

4

1

| 20 40 | 5 55 | 20 40 15 15

≒

：：：











a

V

W



・・・ ⑦ 与えられた条件から、 5 55

0 .

99

5

0 .

9670

0 .

91961

5 1 | 5 55：



v

p





≒

A

・・・ ⑧

(8)

②③⑥⑧より、









| 5 55 1 | 5 55 | 5 55 1 | 5 55 | 5 55 15

001 .

0

001 .

0

：：：：：

a

A

a

A

W

S























| 5 55 1 | 5 55 | 5 55 1 | 5 55 | 5 55 15

001 .

0

001 .

0

1

：：：：：

a

A

a

A

a

d

W



























7470

.

0 84156

.

4

001 .

0 91961

.

0 84156

.

4

001 .

0 91961

.

0 84156

.

4

01 .

0

1 72739

.

0 ≒

















解答：（H）（７）

x

,

y

,

z

の順で死亡する確率を

f



x

,

y

,

z



で表わす。



x

y

z



A

f



x

z

y



B

f



y

x

z



C

f

,



,



,





y

z

x



D

f



z

x

y



E

f



z

y

x



F

f

,



,



,



とすると

1 



B

C

D

E

F

A

42 .

0

2









q

xy

C

D

F

・・・ ②

50 .

0

2









q

xz

D

E

F

・・・ ③

28 .

0

1









q

xyz

C

D

・・・ ④ 3 2 xyz xyz

q

_ 



より、

B



D



B



E

・・・ ⑤ ②④より、

F



0 .

42 

0 .

28 

0 .

14

・・・ ⑥ ⑤より、

D



E

・・・ ⑦ ③⑥⑦より、

0 .

18

2

14 .

0

50 .

0

2

50 .

0 









E

F

D

・・・ ⑧ ④⑧より、

C



0 .

28 

D



0 .

28 

0 .

18 

0 .

10

・・・ ⑨ ①⑥⑧⑨より、

40 .

0

14 .

0

18 .

0

18 .

0

10 .

0

1

1 











B

C

D

E

F

A

解答：（J）（注）平成6 年度（保険数学２）問題１（３）の解き方にならった。（８）選択肢の算式のうち、



（給付日額）および | n x

a



_：が共通しているので、分子について消去法により選択肢を絞り込む。

(9)

まず、すべての選択肢が分数に給付日額を乗じた形となっていることから、当該分数は給付日額１当たりの年払純保険料を表す。年払純保険料を表す分数のうち分子は、教科書（下巻）182 ページ(14.2.1)より、「期始までの生存率」×「入院率」×「平均給付日数」で構成されるが、選択肢のうち、_t

p

_xが共通していることから、「入院率」×「平均給付日数」の部分に注目する。教科書（下巻）181 ページの上から 5 行目の式に注目すると、「入院率」×「平均給付日数」の部分は、（F）～（J）の形で表されるため、（A）～（E）は誤り。次に、具体的な給付日数について考えると、例えば、270 日入院した場合、（F）～（J）の｛｝内にはΣ記号が２つあり、２つとも和をとる上限が∞になっている。したがって、 270 日入院を 120 日と（残りの）150 日に分割する必要があるため、分割されていない（F）～（H）は誤りで、正解候補は（I）または（J）に限定される。最後に、（I）および（J）の違いに注目すると、｛｝内のΣ記号のうち 1 つ目の和をとる下限が１または５となっているが、

min



i



4 ,

120 

という部分が共通しているため、仮に、給付日数が3 日以内の場合、（I）の分子にはマイナス値が含まれるため、保険料計算としては不適合となってしまう。（注：分子がマイナスになることは保険会社からみると、お客様から入院給付金を頂くことになってしまう。）よって（I）は誤り。解答：（J）問題２（１）与えられた条件を満たすように、

n



3 ,

t



2

で考える。第

t

保険年度末責任準備金をt

V

とし、各保険年度の再帰式を考えると、第１保険年度：

P



vq

x1

V



vp

x1

V



v

1

V

・・・ ① 第２保険年度：1

V



P



vq

x12

V



vp

x12

V



v

2

V

・・・ ② 第３保険年度：2

V



P



vq

x2



vp

x2



v

・・・ ③ ①＋

v



②＋ 2



v

③を考えると、



V

P



v



V

P



v

V

v

V

v

P





₁



2



₂





₁





₂



2



より、 3 2

v

P

v

P

v

P











・・・ ④ 一方、与えられた条件から、収支相等の原則より、 | 2 3 2 | 2 3 2

2 P





a



_x__：_



A

_x__：_ ・・・ ⑤ ⑤より、

2 P



v

となるので、

2 v

P



・・・ ⑥ ④⑥より、

2

3 2 2 3

v















となり、変形して、

v

2



1 

v

・・・ ⑦ したがって、選択肢のうち、

1 

v

に一致するものが正解候補となるが（C）のみ。解答：（C）

(10)

≪別解≫ 前半（

s



1 ,

2 ,



,

t

）について、_s₁

V

 

P

vq

_{x s} ₁_s

V



vp

_{x s} ₁_s

V



v V

_s より、 1 1 1 s s s s s

v

 _

V

 

P v





v V

となるので、

s



1 ,

2 ,



,

t

で和を取ると、 t t t

P a





v V

・・・ ① 一方、後半（

s



t



1 ,

t



2 ,



,

n

）について、_s₁

V

 

P

vq

_{x s} ₁



vp

_{x s} ₁_s

V

より、両辺に

D

_{x s}_{ }₁をかければ、

D

_{x s} ₁_s₁

V

 

P D

_{x s} ₁



C

_{x s} ₁



D

_{x s s}

V

となるので、

n

t

s





1 ,



2 ,



,

で和を取ると、_n

V



1

に注意して、





x t t x t x n x t x n x n

D

_



V

 

P

N

_



N

_



M

_



M

_



D

_ より、 : : t

V

 

P a

x t n t 



A

x t n t  ・・・ ② ①②より、





: : t t x t n t x t n t

P a





v A

_{ }

 

P a

_{ } となるので、与えられた条件から、 : : :

0.5

_{x t n t}

0.5

x t n t x t n t

A

P

a

     









となることを用いれば、 : : : t t t x t n t x t n t x t n t

P a

a

v

A

_{ }

P a

_{ }

a

_{ }





 

となる。（注）この段階では答えが（C）となるが、

1

t t

v

a

d





であるから、 :

1

t t x t n t

v

d a

_{ }





となり、これを t

v

について解けば :

1

t x t n t

v

d a

_{ }





という表現も可能。（２）（A）について、教科書（上巻）216 ページ(6.3.1)より、値は大きくなるため非該当。（B）について、教科書（上巻）217 ページ(6.3.3)より、値は小さくなるため該当。（C）について、教科書（上巻）217 ページ上から 6～7 行目より、値は大きくなるため非該当。（D）について、教科書（上巻）217 ページ(6.3.5)より、値は小さくなるため該当。（E）について、教科書（上巻）217 ページ(6.3.4)より、値は小さくなるため該当。

(11)

（F）について、以下の反例があるため、非該当。

1 ,

1 .

0 ,

2 

1



q

_

i

n

x x のとき、

13966

.

0

9 .

0

5 .

0

1

9 .

0

9 .

0

25 .

0

1

2 2 | 1 | 1 |

≒

：：：

_

_









x x n x n x n x

vp

p

v

a

A

P



一方、

n



2 ,

q

x



0 .

05 ,

q

x1



0 .

1 ,

i



1

のとき、

14492

.

0

95 .

0

5 .

0

1

9 .

0

95 .

0

25 .

0

1

2 2 1 |

≒

：

_

_













x x n x

p

v

p

v

P

（G）について、教科書（上巻）217 ページ(6.3.6)より、値は小さくなるため該当。解答：（B）（D）（E）（G）（３）営業保険料を

P

とすれば、収支相等の原則から、 | | 1 | 1 1 | |

0 .

025

0 .

03

x n

0 .

003

x n x n t t t x n x n x

P

a

D

s

P

C

A

a

P

_： _：



_：



_：

















     



_{・・・ ①} ①の右辺のΣ部分を変形すると、





x n t t t x t x x n t t t x x n t t t x

D

s

D

vD

P

D

s

C

P

D

s

P

C



          















1 | 1 1 | 1 1 | 1







x n t t t x t t x

D

s

D

s

vD

P



   

_

_

_



1 | | 1



・・・ ② ここで、教科書（上巻）14 ページ(1.5.5)より、

v



s



_t_|



s

_t_| ・・・ ③ さらに、教科書（上巻）14 ページ(1.5.6)より、



s

_t_|



s

_t_₁_|



1

・・・ ④ ③④を②に代入すると、









x n t t x t t x t t x x n t t t x t t x

D

s

D

s

D

P

D

s

D

s

vD

P



         

_

_

_

_









1 | 1 | 1 1 | | 1











x n x n x x x n n x x

D

s

D

P







_



_



_



_



_ _



_



1| 1 2



1









x n n x n x n x x x x

D

s

D

P







_₁



_₂



_ _₁



_



_



_₁_|





(12)









x n n x n x n x x x x

D

s

D

P







_₁



_₂



_ _₁



_



_



_₁_|

















x n n x n x x

D

s

D

N

P





₁_|



1 

    ・・・ ⑤ ここで、教科書（上巻）14 ページ(1.5.11)より、 n_n n

v

a

s



_|



|





・・・ ⑥ ④⑥を⑤に代入すると、













x n n x n x x

D

s

D

N

P







_



_ _₁_|



1 





















   x n n x x n x x

D

s

D

N

P



|





















   x n n n x x n x x

D

v

a

D

N

P

|





a

x n| n

p

x

a

n|



P













 ：・・・ ⑦ ⑦を①に代入すると、



| |



| | 1 | | x n x n n x n

0 .

025

0 .

03

x n

0 .

003

x n n x

A

P

a

p

a

P

a

P







_：



_：









_：

















_：







_：となるので、整理すると、





| 1 | | |

0 .

03

x n x n

0 .

025

0 .

003

x n n x n

p

a

A

a

P













_：



_：







_： | | | 1 |

03 .

0

003 .

0

025 .

0

n x n x n n x n x

a

p

a

A

P

：：：















02909

.

0

900 .

15

03 .

0

247 .

16

890 .

0

900 .

15

003 .

0

025 .

0

334 .

0 ≒











解答：（B）（４） ① について、与えられた条件から、初年度定期式責任準備金であることから、教科書（下巻）18 ページ(8.2.2)より、





| | | 1 1 n x n x n x

P

a

P

_：



_：





_：



_ _



P

_x_：_n_|



0 .

047712

・・・ ② 教科書（上巻）155 ページ(4.14.21)より、

d

a

P

n x n x





| |

1

：：

_

・・・ ③ ③を変形すると、

(13)

357197

.

17

01 .

0

1

01 .

0 047712

.

0

1

| | |

≒

：：：













i

P

d

P

a

n x n x n x



・・・ ④ 養老保険の保険年度を1 年目と 2 年目以降に分割すると、 | 1 1 |



x



x x n n x

vq

vp

A

_： _：となるので、変形すると、





_

_

x x n x x x n x x x n x n x

q

i

q

i

a

i

q

v

vq

a

d

vp

vq

A





















 

1

_| | | | 1 1 ：：：：





1

0 .

005 

0 .

8356061

01 .

0

1

005 .

0

01 .

0

1

1 357197

.

17

01 .

0

1

01 .

0

1 ≒





















・・・ ⑤ 生命年金現価の保険年度を1 年目と 2 年目以降に分割すると、

a



x：n_|



1 

vp

x

a



_x_₁：_n_₁_|となるので、変形すると、





_

_

x n x x n x x n x n x

q

i

a

q

v

a

vp

a

















 

1

_| _| | | 1 1 ：：：：





1

0 .

005 

16 .

603788

01 .

0

1

1 357197

.

17 ≒









・・・ ⑥ ⑤⑥より、

0 .

050326

603788

.

16 8356061

.

0

| 1 1 | 1 1 | 1 1

≒

：：：



      n x n x n x

a

A

P



・・・ ⑦ ②④⑦を①に代入すると、







0 .

050326



0 .

047712





17 .

357197

≒

0 .

04538

となるので、 ① ＝（E）。 ② について、教科書（下巻）15 ページ(8.1.5)より、   | | | | x k n k n x n x k z n x k

a

V







__：_ ：：：

_





・・・ ⑧ 教科書（上巻）178 ページ(5.3.7)より、 | | |

1

n x k n k x n x k

a

V

：：：

_



_ _





・・・ ⑨

(14)

⑧⑨より、  



1 

 







_ _



1 

 





1 





| | | | | | | n x k n k x k n k x n x n x k n k x z n x k

a

V

：：：：：：：

_



・・・ ⑩ ③より、

d

a

P

k x k x





| |

1

：：

_

となるので、変形すると、

35751402

.

9

01 .

0

1

01 .

0 096965

.

0

1

| | |

≒

：：：













i

P

d

P

a

k x k x k x



・・・ ⑪ 生命年金現価の保険年度を

k

年目までと

k



1

年目以降に分割すると、 | | | k x x k n k k k x n x

a

v

p

a



_：





_：





__：_



となるので、変形すると、 x k k k x n x k n k x

p

v

a

_： _| ： | ： |



_ _









| 1 | | | | | 1 | | | 1 | | | k x k x k x k x n x k x k x k x n x k x k x n x

a

P

a

P

a

A

a

：：：：：：：：：：：：



















・・・ ⑫ 与えられた条件から、

P

_x_：_k_|



0 .

096965

,

P

_x1_：_k_|



0 .

004950

・・・ ⑬ ②④⑪⑬を⑫に代入すると、





| 1 | | | | | k x k x k x k x n x k n k x

a

P

a

：：：：：：

_









 



0 .

096965

0 .

004950



9 .

35751402

9 .

290812

35751402

.

9 357197

.

17 ≒







・・・ ⑭ ① の結果、および、④⑭を⑩に代入すると、  

_

_

4404

.

0 04538

.

0

1 357197

.

17 290812

.

9

1

|

≒

：









z n x k

V

となるので、 ② ＝（C）。解答： ① ＝（E）、 ② ＝（C）（５）教科書（下巻）94 ページ(12.3.8)より、

1284

.

0

0 40,60 40 1 60 , 40







  

q

s

p



s

ds

・・・ ① 与えられた条件から、₁₀

q

₄₀



0 .

0212

,

₁₀

q

₅₀



0 .

0416

である。40 歳および 50 歳の両者が 10 年以上を隔てて死亡する確率は、



 _ _





 _ _ 0 50 50 10 40 0 s

p

40



40 ss 10

p

50

ds

s

p



ss

p

ds