PowerPoint プレゼンテーション

ベクトル、ベクトル関数、ベクトル場

とは何か

) , , , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ), ( ), ( ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 t z y x z y x dt t z d dt t y d dt t x d dt (t) d t dt t dz dt t dy dt t dx dt (t) d t t z t y t x t t A t A t A t A t A t A t _{x y z x y z} A A k j i r a k j i r v k j i r k j i A                ベクトル関数 ：ベクトル場 スカラー関数



₍

_t

₎



₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎

：スカラー場 東京理科大学2018物理数学1B ガイダンス

3次元直角座標での

))

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

(

)

,

,

(

))

(

),

(

),

(

(

)

(

)

,

,

(

)

(

z

y

x

A

z

y

x

A

z

y

x

A

z

y

x

A

A

A

z

y

x

z y x z y x







A

r

r

r

r

A

A

r

A

)

(r

A

ニュートンの運動方程式の積分

ma F  p mv mv dt dt dv m dt F 



   



0 運動量保存 エネルギー保存 E Fdx mv mvdv Fdx dt dt dv mv dt dt dx F dt dv mv Fv dt dv m F      







2 2 1

mg

z

dz

d

F

mgz

z











)

(

)

(





力　　

ンシャル）　

位置エネルギー（ポテ

3次元では？

重力下における質点の運動

0 0 2 3 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

r

v

r

r

r

r

r

F

r

r

k

r

j

r

i

r

r

r

F

r

r

　　　初期位置

　

初速度　

力のベクトル場　

シャル）　

スカラー場　（ポテン

質点の位置ベクトル

r

ˆ

ˆ

r

mM

G

r

mM

G

|

|

r

r

mM

G

z

y

x

dt

d

m

































































O r

地球重力場での水平投射の軌道

座標系を定めると

x y z i j k ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( )) , , ( ), , , ( ), , , ( ( ) , , ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( 2 2 2 2 2 2 z y x z z y x F dt z d m z y x y z y x F dt y d m z y x x z y x F dt x d m z y x F z y x F z y x F z y x F z y x F z y x F z y x z y x z y x z y x z y x                              k j i F k j i r k j i 右手直交直線座標系 直交曲線座標系

2 / 1 2 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2

)

(

|

|

)

,

,

(

|

|

)

(

)

,

,

(

)

(

)

,

,

(

)

(

)

,

,

(

z

y

x

r

z

y

x

r

mM

G

r

r

mM

G

z

z

y

x

mM

G

z

y

x

F

y

z

y

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mM

G

z

y

x

F

x

z

y

x

mM

G

z

y

x

F

z y x









































r

r

F

r

F

ジェットコースターの設計

どのようにスリルを演出するか どのくらいの加速度？ 速度と空間曲線の曲率で遠心力が決まる Frenet-Serretの公式 FUJIYAMA

ジェットコースター垂直ループ

高速道路での快適なドライブ

カーブが円の一部（円弧）だと 曲率半径が∞からρに不連続に変化 ハンドルを急激に切らなければならない ρ

どうするか？

Frenet-Serretの公式 ジェットコースターの設計でも

電気力線

E(x,y,z):電場

電磁波

)

sin(

)

,

(

)

sin(

)

sin(

)

,

(

0 0 0

r

k

B

r

B

E

r

k

E

r

E





















t

t

z

k

y

k

x

k

t

t

t

z y x







k

平面波

University Physics

地上での有効重力加速度

磁気圏

地球の大気循環（速度場）

表層海流（速度場）

深層海流（速度場）

マントルの温度分布（スカラー場）

高層大気の温度分布（スカラー場）

プレートの動き（速度場）

等電位面、勾配（grad）

    ) ( grad ) ( z y x               i j k E r 電場 スカラー場 電位 _{地図の等高線 h(x,y)} University Physics

)

(

2 2

r

F

r 

dt

d

m

・ r F

ベクトルとは？

ベクトル：大きさと向きを持つ スカラー関数 P(r)

・ r = (x, y) x y F = (F_x , F_y) O



























y x

F

F

y

x

dt

d

m

₂ 2 スカラー関数 P(r) = P(x, y)

スカラー関数 P(r) = P(x, y) = P(x’, y’) = P(r’) ・ r = (x, y) = (x’, y’) = r’ x y F = (F_x , F_y) = (F_x’ , F_y’) x’ y’ θ O













































y

x

y

x









cos

sin

sin

cos































  y x

F

F

y

x

dt

d

m

₂ 2

・ _x y F x’ y’ θ O









































  y x y x

F

F

F

F









cos

sin

sin

cos

) 座標変換でベクトルは座標と同じように変換する j ij j i ij i

A

F

A

F

F

A











 3 1

F

F

F

r

F

r























































































































  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

dt

d

m

F

F

y

x

dt

d

m

F

F

y

x

dt

d

m

F

F

y

x

dt

d

m

dt

d

m

y x y x y x

















座標系を回転しても不変 座標系によらず同じ運動方程式

テンソル

































33 32 31 23 22 21 13 12 11 22 21 12 11

3

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

次元空間　　

次元空間　　

空間のベクトル x に対してその値がベクトルである関数 T（x） があり、T が次の線形条件を満たす：任意の数 と任意の ベクトル x, y について以下が成り立つ。

a

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

y

x

y

x

aT

a

T

T

T

T









スカラー：0階のテンソル ベクトル：1階のテンソル テンソル：2階のテンソル ：3階のテンソル 座標系を定めると 単なる数字の並び（行列） でなく、各成分は座標変換 によってある定まった変換 をする

　はテンソル







































































































cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

'

'

)

(

,

y

x

y

x

y

x

T

y

x

r

r

テンソルの物理例

分極率テンソル_α

E

P





E P － + 電場 E によって物質に電気双極子が誘起される。 単位体積あたりの平均的な誘起双極子を分極という。 一般に E と P は平行でない。 座標系を決めると























33 32 31 23 22 21 13 12 11





















　

P :分極ベクトル

適当な座標変換をすると













































33 22 11 T 33 32 31 23 22 21 13 12 11 T

0

0

0

0

0

0



























A

A

A

A

　

座標変換でテンソルの成分T_ijは以下のように変換される A :直交行列 T T

ATA

a

T

a

a

T

a

T

a

a

'

T

_rs



_{ri sj ij}



_{ri ij sj}



_{ri ij js}



電場を印加すると、物質中の電荷が変位 + + + + + + + + + + + + － － － － － － － － － － － － x y

電場を印加すると、物質中の電荷が変位 + + + + + + + + + + + + － － － － － － － － － － － － E P x x x

E

P





電場を印加すると、物質中の電荷が変位 + + + + + + + + + + + + － － － － － － － － － － － － E 結晶軸の方向によって電荷の変位のし易さが違う 異方性 結晶軸方向の電場に対しては_P

∥

_E P y y y

E

P





座標軸を結晶軸に取ると x y ) , (_xE_x _yE_y  P ) (E_x,E_y  E















y x







0

0

　

θ回転した座標系では                                            





























































0 0 sin cos cos )sin ( cos )sin ( sin cos cos sin sin cos 0 0 cos sin sin cos 2 2 2 2 T y x y x y x y x y x A A ' 　 x y   等方的なとき スカラー

方解石（calcite, CaCO

₃

）

屈折率

n

_o

=1.66

n

_e

=1.49

@500 nm

複屈折

http://staff.aist.go.jp/nomura-k/common/STRUCIMAGES/Calcite.gif

注意：

通常、分極率_{αは原子・分子の} ミクロな分極について定義される 結晶などマクロな物質については、 電気感受率_χで記述

P





E

0



E

p





ベクトル積

                                                                                      



0 0 0 : 0 3 , 2 , 1 : 1 3 , 2 , 1 : 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 3 2 3 1 3 1 3 3 2 3 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 213 321 132 312 231 123 , a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A B A B B B A A A B A B A B A B A B A B A B B B A A A ijk k j ijk k j k j ijk i z y x z y x x y y x z x x z y z z y z y x z y x a b b a B A k j i k j i k j i k j i B A j k i i k i j k k j k i j j i k k j j i i 　　　　　　　 その他　　　　　　　 の奇置換 添え字が の偶置換 添え字が レビ・チビタの記号          i j k

    sin sin ) cos 1 ( ) cos ( ) ( ) )( ( 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B A B A B A B A B A B A B A                                 z z y y x x z y x z y x x y x y y x y x z x z x x z x z y z y z z y z y x y y x z x x z y z z y B A B A B A B B B A A A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A

ベクトル積

)

(

E

v

B

a

F



m



q





2 0

4

r

ˆ

q

v

r

B









2 0

4

r

ˆ

d

I

d

B



l



r











0 ₂

4

r

ˆ

d

I

l

r

B





r

I

B







2

0



Biot-Savart の法則 直線電流がつくる磁場 任意の電流分布 電流要素 Idl 速度vで動く荷電粒子が作る磁場（v<<cの場合）

３次元空間での回転

無限小回転角



d



sin

r

dr 



d



d dr  nr dt d dt d  r n r v    dt d  n n ω  

r

ω

v





θ ｄφ Ｙ Ｘ Ｚ → ｒ ｎ → → ｄｒ → ｄφ

X,Y,Z軸のまわりの回転

Ｘ，Ｙ，Ｚ軸まわりの回転 _X ,_Y ,_Z 無限小回転 _X ,_Y,_Z                                        1 0 0 0 cos sin 0 sin cos cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 Z Z Z Z Z Y Y Y Y Y X X X X X                                                    1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Z Z Z Y Y Y X X X      

Y X   , X Y X Y X Y Y Y X X Y X                                          1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1         Y X                                                        Z Y X X Y X Z Y Z X Y X Z Y Z Z Y X                0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 無限小回転のベクトル θ を定義できる X Y Y X X X Y Y X X Y X Y Y Y X                               cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin sin 0 cos θ

無限小回転のベクトル

Ｘ軸、Ｙ軸のまわりに 無限小回転 一方 有限の回転では ベクトル は定義できない 2次の微小量 を無視

r θ r                                               y x z x z y z y x X Y X Z Y Z X Y X Z Y Z             0 0 0 r ω r _  _                      y x z x z y t X Y X Z Y Z t       0  for t  0 t i i    

ベ ク ト ル の 無 限 小 回 転 と ベ ク ト ル 積

力のモーメント（トルク）

r F r F θ r sinθ τ  _r  _F  (rsin



)F



rF 



テンソル積

  b a e e e e e e e b a Γ e e e e e e e e e e e e e e e e e e Γ b a b a e e e e e e e e a b b a b a b a b a e e e b a                                                                                                                                                                                  k j i ijk n m k jn im ijk n m n m k j i ijk k j i ijk j i ij j i ij ij b a b a b a b a b a b a I I a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a B A B A b b b a a a        ) ( : ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) trace ( : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 1 1 3 1 2 3 3 2 3 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 3 2 3 1 3 1 3 3 2 3 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 の対角和 テンソルの縮約

ハミルトンの4元数

j ik i kj k ji j ki i jk k ij k j i dk cj bi a                 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( 3 z y x z y x k x y y x j z x x z i y z z y z z y y x x ki x z ik z x kj y z jk z y ji x y ij y x z z y y x x k z j y i x k z j y i x uv z y x k z j y i x u k j i v u v u v u k j i u                                       　を 次元のベクトル 　とみなす

ジャイロスコープ

はずみ車（地球ごま）が角速度_{ωで回転しているとき、回転軸を水平に} して一端で支えて放すと、はずみ車の回転軸は角速度_{Ωで歳差運動} (precession)する。

自転しているとき

dt dL  τ はずみ車（地球ごま）が角速度_{ωで回転しているとき、回転軸を水平に} して一端で支えて放すと、はずみ車の回転軸は角速度_{Ωで歳差運動} (precession)する（z軸の周りに回転する）。 University Physics

地球の重力を

積分で求める

















)

,

,

(

)

,

,

(

z

y

x

dxdydz

s

Gm

z

y

x

V

F

多重積分 極座標を使うと簡単になる





V V

dxdydz

dxdydz



は何を表す？

地球コアへの旅

静水圧 p (スカラー)

浮力F







          V p dxdydz z p y p x p z y x p ) ( , , ) , , ( F University Physics

層流（速度場）

揚力と循環

_線積分







C

v

d

s

0

流束（単位時間当たりの流量）

rate)

flow

(energy

[J/s]

)

(

]

[J/m

rate)

flow

(volume

/s]

[m

cos

　

(flux)

　

E E 3 E 3

A

v

A

v



















dt

V

d

vA

dt

dV

エネルギー密度

エネルギー流束

流束

University Physics

電束、磁束

flux)

(magnetic

flux)

(electric

0

A

Β

A

E













B E

磁束　

電束　



流束を面積で割ったもの 流束密度 （単位時間、単位面積当たりの流量） B：磁束密度

閉曲面から流れ出す流束

（電束、磁束）

dS

d

A 

n

n:曲面Sの面積要素dSに 垂直な単位ベクトル University Physics

マックスウェル方程式

0 0 encl for law s Gauss'       



E S E E  d Q   S 0 0 for law s Gauss' B



B  S    B  S d t dt d I d             _   



B l ε B j E       0 0 0 encl E 0 0 law s Ampere'     t dt d d B          



E l E B      law s Faraday' ) (E v B p F          q dt d Equation of motion

ガウスの法則（

面積分

）

q

d

S E











₀



E

A

閉曲面内の全電荷_{真空の誘電率} : : 0  q University Physics

双極子場の場合

0

0

















d

q

q

C E



E

A

University Physics

速度vの荷電粒子が作る磁場( )

2 0

4

r

ˆ

q

v

r

B









University Physics

c

v 

電流要素 Idl が作る磁場

2 0

4

r

ˆ

d

I

d

B



l



r





University Physics

ソレノイドの磁場

地球の磁力線

静電場下で電荷を動かしたときの仕事（

線積分

）

const.







ab

F

dl

始点と終点でのみ決まり、経路によらない University Physics

湧き出し（divA=∇・A）があるか？

回転（rotA=∇×A）があるか？

積分定理



























C S S V

dS

d

dV

dS

ストークスの定理

ガウスの定理

n

A

r

A

A

n

A

)

(

0 0 0 0 1













          









E E n E n E V V S S dV q dV dS q dS より、 空間の各点で成り立つ式

ガウスの法則の直観的 説明（University Physics）

0 2 2 0 ) 4 ( 4 1    q R R q dS A   



E n EdS dS E dA E d     _   cos cos A E  cos dA dS   cos E E _ E  E

アンペールの法則の直観的 説明（University Physics） I r r I d 0 ₀ ) 2 ( 2    _  



B l

 

rd I d I r I d rd dl Bdl d 0 0 0 2 2 cos cos          







       l B l B

図版の出典

地球のしくみ、新星出版社

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, 11th

Ed, Pearson Education